{"id":15764,"date":"2019-09-05T12:08:30","date_gmt":"2019-09-05T16:08:30","guid":{"rendered":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/chapter\/binomial-theorem\/"},"modified":"2019-09-05T12:08:30","modified_gmt":"2019-09-05T16:08:30","slug":"binomial-theorem","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/chapter\/binomial-theorem\/","title":{"raw":"Binomial Theorem","rendered":"Binomial Theorem"},"content":{"raw":"[latexpage]<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\"><h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>By the end of this section, you will be able to: <ul><li>Use Pascal\u2019s Triangle to expand a binomial<\/li><li>Evaluate a binomial coefficient<\/li><li>Use the Binomial Theorem to expand a binomial<\/li><\/ul><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834064807\" class=\"be-prepared\"><p id=\"fs-id1167835344602\">Before you get started, take this readiness quiz.<em data-effect=\"italics\"><\/em><\/p><ol id=\"fs-id1167835326566\" type=\"1\"><li>Simplify: \\(\\frac{7\u00b76\u00b75\u00b74}{4\u00b73\u00b72\u00b71}.\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/425620d9-51dd-45e5-8a21-953998a4a77f#fs-id1167836390100\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><li>Expand: \\({\\left(3x+5\\right)}^{2}.\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/0b9be1db-21c4-4bd0-8f8e-d809f6ff7c8c#fs-id1167836392219\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><li>Expand: \\({\\left(x-y\\right)}^{2}.\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/0b9be1db-21c4-4bd0-8f8e-d809f6ff7c8c#fs-id1167836392219\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><\/ol><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167834346959\"><h3 data-type=\"title\">Use Pascal\u2019s Triangle to Expand a Binomial<\/h3><p>In our previous work, we have squared binomials either by using FOIL or by using the Binomial Squares Pattern. We can also say that we expanded \\({\\left(a+b\\right)}^{2}.\\)<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167831934023\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(a+b\\right)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167835329284\">To expand \\({\\left(a+b\\right)}^{3},\\) we recognize that this is \\({\\left(a+b\\right)}^{2}\\left(a+b\\right)\\) and multiply.<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835334969\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{c}\\hfill {\\left(a+b\\right)}^{3}\\hfill \\\\ \\hfill {\\left(a+b\\right)}^{2}\\left(a+b\\right)\\hfill \\\\ \\hfill \\left({a}^{2}+2ab+{b}^{2}\\right)\\left(a+b\\right)\\hfill \\\\ \\hfill {a}^{3}+2{a}^{2}b+a{b}^{2}+{a}^{2}b+2a{b}^{2}+{b}^{3}\\hfill \\\\ \\hfill {a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^{3}\\hfill \\\\ \\hfill {\\left(a+b\\right)}^{3}={a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^{3}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167835309507\">To find a method that is less tedious that will work for higher expansions like \\({\\left(a+b\\right)}^{7},\\) we again look for patterns in some expansions.<\/p><table id=\"fs-id1167835344744\" summary=\"No Summary\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><thead><tr valign=\"top\"><th data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/th><th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Number of terms<\/th><th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">First term<\/th><th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Last term<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(a+b\\right)}^{1}=a+b\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">2<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{1}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({b}^{1}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(a+b\\right)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">3<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{2}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({b}^{2}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(a+b\\right)}^{3}={a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^{3}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">4<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{3}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({b}^{3}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(a+b\\right)}^{4}={a}^{4}+4{a}^{3}b+6{a}^{2}{b}^{2}+4a{b}^{3}+{b}^{4}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">5<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{4}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({b}^{4}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(a+b\\right)}^{5}={a}^{5}+5{a}^{4}b+10{a}^{3}{b}^{2}+10{a}^{2}{b}^{3}+5a{b}^{4}+{b}^{5}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">6<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{5}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({b}^{5}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(a+b\\right)}^{n}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><em data-effect=\"italics\">n<\/em><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{n}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({b}^{n}\\)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167834229329\">Notice the first and last terms show only one variable. Recall that \\({a}^{0}=1,\\) so we could rewrite the first and last terms to include both variables. For example, we could expand \\({\\left(a+b\\right)}^{3}\\) to show each term with both variables.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835352706\" data-alt=\"This figure shows the pattern a plus b to the power of 3 equals a to a power of 3 times b to a power of 0 plus 3 times a to a power of 2 times b to a power of 1 plus 3 a to a power of 0 times b to a power of 3.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_012_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows the pattern a plus b to the power of 3 equals a to a power of 3 times b to a power of 0 plus 3 times a to a power of 2 times b to a power of 1 plus 3 a to a power of 0 times b to a power of 3.\" \/><\/span><p id=\"fs-id1167835310355\">Generally, we don\u2019t show the zero exponents, just as we usually write <em data-effect=\"italics\">x<\/em> rather than 1<em data-effect=\"italics\">x<\/em>.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835335671\"><div data-type=\"title\">Patterns in the expansion of \\({\\left(a+b\\right)}^{n}\\)<\/div><ul id=\"fs-id1167835420707\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>The number of terms is \\(n+1.\\)<\/li><li>The first term is \\({a}^{n}\\) and the last term is \\({b}^{n}.\\)<\/li><li>The exponents on <em data-effect=\"italics\">a<\/em> decrease by one on each term going left to right.<\/li><li>The exponents on <em data-effect=\"italics\">b<\/em> increase by one on each term going left to right.