{"id":15731,"date":"2019-09-05T12:08:25","date_gmt":"2019-09-05T16:08:25","guid":{"rendered":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/chapter\/geometric-sequences-and-series\/"},"modified":"2019-09-05T12:08:25","modified_gmt":"2019-09-05T16:08:25","slug":"geometric-sequences-and-series","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/chapter\/geometric-sequences-and-series\/","title":{"raw":"Geometric Sequences and Series","rendered":"Geometric Sequences and Series"},"content":{"raw":"[latexpage]<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\"><h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>By the end of this section, you will be able to: <ul><li>Determine if a sequence is geometric<\/li><li>Find the general term (nth term) of a geometric sequence<\/li><li>Find the sum of the first \\(n\\) terms of a geometric sequence<\/li><li>Find the sum of an infinite geometric series<\/li><li>Apply geometric sequences and series in the real world<\/li><\/ul><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834528308\" class=\"be-prepared\"><p id=\"fs-id1167832015931\">Before you get started, take this readiness quiz.<em data-effect=\"italics\"><\/em><\/p><ol id=\"fs-id1167835351511\" type=\"1\"><li>Simplify: \\(\\frac{24}{32}.\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/425620d9-51dd-45e5-8a21-953998a4a77f#fs-id1167836620030\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><li>Evaluate: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({3}^{4}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left(\\frac{1}{2}\\right)}^{4}.\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/05eab039-6d1c-4d80-8c8c-94469164a52c#fs-id1167834536158\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><li>If \\(f\\left(x\\right)=4\u00b7{3}^{x},\\) find <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(f\\left(1\\right)\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(f\\left(2\\right)\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(f\\left(3\\right).\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/5e548626-8f0f-496d-ab87-4f0358ca2fd3#fs-id1167829859398\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><\/ol><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167834193892\"><h3 data-type=\"title\">Determine if a Sequence is Geometric<\/h3><p id=\"fs-id1167835334993\">We are now ready to look at the second special type of sequence, the geometric sequence.<\/p><p id=\"fs-id1167835355580\">A sequence is called a <span data-type=\"term\">geometric sequence<\/span> if the ratio between consecutive terms is always the same. The ratio between consecutive terms in a geometric sequence is <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, the <span data-type=\"term\">common ratio<\/span>, where <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is greater than or equal to two.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835347830\"><div data-type=\"title\">Geometric Sequence<\/div><p id=\"fs-id1167835319982\">A <strong data-effect=\"bold\">geometric sequence<\/strong> is a sequence where the ratio between consecutive terms is always the same.<\/p><p id=\"fs-id1167835511293\">The ratio between consecutive terms, \\(\\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}},\\) is <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, the <strong data-effect=\"bold\">common ratio<\/strong>. <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is greater than or equal to two.<\/p><\/div><p id=\"fs-id1167834099621\">Consider these sequences.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831883125\" data-alt=\"This figure shows two sets of sequences where r is the common ratio.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_001_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows two sets of sequences where r is the common ratio.\" \/><\/span><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835381313\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832057866\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835361068\"><p id=\"fs-id1167835217802\">Determine if each sequence is geometric. If so, indicate the common ratio.<\/p><p id=\"fs-id1167831920432\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(4,8,16,32,64,128\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835330694\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(-2,6,-12,36,-72,216\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167831821941\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(27,9,3,1,\\frac{1}{3},\\frac{1}{9}\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835360295\"><p id=\"fs-id1167830702675\">To determine if the sequence is geometric, we find the ratio of the consecutive terms shown.<\/p><p id=\"fs-id1167834432782\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(\\begin{array}{cccc}\\begin{array}{}\\\\ \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Find the ratio of}\\hfill \\\\ \\text{the consecutive terms.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{7em}{0ex}}\\begin{array}{ccccccccccc}\\hfill 4,\\hfill &amp; &amp; \\hfill 8,\\hfill &amp; &amp; \\hfill 16,\\hfill &amp; &amp; \\hfill 32,\\hfill &amp; &amp; \\hfill 64,\\hfill &amp; &amp; \\hfill 128,\\text{\u2026}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\hfill \\frac{8}{4}\\hfill &amp; &amp; \\hfill \\frac{16}{8}\\hfill &amp; &amp; \\hfill \\frac{32}{16}\\hfill &amp; &amp; \\hfill \\frac{64}{32}\\hfill &amp; &amp; \\hfill \\frac{128}{64}\\hfill &amp; &amp; \\\\ \\hfill 2\\hfill &amp; &amp; \\hfill 2\\hfill &amp; &amp; \\hfill 2\\hfill &amp; &amp; \\hfill 2\\hfill &amp; &amp; \\hfill 2\\hfill &amp; &amp; \\end{array}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}\\text{The sequence is geometric. The common ratio is}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}r=2.\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167834064474\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(\\begin{array}{cccc}\\begin{array}{}\\\\ \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Find the ratio of}\\hfill \\\\ \\text{the consecutive terms.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{7em}{0ex}}\\begin{array}{ccccccccccc}\\hfill -2,\\hfill &amp; &amp; \\hfill 6,\\hfill &amp; &amp; \\hfill -12,\\hfill &amp; &amp; \\hfill 36,\\hfill &amp; &amp; \\hfill -72,\\hfill &amp; &amp; \\hfill 216,\\text{\u2026}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\hfill \\frac{6}{-2}\\hfill &amp; &amp; \\hfill \\frac{-12}{6}\\hfill &amp; &amp; \\hfill \\frac{36}{-12}\\hfill &amp; &amp; \\hfill \\frac{-72}{36}\\hfill &amp; &amp; \\hfill \\frac{216}{-72}\\hfill \\\\ \\hfill -3\\hfill &amp; &amp; \\hfill -2\\hfill &amp; &amp; \\hfill -3\\hfill &amp; &amp; \\hfill -2\\hfill &amp; &amp; \\hfill -3\\hfill &amp; &amp; \\end{array}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}\\text{The sequence is not geometric. There is no common ratio.}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167826783812\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{9em}{0ex}}27,9,3,1,\\frac{1}{3},\\frac{1}{9}\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Find the ratio of}\\hfill \\\\ \\text{the consecutive terms.}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\\\ \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{9em}{0ex}}\\begin{array}{ccccc}\\frac{9}{27}\\hfill &amp; \\frac{3}{9}\\hfill &amp; \\frac{1}{3}\\hfill &amp; \\frac{\\frac{1}{3}}{1}\\hfill &amp; \\frac{\\frac{1}{9}}{\\frac{1}{3}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\frac{1}{3}\\hfill &amp; \\frac{1}{3}\\hfill &amp; \\frac{1}{3}\\hfill &amp; \\frac{1}{3}\\hfill &amp; \\frac{1}{3}\\hfill \\end{array}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}\\text{The sequence is geometric. The common ratio is}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}r=\\frac{1}{3}.\\hfill \\end{array}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834063343\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831117502\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835229282\"><p>Determine if each sequence is geometric. If so indicate the common ratio.<\/p><p id=\"fs-id1167835377480\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(7,21,63,189,567,1,701\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835274798\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(64,16,4,1,\\frac{1}{4},\\frac{1}{16}\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835379498\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(2,4,12,48,240,1,440\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835329154\"><p id=\"fs-id1167835279634\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> The sequence is geometric with common ratio \\(r=3.\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> The sequence is geometric with common ratio \\(d=\\frac{1}{4}.\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> The sequence is not geometric. There is no common ratio.<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835318621\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831883059\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834161552\"><p id=\"fs-id1167832051758\">Determine if each sequence is geometric. If so indicate the common ratio.<\/p><p id=\"fs-id1167835349793\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-150,-30,-15,-5,-\\frac{5}{2},0\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835254948\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(5,10,20,40,80,160\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835326248\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(8,4,2,1,\\frac{1}{2},\\frac{1}{4}\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835329145\"><p id=\"fs-id1167835367791\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> The sequence is not geometric. There is no common ratio. <span class=\"token\">\u24d1<\/span> The sequence is geometric with common ratio \\(r=2.\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> The sequence is geometric with common ratio \\(r=\\frac{1}{2}.\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167835363007\">If we know the first term, \\({a}_{1},\\) and the common ratio, <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, we can list a finite number of terms of the sequence.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835244433\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831923581\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835342807\"><p id=\"fs-id1167835341879\">Write the first five terms of the sequence where the first term is 3 and the common ratio is \\(r=-2.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835192426\"><p id=\"fs-id1167834195479\">We start with the first term and multiply it by the common ratio. Then we multiply that result by the common ratio to get the next term, and so on.<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835327493\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{ccccccccccccc}\\hfill {a}_{1}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill {a}_{2}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill {a}_{3}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill {a}_{4}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill {a}_{5}\\hfill \\\\ \\hfill 3\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill 3\u00b7\\left(-2\\right)\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill -6\u00b7\\left(-2\\right)\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill 12\u00b7\\left(-2\\right)\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill -24\u00b7\\left(-2\\right)\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill -6\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill 12\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill -24\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill 48\\hfill \\end{array}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167834382518\">The sequence is \\(3,-6,12,-24,48\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835376295\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835333321\"><p id=\"fs-id1167834423418\">Write the first five terms of the sequence where the first term is 7 and the common ratio is \\(r=-3.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835328162\"><p id=\"fs-id1167835309022\">\\(7,-21,63,-189,567\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835596436\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831871527\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832054519\"><p id=\"fs-id1167830702608\">Write the first five terms of the sequence where the first term is 6 and the common ratio is \\(r=-4.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834345379\"><p id=\"fs-id1167835190400\">\\(6,-24,96,-384,1536\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167830703616\"><h3 data-type=\"title\">Find the General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th Term) of a Geometric Sequence<\/h3><p id=\"fs-id1167835344412\">Just as we found a formula for the general term of a sequence and an arithmetic sequence, we can also find a formula for the general term of a geometric sequence.<\/p><p id=\"fs-id1167835186301\">Let\u2019s write the first few terms of the sequence where the first term is \\({a}_{1}\\) and the common ratio is <em data-effect=\"italics\">r<\/em>. We will then look for a pattern.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835254432\" data-alt=\"This figure shows an image of a geometric sequence.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_002_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows an image of a geometric sequence.\" \/><\/span><p id=\"fs-id1167835284923\">As we look for a pattern in the five terms above, we see that each of the terms starts with \\({a}_{1}.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835305520\">The first term, \\({a}_{1},\\) is not multiplied by any <em data-effect=\"italics\">r<\/em>. In the second term, the \\({a}_{1}\\) is multiplied by <em data-effect=\"italics\">r<\/em>. In the third term, the \\({a}_{1}\\) is multiplied by <em data-effect=\"italics\">r<\/em> two times (\\(r\u00b7r\\) or \\({r}^{2}\\)). In the fourth term, the \\({a}_{1}\\) is multiplied by <em data-effect=\"italics\">r<\/em> three times (\\(r\u00b7r\u00b7r\\) or \\({r}^{3}\\)) and in the fifth term, the \\({a}_{1}\\) is multiplied by <em data-effect=\"italics\">r<\/em> four times. In each term, the number of times \\({a}_{1}\\) is multiplied by <em data-effect=\"italics\">r<\/em> is one less than the number of the term. This leads us to the following<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834062313\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({a}_{n}={a}_{1}{r}^{n-1}\\)<\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167831104046\"><div data-type=\"title\">General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th term) of a Geometric Sequence<\/div><p id=\"fs-id1167834556056\">The general term of a geometric sequence with first term \\({a}_{1}\\) and the common ratio <em data-effect=\"italics\">r<\/em> is<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835329706\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({a}_{n}={a}_{1}{r}^{n-1}\\)<\/div><\/div><p id=\"fs-id1167835610070\">We will use this formula in the next example to find the fourteenth term of a sequence.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835381619\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835344414\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834244317\"><p id=\"fs-id1167831908827\">Find the fourteenth term of a sequence where the first term is 64 and the common ratio is \\(r=\\frac{1}{2}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835262981\"><p id=\"fs-id1167835305367\">\\(\\begin{array}{cccc}\\text{To find the fourteenth term,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}_{14},\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{a}_{n}={a}_{1}{r}^{n-1}\\hfill \\\\ \\text{use the formula with}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}_{1}=64\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}r=\\frac{1}{2}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\\\ \\text{Substitute in the values.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{a}_{14}=64{\\left(\\frac{1}{2}\\right)}^{14-1}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{a}_{14}=64{\\left(\\frac{1}{2}\\right)}^{13}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{a}_{14}=\\frac{1}{128}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835419129\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835379554\"><p id=\"fs-id1167834505260\">Find the thirteenth term of a sequence where the first term is 81 and the common ratio is \\(r=\\frac{1}{3}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835311178\"><p id=\"fs-id1167835308084\">\\(\\frac{1}{6,561}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835309913\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834190053\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835321621\"><p id=\"fs-id1167835420376\">Find the twelfth term of a sequence where the first term is 256 and the common ratio is \\(r=\\frac{1}{4}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835512909\"><p id=\"fs-id1167835420442\">\\(\\frac{1}{16,384}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167835376509\">Sometimes we do not know the common ratio and we must use the given information to find it before we find the requested term.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835421548\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832041513\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835320178\"><p id=\"fs-id1167835285033\">Find the twelfth term of the sequence 3, 6, 12, 24, 48, 96, \u2026 Find the general term for the sequence.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831239723\"><p id=\"fs-id1167835231455\">To find the twelfth term, we use the formula, \\({a}_{n}={a}_{1}{r}^{n-1},\\) and so we need to first determine \\({a}_{1}\\) and the common ratio <em data-effect=\"italics\">r<\/em>.<\/p><p id=\"fs-id1167835330266\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}3,6,12,24,48,96\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\hfill \\\\ \\text{The first term is three.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}{a}_{1}=3\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Find the common ratio.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}\\begin{array}{ccccc}\\frac{6}{3}\\hfill &amp; \\frac{12}{6}\\hfill &amp; \\frac{24}{12}\\hfill &amp; \\frac{48}{24}\\hfill &amp; \\frac{96}{48}\\hfill \\\\ 2\\hfill &amp; 2\\hfill &amp; 2\\hfill &amp; 2\\hfill &amp; 2\\hfill \\end{array}\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}\\text{The common ratio is}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}r=2.\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{To find the twelfth term,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}_{12},\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{use the}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}{a}_{n}={a}_{1}{r}^{n-1}\\hfill \\\\ \\text{formula with}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}_{1}=3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}r=2.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\\\ \\text{Substitute in the values.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}{a}_{12}=3\u00b7{2}^{12-1}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}{a}_{12}=3\u00b7{2}^{11}\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}{a}_{12}=6,144\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Find the general term.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}{a}_{n}={a}_{1}{r}^{n-1}\\hfill \\\\ \\text{We use the formula with}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}_{1}=3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}r=2.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}{a}_{n}=3{\\left(2\\right)}^{n-1}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835342731\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831882438\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835331260\"><p id=\"fs-id1167834423135\">Find the ninth term of the sequence 6, 18, 54, 162, 486, 1,458, \u2026 Then find the general term for the sequence.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835339159\"><p id=\"fs-id1167835309361\">\\({a}_{9}=39,366.\\) The general term is \\({a}_{n}=6{\\left(3\\right)}^{n-1}.\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835479971\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835332959\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835332531\"><p id=\"fs-id1167832054099\">Find the eleventh term of the sequence 7, 14, 28, 56, 112, 224, \u2026 Then find the general term for the sequence.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835259048\"><p id=\"fs-id1167835171107\">\\({a}_{11}=7,168.\\) The general term is \\({a}_{n}=7{\\left(2\\right)}^{n-1}.\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167835307999\"><h3 data-type=\"title\">Find the Sum of the First <em data-effect=\"italics\">n<\/em> Terms of a Geometric Sequence<\/h3><p id=\"fs-id1167832056860\">We found the sum of both general sequences and arithmetic sequence. We will now do the same for geometric sequences. The sum,\\({S}_{n},\\) of the first <em data-effect=\"italics\">n<\/em> terms of a geometric sequence is written as \\({S}_{n}={a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+...+{a}_{n}.\\) We can write this sum by starting with the first term, \\({a}_{1},\\) and keep multiplying by <em data-effect=\"italics\">r<\/em> to get the next term as:<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834192587\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({S}_{n}={a}_{1}+{a}_{1}r+{a}_{1}{r}^{2}+...+{a}_{1}{r}^{n-1}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167831881158\">Let\u2019s also multiply both sides of the equation by <em data-effect=\"italics\">r<\/em>.<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835419647\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(r{S}_{n}={a}_{1}r+{a}_{1}{r}^{2}+{a}_{1}{r}^{3}+...+{a}_{1}{r}^{n}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167831882929\">Next, we subtract these equations. We will see that when we subtract, all but the first term of the top equation and the last term of the bottom equation subtract to zero.<\/p><p id=\"fs-id1167831882066\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\begin{array}{c}\\underset{\\text{____________________________________________________}}{\\begin{array}{ccc}\\hfill \\phantom{\\rule{2.2em}{0ex}}{S}_{n}&amp; =\\hfill &amp; {a}_{1}+{a}_{1}r+{a}_{1}{r}^{2}+{a}_{1}{r}^{3}+\\dots +{a}_{1}{r}^{n-1}\\hfill \\\\ \\hfill \\phantom{\\rule{2.2em}{0ex}}r{S}_{n}&amp; =\\hfill &amp; \\phantom{\\rule{2.1em}{0ex}}{a}_{1}r+{a}_{1}{r}^{2}+{a}_{1}{r}^{3}+\\dots +{a}_{1}{r}^{n-1}+{a}_{1}{r}^{n}\\hfill \\end{array}}\\hfill \\\\ \\\\ {S}_{n}-r{S}_{n}\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}=\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}{a}_{1}\\phantom{\\rule{16.2em}{0ex}}{\\mathit{\\text{\u2212a}}}_{1}{r}^{n}\\hfill \\end{array}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{We factor both sides.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill {S}_{n}\\left(1-r\\right)={a}_{1}\\left(1-{r}^{n}\\right)\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{To obtain the formula for}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{S}_{n},\\hfill \\\\ \\text{divide both sides by}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\left(1-r\\right).\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2.7em}{0ex}}{S}_{n}=\\frac{{a}_{1}\\left(1-{r}^{n}\\right)}{1-r}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835596184\"><div data-type=\"title\">Sum of the First <em data-effect=\"italics\">n<\/em> Terms of a Geometric Series<\/div><p id=\"fs-id1167834448999\">The sum, \\({S}_{n},\\) of the first <em data-effect=\"italics\">n<\/em> terms of a geometric sequence is<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835347299\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({S}_{n}=\\frac{{a}_{1}\\left(1-{r}^{n}\\right)}{1-r}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167834132911\">where \\({a}_{1}\\) is the first term and <em data-effect=\"italics\">r<\/em> is the common ratio, and <em data-effect=\"italics\">r<\/em> is not equal to one.<\/p><\/div><p id=\"fs-id1167834190372\">We apply this formula in the next example where the first few terms of the sequence are given. Notice the sum of a geometric sequence typically gets very large when the common ratio is greater than one.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167834423311\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834423313\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834183932\"><p id=\"fs-id1167834183934\">Find the sum of the first 20 terms of the geometric sequence 7, 14, 28, 56, 112, 224, \u2026<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835512761\"><p id=\"fs-id1167835512763\">To find the sum, we will use the formula \\({S}_{n}=\\frac{{a}_{1}\\left(1-{r}^{n}\\right)}{1-r}.\\) We know \\({a}_{1}=7,\\)\\(r=2,\\) and \\(n=20.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167828421539\">\\(\\begin{array}{cccc}\\begin{array}{c}\\text{Knowing}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}_{1}=7,r=2,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n=20,\\hfill \\\\ \\text{use the sum formula.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{S}_{n}=\\frac{{a}_{1}\\left(1-{r}^{n}\\right)}{1-r}\\hfill \\\\ \\text{Substitute in the values.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{S}_{20}=\\frac{7\\left(1-{2}^{20}\\right)}{1-2}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{S}_{20}=7,340,025\\hfill \\end{array}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835320140\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835320143\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831923146\"><p id=\"fs-id1167831923148\">Find the sum of the first 20 terms of the geometric sequence 3, 6, 12, 24, 48, 96, \u2026<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826873960\"><p id=\"fs-id1167826873962\">\\(3,145,725\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835420590\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835420593\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835321865\"><p id=\"fs-id1167835321867\">Find the sum of the first 20 terms of the geometric sequence 6, 18, 54, 162, 486, 1,458, \u2026<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834526499\"><p id=\"fs-id1167834506131\">\\(10,460,353,200\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167831893024\">In the next example, we are given the sum in summation notation. While adding all the terms might be possible, most often it is easiest to use the formula to find the sum of the first <em data-effect=\"italics\">n<\/em> terms.<\/p><p id=\"fs-id1167835362294\">To use the formula, we need <em data-effect=\"italics\">r<\/em>. We can find it by writing out the first few terms of the sequence and find their ratio. Another option is to realize that in summation notation, a sequence is written in the form \\(\\sum _{i=1}^{k}a{\\left(r\\right)}^{i},\\) where <em data-effect=\"italics\">r<\/em> is the common ratio.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835258731\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835258733\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835355708\"><p id=\"fs-id1167835355710\">Find the sum: \\(\\sum _{i=1}^{15}2{\\left(3\\right)}^{i}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830703944\"><p id=\"fs-id1167830703946\">To find the sum, we will use the formula \\({S}_{n}=\\frac{{a}_{1}\\left(1-{r}^{n}\\right)}{1-r},\\) which requires \\({a}_{1}\\) and <em data-effect=\"italics\">r<\/em>. We will write out a few of the terms, so we can get the needed information.<\/p><table id=\"fs-id1167834194712\" summary=\"To find the sum of 2 times 3 to the power of i from 1 to 15, we write out the first few terms as 2 times g times 3 to the power of 1, 2 times g times 3 to the power of 2, 2 times g times 3 to the power of 3, ellipsis, 6, 18, 54. Next, identify a which equals 6. Then find the common ratio of r equals 3, by dividing 18 by 6, 54 divided by 18 or the sum of 2 times 3 i from i equals 1 to 15. Knowing that a equals 6 and r equals 3 and n equals 15, we use the sum formula of s sub n equals a sub 1 times 1 minus r to the power of n divided by 1 minus r. Next we substitute the values to get s sub 15 times 6 times 1 minus 3 to the power of 15 divided by 1 minus 3, and simplify to s sub 15 equals 43,046,718.\" class=\"unnumbered unstyled\" data-label=\"\"><tbody><tr><td><\/td><td data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835301538\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_005a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Write out the first few terms.