<\/li><li>The sum of the exponents on any term is <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/li><\/ul><\/div><p id=\"fs-id1167831882320\">Let\u2019s look at an example to highlight the last three patterns.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835230438\" data-alt=\"This figure shows the pattern a plus b to the power of 5 equals a plus 5 times a times b plus 10 times a times b plus 5 times a times b plus b.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_001_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows the pattern a plus b to the power of 5 equals a plus 5 times a times b plus 10 times a times b plus 5 times a times b plus b.\" \/><\/span><p id=\"fs-id1167835349635\">From the patterns we identified, we see the variables in the expansion of \\({\\left(a+b\\right)}^{n},\\) would be<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835301706\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(a+b\\right)}^{n}={a}^{n}+___{a}^{n-1}{b}^{1}+___{a}^{n-2}{b}^{2}+...+___{a}^{1}{b}^{n-1}+{b}^{n}.\\)<\/div><p>To find the coefficients of the terms, we write our expansions again focusing on the coefficients. We rewrite the coefficients to the right forming an array of coefficients.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835331679\" data-alt=\"A plus b to the power of 0 equals 1. The top level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1. A plus b to the power of 1 equals 1 a plus 1 b. The second level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1, 1. A plus b to the power of 2 equals 1 a to the power of 2 plus 2 a b plus 1 b to the power of 2. The third level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1, 2, 1. A plus b to the power of 3 equals 1 a to the power of 3 plus 3 a to the power of 2 b plus 3 a b to the power of 2 plus 1 b to the power of 3. The fourth level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1,3,3,1. A plus b to the power of 4 equals 1 a to the power of 4 plus 4 a to the power of 3 b plus 6 a to the power of 2 b to the power of 2 plus 4 a b to the power of 3 plus 1 b to the power of 4. The fifth level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1, 4, 6, 4, 1. A plus b to the power of 5 equals 1 a to the power of 5 plus 5 a to the power of 4 b plus 10 a to the power of 3 b to the power of 2 plus 10 a to the power of 2 b to the power of 3. The sixth row of the Pascal&#x2019;s Triangle is 1, 5, 10, 10, 5, 1.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_002_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"A plus b to the power of 0 equals 1. The top level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1. A plus b to the power of 1 equals 1 a plus 1 b. The second level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1, 1. A plus b to the power of 2 equals 1 a to the power of 2 plus 2 a b plus 1 b to the power of 2. The third level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1, 2, 1. A plus b to the power of 3 equals 1 a to the power of 3 plus 3 a to the power of 2 b plus 3 a b to the power of 2 plus 1 b to the power of 3. The fourth level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1,3,3,1. A plus b to the power of 4 equals 1 a to the power of 4 plus 4 a to the power of 3 b plus 6 a to the power of 2 b to the power of 2 plus 4 a b to the power of 3 plus 1 b to the power of 4. The fifth level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1, 4, 6, 4, 1. A plus b to the power of 5 equals 1 a to the power of 5 plus 5 a to the power of 4 b plus 10 a to the power of 3 b to the power of 2 plus 10 a to the power of 2 b to the power of 3. The sixth row of the Pascal&#x2019;s Triangle is 1, 5, 10, 10, 5, 1.\" \/><\/span><p>The array to the right is called <span data-type=\"term\">Pascal\u2019s Triangle<\/span>. Notice each number in the array is the sum of the two closest numbers in the row above. We can find the next row by starting and ending with one and then adding two adjacent numbers.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834190649\" data-alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_003_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\" \/><\/span><p id=\"fs-id1167835233515\">This triangle gives the coefficients of the terms when we expand binomials.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835281872\"><div data-type=\"title\">Pascal\u2019s Triangle<\/div><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835414816\" data-alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_018_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\" \/><\/span><\/div><p id=\"fs-id1167835257249\">In the next example, we will use this triangle and the patterns we recognized to expand the binomial.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835346097\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835354716\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835240569\"><p id=\"fs-id1167835373694\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(x+y\\right)}^{6}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835370990\"><p id=\"fs-id1167835350877\">We know the variables for this expansion will follow the pattern we identified. The nonzero exponents of <em data-effect=\"italics\">x<\/em> will start at six and decrease to one. The nonzero exponents of <em data-effect=\"italics\">y<\/em> will start at one and increase to six. The sum of the exponents in each term will be six. In our pattern, \\(a=x\\) and \\(b=y.\\)<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835288344\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{c}{\\left(a+b\\right)}^{n}={a}^{n}+___{a}^{n-1}{b}^{1}+___{a}^{n-2}{b}^{2}+...+___{a}^{1}{b}^{n-1}+{b}^{n}\\hfill \\\\ {\\left(x+y\\right)}^{6}={x}^{6}+___{x}^{5}{y}^{1}+___{x}^{4}{y}^{2}+___{x}^{3}{y}^{3}+___{x}^{2}{y}^{4}+___{x}^{1}{y}^{5}+{y}^{6}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><p id=\"fs-id1171791245771\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835349236\" data-alt=\"This figure shows a plus b to the power of n equals a to the power of n plus a to the power if n minus 1 b to the power of 1 plus a to the power of n minus 2 b to the power if 2 plus ellipsis plus a to the power of 1 b to the power of n minus 1 plus b to the power of n. The next figure shows x plus y to the power of 6 equals x to the power of 6 plus x to the power of 5 y to the power of 1 plus x to the power of 4 y to the power of 2 plus x to the power of 3 y to the power of 3 plus x to the power of 2 y to the power of 4 plus x to the power of 1 y to the power of 5 plus y to the power of 6.