<\/td><td data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835304628\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_005b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Identify \\({a}_{1}\\).<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835350831\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_005c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>Find the common ratio.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835344520\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_005d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>Knowing \\({a}_{1}=6,\\)\\(r=3,\\) and \\(n=15,\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>use the sum formula.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830703668\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_005e_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Substitute in the values.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834539536\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_005f_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832031206\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_005g_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835305616\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831887724\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831887726\"><p id=\"fs-id1167826996403\">Find the sum: \\(\\sum _{i=1}^{15}6{\\left(2\\right)}^{i}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826997262\"><p id=\"fs-id1167826997264\">\\(393,204\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835234453\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835234456\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835234458\"><p id=\"fs-id1167835370353\">Find the sum: \\(\\sum _{i=1}^{10}5{\\left(2\\right)}^{i}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832053532\"><p id=\"fs-id1167832053534\">\\(10,230\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167835257875\"><h3 data-type=\"title\">Find the Sum of an Infinite Geometric Series<\/h3><p id=\"fs-id1167835337442\">If we take a geometric sequence and add the terms, we have a sum that is called a geometric series. An <span data-type=\"term\">infinite geometric series<\/span> is an infinite sum whose first term is \\({a}_{1}\\) and common ratio is <em data-effect=\"italics\">r<\/em> and is written<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167832056775\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({a}_{1}+{a}_{1}r+{a}_{1}{r}^{2}+\\dots +{a}_{1}{r}^{n-1}+\\dots \\)<\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167826814040\"><div data-type=\"title\">Infinite Geometric Series<\/div><p id=\"fs-id1167835186380\">An <strong data-effect=\"bold\">infinite geometric series<\/strong> is an infinite sum whose first term is \\({a}_{1}\\) and common ratio is <em data-effect=\"italics\">r<\/em> and is written<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835181241\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({a}_{1}+{a}_{1}r+{a}_{1}{r}^{2}+\\dots +{a}_{1}{r}^{n-1}+\\dots \\)<\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834179822\">We know how to find the sum of the first <em data-effect=\"italics\">n<\/em> terms of a geometric series using the formula, \\({S}_{n}=\\frac{{a}_{1}\\left(1-{r}^{n}\\right)}{1-r}.\\) But how do we find the sum of an infinite sum?<\/p><p id=\"fs-id1167835304128\">Let\u2019s look at the infinite geometric series \\(3+6+12+24+48+96+\\dots .\\) Each term gets larger and larger so it makes sense that the sum of the infinite number of terms gets larger. Let\u2019s look at a few partial sums for this series. We see \\({a}_{1}=3\\) and \\(r=2\\)<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834556398\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{ccccccccccccc}\\hfill {S}_{n}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{{a}_{1}\\left(1-{r}^{n}\\right)}{1-r}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{S}_{n}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{{a}_{1}\\left(1-{r}^{n}\\right)}{1-r}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{S}_{n}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{{a}_{1}\\left(1-{r}^{n}\\right)}{1-r}\\hfill \\\\ \\hfill {S}_{10}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{3\\left(1-{2}^{10}\\right)}{1-2}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{S}_{30}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{3\\left(1-{2}^{30}\\right)}{1-2}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{S}_{50}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{3\\left(1-{2}^{50}\\right)}{1-2}\\hfill \\\\ \\hfill {S}_{10}&amp; =\\hfill &amp; 3,069\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{S}_{30}&amp; =\\hfill &amp; 3,221,225,469\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{S}_{50}&amp; \\approx \\hfill &amp; 3.38\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{15}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167834239128\">As <em data-effect=\"italics\">n<\/em> gets larger and larger, the sum gets larger and larger. This is true when \\(|r|\\ge 1\\) and we call the series divergent. We cannot find a sum of an infinite geometric series when \\(|r|\\ge 1.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835361492\">Let\u2019s look at an infinite geometric series whose common ratio is a fraction less than one,<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(\\frac{1}{2}+\\frac{1}{4}+\\frac{1}{8}+\\frac{1}{16}+\\frac{1}{32}+\\frac{1}{64}+\\dots \\). Here the terms get smaller and smaller as <em data-effect=\"italics\">n<\/em> gets larger. Let\u2019s look at a few finite sums for this series. We see \\({a}_{1}=\\frac{1}{2}\\) and \\(r=\\frac{1}{2}.\\)<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167831920231\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{ccccccccccccc}\\hfill {S}_{n}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{{a}_{1}\\left(1-{r}^{n}\\right)}{1-r}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{S}_{n}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{{a}_{1}\\left(1-{r}^{n}\\right)}{1-r}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{S}_{n}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{{a}_{1}\\left(1-{r}^{n}\\right)}{1-r}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\hfill {S}_{10}&amp; \\hfill =&amp; \\frac{\\frac{1}{2}\\left(1-{\\left(\\frac{1}{2}\\right)}^{10}\\right)}{1-\\frac{1}{2}}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{S}_{20}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{\\frac{1}{2}\\left(1-{\\left(\\frac{1}{2}\\right)}^{20}\\right)}{1-\\frac{1}{2}}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{S}_{30}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{\\frac{1}{2}\\left(1-{\\left(\\frac{1}{2}\\right)}^{30}\\right)}{1-\\frac{1}{2}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\hfill {S}_{10}&amp; \\approx \\hfill &amp; .9990234375\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{S}_{20}&amp; \\approx \\hfill &amp; 0.9999990463\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{S}_{30}&amp; \\approx \\hfill &amp; 0.9999999991\\hfill \\end{array}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167835360242\">Notice the sum gets larger and larger but also gets closer and closer to one. When \\(|r|&lt;1,\\) the expression \\({r}^{n}\\) gets smaller and smaller. In this case, we call the series convergent. As <em data-effect=\"italics\">n<\/em> approaches infinity, (gets infinitely large), \\({r}^{n}\\) gets closer and closer to zero. In our sum formula, we can replace the \\({r}^{n}\\) with zero and then we get a formula for the sum, <em data-effect=\"italics\">S<\/em>, for an infinite geometric series when \\(|r|&lt;1.\\)<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835319436\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{ccc}\\hfill {S}_{n}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{{a}_{1}\\left(1-{r}^{n}\\right)}{1-r}\\hfill \\\\ \\hfill {S}_{}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{{a}_{1}\\left(1-0\\right)}{1-r}\\hfill \\\\ \\hfill {S}_{}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{{a}_{1}}{1-r}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167834535304\">This formula gives us the sum of the infinite geometric sequence. Notice the <em data-effect=\"italics\">S<\/em> does not have the subscript <em data-effect=\"italics\">n<\/em> as in \\({S}_{n}\\) as we are not adding a finite number of terms.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834423773\"><div data-type=\"title\">Sum of an Infinite Geometric Series<\/div><p id=\"fs-id1167835333251\">For an infinite geometric series whose first term is \\({a}_{1}\\) and common ratio <em data-effect=\"italics\">r<\/em>,<\/p><p id=\"fs-id1167834439193\">\\(\\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}\\text{If}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}|r|&lt;1,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{the sum is}\\)<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834227337\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({S}_{}=\\frac{{a}_{1}}{1-r}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167834433655\">\\(\\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}\\text{If}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}|r|\\ge 1,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{the infinite geometric series does not have a sum. We say the series diverges.}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835332145\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835332147\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835332149\"><p id=\"fs-id1167830699561\">Find the sum of the infinite geometric series \\(54+18+6+2+\\frac{2}{3}+\\frac{2}{9}+\\dots \\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835279973\"><p id=\"fs-id1167834244263\">To find the sum, we first have to verify that the common ratio \\(|r|&lt;1\\) and then we can use the sum formula \\({S}_{}=\\frac{{a}_{1}}{1-r}.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835362129\">\\(\\begin{array}{ccccccccc}\\text{Find the common ratio.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}r&amp; =\\hfill &amp; \\frac{18}{54}\\hfill &amp; r\\hfill &amp; =\\hfill &amp; \\frac{6}{18}\\dots \\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}r&amp; =\\hfill &amp; \\frac{1}{3}\\hfill &amp; \\hfill r&amp; =\\hfill &amp; \\frac{1}{3}\\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}|r|&lt;1\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Identify}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}_{1}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}{a}_{1}&amp; =\\hfill &amp; 54\\hfill &amp; &amp; &amp; \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Knowing}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}_{1}=54,r=\\frac{1}{3},\\hfill \\\\ \\text{use the sum formula.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}{S}_{}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{{a}_{1}}{1-r}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Substitute in the values.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}{S}_{}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{54}{1-\\frac{1}{3}}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}{S}_{}&amp; =\\hfill &amp; 81\\hfill &amp; &amp; &amp; \\end{array}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835358229\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835358232\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835358234\"><p id=\"fs-id1167834537774\">Find the sum of the infinite geometric series \\(48+24+12+6+3+\\frac{3}{2}+\\dots \\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830699598\"><p id=\"fs-id1167830699600\">96<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167830703303\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830703306\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830703716\"><p id=\"fs-id1167830703718\">Find the sum of the infinite geometric series \\(64+16+4+1+\\frac{1}{4}+\\frac{1}{16}+\\dots \\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835330186\"><p id=\"fs-id1167835330189\">\\(\\frac{256}{3}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167835596706\">An interesting use of infinite geometric series is to write a repeating decimal as a fraction.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835596709\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835596711\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831872304\"><p id=\"fs-id1167831872306\">Write the repeating decimal \\(0.\\stackrel{\u2013}{5}\\) as a fraction.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831910908\"><p id=\"fs-id1167831910910\">\\(\\begin{array}{}\\\\ \\\\ \\text{Rewrite the}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}0.\\stackrel{\u2013}{5}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{showing the repeating five.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{1.2em}{0ex}}0.5555555555555\\text{\u2026}\\hfill \\\\ \\text{Use place value to rewrite this as a sum.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}0.5+0.05+0.005+0.0005+...\\hfill \\\\ \\text{This is an infinite geometric series.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\\\ \\text{Find the common ratio.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{1.2em}{0ex}}r=\\frac{0.05}{0.5}\\phantom{\\rule{1.2em}{0ex}}r=\\frac{0.005}{0.05}\\dots \\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{1.2em}{0ex}}r=0.1\\phantom{\\rule{1.7em}{0ex}}r=0.1\\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}|r|&lt;1\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Identify}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}_{1}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{0.7em}{0ex}}{a}_{1}=0.5\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Knowing}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}_{1}=0.5,r=0.1,\\hfill \\\\ \\text{use the sum formula.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}{S}_{}=\\frac{{a}_{1}}{1-r}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Substitute in the values.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}{S}_{}=\\frac{0.5}{1-0.1}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}{S}_{}=\\frac{0.5}{0.9}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Multiply numerator and denominator by 10.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}{S}_{}=\\frac{5}{9}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{We are asked to find the fraction form.}\\hfill &amp; &amp; &amp; 0.\\stackrel{\u2013}{5}=\\frac{5}{9}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167826804626\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826804630\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826804632\"><p id=\"fs-id1167826804634\">Write the repeating decimal \\(0.\\stackrel{\u2013}{4}\\) as a fraction.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826997310\"><p id=\"fs-id1167826997312\">\\(\\frac{4}{9}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167831025316\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835254045\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835254047\"><p id=\"fs-id1167835254049\">Write the repeating decimal \\(0.\\stackrel{\u2013}{8}\\) as a fraction.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835300386\"><p id=\"fs-id1167834430745\">\\(\\frac{8}{9}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167831923398\"><h3 data-type=\"title\">Apply Geometric Sequences and Series in the Real World<\/h3><p id=\"fs-id1167831923403\">One application of geometric sequences has to do with consumer spending. If a tax rebate is given to each household, the effect on the economy is many times the amount of the individual rebate.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167834301246\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834301249\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834301251\"><p id=\"fs-id1167834301253\">The government has decided to give a ?1,000 tax rebate to each household in order to stimulate the economy. The government statistics say that each household will spend 80% of the rebate in goods and services. The businesses and individuals who benefitted from that 80% will then spend 80% of what they received and so on. The result is called the multiplier effect. What is the total effect of the rebate on the economy?<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835320121\"><p id=\"fs-id1167835320123\">Every time money goes into the economy, 80% of it is spent and is then in the economy to be spent. Again, 80% of this money is spent in the economy again. This situation continues and so leads us to an infinite geometric series.<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835319221\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(1000+1000\\left(0.8\\right)+1000{\\left(0.8\\right)}^{2}+\\dots \\)<\/div><p id=\"fs-id1167834301186\">Here the first term is 1,000, \\({a}_{1}=1000.\\) The common ratio is \\(0.8,\\)\\(r=0.8.\\) We can evaluate this sum since \\(0.8&lt;1.\\) We use the formula for the sum on an infinite geometric series.<\/p><p id=\"fs-id1167826782561\">\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}{S}_{}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{{a}_{1}}{1-r}\\hfill \\\\ \\text{Substitute in the values,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}_{1}=1,000\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}r=0.8.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}{S}_{}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{1,000}{1-0.8}\\hfill \\\\ \\text{Evaluate.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}{S}_{}&amp; =\\hfill &amp; 5,000\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835509966\">The total effect of the ?1,000 received by each household will be a ?5,000 growth in the economy.<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834214080\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834214083\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834214085\"><p id=\"fs-id1167834189673\">What is the total effect on the economy of a government tax rebate of ?1,000 to each household in order to stimulate the economy if each household will spend 90% of the rebate in goods and services?<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834189679\"><p id=\"fs-id1167834189681\">\\(\\text{?}10,000\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834185503\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832053317\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832053319\"><p id=\"fs-id1167832053322\">What is the total effect on the economy of a government tax rebate of ?500 to each household in order to stimulate the economy if each household will spend 85% of the rebate in goods and services?<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834119867\"><p id=\"fs-id1167834119869\">\\(\\text{?}3,333.33\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834195816\">We have looked at a compound interest formula where a principal, <em data-effect=\"italics\">P<\/em>, is invested at an interest rate, <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, for <em data-effect=\"italics\">t<\/em> years. The new balance, <em data-effect=\"italics\">A<\/em>, is \\(A=P{\\left(1+\\frac{r}{n}\\right)}^{nt}\\) when interest is compounded <em data-effect=\"italics\">n<\/em> times a year. This formula applies when a lump sum was invested upfront and tells us the value after a certain time period.<\/p><p id=\"fs-id1167826803871\">An <span data-type=\"term\">annuity<\/span> is an investment that is a sequence of equal periodic deposits. We will be looking at annuities that pay the interest at the time of the deposits. As we develop the formula for the value of an annuity, we are going to let \\(n=1.\\) That means there is one deposit per year.<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1171792587125\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}A&amp; =\\hfill &amp; P{\\left(1+\\frac{r}{n}\\right)}^{nt}\\hfill \\\\ \\text{Let}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n=1.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}A&amp; =\\hfill &amp; P{\\left(1+\\frac{r}{1}\\right)}^{1t}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}A&amp; =\\hfill &amp; P{\\left(1+r\\right)}^{t}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167835346948\">Suppose <em data-effect=\"italics\">P<\/em> dollars is invested at the end of each year. One year later that deposit is worth \\(P{\\left(1+r\\right)}^{1}\\) dollars, and another year later it is worth \\(P{\\left(1+r\\right)}^{2}\\) dollars. After <em data-effect=\"italics\">t<\/em> years, it will be worth \\(A=P{\\left(1+r\\right)}^{t}\\) dollars.<\/p><table id=\"fs-id1167835320056\" summary=\"This figure shows a table with four rows and four columns. The first row is the header row, beginning at the second column and reads &#x201c;End of year 1&#x201d;, &#x201c;End of year 2,&#x201d; and &#x201c;End of year 3&#x201d;. In the first column, second row, the &#x201c;first deposit P at end of year one&#x201d; is P, the amount 1 year later is P times 1 plus r, Amount 2 years later is P times 1 plus 2 squared. The &#x201c;2nd deposit P at end of year 2&#x201d; is P, and the amount 1 year later is P times 1 plus 2, and the &#x201c;3rd deposit P at end of year 3&#x201d; is P.\" class=\"unnumbered\"><thead><tr valign=\"top\"><th><\/th><th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">End of year 1<\/th><th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">End of year 2<\/th><th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">End of year 3<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">First Deposit <em data-effect=\"italics\">P<\/em><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>@ end of year 1<\/td><td data-valign=\"middle\" data-align=\"center\"><em data-effect=\"italics\">P<\/em><\/td><td data-valign=\"middle\" data-align=\"center\">Amount 1 year later<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(P{\\left(1+r\\right)}^{1}\\)<\/td><td data-valign=\"middle\" data-align=\"center\">Amount 2 years later<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> \\(P{\\left(1+r\\right)}^{2}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">2nd Deposit <em data-effect=\"italics\">P<\/em><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>@ end of year 2<\/td><td><\/td><td data-valign=\"middle\" data-align=\"center\"><em data-effect=\"italics\">P<\/em><\/td><td data-valign=\"middle\" data-align=\"center\">Amount 1 year later<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(P{\\left(1+r\\right)}^{1}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">3<sup>rd<\/sup> Deposit <em data-effect=\"italics\">P<\/em><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>@ end of year 3<\/td><td><\/td><td><\/td><td data-valign=\"middle\" data-align=\"center\"><em data-effect=\"italics\">P<\/em><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167835589642\">After three years, the value of the annuity is<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835589645\" data-alt=\"P plus P times the quantity 1 plus r in parentheses, to the first power, plus P times the quantity 1 plus r, in parentheses, squared. This equals the money deposited at the end of year three, plus the money deposited at the end of year two, plus the money deposited at the end of year 1.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_003_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"P plus P times the quantity 1 plus r in parentheses, to the first power, plus P times the quantity 1 plus r, in parentheses, squared. This equals the money deposited at the end of year three, plus the money deposited at the end of year two, plus the money deposited at the end of year 1.\" \/><\/span><p id=\"fs-id1167834132853\">This a sum of the terms of a geometric sequence where the first term is <em data-effect=\"italics\">P<\/em> and the common ratio is \\(1+r.\\) We substitute these values into the sum formula. Be careful, we have two different uses of <em data-effect=\"italics\">r<\/em>. The <em data-effect=\"italics\">r<\/em> in the sum formula is the common ratio of the sequence. In this case, that is \\(1+r\\) where <em data-effect=\"italics\">r<\/em> is the interest rate.<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1171790249942\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{S}_{t}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{{a}_{1}\\left(1-{r}^{t}\\right)}{1-r}\\hfill \\\\ \\text{Substitute in the values.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{S}_{t}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{P\\left(1-{\\left(1+r\\right)}^{t}\\right)}{1-\\left(1+r\\right)}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{S}_{t}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{P\\left(1-{\\left(1+r\\right)}^{t}\\right)}{\\text{\u2212}r}\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{S}_{t}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{P\\left({\\left(1+r\\right)}^{t}-1\\right)}{r}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167830703697\">Remember our premise was that one deposit was made at the end of each year.<\/p><p id=\"fs-id1167830703700\">We can adapt this formula for <em data-effect=\"italics\">n<\/em> deposits made per year and the interest is compounded <em data-effect=\"italics\">n<\/em> times a year.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835319194\"><div data-type=\"title\">Value of an Annuity with Interest Compounded \\(n\\) Times a Year<\/div><p id=\"fs-id1167826783275\">For a principal, <em data-effect=\"italics\">P<\/em>, invested at the end of a compounding period, with an interest rate, <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, which is compounded <em data-effect=\"italics\">n<\/em> times a year, the new balance, <em data-effect=\"italics\">A,<\/em> after <em data-effect=\"italics\">t<\/em> years, is<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167826781214\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({A}_{t}=\\frac{P\\left({\\left(1+\\frac{r}{n}\\right)}^{nt}-1\\right)}{\\frac{r}{n}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167826780675\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826780677\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826780679\"><p id=\"fs-id1167826780681\">New parents decide to invest ?100 per month in an annuity for their baby daughter. The account will pay 5% interest per year which is compounded monthly. How much will be in the child\u2019s account at her eighteenth birthday?<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826873522\"><p id=\"fs-id1167826873525\">To find the Annuity formula, \\({A}_{t}=\\frac{P\\left({\\left(1+\\frac{r}{n}\\right)}^{nt}-1\\right)}{\\frac{r}{n}},\\) we need to identify <em data-effect=\"italics\">P<\/em>, <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, <em data-effect=\"italics\">n<\/em>, and <em data-effect=\"italics\">t<\/em>.<\/p><p id=\"fs-id1167831911113\">\\(\\begin{array}{cccc}\\text{Identify}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}P\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{the amount invested each month.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}P=100\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Identify}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}r\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{the annual interest rate, in decimal form.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}r=0.05\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Identify}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{the number of times the deposit}\\hfill \\\\ \\text{will be made and the interest compounded}\\hfill \\\\ \\text{each year.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}n=12\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Identify}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}t\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{the number of years.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}t=18\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Knowing}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}P=100,r=0.05,n=12\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{and}\\hfill \\\\ t=18,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{use the sum formula.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{A}_{t}=\\frac{P\\left({\\left(1+\\frac{r}{n}\\right)}^{nt}-1\\right)}{\\frac{r}{n}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Substitute in the values.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{A}_{t}=\\frac{100\\left({\\left(1+\\frac{0.05}{12}\\right)}^{12\u00b718}-1\\right)}{\\frac{0.05}{12}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the calculator to evaluate. Be sure to}\\hfill \\\\ \\text{use parentheses as needed.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{A}_{t}=34,920.20\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\text{The child will have}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{?