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_004_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows a plus b to the power of n equals a to the power of n plus a to the power if n minus 1 b to the power of 1 plus a to the power of n minus 2 b to the power if 2 plus ellipsis plus a to the power of 1 b to the power of n minus 1 plus b to the power of n. The next figure shows x plus y to the power of 6 equals x to the power of 6 plus x to the power of 5 y to the power of 1 plus x to the power of 4 y to the power of 2 plus x to the power of 3 y to the power of 3 plus x to the power of 2 y to the power of 4 plus x to the power of 1 y to the power of 5 plus y to the power of 6.\" \/><\/span><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835310471\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835274654\"><p id=\"fs-id1167835350893\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(x+y\\right)}^{5}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832227189\"><p id=\"fs-id1167835595669\">\\({x}^{5}+5{x}^{4}y+10{x}^{3}{y}^{2}+10{x}^{2}{y}^{3}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+5x{y}^{4}+{y}^{5}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835332238\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834587856\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835336201\"><p id=\"fs-id1167832075990\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(p+q\\right)}^{7}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835339575\"><p id=\"fs-id1167834062049\">\\({p}^{7}+7{p}^{6}q+21{p}^{5}{q}^{2}+35{p}^{4}{q}^{3}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+35{p}^{3}{q}^{4}+21{p}^{2}{q}^{5}+7p{q}^{6}+{q}^{7}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167835367953\">In the next example we want to expand a binomial with one variable and one constant. We need to identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> to carefully apply the pattern.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167826875115\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834449175\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834185829\"><p id=\"fs-id1167834192221\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(x+3\\right)}^{5}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834557095\"><p id=\"fs-id1167835338030\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835595646\" data-alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern x plus 3 to the power of 5.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_005_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern x plus 3 to the power of 5.\" \/><\/span><p id=\"fs-id1167835343435\">In our pattern, \\(a=x\\) and \\(b=3.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167834099596\">We know the variables for this expansion will follow the pattern we identified. The sum of the exponents in each term will be five.<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834495476\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{c}{\\left(a+b\\right)}^{n}={a}^{n}+___{a}^{n-1}{b}^{1}+___{a}^{n-2}{b}^{2}+...+___{a}^{1}{b}^{n-1}+{b}^{n}\\\\ {\\left(x+3\\right)}^{5}={x}^{5}+___{x}^{4}\u00b7{3}^{1}+___{x}^{3}\u00b7{3}^{2}+___{x}^{2}\u00b7{3}^{3}+___{x}^{1}\u00b7{3}^{4}+{3}^{5}\\end{array}\\)<\/div><p id=\"fs-id1171792522968\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835380485\" data-alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. This figure shows X plus 3 to the power of 5 equals 1 x to the power of 5 g 3 x to the power of 4 plus 10 g 9 x to the power of 3 plus 10 g 27 x to the power of 2 plus 5 g 81 x to the power of 1 plus 1 g 243. Then, x plus 3 to the power of 5 equals x to the power of 5 plus 15 x to the power of 4 plus 90 x to the power of 3 plus 270 x to the power of 2 plus 405 plus 243.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_006_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. This figure shows X plus 3 to the power of 5 equals 1 x to the power of 5 g 3 x to the power of 4 plus 10 g 9 x to the power of 3 plus 10 g 27 x to the power of 2 plus 5 g 81 x to the power of 1 plus 1 g 243. Then, x plus 3 to the power of 5 equals x to the power of 5 plus 15 x to the power of 4 plus 90 x to the power of 3 plus 270 x to the power of 2 plus 405 plus 243.\" \/><\/span><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835362654\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834064235\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835355964\"><p id=\"fs-id1167835329511\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(x+2\\right)}^{4}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831934028\"><p id=\"fs-id1167835319200\">\\({x}^{4}+8{x}^{3}+24{x}^{2}+32x+16\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835325064\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835353654\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834195996\"><p id=\"fs-id1167835364514\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(x+1\\right)}^{6}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832054098\"><p id=\"fs-id1167835417124\">\\({x}^{6}+6{x}^{5}+15{x}^{4}+20{x}^{3}+15{x}^{2}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+6x+1\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834222081\">In the next example, the binomial is a difference and the first term has a constant times the variable. Once we identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern, we must once again carefully apply the pattern.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167834064692\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835342730\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831921014\"><p id=\"fs-id1167835332853\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(3x-2\\right)}^{4}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834192233\"><p id=\"fs-id1167832031142\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834179970\" data-alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 3 x minus 2 to the power of 4.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_007_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 3 x minus 2 to the power of 4.\" \/><\/span><p id=\"fs-id1167835333507\">In our pattern, \\(a=3x\\) and \\(b=-2.\\)<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834156982\" data-alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_008_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\" \/><\/span><p id=\"fs-id1171792683279\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835333046\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{c}{\\left(a+b\\right)}^{n}={a}^{n}+___{a}^{n-1}{b}^{1}+___{a}^{n-2}{b}^{2}+...