}34,920.20\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{when she turns 18.}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834535642\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834535646\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834535648\"><p id=\"fs-id1167834535650\">New grandparents decide to invest ?200 per month in an annuity for their grandson. The account will pay 5% interest per year which is compounded monthly. How much will be in the child\u2019s account at his twenty-first birthday?<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826874157\"><p id=\"fs-id1167826874159\">\\(\\text{?}88,868.36\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167826874171\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826874175\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826874177\"><p id=\"fs-id1167826874180\">Arturo just got his first full-time job after graduating from college at age 27. He decided to invest ?200 per month in an IRA (an annuity). The interest on the annuity is 8%, which is compounded monthly. How much will be in the Arturo\u2019s account when he retires at his sixty-seventh birthday?<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826874184\"><p id=\"fs-id1167831921078\">\\(\\text{?}698,201.57\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167831921090\" class=\"media-2\"><p id=\"fs-id1167831921094\">Access these online resources for additional instruction and practice with sequences.<\/p><ul id=\"fs-id1167831921097\" data-display=\"block\"><li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37GeomSequence\">Geometric Sequences<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37GeometricSer\">Geometric Series<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37FutValAnnGeoS\">Future Value Annuities and Geometric Series<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37AppGeomSerTax\">Application of a Geometric Series: Tax Rebate<\/a><\/li><\/ul><\/div><\/div><div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167826779289\"><h3 data-type=\"title\">Key Concepts<\/h3><ul id=\"fs-id1167826779296\" data-bullet-style=\"bullet\"><li><strong data-effect=\"bold\">General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th term) of a Geometric Sequence:<\/strong> The general term of a geometric sequence with first term \\({a}_{1}\\) and the common ratio <em data-effect=\"italics\">r<\/em> is<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> <div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167831923027\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({a}_{n}={a}_{1}{r}^{n-1}\\)<\/div><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Sum of the First <em data-effect=\"italics\">n<\/em> Terms of a Geometric Series:<\/strong> The sum, \\({S}_{n},\\) of the <em data-effect=\"italics\">n<\/em> terms of a geometric sequence is<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> <div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167830924142\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({S}_{n}=\\frac{{a}_{1}\\left(1-{r}^{n}\\right)}{1-r}\\)<\/div><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> where \\({a}_{1}\\) is the first term and <em data-effect=\"italics\">r<\/em> is the common ratio.<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Infinite Geometric Series:<\/strong> An infinite geometric series is an infinite sum whose first term is \\({a}_{1}\\) and common ratio is <em data-effect=\"italics\">r<\/em> and is written<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> <div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835370588\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({a}_{1}+{a}_{1}r+{a}_{1}{r}^{2}+\\dots +{a}_{1}{r}^{n-1}+\\dots \\)<\/div><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Sum of an Infinite Geometric Series:<\/strong> For an infinite geometric series whose first term is \\({a}_{1}\\) and common ratio <em data-effect=\"italics\">r<\/em>,<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> \\(\\begin{array}{}\\\\ \\\\ \\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}\\text{If}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}|r|&lt;1,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{the sum is}\\hfill \\\\ \\\\ \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}{S}_{}=\\frac{{a}_{1}}{1-r}\\hfill \\\\ \\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}\\text{We say the series converges.}\\hfill \\\\ \\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}\\text{If}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}|r|\\ge 1,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{the infinite geometric series does not have a sum. We say the series diverges.}\\hfill \\end{array}\\) <\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Value of an Annuity with Interest Compounded<\/strong>\\(n\\)<strong data-effect=\"bold\">Times a Year:<\/strong> For a principal, <em data-effect=\"italics\">P<\/em>, invested at the end of a compounding period, with an interest rate, <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, which is compounded <em data-effect=\"italics\">n<\/em> times a year, the new balance, <em data-effect=\"italics\">A<\/em>, after <em data-effect=\"italics\">t<\/em> years, is<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> <div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167826874367\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({A}_{t}=\\frac{P\\left({\\left(1+\\frac{r}{n}\\right)}^{nt}-1\\right)}{\\frac{r}{n}}\\)<\/div><\/li><\/ul><\/div><div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167826781174\"><div class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167826781178\"><h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4><p id=\"fs-id1167826781185\"><strong data-effect=\"bold\">Determine if a Sequence is Geometric<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167826781192\">In the following exercises, determine if the sequence is geometric, and if so, indicate the common ratio.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826781196\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826781198\"><p id=\"fs-id1167826781200\">\\(3,12,48,192,768,3072\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826874977\"><p id=\"fs-id1167826874980\">The sequence is geometric with common ratio \\(r=4.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834131052\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834131054\"><p id=\"fs-id1167834131056\">\\(2,10,50,250,1250,6250\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834129937\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834129939\"><p id=\"fs-id1167834129941\">\\(48,24,12,6,3,\\frac{3}{2}\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826782007\"><p id=\"fs-id1167826782009\">The sequence is geometric with common ratio \\(r=\\frac{1}{2}.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826779330\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826779332\"><p id=\"fs-id1167826779334\">\\(54,18,6,2,\\frac{2}{3},\\frac{2}{9}\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834134986\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834134988\"><p id=\"fs-id1167834132866\">\\(-3,6,-12,24,-48,96\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834132899\"><p id=\"fs-id1167834132901\">The sequence is geometric with common ratio \\(r=-2.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826781227\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826781229\"><p id=\"fs-id1167826781231\">\\(2,-6,18,-54,162,-486\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167826804650\">In the following exercises, determine if each sequence is arithmetic, geometric or neither. If arithmetic, indicate the common difference. If geometric, indicate the common ratio.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826804654\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826804657\"><p id=\"fs-id1167826804659\">\\(48,24,12,6,3,\\frac{3}{2}\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831920168\"><p id=\"fs-id1167831920170\">The sequence is geometric with common ratio \\(r=\\frac{1}{2}.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831920189\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831920191\"><p id=\"fs-id1167831920193\">\\(12,6,0,-6,-12,-18\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834130791\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834130793\"><p id=\"fs-id1167834130795\">\\(-7,-2,3,8,13,18\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826874238\"><p id=\"fs-id1167826874240\">The sequence is arithmetic with common difference \\(d=5.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826874256\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826874258\"><p id=\"fs-id1167826874261\">\\(5,9,13,17,21\\text{,}25\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826874330\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826874332\"><p id=\"fs-id1167826874334\">\\(\\frac{1}{2},\\frac{1}{4},\\frac{1}{8},\\frac{1}{16},\\frac{1}{32},\\frac{1}{64}\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834131662\"><p id=\"fs-id1167834131665\">The sequence is geometric with common ratio \\(r=\\frac{1}{2}.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834131291\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834131293\"><p id=\"fs-id1167834131296\">\\(4,8,12,24,48,96\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834131336\">In the following exercises, write the first five terms of each geometric sequence with the given first term and common ratio.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834131340\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834426073\"><p id=\"fs-id1167834426075\">\\({a}_{1}=4\\) and \\(r=3\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834426099\"><p id=\"fs-id1167834426101\">\\(4,12,36,108,324\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834426127\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834426129\"><p id=\"fs-id1167826873630\">\\({a}_{1}=9\\) and \\(r=2\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826873683\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826873685\"><p id=\"fs-id1167826873687\">\\({a}_{1}=-4\\) and \\(r=-2\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826873914\"><p id=\"fs-id1167826873917\">\\(-4,8,-16,32,-64\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826873942\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826873944\"><p id=\"fs-id1167826873946\">\\({a}_{1}=-5\\) and \\(r=-3\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831921233\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831921235\"><p id=\"fs-id1167831921237\">\\({a}_{1}=27\\) and \\(r=\\frac{1}{3}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834300898\"><p id=\"fs-id1167834300900\">\\(27,9,3,1,\\frac{1}{3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834300929\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834300931\"><p id=\"fs-id1167834300933\">\\({a}_{1}=64\\) and \\(r=\\frac{1}{4}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167835575778\"><strong data-effect=\"bold\">Find the General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th Term) of a Geometric Sequence<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167835575788\">In the following exercises, find the indicated term of a sequence where the first term and the common ratio is given.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835575792\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835575794\"><p id=\"fs-id1167835575796\">Find \\({a}_{11}\\) given \\({a}_{1}=8\\) and \\(r=3.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834130848\"><p id=\"fs-id1167834130850\">\\(472,392\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834130858\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834130861\"><p id=\"fs-id1167834130863\">Find \\({a}_{13}\\) given \\({a}_{1}=7\\) and \\(r=2.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834131420\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834131422\"><p id=\"fs-id1167834131425\">Find \\({a}_{10}\\) given \\({a}_{1}=-6\\) and \\(r=-2.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834131462\"><p id=\"fs-id1167834131464\">3,072<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834131469\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826803921\"><p id=\"fs-id1167826803923\">Find \\({a}_{15}\\) given \\({a}_{1}=-4\\) and \\(r=-3.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826803971\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826803974\"><p id=\"fs-id1167826803976\">Find \\({a}_{10}\\) given \\({a}_{1}=100,000\\) and \\(r=0.1.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826803772\"><p id=\"fs-id1167826803774\">\\(0.0001\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826803783\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826803785\"><p id=\"fs-id1167826803787\">Find \\({a}_{8}\\) given \\({a}_{1}=1,000,000\\) and \\(r=0.01.\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167831920930\">In the following exercises, find the indicated term of the given sequence. Find the general term for the sequence.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831920935\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831920937\"><p id=\"fs-id1167831920939\">Find \\({a}_{9}\\) of the sequence, \\(9,18,36,72,144,288\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831920982\"><p id=\"fs-id1167831920984\">\\({a}_{9}=2,304.\\) The general term is \\({a}_{n}=9{\\left(2\\right)}^{n-1}.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826780616\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826780618\"><p id=\"fs-id1167826780621\">Find \\({a}_{12}\\) of the sequence, \\(5,15,45,135,405,1215\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826781153\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826781156\"><p id=\"fs-id1167826873547\">Find \\({a}_{15}\\) of the sequence, \\(-486,162,-54,18,-6,2\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826873590\"><p id=\"fs-id1167826873592\">\\({a}_{15}=-\\frac{2}{19,683}.\\) The general term is \\({a}_{n}=-486{\\left(-\\frac{1}{3}\\right)}^{n-1}.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831832232\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831832234\"><p id=\"fs-id1167831832236\">Find \\({a}_{16}\\) of the sequence, \\(224,-112,56,-28,14,-7\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834135062\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834135064\"><p id=\"fs-id1167834135066\">Find \\({a}_{10}\\) of the sequence, \\(1,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826873765\"><p id=\"fs-id1167826873768\">\\({a}_{10}=0.000000001.\\) The general term is \\({a}_{n}={\\left(0.1\\right)}^{n-1}.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826873819\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826873821\"><p id=\"fs-id1167826873823\">Find \\({a}_{9}\\) of the sequence, \\(1000,100,10,1,0.1,0.01\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834229030\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Sum of the First <em data-effect=\"italics\">n<\/em> terms of a Geometric Sequence<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167834426134\">In the following exercises, find the sum of the first fifteen terms of each geometric sequence.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834426138\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834426140\"><p id=\"fs-id1167834426142\">\\(8,24,72,216,648,1944\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834426176\"><p id=\"fs-id1167834426178\">\\(57,395,624\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834426186\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834426188\"><p id=\"fs-id1167834426190\">\\(7,14,28,56,112,224\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834238707\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834238709\"><p id=\"fs-id1167834238711\">\\(-6,12,-24,48,-96,192\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834238744\"><p id=\"fs-id1167834238746\">\\(-65,538\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834238755\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834238757\"><p id=\"fs-id1167834238759\">\\(-4,12,-36,108,-324,972\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831922348\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831922350\"><p id=\"fs-id1167831922352\">\\(81,27,9,3,1,\\frac{1}{3}\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831922389\"><p id=\"fs-id1167831922391\">\\(\\frac{7,174,453}{59,049}\\approx 121.5\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831922409\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831922411\"><p id=\"fs-id1167831922413\">\\(256,64,16,4,1,\\frac{1}{4},\\frac{1}{16}\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834065710\">In the following exercises, find the sum of the geometric sequence.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834065713\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834065715\"><p id=\"fs-id1167834065718\">\\(\\sum _{i=1}^{15}{\\left(2\\right)}^{i}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834065753\"><p id=\"fs-id1167834065755\">\\(65,534\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834065763\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834065765\"><p id=\"fs-id1167834539334\">\\(\\sum _{i=1}^{10}{\\left(3\\right)}^{i}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834539380\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834539382\"><p id=\"fs-id1167834539384\">\\(\\sum _{i=1}^{9}4{\\left(2\\right)}^{i}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834539421\"><p id=\"fs-id1167834539423\">\\(4088\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834539431\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834539433\"><p id=\"fs-id1167834130609\">\\(\\sum _{i=1}^{8}5{\\left(3\\right)}^{i}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834130656\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834130658\"><p id=\"fs-id1167834130660\">\\(\\sum _{i=1}^{10}9{\\left(\\frac{1}{3}\\right)}^{i}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834130702\"><p id=\"fs-id1167834130704\">\\(\\frac{29,524}{6561}\\approx 4.5\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826788454\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826788456\"><p id=\"fs-id1167826788458\">\\(\\sum _{i=1}^{15}4{\\left(\\frac{1}{2}\\right)}^{i}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167826788520\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Sum of an Infinite Geometric Series<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167826788526\">In the following exercises, find the sum of each infinite geometric series.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826788529\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826788532\"><p id=\"fs-id1167826788534\">\\(1+\\frac{1}{3}+\\frac{1}{9}+\\frac{1}{27}+\\frac{1}{81}+\\frac{1}{243}+\\frac{1}{729}+\\dots \\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830705562\"><p id=\"fs-id1167830705565\">\\(\\frac{3}{2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830705576\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830705578\"><p id=\"fs-id1167830705581\">\\(1+\\frac{1}{2}+\\frac{1}{4}+\\frac{1}{8}+\\frac{1}{16}+\\frac{1}{32}+\\frac{1}{64}+\\dots \\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835483697\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835483699\"><p id=\"fs-id1167835483701\">\\(6-2+\\frac{2}{3}-\\frac{2}{9}+\\frac{2}{27}-\\frac{2}{81}+\\dots \\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835483749\"><p id=\"fs-id1167835483751\">\\(\\frac{9}{2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835483763\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835364543\"><p id=\"fs-id1167835364545\">\\(-4+2-1+\\frac{1}{2}-\\frac{1}{4}+\\frac{1}{8}-\\dots \\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835364604\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835364606\"><p id=\"fs-id1167835364608\">\\(6+12+24+48+96+192+\\dots \\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835364641\"><p id=\"fs-id1167835364644\">no sum as \\(r\\ge 1\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830703805\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830703807\"><p id=\"fs-id1167830703809\">\\(5+15+45+135+405+1215+\\dots \\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830703858\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830703860\"><p id=\"fs-id1167830703862\">\\(1,024+512+256+128+64+32+\\dots \\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830703896\"><p id=\"fs-id1167830703898\">2,048<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830703903\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830703905\"><p id=\"fs-id1167826781468\">\\(6,561+2187+729+243+81+27+\\dots \\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167826781509\">In the following exercises, write each repeating decimal as a fraction.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826781512\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826781514\"><p id=\"fs-id1167826781516\">\\(0.\\stackrel{\u2013}{3}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826781532\"><p id=\"fs-id1167826781534\">\\(\\frac{1}{3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826781546\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826781548\"><p id=\"fs-id1167826781550\">\\(0.\\stackrel{\u2013}{6}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835595830\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835595832\"><p id=\"fs-id1167835595834\">\\(0.\\stackrel{\u2013}{7}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835595851\"><p id=\"fs-id1167835595853\">\\(\\frac{7}{9}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835595865\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835595867\"><p id=\"fs-id1167835595869\">\\(0.\\stackrel{\u2013}{2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835595900\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835595902\"><p id=\"fs-id1167835595904\">\\(0.\\stackrel{\u2014}{45}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835595922\"><p id=\"fs-id1167835595924\">\\(\\frac{5}{11}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835595937\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834130898\"><p id=\"fs-id1167834130900\">\\(0.\\stackrel{\u2014}{27}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834130933\"><strong data-effect=\"bold\">Apply Geometric Sequences and Series in the Real World<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167834130939\">In the following exercises, solve the problem.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834130942\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834130944\"><p id=\"fs-id1167834130946\">Find the total effect on the economy of each government tax rebate to each household in order to stimulate the economy if each household will spend the indicated percent of the rebate in goods and services.<\/p><table id=\"fs-id1167834130950\" class=\"unnumbered\" summary=\".\"><thead><tr valign=\"top\"><th><\/th><th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Tax rebate to each household<\/th><th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Percent spent on goods and services<\/th><th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Total Effect on the economy<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\text{?}1,000\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(85\\text{%}\\)<\/td><td><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\text{?}1,000\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(75\\text{%}\\)<\/td><td><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\text{?}1,500\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(90\\text{%}\\)<\/td><td><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span class=\"token\">\u24d3<\/span><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\text{?}1,500\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(80\\text{%}\\)<\/td><td><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831896586\"><p id=\"fs-id1167831896589\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\text{?}6666.67\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{?}4000\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\text{?}15,000\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\text{?}7500\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831896637\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831896639\"><p id=\"fs-id1167831896642\">New grandparents decide to invest \\(\\text{?}100\\) per month in an annuity for their grandchild. The account will pay \\(6\\text{%}\\) interest per year which is compounded monthly (12 times a year). How much will be in the child\u2019s account at their twenty-first birthday?<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834062587\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834062589\"><p id=\"fs-id1167834062591\">Berenice just got her first full-time job after graduating from college at age 30. She decided to invest \\(\\text{?}500\\) per quarter in an IRA (an annuity). The interest on the annuity is \\(7\\text{%}\\) which is compounded quarterly (4 times a year). How much will be in the Berenice\u2019s account when she retires at age 65?<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834062613\"><p id=\"fs-id1167834062615\">\\(\\text{?}295,581.88\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834062626\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834062628\"><p id=\"fs-id1167834062630\">Alice wants to purchase a home in about five years. She is depositing \\(\\text{?}500\\) a month into an annuity that earns \\(5\\text{%}\\) per year that is compounded monthly (12 times a year). How much will Alice have for her down payment in five years?<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834062663\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834062665\"><p id=\"fs-id1167834062667\">Myra just got her first full-time job after graduating from college. She plans to get a master\u2019s degree, and so is depositing \\(\\text{?}2,500\\) a year from her year-end bonus into an annuity. The annuity pays \\(6.5\\text{%}\\) per year and is compounded yearly. How much will she have saved in five years to pursue her master\u2019s degree?<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834062690\"><p id=\"fs-id1167834062692\">\\(\\text{?}14,234.10\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div class=\"writing\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167835321466\"><h4 data-type=\"title\">Writing Exercises<\/h4><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835321473\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835321476\"><p id=\"fs-id1167835321478\">In your own words, explain how to determine whether a sequence is geometric.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835321489\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835321492\"><p id=\"fs-id1167835321494\">In your own words, explain how to find the general term of a geometric sequence.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835321498\"><p id=\"fs-id1167835321500\">Answers will vary.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835321505\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835321508\"><p id=\"fs-id1167835321510\">In your own words, explain the difference between a geometric sequence and a geometric series.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835321522\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835321524\"><p id=\"fs-id1167835321527\">In your own words, explain how to determine if an infinite geometric series has a sum and how to find it.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835321532\"><p id=\"fs-id1167835321534\">Answers will vary.<\/p><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167835321540\"><h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835321553\" data-alt=\"This figure shows seven rows and four columns. The first row is the header row and reads, &#x201c;I can&#x201d;, &#x201c;Confidently&#x201d;, &#x201c;With some help&#x201d;, and &#x201c;No, I don&#x2019;t get it. The first column reads, &#x201c;Determine if a sequence is geometric&#x201d;, &#x201c;Find the general term (nth term) of a&#x201d;, &#x201c;Geometric sequence&#x201d;, &#x201c;Find the sum of an Infinite geometric series&#x201d;, Use geometric sequences to solve applications&#x201d;. The remaining columns are blank.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_201_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows seven rows and four columns. The first row is the header row and reads, &#x201c;I can&#x201d;, &#x201c;Confidently&#x201d;, &#x201c;With some help&#x201d;, and &#x201c;No, I don&#x2019;t get it. The first column reads, &#x201c;Determine if a sequence is geometric&#x201d;, &#x201c;Find the general term (nth term) of a&#x201d;, &#x201c;Geometric sequence&#x201d;, &#x201c;Find the sum of an Infinite geometric series&#x201d;, Use geometric sequences to solve applications&#x201d;. The remaining columns are blank.\" \/><\/span><p id=\"fs-id1167835321561\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p><p id=\"fs-id1167835321570\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> What does this checklist tell you about your mastery of this section? What steps will you take to improve?<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"glossary\" class=\"textbox shaded\"><h3 data-type=\"glossary-title\">Glossary<\/h3><dl id=\"fs-id1167835321583\"><dt>annuity<\/dt><dd id=\"fs-id1167835321588\">An annuity is an investment that is a sequence of equal periodic deposits.<\/dd><\/dl><dl id=\"fs-id1167835468374\"><dt>common ratio<\/dt><dd id=\"fs-id1167835468378\">The ratio between consecutive terms in a geometric sequence, \\(\\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}},\\) is <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, the common ratio, where <em data-effect=\"italics\">r<\/em> greater than or equal to two.<\/dd><\/dl><dl id=\"fs-id1167835468417\"><dt>geometric sequence<\/dt><dd id=\"fs-id1167835468421\">A geometric sequence is a sequence where the ratio between consecutive terms is always the same<\/dd><\/dl><dl id=\"fs-id1167835468427\"><dt>infinite geometric series<\/dt><dd id=\"fs-id1167835468431\">An infinite geometric series is an infinite sum infinite geometric sequence.<\/dd><\/dl><\/div>","rendered":"<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\">\n<h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>\n<p>By the end of this section, you will be able to: <\/p>\n<ul>\n<li>Determine if a sequence is geometric<\/li>\n<li>Find the general term (nth term) of a geometric sequence<\/li>\n<li>Find the sum of the first <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> terms of a geometric sequence<\/li>\n<li>Find the sum of an infinite geometric series<\/li>\n<li>Apply geometric sequences and series in the real world<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834528308\" class=\"be-prepared\">\n<p id=\"fs-id1167832015931\">Before you get started, take this readiness quiz.<em data-effect=\"italics\"><\/em><\/p>\n<ol id=\"fs-id1167835351511\" type=\"1\">\n<li>Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6400d817e8272122940e1c62cd2a7767_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#52;&#125;&#123;&#51;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/425620d9-51dd-45e5-8a21-953998a4a77f#fs-id1167836620030\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>Evaluate: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3e51d6feba44ebe62d8639ff84d02323_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f6b2fa2acef409322cce52ff6ba31132_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/05eab039-6d1c-4d80-8c8c-94469164a52c#fs-id1167834536158\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df5481524506a246d98023741e702293_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#52;&middot;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#120;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> find <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-91ba6dcc1b657dfb8a4f15162ee96b42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a73d5ba7eb27f0c2b0aa8c3e74588a43_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2d15f1465e8ad2b3d524cbce299db86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/5e548626-8f0f-496d-ab87-4f0358ca2fd3#fs-id1167829859398\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167834193892\">\n<h3 data-type=\"title\">Determine if a Sequence is Geometric<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167835334993\">We are now ready to look at the second special type of sequence, the geometric sequence.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835355580\">A sequence is called a <span data-type=\"term\">geometric sequence<\/span> if the ratio between consecutive terms is always the same. The ratio between consecutive terms in a geometric sequence is <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, the <span data-type=\"term\">common ratio<\/span>, where <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is greater than or equal to two.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835347830\">\n<div data-type=\"title\">Geometric Sequence<\/div>\n<p id=\"fs-id1167835319982\">A <strong data-effect=\"bold\">geometric sequence<\/strong> is a sequence where the ratio between consecutive terms is always the same.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835511293\">The ratio between consecutive terms, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d928c2a4d8f6a457c7a0f8902c8852d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/> is <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, the <strong data-effect=\"bold\">common ratio<\/strong>. <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is greater than or equal to two.<\/p>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834099621\">Consider these sequences.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831883125\" data-alt=\"This figure shows two sets of sequences where r is the common ratio.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_001_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows two sets of sequences where r is the common ratio.\" \/><\/span><\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835381313\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832057866\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835361068\">\n<p id=\"fs-id1167835217802\">Determine if each sequence is geometric. If so, indicate the common ratio.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167831920432\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d06c16babc64a95a7fbe34e35408cf93_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#44;&#56;&#44;&#49;&#54;&#44;&#51;&#50;&#44;&#54;&#52;&#44;&#49;&#50;&#56;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"141\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835330694\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2caee557368a07ca36bb8b0a6c8926ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#50;&#44;&#54;&#44;&#45;&#49;&#50;&#44;&#51;&#54;&#44;&#45;&#55;&#50;&#44;&#50;&#49;&#54;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"182\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167831821941\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a33b820ed627c0c36b5c063d6b575082_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#55;&#44;&#57;&#44;&#51;&#44;&#49;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#57;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835360295\">\n<p id=\"fs-id1167830702675\">To determine if the sequence is geometric, we find the ratio of the consecutive terms shown.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167834432782\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25c6812a4282e29badaf051dbf36eb4f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#125;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#70;&#105;&#110;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#114;&#97;&#116;&#105;&#111;&#32;&#111;&#102;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#32;&#99;&#111;&#110;&#115;&#101;&#99;&#117;&#116;&#105;&#118;&#101;&#32;&#116;&#101;&#114;&#109;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#55;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#52;&#44;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#56;&#44;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#49;&#54;&#44;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#51;&#50;&#44;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#54;&#52;&#44;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#49;&#50;&#56;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#125;&#123;&#52;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#54;&#125;&#123;&#56;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#50;&#125;&#123;&#49;&#54;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#52;&#125;&#123;&#51;&#50;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#50;&#56;&#125;&#123;&#54;&#52;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#104;&#101;&#32;&#115;&#101;&#113;&#117;&#101;&#110;&#99;&#101;&#32;&#105;&#115;&#32;&#103;&#101;&#111;&#109;&#101;&#116;&#114;&#105;&#99;&#46;&#32;&#84;&#104;&#101;&#32;&#99;&#111;&#109;&#109;&#111;&#110;&#32;&#114;&#97;&#116;&#105;&#111;&#32;&#105;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#61;&#50;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"180\" width=\"700\" style=\"vertical-align: -91px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834064474\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d2f1599b0fdf7639dac941fd42344bf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#125;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#70;&#105;&#110;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#114;&#97;&#116;&#105;&#111;&#32;&#111;&#102;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#32;&#99;&#111;&#110;&#115;&#101;&#99;&#117;&#116;&#105;&#118;&#101;&#32;&#116;&#101;&#114;&#109;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#55;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#45;&#50;&#44;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#54;&#44;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#45;&#49;&#50;&#44;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#51;&#54;&#44;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#45;&#55;&#50;&#44;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#50;&#49;&#54;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#125;&#123;&#45;&#50;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#45;&#49;&#50;&#125;&#123;&#54;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#54;&#125;&#123;&#45;&#49;&#50;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#45;&#55;&#50;&#125;&#123;&#51;&#54;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#49;&#54;&#125;&#123;&#45;&#55;&#50;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#45;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#45;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#45;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#45;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#45;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#104;&#101;&#32;&#115;&#101;&#113;&#117;&#101;&#110;&#99;&#101;&#32;&#105;&#115;&#32;&#110;&#111;&#116;&#32;&#103;&#101;&#111;&#109;&#101;&#116;&#114;&#105;&#99;&#46;&#32;&#84;&#104;&#101;&#114;&#101;&#32;&#105;&#115;&#32;&#110;&#111;&#32;&#99;&#111;&#109;&#109;&#111;&#110;&#32;&#114;&#97;&#116;&#105;&#111;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"182\" width=\"727\" style=\"vertical-align: -91px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167826783812\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8611445e412cd35b0a2c0e2732634f68_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#57;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#50;&#55;&#44;&#57;&#44;&#51;&#44;&#49;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#57;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#70;&#105;&#110;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#114;&#97;&#116;&#105;&#111;&#32;&#111;&#102;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#32;&#99;&#111;&#110;&#115;&#101;&#99;&#117;&#116;&#105;&#118;&#101;&#32;&#116;&#101;&#114;&#109;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#57;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#57;&#125;&#123;&#50;&#55;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#57;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#125;&#123;&#49;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#57;&#125;&#125;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#104;&#101;&#32;&#115;&#101;&#113;&#117;&#101;&#110;&#99;&#101;&#32;&#105;&#115;&#32;&#103;&#101;&#111;&#109;&#101;&#116;&#114;&#105;&#99;&#46;&#32;&#84;&#104;&#101;&#32;&#99;&#111;&#109;&#109;&#111;&#110;&#32;&#114;&#97;&#116;&#105;&#111;&#32;&#105;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"242\" width=\"710\" style=\"vertical-align: -116px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834063343\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831117502\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835229282\">\n<p>Determine if each sequence is geometric. If so indicate the common ratio.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835377480\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7baaf276da2845e1d42fc0c845c29241_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#44;&#50;&#49;&#44;&#54;&#51;&#44;&#49;&#56;&#57;&#44;&#53;&#54;&#55;&#44;&#49;&#44;&#55;&#48;&#49;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"185\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835274798\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d59a8e43dee02e12ac433cd91e23ad6c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#52;&#44;&#49;&#54;&#44;&#52;&#44;&#49;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#49;&#54;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"125\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835379498\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7a796c6207a70f166fb6ffe869edaf4c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#44;&#52;&#44;&#49;&#50;&#44;&#52;&#56;&#44;&#50;&#52;&#48;&#44;&#49;&#44;&#52;&#52;&#48;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"167\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835329154\">\n<p id=\"fs-id1167835279634\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> The sequence is geometric with common ratio <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b98ca186bf84e6aa6a05213a89163cf1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"45\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> The sequence is geometric with common ratio <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cd78a10519d2a7202deff40497e962ad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#100;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"48\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> The sequence is not geometric. There is no common ratio.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835318621\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831883059\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834161552\">\n<p id=\"fs-id1167832051758\">Determine if each sequence is geometric. If so indicate the common ratio.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835349793\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-968892c30198cb2c93c891e37af4250b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#53;&#48;&#44;&#45;&#51;&#48;&#44;&#45;&#49;&#53;&#44;&#45;&#53;&#44;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#50;&#125;&#44;&#48;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835254948\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb20571e7a89832c7abd013745eda1f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#44;&#49;&#48;&#44;&#50;&#48;&#44;&#52;&#48;&#44;&#56;&#48;&#44;&#49;&#54;&#48;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835326248\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-12ad3142b1e43948eced3d8de7bfda3a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#56;&#44;&#52;&#44;&#50;&#44;&#49;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"100\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835329145\">\n<p id=\"fs-id1167835367791\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> The sequence is not geometric. There is no common ratio. <span class=\"token\">\u24d1<\/span> The sequence is geometric with common ratio <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c73cc4a7f7662f7dc9844c731b2f4ddd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#50;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"45\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> The sequence is geometric with common ratio <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbfbbb1064daffa205a59eeb111d7be5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167835363007\">If we know the first term, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd6d5e05e9022f1ee8855acce1c293c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and the common ratio, <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, we can list a finite number of terms of the sequence.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835244433\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831923581\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835342807\">\n<p id=\"fs-id1167835341879\">Write the first five terms of the sequence where the first term is 3 and the common ratio is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-256a3011fa22b2ffc8abe8b2bc3337ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#45;&#50;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"59\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835192426\">\n<p id=\"fs-id1167834195479\">We start with the first term and multiply it by the common ratio. Then we multiply that result by the common ratio to get the next term, and so on.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835327493\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d93c249ed2a3b5160d0402df9bd8e81_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#53;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#51;&middot;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#45;&#54;&middot;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#49;&#50;&middot;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#45;&#50;&#52;&middot;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#45;&#54;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#49;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#45;&#50;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#52;&#56;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"53\" width=\"449\" style=\"vertical-align: -23px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167834382518\">The sequence is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b9fca11779c86920640aecaf496cdc5d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#44;&#45;&#54;&#44;&#49;&#50;&#44;&#45;&#50;&#52;&#44;&#52;&#56;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"134\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835376295\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835333321\">\n<p id=\"fs-id1167834423418\">Write the first five terms of the sequence where the first term is 7 and the common ratio is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d2c60842647ebd62dd97279b0118866d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#45;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"59\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835328162\">\n<p id=\"fs-id1167835309022\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0594d773b1c667eea86d54184cf6f938_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#44;&#45;&#50;&#49;&#44;&#54;&#51;&#44;&#45;&#49;&#56;&#57;&#44;&#53;&#54;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"157\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835596436\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831871527\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832054519\">\n<p id=\"fs-id1167830702608\">Write the first five terms of the sequence where the first term is 6 and the common ratio is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89c4d51244ae005b2e08e29b8178caa4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#45;&#52;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834345379\">\n<p id=\"fs-id1167835190400\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-501660657f00438ba2ff1b7c7826bc74_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#44;&#45;&#50;&#52;&#44;&#57;&#54;&#44;&#45;&#51;&#56;&#52;&#44;&#49;&#53;&#51;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"166\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167830703616\">\n<h3 data-type=\"title\">Find the General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th Term) of a Geometric Sequence<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167835344412\">Just as we found a formula for the general term of a sequence and an arithmetic sequence, we can also find a formula for the general term of a geometric sequence.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835186301\">Let\u2019s write the first few terms of the sequence where the first term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and the common ratio is <em data-effect=\"italics\">r<\/em>. We will then look for a pattern.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835254432\" data-alt=\"This figure shows an image of a geometric sequence.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_002_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows an image of a geometric sequence.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835284923\">As we look for a pattern in the five terms above, we see that each of the terms starts with <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0526020c87962a8a5a61ef3f77d6349c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835305520\">The first term, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd6d5e05e9022f1ee8855acce1c293c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is not multiplied by any <em data-effect=\"italics\">r<\/em>. In the second term, the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is multiplied by <em data-effect=\"italics\">r<\/em>. In the third term, the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is multiplied by <em data-effect=\"italics\">r<\/em> two times (<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fa1edd26607fbbf9f3decbca9a89cc12_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&middot;&#114;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> or <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ed350ccf17c117077648ce69ddf142e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>). In the fourth term, the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is multiplied by <em data-effect=\"italics\">r<\/em> three times (<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-892b108645f1ab8ff5a138e8fddb1f1e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&middot;&#114;&middot;&#114;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"25\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> or <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fa125e7adfa2a25080d73eadc20be2b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>) and in the fifth term, the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is multiplied by <em data-effect=\"italics\">r<\/em> four times. In each term, the number of times <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is multiplied by <em data-effect=\"italics\">r<\/em> is one less than the number of the term. This leads us to the following<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834062313\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e419ee2d43c58d1a724134db2fbc49e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167831104046\">\n<div data-type=\"title\">General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th term) of a Geometric Sequence<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834556056\">The general term of a geometric sequence with first term <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and the common ratio <em data-effect=\"italics\">r<\/em> is<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835329706\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e419ee2d43c58d1a724134db2fbc49e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167835610070\">We will use this formula in the next example to find the fourteenth term of a sequence.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835381619\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835344414\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834244317\">\n<p id=\"fs-id1167831908827\">Find the fourteenth term of a sequence where the first term is 64 and the common ratio is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbfbbb1064daffa205a59eeb111d7be5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835262981\">\n<p id=\"fs-id1167835305367\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e919cca7d29b6dfb82c00172a6a005f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#111;&#32;&#102;&#105;&#110;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#102;&#111;&#117;&#114;&#116;&#101;&#101;&#110;&#116;&#104;&#32;&#116;&#101;&#114;&#109;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#52;&#125;&#44;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#117;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#102;&#111;&#114;&#109;&#117;&#108;&#97;&#32;&#119;&#105;&#116;&#104;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#54;&#52;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#117;&#98;&#115;&#116;&#105;&#116;&#117;&#116;&#101;&#32;&#105;&#110;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#118;&#97;&#108;&#117;&#101;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#52;&#125;&#61;&#54;&#52;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#52;&#45;&#49;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#52;&#125;&#61;&#54;&#52;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#52;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#49;&#50;&#56;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"205\" width=\"549\" style=\"vertical-align: -98px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835419129\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835379554\">\n<p id=\"fs-id1167834505260\">Find the thirteenth term of a sequence where the first term is 81 and the common ratio is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cfa185ebf83b6591c42bbd43e89f71ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835311178\">\n<p id=\"fs-id1167835308084\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14ee81941fe884bf3c425ea6480d93e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#54;&#44;&#53;&#54;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835309913\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834190053\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835321621\">\n<p id=\"fs-id1167835420376\">Find the twelfth term of a sequence where the first term is 256 and the common ratio is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50a4c76678c3c73b820f9e32ca79a018_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835512909\">\n<p id=\"fs-id1167835420442\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c6b1e2e7546999bcc32300697c4e43a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#49;&#54;&#44;&#51;&#56;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167835376509\">Sometimes we do not know the common ratio and we must use the given information to find it before we find the requested term.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835421548\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832041513\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835320178\">\n<p id=\"fs-id1167835285033\">Find the twelfth term of the sequence 3, 6, 12, 24, 48, 96, \u2026 Find the general term for the sequence.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831239723\">\n<p id=\"fs-id1167835231455\">To find the twelfth term, we use the formula, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f5aff6ee2247e577302bbb51f5fdf71_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"98\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and so we need to first determine <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and the common ratio <em data-effect=\"italics\">r<\/em>.