+___{a}^{1}{b}^{n-1}+{b}^{n}\\hfill \\\\ {\\left(3x-2\\right)}^{4}=1\u00b7{\\left(}^{3}+4{\\left(3x\\right)}^{3}{\\left(-2\\right)}^{1}+6{\\left(3x\\right)}^{2}{\\left(-2\\right)}^{2}+4{\\left(3x\\right)}^{1}{\\left(-2\\right)}^{3}+1\u00b7{\\left(-2\\right)}^{4}\\hfill \\\\ {\\left(3x-2\\right)}^{4}=81{x}^{4}+4\\left(27{x}^{3}\\right)\\left(-2\\right)+6\\left(9{x}^{2}\\right)\\left(4\\right)+4\\left(3x\\right)\\left(-8\\right)+1\u00b716\\hfill \\\\ {\\left(3x-2\\right)}^{4}=81{x}^{4}-216{x}^{3}+216{x}^{2}-96x+16\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835339503\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831922206\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835305325\"><p id=\"fs-id1167832128907\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(2x-3\\right)}^{4}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835381343\"><p id=\"fs-id1167835262328\">\\(16{x}^{4}-96{x}^{3}+216{x}^{2}-216x+81\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834195261\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835336537\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834190543\"><p id=\"fs-id1167831908479\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(2x-1\\right)}^{6}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832056861\"><p id=\"fs-id1167834430755\">\\(64{x}^{6}-192{x}^{5}+240{x}^{4}-160{x}^{3}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+60{x}^{2}-12x+1\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167834446378\"><h3 data-type=\"title\">Evaluate a Binomial Coefficient<\/h3><p id=\"fs-id1167835361505\">While Pascal\u2019s Triangle is one method to expand a binomial, we will also look at another method. Before we get to that, we need to introduce some more <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">factorial notation<\/span>. This notation is not only used to expand binomials, but also in the study and use of probability.<\/p><p id=\"fs-id1167834196639\">To find the coefficients of the terms of expanded binomials, we will need to be able to evaluate the notation \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)\\) which is called a <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">binomial coefficient<\/span>. We read \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)\\) as \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> choose <em data-effect=\"italics\">r<\/em>\u201d or \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> taken <em data-effect=\"italics\">r<\/em> at a time\u201d.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834192529\"><div data-type=\"title\">Binomial Coefficient \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/div><p id=\"fs-id1167835369321\">A binomial coefficient \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right),\\) where <em data-effect=\"italics\">r<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers with \\(0\\le r\\le n,\\) is defined as<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835239179\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)=\\frac{n!}{r!\\left(n-r\\right)!}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167834459152\">We read \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)\\) as \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> choose <em data-effect=\"italics\">r<\/em>\u201d or \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> taken <em data-effect=\"italics\">r<\/em> at a time\u201d.<\/p><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835269593\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834061966\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835324747\"><p id=\"fs-id1167834535323\">Evaluate: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\left(\\begin{array}{c}7\\hfill \\\\ 7\\hfill \\end{array}\\right)\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\) <span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\(\\left(\\begin{array}{c}8\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right).\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835341027\"><p id=\"fs-id1167834063189\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> We will use the definition of a binomial coefficient, \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)=\\frac{n!}{r!\\left(n-r\\right)!}.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835352294\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the definition,}\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)=\\frac{n!}{r!\\left(n-r\\right)!},\\text{where}\\hfill \\\\ n=5,r=1.\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{5!}{1!\\left(5-1\\right)!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{5!}{1!\\left(4\\right)!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Rewrite}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}5!\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{as}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}5\u00b74!\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{5\u00b74!}{1!\u00b74!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify, by removing common factors.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{5\u00b7\\overline{)4!}}{1\u00b7\\overline{)4!}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}5\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)=5\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167832051714\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p><p id=\"fs-id1167831923391\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}7\\hfill \\\\ 7\\hfill \\end{array}\\right)\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the definition,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)=\\frac{n!}{r!\\left(n-r\\right)!},\\text{where}\\hfill \\\\ n=7,r=7.\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{7!}{7!\\left(7-7\\right)!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{7!}{7!\\left(0\\right)!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify. Remember}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}0!=1.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}1\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}7\\hfill \\\\ 7\\hfill \\end{array}\\right)=1\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835308327\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p><p id=\"fs-id1167831921739\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the definition,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)=\\frac{n!}{r!\\left(n-r\\right)!},\\text{where}\\hfill \\\\ n=4,r=0.\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{4!}{0!\\left(4-0\\right)!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{4!}{0!\\left(4\\right)!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}1\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)=1\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835376930\"><span class=\"token\">\u24d3<\/span><\/p><p id=\"fs-id1167835359942\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}8\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right)\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the definition,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)=\\frac{n!