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835330266\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-40db81b63f17ca5483b2c96ff07fcc69_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#51;&#44;&#54;&#44;&#49;&#50;&#44;&#50;&#52;&#44;&#52;&#56;&#44;&#57;&#54;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#104;&#101;&#32;&#102;&#105;&#114;&#115;&#116;&#32;&#116;&#101;&#114;&#109;&#32;&#105;&#115;&#32;&#116;&#104;&#114;&#101;&#101;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#70;&#105;&#110;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#99;&#111;&#109;&#109;&#111;&#110;&#32;&#114;&#97;&#116;&#105;&#111;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#50;&#125;&#123;&#54;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#52;&#125;&#123;&#49;&#50;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#56;&#125;&#123;&#50;&#52;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#57;&#54;&#125;&#123;&#52;&#56;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#104;&#101;&#32;&#99;&#111;&#109;&#109;&#111;&#110;&#32;&#114;&#97;&#116;&#105;&#111;&#32;&#105;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#61;&#50;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#111;&#32;&#102;&#105;&#110;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#116;&#119;&#101;&#108;&#102;&#116;&#104;&#32;&#116;&#101;&#114;&#109;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#50;&#125;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#117;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#102;&#111;&#114;&#109;&#117;&#108;&#97;&#32;&#119;&#105;&#116;&#104;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#51;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#61;&#50;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#117;&#98;&#115;&#116;&#105;&#116;&#117;&#116;&#101;&#32;&#105;&#110;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#118;&#97;&#108;&#117;&#101;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#50;&#125;&#61;&#51;&middot;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#49;&#50;&#45;&#49;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#50;&#125;&#61;&#51;&middot;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#49;&#49;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#50;&#125;&#61;&#54;&#44;&#49;&#52;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#70;&#105;&#110;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#103;&#101;&#110;&#101;&#114;&#97;&#108;&#32;&#116;&#101;&#114;&#109;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#87;&#101;&#32;&#117;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#102;&#111;&#114;&#109;&#117;&#108;&#97;&#32;&#119;&#105;&#116;&#104;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#51;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#61;&#50;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#51;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"392\" width=\"638\" style=\"vertical-align: -192px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835342731\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831882438\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835331260\">\n<p id=\"fs-id1167834423135\">Find the ninth term of the sequence 6, 18, 54, 162, 486, 1,458, \u2026 Then find the general term for the sequence.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835339159\">\n<p id=\"fs-id1167835309361\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4c231c60e84f331b4450ac85c02efdb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#57;&#125;&#61;&#51;&#57;&#44;&#51;&#54;&#54;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> The general term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2aadd329b6323088c54a88c8f432716d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#54;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835479971\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835332959\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835332531\">\n<p id=\"fs-id1167832054099\">Find the eleventh term of the sequence 7, 14, 28, 56, 112, 224, \u2026 Then find the general term for the sequence.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835259048\">\n<p id=\"fs-id1167835171107\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f0b77da2a4046a1fdf3c9c0c9e1f859_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#49;&#125;&#61;&#55;&#44;&#49;&#54;&#56;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> The general term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b2502b8e33bf8ffc52ab6c1dc13472d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#55;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167835307999\">\n<h3 data-type=\"title\">Find the Sum of the First <em data-effect=\"italics\">n<\/em> Terms of a Geometric Sequence<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167832056860\">We found the sum of both general sequences and arithmetic sequence. We will now do the same for geometric sequences. The sum,<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a7a1b2fb13044ac205ba72c633be5e1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> of the first <em data-effect=\"italics\">n<\/em> terms of a geometric sequence is written as <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d401a137802bfb4bd607618ba29a88f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"219\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> We can write this sum by starting with the first term, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd6d5e05e9022f1ee8855acce1c293c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and keep multiplying by <em data-effect=\"italics\">r<\/em> to get the next term as:<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834192587\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-acd6174d69b0e317b2a50fac2ab3ae1c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#114;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"272\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167831881158\">Let\u2019s also multiply both sides of the equation by <em data-effect=\"italics\">r<\/em>.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835419647\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eb19fc768d2fab42382448652ea4599a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#114;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"279\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167831882929\">Next, we subtract these equations. We will see that when we subtract, all but the first term of the top equation and the last term of the bottom equation subtract to zero.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167831882066\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-37a497d6c1943f5e3e4c85ea1c6cf189_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#117;&#110;&#100;&#101;&#114;&#115;&#101;&#116;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#95;&#125;&#125;&#123;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#114;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;&#32;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#46;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#114;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;&#32;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#45;&#114;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#61;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#54;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#105;&#116;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#97;&#125;&#125;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#87;&#101;&#32;&#102;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#32;&#98;&#111;&#116;&#104;&#32;&#115;&#105;&#100;&#101;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#111;&#32;&#111;&#98;&#116;&#97;&#105;&#110;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#102;&#111;&#114;&#109;&#117;&#108;&#97;&#32;&#102;&#111;&#114;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#44;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#100;&#105;&#118;&#105;&#100;&#101;&#32;&#98;&#111;&#116;&#104;&#32;&#115;&#105;&#100;&#101;&#115;&#32;&#98;&#121;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#46;&#55;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"141\" style=\"vertical-align: -135px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835596184\">\n<div data-type=\"title\">Sum of the First <em data-effect=\"italics\">n<\/em> Terms of a Geometric Series<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834448999\">The sum, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a7a1b2fb13044ac205ba72c633be5e1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> of the first <em data-effect=\"italics\">n<\/em> terms of a geometric sequence is<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835347299\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-abec7048b5c9bd2c1feb2dd63e793b05_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167834132911\">where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is the first term and <em data-effect=\"italics\">r<\/em> is the common ratio, and <em data-effect=\"italics\">r<\/em> is not equal to one.<\/p>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834190372\">We apply this formula in the next example where the first few terms of the sequence are given. Notice the sum of a geometric sequence typically gets very large when the common ratio is greater than one.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167834423311\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834423313\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834183932\">\n<p id=\"fs-id1167834183934\">Find the sum of the first 20 terms of the geometric sequence 7, 14, 28, 56, 112, 224, \u2026<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835512761\">\n<p id=\"fs-id1167835512763\">To find the sum, we will use the formula <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-85045f9eb98439e70ccf2e30f3a96981_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> We know <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df6b6bd47e14cc2fc99c742ab636642f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#55;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3be94fec480868c4a0f703ca6e997c13_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#50;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-273177e8e2291e7503ba3f178d5322d2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#50;&#48;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167828421539\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3db88b2f625d6892f6df75ab60c14def_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#75;&#110;&#111;&#119;&#105;&#110;&#103;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#55;&#44;&#114;&#61;&#50;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#110;&#61;&#50;&#48;&#44;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#117;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#115;&#117;&#109;&#32;&#102;&#111;&#114;&#109;&#117;&#108;&#97;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#117;&#98;&#115;&#116;&#105;&#116;&#117;&#116;&#101;&#32;&#105;&#110;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#118;&#97;&#108;&#117;&#101;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#50;&#48;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#50;&#48;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#50;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#50;&#48;&#125;&#61;&#55;&#44;&#51;&#52;&#48;&#44;&#48;&#50;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"91\" width=\"533\" style=\"vertical-align: -41px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835320140\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835320143\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831923146\">\n<p id=\"fs-id1167831923148\">Find the sum of the first 20 terms of the geometric sequence 3, 6, 12, 24, 48, 96, \u2026<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826873960\">\n<p id=\"fs-id1167826873962\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26eaad3b7f495b0170678bb779e5339f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#44;&#49;&#52;&#53;&#44;&#55;&#50;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835420590\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835420593\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835321865\">\n<p id=\"fs-id1167835321867\">Find the sum of the first 20 terms of the geometric sequence 6, 18, 54, 162, 486, 1,458, \u2026<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834526499\">\n<p id=\"fs-id1167834506131\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26bea198e9a1127c7baf86d8c029556f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#48;&#44;&#52;&#54;&#48;&#44;&#51;&#53;&#51;&#44;&#50;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831893024\">In the next example, we are given the sum in summation notation. While adding all the terms might be possible, most often it is easiest to use the formula to find the sum of the first <em data-effect=\"italics\">n<\/em> terms.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835362294\">To use the formula, we need <em data-effect=\"italics\">r<\/em>. We can find it by writing out the first few terms of the sequence and find their ratio. Another option is to realize that in summation notation, a sequence is written in the form <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03cc5903f59fc0139d725ebb1cd80d0d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#107;&#125;&#97;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> where <em data-effect=\"italics\">r<\/em> is the common ratio.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835258731\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835258733\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835355708\">\n<p id=\"fs-id1167835355710\">Find the sum: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5786df1a478259235e6dffe544e8ac89_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#49;&#53;&#125;&#50;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830703944\">\n<p id=\"fs-id1167830703946\">To find the sum, we will use the formula <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-06998a806a581ecb344869db20b8771c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> which requires <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <em data-effect=\"italics\">r<\/em>. We will write out a few of the terms, so we can get the needed information.<\/p>\n<table id=\"fs-id1167834194712\" summary=\"To find the sum of 2 times 3 to the power of i from 1 to 15, we write out the first few terms as 2 times g times 3 to the power of 1, 2 times g times 3 to the power of 2, 2 times g times 3 to the power of 3, ellipsis, 6, 18, 54. Next, identify a which equals 6. Then find the common ratio of r equals 3, by dividing 18 by 6, 54 divided by 18 or the sum of 2 times 3 i from i equals 1 to 15. Knowing that a equals 6 and r equals 3 and n equals 15, we use the sum formula of s sub n equals a sub 1 times 1 minus r to the power of n divided by 1 minus r. Next we substitute the values to get s sub 15 times 6 times 1 minus 3 to the power of 15 divided by 1 minus 3, and simplify to s sub 15 equals 43,046,718.\" class=\"unnumbered unstyled\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835301538\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_005a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Write out the first few terms.<\/td>\n<td data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835304628\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_005b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Identify <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835350831\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_005c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>Find the common ratio.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835344520\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_005d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>Knowing <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cef99be954998e9d0b6c58ceb3d33daf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#54;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00e23bdfa54506c13ef550425c0b9ae6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#51;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-15fc9e5baae8e851b847f1d911110a57_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#49;&#53;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>use the sum formula.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830703668\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_005e_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Substitute in the values.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834539536\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_005f_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832031206\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_005g_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835305616\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831887724\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831887726\">\n<p id=\"fs-id1167826996403\">Find the sum: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af3fff4eea5a912b386e512ab381f8b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#49;&#53;&#125;&#54;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826997262\">\n<p id=\"fs-id1167826997264\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afcfdb57ad78d0c5a44e3eb943f4354d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#57;&#51;&#44;&#50;&#48;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835234453\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835234456\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835234458\">\n<p id=\"fs-id1167835370353\">Find the sum: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-280e12258c7ba934f3b5baee7d573639_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#125;&#53;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832053532\">\n<p id=\"fs-id1167832053534\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ce53edea41239884137573c83f3ce72b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#48;&#44;&#50;&#51;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167835257875\">\n<h3 data-type=\"title\">Find the Sum of an Infinite Geometric Series<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167835337442\">If we take a geometric sequence and add the terms, we have a sum that is called a geometric series. An <span data-type=\"term\">infinite geometric series<\/span> is an infinite sum whose first term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and common ratio is <em data-effect=\"italics\">r<\/em> and is written<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167832056775\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0912edee8c612ddfb2084a8012fdf1eb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#114;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;&#32;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"277\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167826814040\">\n<div data-type=\"title\">Infinite Geometric Series<\/div>\n<p id=\"fs-id1167835186380\">An <strong data-effect=\"bold\">infinite geometric series<\/strong> is an infinite sum whose first term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and common ratio is <em data-effect=\"italics\">r<\/em> and is written<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835181241\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0912edee8c612ddfb2084a8012fdf1eb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#114;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;&#32;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"277\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834179822\">We know how to find the sum of the first <em data-effect=\"italics\">n<\/em> terms of a geometric series using the formula, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-85045f9eb98439e70ccf2e30f3a96981_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> But how do we find the sum of an infinite sum?<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835304128\">Let\u2019s look at the infinite geometric series <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7645862e47ee18fee8087e9dbaebfe9f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#43;&#54;&#43;&#49;&#50;&#43;&#50;&#52;&#43;&#52;&#56;&#43;&#57;&#54;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;&#32;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"246\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> Each term gets larger and larger so it makes sense that the sum of the infinite number of terms gets larger. Let\u2019s look at a few partial sums for this series. We see <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1332ddc2833b1261df6b3254d81d0d7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0562ab0fec4ce668dc1c02b55f6b3880_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"40\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834556398\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0c38a9e885743118e93332ffd478fa2b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#49;&#48;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#50;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#51;&#48;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#51;&#48;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#50;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#53;&#48;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#53;&#48;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#50;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#49;&#48;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#51;&#44;&#48;&#54;&#57;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#51;&#48;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#51;&#44;&#50;&#50;&#49;&#44;&#50;&#50;&#53;&#44;&#52;&#54;&#57;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#53;&#48;&#125;&#38;&#32;&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#51;&#46;&#51;&#56;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#49;&#53;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"77\" width=\"627\" style=\"vertical-align: -32px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167834239128\">As <em data-effect=\"italics\">n<\/em> gets larger and larger, the sum gets larger and larger. This is true when <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-11f979ac12c9874590c351f681ec5e3a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#124;&#114;&#124;&#92;&#103;&#101;&#32;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"48\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and we call the series divergent. We cannot find a sum of an infinite geometric series when <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba98cea1df012936141310fcf094f6e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#124;&#114;&#124;&#92;&#103;&#101;&#32;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835361492\">Let\u2019s look at an infinite geometric series whose common ratio is a fraction less than one,<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4e1dedb8497fc80c4a485d43b357129_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#56;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#49;&#54;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#50;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#54;&#52;&#125;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"233\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/>. Here the terms get smaller and smaller as <em data-effect=\"italics\">n<\/em> gets larger. Let\u2019s look at a few finite sums for this series. We see <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9659a06694eb52f3a50bbcb37849376_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbfbbb1064daffa205a59eeb111d7be5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167831920231\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8863756441ff4ec2be2870bfbfa291d2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#49;&#48;&#125;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#61;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#50;&#48;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#48;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#51;&#48;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#48;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#49;&#48;&#125;&#38;&#32;&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#46;&#57;&#57;&#57;&#48;&#50;&#51;&#52;&#51;&#55;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#50;&#48;&#125;&#38;&#32;&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#48;&#46;&#57;&#57;&#57;&#57;&#57;&#57;&#48;&#52;&#54;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#51;&#48;&#125;&#38;&#32;&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#48;&#46;&#57;&#57;&#57;&#57;&#57;&#57;&#57;&#57;&#57;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"177\" width=\"682\" style=\"vertical-align: -82px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835360242\">Notice the sum gets larger and larger but also gets closer and closer to one. When <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c4bceaa969ed2d6f7643f048ac3187c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#124;&#114;&#124;&#60;&#49;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> the expression <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38bc8068f40ea485ee9609418c03256c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> gets smaller and smaller. In this case, we call the series convergent. As <em data-effect=\"italics\">n<\/em> approaches infinity, (gets infinitely large), <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38bc8068f40ea485ee9609418c03256c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> gets closer and closer to zero. In our sum formula, we can replace the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38bc8068f40ea485ee9609418c03256c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> with zero and then we get a formula for the sum, <em data-effect=\"italics\">S<\/em>, for an infinite geometric series when <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b2f97e90dee6015a5fccdcf21523ed63_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#124;&#114;&#124;&#60;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835319436\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4530f0749bd8086710e09fe215e3d1c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#48;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"76\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -33px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167834535304\">This formula gives us the sum of the infinite geometric sequence. Notice the <em data-effect=\"italics\">S<\/em> does not have the subscript <em data-effect=\"italics\">n<\/em> as in <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d3fd00fcec69e10f18e3e271846bf48_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"19\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> as we are not adding a finite number of terms.