}{r!\\left(n-r\\right)!},\\text{where}\\hfill \\\\ n=8,r=5.\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}\\frac{8!}{5!\\left(8-5\\right)!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}\\frac{8!}{5!\\left(3\\right)!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Rewrite}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}8!\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{as}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}8\u00b77\u00b76\u00b75!\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{and remove common factors.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}\\frac{8\u00b77\u00b7\\overline{)6}\u00b7\\overline{)5!}}{\\overline{)5!}\u00b7\\overline{)3}\u00b7\\overline{)2}\u00b71}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}56\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}8\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right)=56\\hfill \\end{array}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834228451\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835354049\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835354051\"><p id=\"fs-id1167834423481\">Evaluate each binomial coefficient:<\/p><p id=\"fs-id1167834423484\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}6\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}8\\hfill \\\\ 8\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}7\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right).\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831911833\"><p id=\"fs-id1167831911835\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 6 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 35<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167832075978\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832075981\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834063434\"><p id=\"fs-id1167834063436\">Evaluate each binomial coefficient:<\/p><p id=\"fs-id1167835336627\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}2\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}11\\hfill \\\\ 11\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}9\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}6\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right).\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835236047\"><p id=\"fs-id1167835236049\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 2 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 6<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167830697865\">In the previous example, parts (a), (b), (c) demonstrate some special properties of binomial coefficients.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835355381\"><div data-type=\"title\">Properties of Binomial Coefficients<\/div><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1171791135347\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)=n\\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right)=1\\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)=1\\)<\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167835230732\"><h3 data-type=\"title\">Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial<\/h3><p id=\"fs-id1167835230737\">We are now ready to use the alternate method of expanding binomials. The <span data-type=\"term\">Binomial Theorem<\/span> uses the same pattern for the variables, but uses the binomial coefficient for the coefficient of each term.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835323777\"><div data-type=\"title\">Binomial Theorem<\/div><p id=\"fs-id1167835323782\">For any real numbers <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em>, and positive integer <em data-effect=\"italics\">n<\/em>,<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167826996430\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(a+b\\right)}^{n}=\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-1}{b}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-2}{b}^{2}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-r}{b}^{r}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right){b}^{n}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167831880091\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835308162\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835308164\"><p id=\"fs-id1167835308166\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(p+q\\right)}^{4}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835379520\"><p id=\"fs-id1167835306013\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832056779\" data-alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern p plus q to the power of 4.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_009_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern p plus q to the power of 4.\" \/><\/span><p id=\"fs-id1167831911004\">In our pattern, \\(a=p\\) and \\(b=q.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167826996798\">We use the Binomial Theorem.<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167826996801\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(a+b\\right)}^{n}=\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-1}{b}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-2}{b}^{2}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-r}{b}^{r}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right){b}^{n}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167835280488\">Substitute in the values \\(a=p,\\)\\(b=q\\) and \\(n=4.\\)<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835421694\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(p+q\\right)}^{4}=\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){p}^{4}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){p}^{4-1}{q}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){p}^{4-2}{q}^{2}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right){p}^{4-3}{q}^{3}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 4\\hfill \\end{array}\\right){q}^{4}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167834432896\">Simplify the exponents.<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835414024\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(p+q\\right)}^{4}=\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){p}^{4}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){p}^{3}{q}^{}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){p}^{2}{q}^{2}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right){p}^{}{q}^{3}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 4\\hfill \\end{array}\\right){q}^{4}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167835305613\">Evaluate the coefficients. Remember, \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)=n,\\)\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right)=1,\\)\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)=1.