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834423773\">\n<div data-type=\"title\">Sum of an Infinite Geometric Series<\/div>\n<p id=\"fs-id1167835333251\">For an infinite geometric series whose first term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and common ratio <em data-effect=\"italics\">r<\/em>,<\/p>\n<p id=\"fs-id1167834439193\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdd1ccb5bae247009cad77a045304be5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#73;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#124;&#114;&#124;&#60;&#49;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#32;&#115;&#117;&#109;&#32;&#105;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"157\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834227337\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd4cc7a06d56d54f251c84c08070d5ac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"62\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167834433655\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0f09e0a09967745a824a5755278adb08_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#73;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#124;&#114;&#124;&#92;&#103;&#101;&#32;&#49;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#32;&#105;&#110;&#102;&#105;&#110;&#105;&#116;&#101;&#32;&#103;&#101;&#111;&#109;&#101;&#116;&#114;&#105;&#99;&#32;&#115;&#101;&#114;&#105;&#101;&#115;&#32;&#100;&#111;&#101;&#115;&#32;&#110;&#111;&#116;&#32;&#104;&#97;&#118;&#101;&#32;&#97;&#32;&#115;&#117;&#109;&#46;&#32;&#87;&#101;&#32;&#115;&#97;&#121;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#115;&#101;&#114;&#105;&#101;&#115;&#32;&#100;&#105;&#118;&#101;&#114;&#103;&#101;&#115;&#46;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"674\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835332145\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835332147\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835332149\">\n<p id=\"fs-id1167830699561\">Find the sum of the infinite geometric series <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4d25373dd592a2021f8b89bf5399aab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#52;&#43;&#49;&#56;&#43;&#54;&#43;&#50;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#57;&#125;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"224\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835279973\">\n<p id=\"fs-id1167834244263\">To find the sum, we first have to verify that the common ratio <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afbf614820c2a079d0041ce0d1a1dd0c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#124;&#114;&#124;&#60;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"48\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and then we can use the sum formula <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1684cda1bbfcf8b1735a8c93dddd7e49_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835362129\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c6d7bbd442199c0054d1937f3ac140dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#70;&#105;&#110;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#99;&#111;&#109;&#109;&#111;&#110;&#32;&#114;&#97;&#116;&#105;&#111;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#56;&#125;&#123;&#53;&#52;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#125;&#123;&#49;&#56;&#125;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#114;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#124;&#114;&#124;&#60;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#73;&#100;&#101;&#110;&#116;&#105;&#102;&#121;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#53;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#75;&#110;&#111;&#119;&#105;&#110;&#103;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#53;&#52;&#44;&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#44;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#117;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#115;&#117;&#109;&#32;&#102;&#111;&#114;&#109;&#117;&#108;&#97;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#117;&#98;&#115;&#116;&#105;&#116;&#117;&#116;&#101;&#32;&#105;&#110;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#118;&#97;&#108;&#117;&#101;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#52;&#125;&#123;&#49;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#56;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"333\" width=\"557\" style=\"vertical-align: -160px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835358229\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835358232\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835358234\">\n<p id=\"fs-id1167834537774\">Find the sum of the infinite geometric series <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b642267ccb8f319d565fdf6b7d2c52d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#56;&#43;&#50;&#52;&#43;&#49;&#50;&#43;&#54;&#43;&#51;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"231\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830699598\">\n<p id=\"fs-id1167830699600\">96<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167830703303\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830703306\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830703716\">\n<p id=\"fs-id1167830703718\">Find the sum of the infinite geometric series <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-434082eddf57b5ac21476f67c1b6783a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#52;&#43;&#49;&#54;&#43;&#52;&#43;&#49;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#49;&#54;&#125;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"231\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835330186\">\n<p id=\"fs-id1167835330189\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-995a1c6f12a379e8868e111dd788ee1f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#53;&#54;&#125;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167835596706\">An interesting use of infinite geometric series is to write a repeating decimal as a fraction.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835596709\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835596711\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831872304\">\n<p id=\"fs-id1167831872306\">Write the repeating decimal <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3135b0500b602b7cf9a118e9d1c48a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#45;&#125;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> as a fraction.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831910908\">\n<p id=\"fs-id1167831910910\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae19aa197ad3cbedd7f4528643c6467f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#125;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#82;&#101;&#119;&#114;&#105;&#116;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#48;&#46;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#45;&#125;&#123;&#53;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#104;&#111;&#119;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#114;&#101;&#112;&#101;&#97;&#116;&#105;&#110;&#103;&#32;&#102;&#105;&#118;&#101;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#48;&#46;&#53;&#53;&#53;&#53;&#53;&#53;&#53;&#53;&#53;&#53;&#53;&#53;&#53;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#85;&#115;&#101;&#32;&#112;&#108;&#97;&#99;&#101;&#32;&#118;&#97;&#108;&#117;&#101;&#32;&#116;&#111;&#32;&#114;&#101;&#119;&#114;&#105;&#116;&#101;&#32;&#116;&#104;&#105;&#115;&#32;&#97;&#115;&#32;&#97;&#32;&#115;&#117;&#109;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#48;&#46;&#53;&#43;&#48;&#46;&#48;&#53;&#43;&#48;&#46;&#48;&#48;&#53;&#43;&#48;&#46;&#48;&#48;&#48;&#53;&#43;&#46;&#46;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#104;&#105;&#115;&#32;&#105;&#115;&#32;&#97;&#110;&#32;&#105;&#110;&#102;&#105;&#110;&#105;&#116;&#101;&#32;&#103;&#101;&#111;&#109;&#101;&#116;&#114;&#105;&#99;&#32;&#115;&#101;&#114;&#105;&#101;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#70;&#105;&#110;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#99;&#111;&#109;&#109;&#111;&#110;&#32;&#114;&#97;&#116;&#105;&#111;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#48;&#46;&#48;&#53;&#125;&#123;&#48;&#46;&#53;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#48;&#46;&#48;&#48;&#53;&#125;&#123;&#48;&#46;&#48;&#53;&#125;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#61;&#48;&#46;&#49;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#55;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#61;&#48;&#46;&#49;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#124;&#114;&#124;&#60;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#73;&#100;&#101;&#110;&#116;&#105;&#102;&#121;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#55;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#48;&#46;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#75;&#110;&#111;&#119;&#105;&#110;&#103;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#48;&#46;&#53;&#44;&#114;&#61;&#48;&#46;&#49;&#44;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#117;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#115;&#117;&#109;&#32;&#102;&#111;&#114;&#109;&#117;&#108;&#97;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#117;&#98;&#115;&#116;&#105;&#116;&#117;&#116;&#101;&#32;&#105;&#110;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#118;&#97;&#108;&#117;&#101;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#48;&#46;&#53;&#125;&#123;&#49;&#45;&#48;&#46;&#49;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#48;&#46;&#53;&#125;&#123;&#48;&#46;&#57;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#77;&#117;&#108;&#116;&#105;&#112;&#108;&#121;&#32;&#110;&#117;&#109;&#101;&#114;&#97;&#116;&#111;&#114;&#32;&#97;&#110;&#100;&#32;&#100;&#101;&#110;&#111;&#109;&#105;&#110;&#97;&#116;&#111;&#114;&#32;&#98;&#121;&#32;&#49;&#48;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#57;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#87;&#101;&#32;&#97;&#114;&#101;&#32;&#97;&#115;&#107;&#101;&#100;&#32;&#116;&#111;&#32;&#102;&#105;&#110;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#102;&#114;&#97;&#99;&#116;&#105;&#111;&#110;&#32;&#102;&#111;&#114;&#109;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#48;&#46;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#45;&#125;&#123;&#53;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#57;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"374\" style=\"vertical-align: -149px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167826804626\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826804630\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826804632\">\n<p id=\"fs-id1167826804634\">Write the repeating decimal <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-35fc351851a50f99e576b4796dcc93dc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#45;&#125;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> as a fraction.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826997310\">\n<p id=\"fs-id1167826997312\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03691bec54827131718c68dfdca523bc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"7\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167831025316\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835254045\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835254047\">\n<p id=\"fs-id1167835254049\">Write the repeating decimal <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-54ebf3ebb0cc19d8601567b13014d316_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#45;&#125;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> as a fraction.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835300386\">\n<p id=\"fs-id1167834430745\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d62dee3169b4228bc7b385d001fbd57a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#125;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"7\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167831923398\">\n<h3 data-type=\"title\">Apply Geometric Sequences and Series in the Real World<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167831923403\">One application of geometric sequences has to do with consumer spending. If a tax rebate is given to each household, the effect on the economy is many times the amount of the individual rebate.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167834301246\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834301249\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834301251\">\n<p id=\"fs-id1167834301253\">The government has decided to give a ?1,000 tax rebate to each household in order to stimulate the economy. The government statistics say that each household will spend 80% of the rebate in goods and services. The businesses and individuals who benefitted from that 80% will then spend 80% of what they received and so on. The result is called the multiplier effect. What is the total effect of the rebate on the economy?<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835320121\">\n<p id=\"fs-id1167835320123\">Every time money goes into the economy, 80% of it is spent and is then in the economy to be spent. Again, 80% of this money is spent in the economy again. This situation continues and so leads us to an infinite geometric series.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835319221\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-28921c82e3f0084ebfa7930a7b58de04_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#48;&#48;&#48;&#43;&#49;&#48;&#48;&#48;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#48;&#46;&#56;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#43;&#49;&#48;&#48;&#48;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#48;&#46;&#56;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"274\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167834301186\">Here the first term is 1,000, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b44038bbfddf268530aa932cd6e84f72_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#49;&#48;&#48;&#48;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> The common ratio is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82f2ac088ded67099286236b3d3643c2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#56;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"27\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96ed972db2cad98c6b1057e98139be86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#48;&#46;&#56;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"59\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> We can evaluate this sum since <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-751ea7f2077eb0b498742605f0bee256_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#56;&#60;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> We use the formula for the sum on an infinite geometric series.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167826782561\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bebac7faeb28fbc4390a3679349f8b4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#117;&#98;&#115;&#116;&#105;&#116;&#117;&#116;&#101;&#32;&#105;&#110;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#118;&#97;&#108;&#117;&#101;&#115;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#49;&#44;&#48;&#48;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#61;&#48;&#46;&#56;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#44;&#48;&#48;&#48;&#125;&#123;&#49;&#45;&#48;&#46;&#56;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#69;&#118;&#97;&#108;&#117;&#97;&#116;&#101;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#53;&#44;&#48;&#48;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"64\" width=\"575\" style=\"vertical-align: -27px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835509966\">The total effect of the ?1,000 received by each household will be a ?5,000 growth in the economy.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834214080\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834214083\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834214085\">\n<p id=\"fs-id1167834189673\">What is the total effect on the economy of a government tax rebate of ?1,000 to each household in order to stimulate the economy if each household will spend 90% of the rebate in goods and services?<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834189679\">\n<p id=\"fs-id1167834189681\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94baf4a7465b552e760b61c22150b32c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#49;&#48;&#44;&#48;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834185503\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832053317\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832053319\">\n<p id=\"fs-id1167832053322\">What is the total effect on the economy of a government tax rebate of ?500 to each household in order to stimulate the economy if each household will spend 85% of the rebate in goods and services?<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834119867\">\n<p id=\"fs-id1167834119869\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df326f38e80e348243221338f2385928_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#51;&#44;&#51;&#51;&#51;&#46;&#51;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834195816\">We have looked at a compound interest formula where a principal, <em data-effect=\"italics\">P<\/em>, is invested at an interest rate, <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, for <em data-effect=\"italics\">t<\/em> years. The new balance, <em data-effect=\"italics\">A<\/em>, is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb77989cb47b3cf390fa8438a3be8401_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#65;&#61;&#80;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#114;&#125;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#116;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> when interest is compounded <em data-effect=\"italics\">n<\/em> times a year. This formula applies when a lump sum was invested upfront and tells us the value after a certain time period.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167826803871\">An <span data-type=\"term\">annuity<\/span> is an investment that is a sequence of equal periodic deposits. We will be looking at annuities that pay the interest at the time of the deposits. As we develop the formula for the value of an annuity, we are going to let <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd7844b4064f00795a67aea525e1e439_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> That means there is one deposit per year.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1171792587125\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f18f96e448d750743728d671bacd56a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#65;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#80;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#114;&#125;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#116;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#76;&#101;&#116;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#110;&#61;&#49;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#65;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#80;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#114;&#125;&#123;&#49;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#116;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#65;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#80;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#116;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"71\" width=\"342\" style=\"vertical-align: -29px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835346948\">Suppose <em data-effect=\"italics\">P<\/em> dollars is invested at the end of each year. One year later that deposit is worth <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0b2ada22aa730a5530312063bbf50aeb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#80;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> dollars, and another year later it is worth <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6ed34826f373df07c44a2e190755749_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#80;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> dollars. After <em data-effect=\"italics\">t<\/em> years, it will be worth <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08a9dd2333bc25cb20b10347de881326_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#65;&#61;&#80;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#116;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> dollars.<\/p>\n<table id=\"fs-id1167835320056\" summary=\"This figure shows a table with four rows and four columns. The first row is the header row, beginning at the second column and reads &#x201c;End of year 1&#x201d;, &#x201c;End of year 2,&#x201d; and &#x201c;End of year 3&#x201d;. In the first column, second row, the &#x201c;first deposit P at end of year one&#x201d; is P, the amount 1 year later is P times 1 plus r, Amount 2 years later is P times 1 plus 2 squared. The &#x201c;2nd deposit P at end of year 2&#x201d; is P, and the amount 1 year later is P times 1 plus 2, and the &#x201c;3rd deposit P at end of year 3&#x201d; is P.\" class=\"unnumbered\">\n<thead>\n<tr valign=\"top\">\n<th><\/th>\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">End of year 1<\/th>\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">End of year 2<\/th>\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">End of year 3<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">First Deposit <em data-effect=\"italics\">P<\/em><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>@ end of year 1<\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"center\"><em data-effect=\"italics\">P<\/em><\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"center\">Amount 1 year later<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0b2ada22aa730a5530312063bbf50aeb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#80;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"center\">Amount 2 years later<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6ed34826f373df07c44a2e190755749_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#80;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">2nd Deposit <em data-effect=\"italics\">P<\/em><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>@ end of year 2<\/td>\n<td><\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"center\"><em data-effect=\"italics\">P<\/em><\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"center\">Amount 1 year later<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0b2ada22aa730a5530312063bbf50aeb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#80;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">3<sup>rd<\/sup> Deposit <em data-effect=\"italics\">P<\/em><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>@ end of year 3<\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"center\"><em data-effect=\"italics\">P<\/em><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1167835589642\">After three years, the value of the annuity is<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835589645\" data-alt=\"P plus P times the quantity 1 plus r in parentheses, to the first power, plus P times the quantity 1 plus r, in parentheses, squared. This equals the money deposited at the end of year three, plus the money deposited at the end of year two, plus the money deposited at the end of year 1.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_003_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"P plus P times the quantity 1 plus r in parentheses, to the first power, plus P times the quantity 1 plus r, in parentheses, squared. This equals the money deposited at the end of year three, plus the money deposited at the end of year two, plus the money deposited at the end of year 1.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834132853\">This a sum of the terms of a geometric sequence where the first term is <em data-effect=\"italics\">P<\/em> and the common ratio is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e9463340fd9ad0ea72839fc1760774d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#43;&#114;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> We substitute these values into the sum formula. Be careful, we have two different uses of <em data-effect=\"italics\">r<\/em>. The <em data-effect=\"italics\">r<\/em> in the sum formula is the common ratio of the sequence. In this case, that is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d5d23917d49fd3d908cce94af7a04a8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#43;&#114;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> where <em data-effect=\"italics\">r<\/em> is the interest rate.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1171790249942\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d53ed6b89c5ed1f8bdd3dc20a38e6be3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#116;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#116;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#117;&#98;&#115;&#116;&#105;&#116;&#117;&#116;&#101;&#32;&#105;&#110;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#118;&#97;&#108;&#117;&#101;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#116;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#80;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#116;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#116;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#80;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#116;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#116;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#80;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#116;&#125;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"124\" width=\"456\" style=\"vertical-align: -57px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167830703697\">Remember our premise was that one deposit was made at the end of each year.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167830703700\">We can adapt this formula for <em data-effect=\"italics\">n<\/em> deposits made per year and the interest is compounded <em data-effect=\"italics\">n<\/em> times a year.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835319194\">\n<div data-type=\"title\">Value of an Annuity with Interest Compounded <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> Times a Year<\/div>\n<p id=\"fs-id1167826783275\">For a principal, <em data-effect=\"italics\">P<\/em>, invested at the end of a compounding period, with an interest rate, <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, which is compounded <em data-effect=\"italics\">n<\/em> times a year, the new balance, <em data-effect=\"italics\">A,<\/em> after <em data-effect=\"italics\">t<\/em> years, is<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167826781214\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07c3db24431dc827efb75de6be749239_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#65;&#125;&#95;&#123;&#116;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#80;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#114;&#125;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#116;&#125;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#114;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"146\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167826780675\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826780677\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826780679\">\n<p id=\"fs-id1167826780681\">New parents decide to invest ?100 per month in an annuity for their baby daughter. The account will pay 5% interest per year which is compounded monthly. How much will be in the child\u2019s account at her eighteenth birthday?<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826873522\">\n<p id=\"fs-id1167826873525\">To find the Annuity formula, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a8dfc53b884afd6e2ee129fd591ab134_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#65;&#125;&#95;&#123;&#116;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#80;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#114;&#125;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#116;&#125;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#114;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"151\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/> we need to identify <em data-effect=\"italics\">P<\/em>, <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, <em data-effect=\"italics\">n<\/em>, and <em data-effect=\"italics\">t<\/em>.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167831911113\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0761a8787b2503098d27e0981fec29a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#73;&#100;&#101;&#110;&#116;&#105;&#102;&#121;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#80;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#32;&#97;&#109;&#111;&#117;&#110;&#116;&#32;&#105;&#110;&#118;&#101;&#115;&#116;&#101;&#100;&#32;&#101;&#97;&#99;&#104;&#32;&#109;&#111;&#110;&#116;&#104;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#80;&#61;&#49;&#48;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#73;&#100;&#101;&#110;&#116;&#105;&#102;&#121;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#32;&#97;&#110;&#110;&#117;&#97;&#108;&#32;&#105;&#110;&#116;&#101;&#114;&#101;&#115;&#116;&#32;&#114;&#97;&#116;&#101;&#44;&#32;&#105;&#110;&#32;&#100;&#101;&#99;&#105;&#109;&#97;&#108;&#32;&#102;&#111;&#114;&#109;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#61;&#48;&#46;&#48;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#73;&#100;&#101;&#110;&#116;&#105;&#102;&#121;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#110;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#32;&#110;&#117;&#109;&#98;&#101;&#114;&#32;&#111;&#102;&#32;&#116;&#105;&#109;&#101;&#115;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#100;&#101;&#112;&#111;&#115;&#105;&#116;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#119;&#105;&#108;&#108;&#32;&#98;&#101;&#32;&#109;&#97;&#100;&#101;&#32;&#97;&#110;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#105;&#110;&#116;&#101;&#114;&#101;&#115;&#116;&#32;&#99;&#111;&#109;&#112;&#111;&#117;&#110;&#100;&#101;&#100;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#101;&#97;&#99;&#104;&#32;&#121;&#101;&#97;&#114;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#110;&#61;&#49;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#73;&#100;&#101;&#110;&#116;&#105;&#102;&#121;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#116;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#32;&#110;&#117;&#109;&#98;&#101;&#114;&#32;&#111;&#102;&#32;&#121;&#101;&#97;&#114;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#116;&#61;&#49;&#56;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#75;&#110;&#111;&#119;&#105;&#110;&#103;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#80;&#61;&#49;&#48;&#48;&#44;&#114;&#61;&#48;&#46;&#48;&#53;&#44;&#110;&#61;&#49;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#116;&#61;&#49;&#56;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#117;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#115;&#117;&#109;&#32;&#102;&#111;&#114;&#109;&#117;&#108;&#97;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#65;&#125;&#95;&#123;&#116;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#80;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#114;&#125;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#116;&#125;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#114;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#117;&#98;&#115;&#116;&#105;&#116;&#117;&#116;&#101;&#32;&#105;&#110;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#118;&#97;&#108;&#117;&#101;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#65;&#125;&#95;&#123;&#116;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#48;&#48;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#48;&#46;&#48;&#53;&#125;&#123;&#49;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#50;&middot;&#49;&#56;&#125;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#48;&#46;&#48;&#53;&#125;&#123;&#49;&#50;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#85;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#99;&#97;&#108;&#99;&#117;&#108;&#97;&#116;&#111;&#114;&#32;&#116;&#111;&#32;&#101;&#118;&#97;&#108;&#117;&#97;&#116;&#101;&#46;&#32;&#66;&#101;&#32;&#115;&#117;&#114;&#101;&#32;&#116;&#111;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#117;&#115;&#101;&#32;&#112;&#97;&#114;&#101;&#110;&#116;&#104;&#101;&#115;&#101;&#115;&#32;&#97;&#115;&#32;&#110;&#101;&#101;&#100;&#101;&#100;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#65;&#125;&#95;&#123;&#116;&#125;&#61;&#51;&#52;&#44;&#57;&#50;&#48;&#46;&#50;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#104;&#101;&#32;&#99;&#104;&#105;&#108;&#100;&#32;&#119;&#105;&#108;&#108;&#32;&#104;&#97;&#118;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#51;&#52;&#44;&#57;&#50;&#48;&#46;&#50;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#119;&#104;&#101;&#110;&#32;&#115;&#104;&#101;&#32;&#116;&#117;&#114;&#110;&#115;&#32;&#49;&#56;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"545\" width=\"868\" style=\"vertical-align: -268px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834535642\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834535646\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834535648\">\n<p id=\"fs-id1167834535650\">New grandparents decide to invest ?200 per month in an annuity for their grandson. The account will pay 5% interest per year which is compounded monthly. How much will be in the child\u2019s account at his twenty-first birthday?