\\)<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835348520\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{c}{\\left(p+q\\right)}^{4}=1{p}^{4}+4{p}^{3}{q}^{1}+\\frac{4!}{2!\\left(2\\right)!}{p}^{2}{q}^{2}+\\frac{4!}{3!\\left(4-3\\right)!}{p}^{1}{q}^{3}+1{q}^{4}\\hfill \\\\ {\\left(p+q\\right)}^{4}={p}^{4}+4{p}^{3}{q}^{}+6{p}^{2}{q}^{2}+4{p}^{}{q}^{3}+{q}^{4}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835258730\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834196231\"><p id=\"fs-id1167834196233\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(x+y\\right)}^{5}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835235156\"><p id=\"fs-id1167835235158\">\\({x}^{5}+5{x}^{4}y+10{x}^{3}{y}^{2}+10{x}^{2}{y}^{3}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+5x{y}^{4}+{y}^{5}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835234583\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835234586\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835564728\"><p id=\"fs-id1167835564730\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(m+n\\right)}^{6}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835310773\"><p id=\"fs-id1167835310775\">\\({m}^{6}+6{m}^{5}n+15{m}^{4}{n}^{2}+20{m}^{3}{n}^{3}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+15{m}^{2}{n}^{4}+6m{n}^{5}+{n}^{6}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834183795\">Notice that when we expanded \\({\\left(p+q\\right)}^{4}\\) in the last example, using the Binomial Theorem, we got the same coefficients we would get from using <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Pascal\u2019s Triangle<\/span>.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835241554\" data-alt=\"The figure above is P plus q to the power of 4 equals 4 choose 0 times p to the power of 4 plus 4 choose 1 times p to the power of 3 q plus 4 choose 2 times p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 choose 3 times p q to the power of 3 plus 4 choose 4 times q to the power of 4. P plus q to the power of 4 equals p to the power of 4 p to the power of 3 q plus 6 p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 p q to the power of 3 plus q to the power of 4. This figure on the right shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_014_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The figure above is P plus q to the power of 4 equals 4 choose 0 times p to the power of 4 plus 4 choose 1 times p to the power of 3 q plus 4 choose 2 times p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 choose 3 times p q to the power of 3 plus 4 choose 4 times q to the power of 4. P plus q to the power of 4 equals p to the power of 4 p to the power of 3 q plus 6 p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 p q to the power of 3 plus q to the power of 4. This figure on the right shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\" \/><\/span><p id=\"fs-id1167835322176\">The next example, the binomial is a difference. When the binomial is a difference, we must be careful in identifying the values we will use in the pattern.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167832066110\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832066113\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832066115\"><p id=\"fs-id1167832067124\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(x-2\\right)}^{5}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835349765\"><p id=\"fs-id1167835349768\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835330848\" data-alt=\"This figure shows x minus 2 to the power of 5.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_010_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows x minus 2 to the power of 5.\" \/><\/span><p id=\"fs-id1167834556499\">In our pattern, \\(a=x\\) and \\(b=-2.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835358208\">We use the Binomial Theorem.<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835358211\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(a+b\\right)}^{n}=\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-1}{b}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-2}{b}^{2}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-r}{b}^{r}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right){b}^{n}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167835301541\">Substitute in the values \\(a=x,\\)\\(b=-2,\\) and \\(n=5.\\)<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835422006\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(x-2\\right)}^{5}=\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){x}^{5}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){x}^{5-1}{\\left(-2\\right)}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){x}^{5-2}{\\left(-2\\right)}^{2}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right){x}^{5-3}{\\left(-2\\right)}^{3}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 4\\hfill \\end{array}\\right){x}^{5-4}{\\left(-2\\right)}^{4}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right){\\left(-2\\right)}^{5}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167835351262\">Simplify the exponents and evaluate the coefficients. Remember,\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)=n,\\)\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right)=1,\\)\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)=1.\\)<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167830703936\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{}\\\\ \\\\ {\\left(x-2\\right)}^{5}=\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){x}^{5}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){x}^{4}{\\left(-2\\right)}^{}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){x}^{3}{\\left(-2\\right)}^{2}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right){x}^{2}{\\left(-2\\right)}^{3}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 4\\hfill \\end{array}\\right)x{\\left(-2\\right)}^{4}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right){\\left(-2\\right)}^{5}\\hfill \\\\ {\\left(x-2\\right)}^{5}=1{x}^{5}+5\\left(-2\\right){x}^{4}+\\frac{5!}{2!\u00b73!}{\\left(-2\\right)}^{2}{x}^{3}+\\frac{5!}{3!\u00b72!}{\\left(-2\\right)}^{3}{x}^{2}+\\frac{5!}{4!\u00b71!