<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826874157\">\n<p id=\"fs-id1167826874159\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b70a5878cd4f6683d47efadd849a0267_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#56;&#56;&#44;&#56;&#54;&#56;&#46;&#51;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167826874171\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826874175\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826874177\">\n<p id=\"fs-id1167826874180\">Arturo just got his first full-time job after graduating from college at age 27. He decided to invest ?200 per month in an IRA (an annuity). The interest on the annuity is 8%, which is compounded monthly. How much will be in the Arturo\u2019s account when he retires at his sixty-seventh birthday?<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826874184\">\n<p id=\"fs-id1167831921078\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c01868e8bf031327caa6104c0e1b18ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#54;&#57;&#56;&#44;&#50;&#48;&#49;&#46;&#53;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167831921090\" class=\"media-2\">\n<p id=\"fs-id1167831921094\">Access these online resources for additional instruction and practice with sequences.<\/p>\n<ul id=\"fs-id1167831921097\" data-display=\"block\">\n<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37GeomSequence\">Geometric Sequences<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37GeometricSer\">Geometric Series<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37FutValAnnGeoS\">Future Value Annuities and Geometric Series<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37AppGeomSerTax\">Application of a Geometric Series: Tax Rebate<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167826779289\">\n<h3 data-type=\"title\">Key Concepts<\/h3>\n<ul id=\"fs-id1167826779296\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li><strong data-effect=\"bold\">General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th term) of a Geometric Sequence:<\/strong> The general term of a geometric sequence with first term <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and the common ratio <em data-effect=\"italics\">r<\/em> is<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167831923027\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e419ee2d43c58d1a724134db2fbc49e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Sum of the First <em data-effect=\"italics\">n<\/em> Terms of a Geometric Series:<\/strong> The sum, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a7a1b2fb13044ac205ba72c633be5e1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> of the <em data-effect=\"italics\">n<\/em> terms of a geometric sequence is<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167830924142\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-abec7048b5c9bd2c1feb2dd63e793b05_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#45;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<p><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is the first term and <em data-effect=\"italics\">r<\/em> is the common ratio.<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Infinite Geometric Series:<\/strong> An infinite geometric series is an infinite sum whose first term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and common ratio is <em data-effect=\"italics\">r<\/em> and is written<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835370588\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0912edee8c612ddfb2084a8012fdf1eb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#114;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;&#32;&#43;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"277\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Sum of an Infinite Geometric Series:<\/strong> For an infinite geometric series whose first term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648c75659a694d2bb0027b94be4c77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and common ratio <em data-effect=\"italics\">r<\/em>,<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-faefe22932372e5b04d0d575f0938c6f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#125;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#73;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#124;&#114;&#124;&#60;&#49;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#32;&#115;&#117;&#109;&#32;&#105;&#115;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#83;&#125;&#95;&#123;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#123;&#49;&#45;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#87;&#101;&#32;&#115;&#97;&#121;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#115;&#101;&#114;&#105;&#101;&#115;&#32;&#99;&#111;&#110;&#118;&#101;&#114;&#103;&#101;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#73;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#124;&#114;&#124;&#92;&#103;&#101;&#32;&#49;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#32;&#105;&#110;&#102;&#105;&#110;&#105;&#116;&#101;&#32;&#103;&#101;&#111;&#109;&#101;&#116;&#114;&#105;&#99;&#32;&#115;&#101;&#114;&#105;&#101;&#115;&#32;&#100;&#111;&#101;&#115;&#32;&#110;&#111;&#116;&#32;&#104;&#97;&#118;&#101;&#32;&#97;&#32;&#115;&#117;&#109;&#46;&#32;&#87;&#101;&#32;&#115;&#97;&#121;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#115;&#101;&#114;&#105;&#101;&#115;&#32;&#100;&#105;&#118;&#101;&#114;&#103;&#101;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"105\" width=\"693\" style=\"vertical-align: -70px;\" \/> <\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Value of an Annuity with Interest Compounded<\/strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><strong data-effect=\"bold\">Times a Year:<\/strong> For a principal, <em data-effect=\"italics\">P<\/em>, invested at the end of a compounding period, with an interest rate, <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, which is compounded <em data-effect=\"italics\">n<\/em> times a year, the new balance, <em data-effect=\"italics\">A<\/em>, after <em data-effect=\"italics\">t<\/em> years, is<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167826874367\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07c3db24431dc827efb75de6be749239_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#65;&#125;&#95;&#123;&#116;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#80;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#114;&#125;&#123;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#116;&#125;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#114;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"146\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/><\/div>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167826781174\">\n<div class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167826781178\">\n<h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4>\n<p id=\"fs-id1167826781185\"><strong data-effect=\"bold\">Determine if a Sequence is Geometric<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167826781192\">In the following exercises, determine if the sequence is geometric, and if so, indicate the common ratio.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826781196\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826781198\">\n<p id=\"fs-id1167826781200\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49cb922cddca65411a44dddc208b6d09_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#44;&#49;&#50;&#44;&#52;&#56;&#44;&#49;&#57;&#50;&#44;&#55;&#54;&#56;&#44;&#51;&#48;&#55;&#50;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"177\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826874977\">\n<p id=\"fs-id1167826874980\">The sequence is geometric with common ratio <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04505e1b601a017fbe14a3ffa456b90d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#52;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834131052\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834131054\">\n<p id=\"fs-id1167834131056\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8fd6a3c3714b0a8791fdee107350858a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#44;&#49;&#48;&#44;&#53;&#48;&#44;&#50;&#53;&#48;&#44;&#49;&#50;&#53;&#48;&#44;&#54;&#50;&#53;&#48;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"186\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834129937\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834129939\">\n<p id=\"fs-id1167834129941\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2aa3619ce122cf38f107153c24686650_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#56;&#44;&#50;&#52;&#44;&#49;&#50;&#44;&#54;&#44;&#51;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#50;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"125\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826782007\">\n<p id=\"fs-id1167826782009\">The sequence is geometric with common ratio <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbfbbb1064daffa205a59eeb111d7be5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826779330\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826779332\">\n<p id=\"fs-id1167826779334\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00b05fa59d6067594069ba2f2baaff83_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#52;&#44;&#49;&#56;&#44;&#54;&#44;&#50;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#57;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"118\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834134986\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834134988\">\n<p id=\"fs-id1167834132866\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-141f3c71b6b22e861aaf79490f314c80_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#51;&#44;&#54;&#44;&#45;&#49;&#50;&#44;&#50;&#52;&#44;&#45;&#52;&#56;&#44;&#57;&#54;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"173\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834132899\">\n<p id=\"fs-id1167834132901\">The sequence is geometric with common ratio <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-256a3011fa22b2ffc8abe8b2bc3337ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#45;&#50;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"59\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826781227\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826781229\">\n<p id=\"fs-id1167826781231\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7fe7955b8a8cb5cdc9f6193c9d1d3c5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#44;&#45;&#54;&#44;&#49;&#56;&#44;&#45;&#53;&#52;&#44;&#49;&#54;&#50;&#44;&#45;&#52;&#56;&#54;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"192\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167826804650\">In the following exercises, determine if each sequence is arithmetic, geometric or neither. If arithmetic, indicate the common difference. If geometric, indicate the common ratio.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826804654\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826804657\">\n<p id=\"fs-id1167826804659\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2aa3619ce122cf38f107153c24686650_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#56;&#44;&#50;&#52;&#44;&#49;&#50;&#44;&#54;&#44;&#51;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#50;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"125\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831920168\">\n<p id=\"fs-id1167831920170\">The sequence is geometric with common ratio <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbfbbb1064daffa205a59eeb111d7be5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831920189\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831920191\">\n<p id=\"fs-id1167831920193\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f516586209028e2494c7c9c0b0cbdad1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#50;&#44;&#54;&#44;&#48;&#44;&#45;&#54;&#44;&#45;&#49;&#50;&#44;&#45;&#49;&#56;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"164\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834130791\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834130793\">\n<p id=\"fs-id1167834130795\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa52101cf7fa6e58c914b0009e60cc97_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#55;&#44;&#45;&#50;&#44;&#51;&#44;&#56;&#44;&#49;&#51;&#44;&#49;&#56;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"141\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826874238\">\n<p id=\"fs-id1167826874240\">The sequence is arithmetic with common difference <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bcb71e5f908152d1d16786e264697f7f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#100;&#61;&#53;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"46\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826874256\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826874258\">\n<p id=\"fs-id1167826874261\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2d04d09f098806590b6507c6b890929_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#44;&#57;&#44;&#49;&#51;&#44;&#49;&#55;&#44;&#50;&#49;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#50;&#53;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"129\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826874330\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826874332\">\n<p id=\"fs-id1167826874334\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0450913b39a26261276ba21e5205ad96_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#56;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#49;&#54;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#50;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#54;&#52;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"127\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834131662\">\n<p id=\"fs-id1167834131665\">The sequence is geometric with common ratio <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbfbbb1064daffa205a59eeb111d7be5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834131291\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834131293\">\n<p id=\"fs-id1167834131296\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-02dcd2828968acbceab2be73e467552c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#44;&#56;&#44;&#49;&#50;&#44;&#50;&#52;&#44;&#52;&#56;&#44;&#57;&#54;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"132\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834131336\">In the following exercises, write the first five terms of each geometric sequence with the given first term and common ratio.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834131340\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834426073\">\n<p id=\"fs-id1167834426075\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-920afb04164db0302ea2ca0678329e6a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f57695ad3ee3297417eba5e756bb36e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"41\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834426099\">\n<p id=\"fs-id1167834426101\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-624a1b6333d836a3edce463733e6fb78_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#44;&#49;&#50;&#44;&#51;&#54;&#44;&#49;&#48;&#56;&#44;&#51;&#50;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"129\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834426127\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834426129\">\n<p id=\"fs-id1167826873630\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-449bdb5901899d98598824f7767eb8cf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#57;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0562ab0fec4ce668dc1c02b55f6b3880_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"40\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826873683\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826873685\">\n<p id=\"fs-id1167826873687\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-221e6ab500644245060912a7c93bffc5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#45;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d75e3ba8e2d2ab0451520a284f02520e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#45;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"54\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826873914\">\n<p id=\"fs-id1167826873917\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-69db4105eb3999e4e6c82627ba390afe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#52;&#44;&#56;&#44;&#45;&#49;&#54;&#44;&#51;&#50;&#44;&#45;&#54;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826873942\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826873944\">\n<p id=\"fs-id1167826873946\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-40f48b4f0df37ac76e4ef21d6cba1ea2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#45;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4eb43016d13c48ab7f14b644b1cee646_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#45;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"55\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831921233\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831921235\">\n<p id=\"fs-id1167831921237\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b7a2cb641cf47a1541202c0cfcdba15b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#50;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf45bdb978335368cc363875d45f2623_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834300898\">\n<p id=\"fs-id1167834300900\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-688044d345610572c573c1b34118c737_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#55;&#44;&#57;&#44;&#51;&#44;&#49;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834300929\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834300931\">\n<p id=\"fs-id1167834300933\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9506b0d5be5a7386886888cd85aad7d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#54;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a92933bb0d5b400526da3f19f363f464_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167835575778\"><strong data-effect=\"bold\">Find the General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th Term) of a Geometric Sequence<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835575788\">In the following exercises, find the indicated term of a sequence where the first term and the common ratio is given.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835575792\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835575794\">\n<p id=\"fs-id1167835575796\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5412ac0a6b3d415021615c11e8243a13_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> given <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2ec59e1f924513e496ad183953304f8e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#56;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b98ca186bf84e6aa6a05213a89163cf1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"45\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834130848\">\n<p id=\"fs-id1167834130850\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ddd15fbb49984839199306739d667e53_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#55;&#50;&#44;&#51;&#57;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834130858\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834130861\">\n<p id=\"fs-id1167834130863\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d4b9fad501819c4fe28de9d8b253676_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> given <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9f839808d7050689cb1b4ae733a1867_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c73cc4a7f7662f7dc9844c731b2f4ddd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#50;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"45\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834131420\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834131422\">\n<p id=\"fs-id1167834131425\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4ff64ab224c7e6de45e201c77ce98e26_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> given <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2bfc2ee3d7441245c321f0a259b5302e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#45;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-256a3011fa22b2ffc8abe8b2bc3337ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#45;&#50;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"59\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834131462\">\n<p id=\"fs-id1167834131464\">3,072<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834131469\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826803921\">\n<p id=\"fs-id1167826803923\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-347d4030d61c526d419c784c3a34e66b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> given <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-221e6ab500644245060912a7c93bffc5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#45;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d2c60842647ebd62dd97279b0118866d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#45;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"59\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826803971\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826803974\">\n<p id=\"fs-id1167826803976\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4ff64ab224c7e6de45e201c77ce98e26_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> given <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87b09bd4ac8fcbfafa29d8875c970e3a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#49;&#48;&#48;&#44;&#48;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"102\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1560a818941a01ffc42f7ee69a5f18a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#48;&#46;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826803772\">\n<p id=\"fs-id1167826803774\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7136c2538cb3d86075e002415940f8ae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#48;&#48;&#48;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826803783\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826803785\">\n<p id=\"fs-id1167826803787\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ee326e59d38bc3b63b0080ad66d51e2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> given <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4d9304f731700fe147781a0c6f292c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#49;&#44;&#48;&#48;&#48;&#44;&#48;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"119\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4c1e784fe17381f037deae0d02be955_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#48;&#46;&#48;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831920930\">In the following exercises, find the indicated term of the given sequence. Find the general term for the sequence.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831920935\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831920937\">\n<p id=\"fs-id1167831920939\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f53b65baf2773750b33b30b7d20f7d9e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> of the sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5fd0c6a324bfcf789d70e6d3efdc5ed1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#57;&#44;&#49;&#56;&#44;&#51;&#54;&#44;&#55;&#50;&#44;&#49;&#52;&#52;&#44;&#50;&#56;&#56;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"159\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831920982\">\n<p id=\"fs-id1167831920984\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e0340805ab5a7de55e76f72012ddf052_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#57;&#125;&#61;&#50;&#44;&#51;&#48;&#52;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> The general term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50b4de354245dbba11952460a30d348a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#57;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826780616\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826780618\">\n<p id=\"fs-id1167826780621\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0144f6ed66ad74c24e462c3f9a18241_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> of the sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-274f67232195dc89a0174cec23a5fb9d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#44;&#49;&#53;&#44;&#52;&#53;&#44;&#49;&#51;&#53;&#44;&#52;&#48;&#53;&#44;&#49;&#50;&#49;&#53;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"177\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826781153\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826781156\">\n<p id=\"fs-id1167826873547\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-347d4030d61c526d419c784c3a34e66b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> of the sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2b4563db26676019abbb514dd14013d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#52;&#56;&#54;&#44;&#49;&#54;&#50;&#44;&#45;&#53;&#52;&#44;&#49;&#56;&#44;&#45;&#54;&#44;&#50;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"190\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826873590\">\n<p id=\"fs-id1167826873592\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6c2bf615384982a144c2b92d3d82115_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#53;&#125;&#61;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#49;&#57;&#44;&#54;&#56;&#51;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/> The general term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b61ed2b0e0bc5a3dad5e3c0f09ddbf4d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#45;&#52;&#56;&#54;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"154\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831832232\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831832234\">\n<p id=\"fs-id1167831832236\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c8b51dcaf04f11b5e81397bc2640c48b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> of the sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73a79ce3baebcfd8a64092edb8f90b81_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#50;&#52;&#44;&#45;&#49;&#49;&#50;&#44;&#53;&#54;&#44;&#45;&#50;&#56;&#44;&#49;&#52;&#44;&#45;&#55;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"200\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834135062\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834135064\">\n<p id=\"fs-id1167834135066\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4ff64ab224c7e6de45e201c77ce98e26_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> of the sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0942ac14b06e17c32afb5dc28f6340fc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#44;&#48;&#46;&#49;&#44;&#48;&#46;&#48;&#49;&#44;&#48;&#46;&#48;&#48;&#49;&#44;&#48;&#46;&#48;&#48;&#48;&#49;&#44;&#48;&#46;&#48;&#48;&#48;&#48;&#49;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"254\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826873765\">\n<p id=\"fs-id1167826873768\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8da00eaa051b356f4a308bad743795b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#48;&#125;&#61;&#48;&#46;&#48;&#48;&#48;&#48;&#48;&#48;&#48;&#48;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"146\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> The general term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07f865e05474ab5c467e50cf957af308_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#48;&#46;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826873819\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826873821\">\n<p id=\"fs-id1167826873823\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f53b65baf2773750b33b30b7d20f7d9e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> of the sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c7278c3dacb02ed1cc093abd147522bc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#48;&#48;&#48;&#44;&#49;&#48;&#48;&#44;&#49;&#48;&#44;&#49;&#44;&#48;&#46;&#49;&#44;&#48;&#46;&#48;&#49;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"186\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834229030\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Sum of the First <em data-effect=\"italics\">n<\/em> terms of a Geometric Sequence<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834426134\">In the following exercises, find the sum of the first fifteen terms of each geometric sequence.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834426138\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834426140\">\n<p id=\"fs-id1167834426142\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10a498ef8003ee4c34bdde9a7dc28b44_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#56;&#44;&#50;&#52;&#44;&#55;&#50;&#44;&#50;&#49;&#54;&#44;&#54;&#52;&#56;&#44;&#49;&#57;&#52;&#52;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"177\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834426176\">\n<p id=\"fs-id1167834426178\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd171f2a465e4cff4a93c82a9fef6320_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#55;&#44;&#51;&#57;&#53;&#44;&#54;&#50;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"87\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834426186\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834426188\">\n<p id=\"fs-id1167834426190\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ac56b5da21d89aad497e0593712a177_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#44;&#49;&#52;&#44;&#50;&#56;&#44;&#53;&#54;&#44;&#49;&#49;&#50;&#44;&#50;&#50;&#52;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"159\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834238707\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834238709\">\n<p id=\"fs-id1167834238711\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae81aae81588bc14936d98bdd6bf6216_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#54;&#44;&#49;&#50;&#44;&#45;&#50;&#52;&#44;&#52;&#56;&#44;&#45;&#57;&#54;&#44;&#49;&#57;&#50;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"191\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834238744\">\n<p id=\"fs-id1167834238746\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4b81ac5e17d64a7fa4e30e7a85ce00b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#54;&#53;&#44;&#53;&#51;&#56;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834238755\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834238757\">\n<p id=\"fs-id1167834238759\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50e9bdc416031396ac0291f48d804478_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#52;&#44;&#49;&#50;&#44;&#45;&#51;&#54;&#44;&#49;&#48;&#56;&#44;&#45;&#51;&#50;&#52;&#44;&#57;&#55;&#50;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"208\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831922348\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831922350\">\n<p id=\"fs-id1167831922352\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4fede40618737bad6c84da4ef6e57489_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#56;&#49;&#44;&#50;&#55;&#44;&#57;&#44;&#51;&#44;&#49;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"116\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831922389\">\n<p id=\"fs-id1167831922391\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-54ea6139f3a15e419192bbf64cc0b3f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&#44;&#49;&#55;&#52;&#44;&#52;&#53;&#51;&#125;&#123;&#53;&#57;&#44;&#48;&#52;&#57;&#125;&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#49;&#50;&#49;&#46;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831922409\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831922411\">\n<p id=\"fs-id1167831922413\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-903eff39dc3bfc337530013db7b73580_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#53;&#54;&#44;&#54;&#52;&#44;&#49;&#54;&#44;&#52;&#44;&#49;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#49;&#54;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"159\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834065710\">In the following exercises, find the sum of the geometric sequence.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834065713\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834065715\">\n<p id=\"fs-id1167834065718\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d85eb464cbcb6f144b958b0c10be5fb9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#49;&#53;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834065753\">\n<p id=\"fs-id1167834065755\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0c055b6263ba0a268e97187a6c2dcc16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#53;&#44;&#53;&#51;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834065763\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834065765\">\n<p id=\"fs-id1167834539334\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-abccb357cf801c3c0e5c3c137ef51df6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834539380\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834539382\">\n<p id=\"fs-id1167834539384\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14a22fe8cb766b2251fdb7885f90afed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;&#52;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834539421\">\n<p id=\"fs-id1167834539423\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b5c70fbae35cc81776fad41a131f41c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#48;&#56;&#56;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834539431\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834539433\">\n<p id=\"fs-id1167834130609\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-99ef8db602beed707b586eec08e63e34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#53;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834130656\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834130658\">\n<p id=\"fs-id1167834130660\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5077c4990afe45fe973415aa2db7dd6c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#125;&#57;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834130702\">\n<p id=\"fs-id1167834130704\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c41c06ab3e7c90bfc9966f643da14dc1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#57;&#44;&#53;&#50;&#52;&#125;&#123;&#54;&#53;&#54;&#49;&#125;&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#52;&#46;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826788454\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826788456\">\n<p id=\"fs-id1167826788458\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0eca975e8ddd7fba11be60f802bec933_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#49;&#53;&#125;&#52;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167826788520\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Sum of an Infinite Geometric Series<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167826788526\">In the following exercises, find the sum of each infinite geometric series.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826788529\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826788532\">\n<p id=\"fs-id1167826788534\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d059b4647e89416588e9b15c692f4ca8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#57;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#55;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#56;&#49;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#52;&#51;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#55;&#50;&#57;&#125;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"285\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830705562\">\n<p id=\"fs-id1167830705565\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eadb3de75c7c00057d0aede78f9ebd79_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"7\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830705576\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830705578\">\n<p id=\"fs-id1167830705581\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62e8e654fe154f5694b80fe54975b043_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#56;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#49;&#54;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#50;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#54;&#52;&#125;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"265\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835483697\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835483699\">\n<p id=\"fs-id1167835483701\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1cb6c22f5ffa34d4d22634a016cf9364_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#45;&#50;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#57;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#50;&#55;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#56;&#49;&#125;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"224\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835483749\">\n<p id=\"fs-id1167835483751\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36a0158b653269485337be6797772c36_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#57;&#125;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"7\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835483763\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835364543\">\n<p id=\"fs-id1167835364545\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cd1d44e687b33f7acee15267d2a6ef2e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#52;&#43;&#50;&#45;&#49;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#56;&#125;&#45;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"221\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835364604\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835364606\">\n<p id=\"fs-id1167835364608\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-75372ace445e491450bd05aff2772cab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#43;&#49;&#50;&#43;&#50;&#52;&#43;&#52;&#56;&#43;&#57;&#54;&#43;&#49;&#57;&#50;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"256\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835364641\">\n<p id=\"fs-id1167835364644\">no sum as <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b70f826d8ac0cf915e82cf9931381c3e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#92;&#103;&#101;&#32;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830703805\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830703807\">\n<p id=\"fs-id1167830703809\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-81816bb0ae61a88d9ceb97bea6c816b8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#43;&#49;&#53;&#43;&#52;&#53;&#43;&#49;&#51;&#53;&#43;&#52;&#48;&#53;&#43;&#49;&#50;&#49;&#53;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"283\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830703858\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830703860\">\n<p id=\"fs-id1167830703862\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-074d96b0083839995338cf8448466f0c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#44;&#48;&#50;&#52;&#43;&#53;&#49;&#50;&#43;&#50;&#53;&#54;&#43;&#49;&#50;&#56;&#43;&#54;&#52;&#43;&#51;&#50;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"307\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830703896\">\n<p id=\"fs-id1167830703898\">2,048<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830703903\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830703905\">\n<p id=\"fs-id1167826781468\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d3426d2976463233666d72be7987ce0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#44;&#53;&#54;&#49;&#43;&#50;&#49;&#56;&#55;&#43;&#55;&#50;&#57;&#43;&#50;&#52;&#51;&#43;&#56;&#49;&#43;&#50;&#55;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"317\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167826781509\">In the following exercises, write each repeating decimal as a fraction.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826781512\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826781514\">\n<p id=\"fs-id1167826781516\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e71c230fd8db510485d10dadb30852c8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#45;&#125;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826781532\">\n<p id=\"fs-id1167826781534\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34f0e870957984f6c69249b8cf4f5813_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"7\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826781546\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826781548\">\n<p id=\"fs-id1167826781550\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8bce45a836d5cf79f24c365cc328e703_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#45;&#125;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835595830\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835595832\">\n<p id=\"fs-id1167835595834\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65a6470d80991b7411c391c2571942f7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#45;&#125;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835595851\">\n<p id=\"fs-id1167835595853\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e8ce2f90e409bd9f90b29b7e9dacb23_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&#125;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"7\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835595865\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835595867\">\n<p id=\"fs-id1167835595869\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d2b1744e5016a30e80d7b0f8c2a6f3c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#45;&#125;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835595900\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835595902\">\n<p id=\"fs-id1167835595904\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83c7e2290110b192eaa506a384a181d7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#8212;&#125;&#123;&#52;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835595922\">\n<p id=\"fs-id1167835595924\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e6a1bb78b854bd17e0df0020e7928a0f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#49;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835595937\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834130898\">\n<p id=\"fs-id1167834130900\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1efbab79b1367855081b254a8a905ed1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#8212;&#125;&#123;&#50;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"37\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834130933\"><strong data-effect=\"bold\">Apply Geometric Sequences and Series in the Real World<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834130939\">In the following exercises, solve the problem.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834130942\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834130944\">\n<p id=\"fs-id1167834130946\">Find the total effect on the economy of each government tax rebate to each household in order to stimulate the economy if each household will spend the indicated percent of the rebate in goods and services.<\/p>\n<table id=\"fs-id1167834130950\" class=\"unnumbered\" summary=\".\">\n<thead>\n<tr valign=\"top\">\n<th><\/th>\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Tax rebate to each household<\/th>\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Percent spent on goods and services<\/th>\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Total Effect on the economy<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67388f6edcc6599fe5a7c02f7a4cbe37_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#49;&#44;&#48;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ccdde9687c51f6a7041a9cb9bc1208a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#56;&#53;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#37;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -117px;\" \/><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67388f6edcc6599fe5a7c02f7a4cbe37_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#49;&#44;&#48;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b067f6c447d184d295ccd48193c10e4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#53;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#37;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"31\" style=\"vertical-align: -112px;\" \/><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f104664aabb026f9d9c13d485badaf0a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#49;&#44;&#53;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c553f3274bf58abf820c2e858dcc706_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#57;&#48;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#37;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -116px;\" \/><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span class=\"token\">\u24d3<\/span><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f104664aabb026f9d9c13d485badaf0a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#49;&#44;&#53;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dca810414a4d94243730a05ec333102f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#56;&#48;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#37;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"159\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831896586\">\n<p id=\"fs-id1167831896589\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d918c008ab6172ba28dff476e72eaf77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#54;&#54;&#54;&#54;&#46;&#54;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"67\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9782c79e9a92e011b95c0ee0df4666a8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#52;&#48;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-53e27f5fb36cf66c0b75f0629a14e7ca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#49;&#53;&#44;&#48;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f816053626679cb1e436dee6f8fb5c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#55;&#53;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"44\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831896637\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831896639\">\n<p id=\"fs-id1167831896642\">New grandparents decide to invest <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-293be6b6379e59dc51c3ab2250e5f729_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#49;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> per month in an annuity for their grandchild. The account will pay <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-989b9be8d1ff881b4e1f359497062775_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#37;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"303\" style=\"vertical-align: -136px;\" \/> interest per year which is compounded monthly (12 times a year). How much will be in the child\u2019s account at their twenty-first birthday?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834062587\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834062589\">\n<p id=\"fs-id1167834062591\">Berenice just got her first full-time job after graduating from college at age 30. She decided to invest <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f85bb8de94db218d6e1aedcfd3a3200b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#53;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"35\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> per quarter in an IRA (an annuity). The interest on the annuity is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f81aafd72fd00445edc56d61ffa8036f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#37;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"206\" style=\"vertical-align: -117px;\" \/> which is compounded quarterly (4 times a year). How much will be in the Berenice\u2019s account when she retires at age 65?<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834062613\">\n<p id=\"fs-id1167834062615\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-167126b4a4371a0a8bd2b7c17944da90_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#50;&#57;&#53;&#44;&#53;&#56;&#49;&#46;&#56;&#56;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834062626\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834062628\">\n<p id=\"fs-id1167834062630\">Alice wants to purchase a home in about five years. She is depositing <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f85bb8de94db218d6e1aedcfd3a3200b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#53;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"35\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> a month into an annuity that earns <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73641c37eb3066673e3cd15f6b3e07fe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#37;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"250\" style=\"vertical-align: -167px;\" \/> per year that is compounded monthly (12 times a year). How much will Alice have for her down payment in five years?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834062663\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834062665\">\n<p id=\"fs-id1167834062667\">Myra just got her first full-time job after graduating from college. She plans to get a master\u2019s degree, and so is depositing <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-06899a79aa9321635e47670c2ced495f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#50;&#44;&#53;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> a year from her year-end bonus into an annuity. The annuity pays <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd11d8d70b339b374ba0a1f0554b08f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#46;&#53;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#37;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"156\" style=\"vertical-align: -217px;\" \/> per year and is compounded yearly. How much will she have saved in five years to pursue her master\u2019s degree?<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834062690\">\n<p id=\"fs-id1167834062692\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8bfb6319d4345362f9012141057e95f4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#49;&#52;&#44;&#50;&#51;&#52;&#46;&#49;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"writing\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167835321466\">\n<h4 data-type=\"title\">Writing Exercises<\/h4>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835321473\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835321476\">\n<p id=\"fs-id1167835321478\">In your own words, explain how to determine whether a sequence is geometric.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835321489\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835321492\">\n<p id=\"fs-id1167835321494\">In your own words, explain how to find the general term of a geometric sequence.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835321498\">\n<p id=\"fs-id1167835321500\">Answers will vary.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835321505\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835321508\">\n<p id=\"fs-id1167835321510\">In your own words, explain the difference between a geometric sequence and a geometric series.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835321522\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835321524\">\n<p id=\"fs-id1167835321527\">In your own words, explain how to determine if an infinite geometric series has a sum and how to find it.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835321532\">\n<p id=\"fs-id1167835321534\">Answers will vary.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167835321540\">\n<h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835321553\" data-alt=\"This figure shows seven rows and four columns. The first row is the header row and reads, &#x201c;I can&#x201d;, &#x201c;Confidently&#x201d;, &#x201c;With some help&#x201d;, and &#x201c;No, I don&#x2019;t get it. The first column reads, &#x201c;Determine if a sequence is geometric&#x201d;, &#x201c;Find the general term (nth term) of a&#x201d;, &#x201c;Geometric sequence&#x201d;, &#x201c;Find the sum of an Infinite geometric series&#x201d;, Use geometric sequences to solve applications&#x201d;. The remaining columns are blank.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_03_201_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows seven rows and four columns. The first row is the header row and reads, &#x201c;I can&#x201d;, &#x201c;Confidently&#x201d;, &#x201c;With some help&#x201d;, and &#x201c;No, I don&#x2019;t get it. The first column reads, &#x201c;Determine if a sequence is geometric&#x201d;, &#x201c;Find the general term (nth term) of a&#x201d;, &#x201c;Geometric sequence&#x201d;, &#x201c;Find the sum of an Infinite geometric series&#x201d;, Use geometric sequences to solve applications&#x201d;. The remaining columns are blank.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835321561\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835321570\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> What does this checklist tell you about your mastery of this section? What steps will you take to improve?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"glossary\" class=\"textbox shaded\">\n<h3 data-type=\"glossary-title\">Glossary<\/h3>\n<dl id=\"fs-id1167835321583\">\n<dt>annuity<\/dt>\n<dd id=\"fs-id1167835321588\">An annuity is an investment that is a sequence of equal periodic deposits.<\/dd>\n<\/dl>\n<dl id=\"fs-id1167835468374\">\n<dt>common ratio<\/dt>\n<dd id=\"fs-id1167835468378\">The ratio between consecutive terms in a geometric sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d928c2a4d8f6a457c7a0f8902c8852d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/> is <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, the common ratio, where <em data-effect=\"italics\">r<\/em> greater than or equal to two.<\/dd>\n<\/dl>\n<dl id=\"fs-id1167835468417\">\n<dt>geometric sequence<\/dt>\n<dd id=\"fs-id1167835468421\">A geometric sequence is a sequence where the ratio between consecutive terms is always the same<\/dd>\n<\/dl>\n<dl id=\"fs-id1167835468427\">\n<dt>infinite geometric series<\/dt>\n<dd id=\"fs-id1167835468431\">An infinite geometric series is an infinite sum infinite geometric sequence.<\/dd>\n<\/dl>\n<\/div>\n","protected":false},"author":103,"menu_order":4,"template":"","meta":{"pb_show_title":"on","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"class_list":["post-15731","chapter","type-chapter","status-publish","hentry"],"part":15662,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/15731","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/users\/103"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/15731\/revisions"}],"part":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/15662"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/15731\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=15731"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=15731"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=15731"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=15731"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}