}{\\left(-2\\right)}^{4}x+1{\\left(-2\\right)}^{5}\\hfill \\\\ {\\left(x-2\\right)}^{5}={x}^{5}+5\\left(-2\\right){x}^{4}+10\u00b74\u00b7{x}^{3}+10\\left(-8\\right){x}^{2}+5\u00b716\u00b7x+1\\left(-32\\right)\\hfill \\\\ {\\left(x-2\\right)}^{5}={x}^{5}-10{x}^{4}+40{x}^{3}-80{x}^{2}+80x-32\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835434158\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835479490\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835479492\"><p id=\"fs-id1167835479494\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(x-3\\right)}^{5}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835301460\"><p id=\"fs-id1167835301463\">\\({x}^{5}-15{x}^{4}+90{x}^{3}-270{x}^{2}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+405x-243\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167826803922\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826803926\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826803928\"><p id=\"fs-id1167826803930\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(y-1\\right)}^{6}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835479505\"><p id=\"fs-id1167835479507\">\\({y}^{6}-6{y}^{5}+15{y}^{4}-20{y}^{3}+15{y}^{2}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(-6y+1\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834552544\">Things can get messy when both terms have a coefficient and a variable.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167834552548\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\"><div data-type=\"problem\"><p id=\"fs-id1167835589662\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(2x-3y\\right)}^{4}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834301208\"><p id=\"fs-id1167826997308\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830703285\" data-alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 2 x minus 3 y times the power of 4.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_011_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 2 x minus 3 y times the power of 4.\" \/><\/span><p id=\"fs-id1167831923400\">In our pattern, \\(a=2x\\) and \\(b=-3y.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167834431031\">We use the Binomial Theorem.<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834431034\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(a+b\\right)}^{n}=\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-1}{b}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-2}{b}^{2}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-r}{b}^{r}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right){b}^{n}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167834185496\">Substitute in the values \\(a=2x,\\)\\(b=-3y\\) and \\(n=4.\\)<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167831920149\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(2x-3y\\right)}^{4}=\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){\\left(2x\\right)}^{4}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){\\left(2x\\right)}^{4-1}{\\left(-3y\\right)}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){\\left(2x\\right)}^{4-2}{\\left(-3y\\right)}^{2}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right){\\left(2x\\right)}^{4-3}{\\left(-3y\\right)}^{3}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 4\\hfill \\end{array}\\right){\\left(-3y\\right)}^{4}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167834252381\">Simplify the exponents.<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834252384\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(2x-3y\\right)}^{4}=\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){\\left(2x\\right)}^{4}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){\\left(2x\\right)}^{3}{\\left(-3y\\right)}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){\\left(2x\\right)}^{2}{\\left(-3y\\right)}^{2}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right){\\left(2x\\right)}^{1}{\\left(-3y\\right)}^{3}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 4\\hfill \\end{array}\\right){\\left(-3y\\right)}^{4}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167835375441\">Evaluate the coefficients. Remember, \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)=n,\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right)=1,\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)=1.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167834534435\">\\({\\left(2x-3y\\right)}^{4}=1{\\left(2x\\right)}^{4}+4{\\left(2x\\right)}^{3}{\\left(-3y\\right)}^{1}+\\frac{4!}{2!\\left(2\\right)!}{\\left(2x\\right)}^{2}{\\left(-3y\\right)}^{2}+\\frac{4!}{3!\\left(4-3\\right)!}{\\left(2x\\right)}^{1}{\\left(-3y\\right)}^{3}+1{\\left(-3y\\right)}^{4}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835515336\">\\({\\left(2x-3y\\right)}^{4}=16{x}^{4}+4\u00b78{x}^{3}\\left(-3y\\right)+6\\left(4{x}^{2}\\right)\\left(9{y}^{2}\\right)+4\\left(2x\\right)\\left(-27{y}^{3}\\right)+81{y}^{4}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167834362197\">\\({\\left(2x-3y\\right)}^{4}=16{x}^{4}-96{x}^{3}y+216{x}^{2}{y}^{2}-216x{y}^{3}+81{y}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167832036224\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832036228\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832036230\"><p id=\"fs-id1167832036232\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(3x-2y\\right)}^{5}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834252341\"><p id=\"fs-id1167834252343\">\\(243{x}^{5}-810{x}^{4}y+1080{x}^{3}{y}^{2}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(-720{x}^{2}{y}^{3}+240x{y}^{4}-32{y}^{5}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167831920175\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831920179\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831920181\"><p id=\"fs-id1167831920184\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(4x-3y\\right)}^{4}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831920941\"><p id=\"fs-id1167831920943\">\\(256{x}^{4}-768{x}^{3}y+864{x}^{2}{y}^{2}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(-432x{y}^{3}+81{y}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167826803948\">The real beauty of the Binomial Theorem is that it gives a formula for any particular term of the expansion without having to compute the whole sum. Let\u2019s look for a pattern in the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Binomial Theorem<\/span>.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167826803959\" data-alt=\"This figure shows a plus b to the power of n equals n choose 0 times a to the power of n b to the power of 0 plus n choose 1 times a to the power of n minus 1 b to the 1 plus n choose 2 times a to the power of n minus 2 b to the power of 2 plus ellipsis plus n choose r times a to the power of n minus r plus ellipsis plus n choose n times b to the power of n.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_015_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows a plus b to the power of n equals n choose 0 times a to the power of n b to the power of 0 plus n choose 1 times a to the power of n minus 1 b to the 1 plus n choose 2 times a to the power of n minus 2 b to the power of 2 plus ellipsis plus n choose r times a to the power of n minus r plus ellipsis plus n choose n times b to the power of n.\" \/><\/span><p>Notice, that in each case the exponent on the <em data-effect=\"italics\">b<\/em> is one less than the number of the term. The \\(\\left(r+1\\right)st\\) term is the term where the exponent of <em data-effect=\"italics\">b<\/em> is <em data-effect=\"italics\">r<\/em>. So we can use the format of the \\(\\left(r+1\\right)st\\) term to find the value of a specific term.<\/p><div data-type=\"note\"><div data-type=\"title\">Find a Specific Term in a Binomial Expansion<\/div><p id=\"fs-id1167831921238\">The \\({\\left(r+1\\right)}^{st}\\) term in the expansion of \\({\\left(a+b\\right)}^{n}\\) is<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835575770\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-r}{b}^{r}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167831922343\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831922345\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831922347\"><p id=\"fs-id1167831922349\">Find the fourth term of \\({\\left(x+y\\right)}^{7}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831922375\"><table id=\"fs-id1167831922378\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"X plus y to the power of 7. N choose r times a to the power of n minus r b to the power of r. 7 choose 3 times a to the power of 7 minus 3 b to the power of 3. Use n choose r equals n factorial divided by r factorial times n minus r times factorial to get 7 factorial divided by 3 factorial 4 factorial times a to the power of 7 minus 3 b to the power of 3. Simplify 7 g 6 g 5 g 4 factorial divided by 4 factorial g 3 g 2 g 1 times a to the power of 4 b to the power of 3. Simplify to 35 a to the power of 4 b to the power of 3.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"bottom\" data-align=\"left\">In our pattern, \\(n=7,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a=x\\) and \\(b=y.\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834238718\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">We are looking for the fourth term.<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\begin{array}{ccc}\\hfill \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}r+1&amp; =\\hfill &amp; 4,\\hfill \\\\ \\hfill \\text{then}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}r&amp; =\\hfill &amp; 3.\\hfill \\end{array}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Write the formula.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834238794\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Substitute in the values, \\(n=7,\\)\\(r=3,\\)\\(a=x,\\) and \\(b=y.\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834065735\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834065754\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834539336\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016e_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834539361\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016f_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834539388\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016g_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834539405\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834539409\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834539411\"><p id=\"fs-id1167834539413\">Find the third term of \\({\\left(x+y\\right)}^{6}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830705516\"><p id=\"fs-id1167830705518\">\\(15{x}^{4}{y}^{2}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167830705538\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830705542\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830705544\"><p id=\"fs-id1167830705546\">Find the fifth term of \\({\\left(a+b\\right)}^{8}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830705572\"><p id=\"fs-id1167830705574\">\\(8a{b}^{7}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167830705591\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830705593\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830705595\"><p id=\"fs-id1167830705598\">Find the coefficient of the \\({x}^{6}\\) term of \\({\\left(x+3\\right)}^{9}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826788459\"><table id=\"fs-id1167826788462\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern x plus 3 to the power of 9. N choose r times a to the power of n minus r b to the power r. 9 choose 3 times x to the power of 9 minus 3 g 3 to the power of 3. The figure shows two equations on the right and the left. The left reads use n choose r equals n factorial divided by r factorial times n minus r times factorial. The right reads 9 factorial divided by 3 factorial 6 factorial x to the power of 9 minus 3 g 3 to the power of 3. Simplify to 9 g 7 g 6 factorial divided by 3 g 2 g 1 g 6 factorial times x to the power of 6 g 27. Simplify to 9 g 27 g x to the power of 6. Simplify to 243 x to the power of 6.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"bottom\" data-align=\"left\">In our pattern, then \\(n=9,\\)\\(a=x,\\) and \\(b=3.\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167826788542\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">We are looking for the coefficient of the \\({x}^{6}\\) term.<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\u2003\u2003\u2003\u2003Since \\(a=x,\\) and \\({x}^{9-r}={x}^{6},\\) we know \\(r=3.\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Write the formula.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835483761\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Substitute in the values, \\(n=9,\\)\\(r=3,\\)\\(a=x,\\) and \\(b=3.\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835364607\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835364627\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017e_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830703815\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017f_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830703842\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017g_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830703868\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017h_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">The coefficient of the \\({x}^{6}\\) term is 2268.<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835595833\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835595836\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835595838\"><p id=\"fs-id1167835595841\">Find the coefficient of the \\({x}^{5}\\) term of \\({\\left(x+4\\right)}^{8}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835595875\"><p id=\"fs-id1167835595877\">7,168<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835595883\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835595887\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835595890\"><p id=\"fs-id1167835595892\">Find the coefficient of the \\({x}^{4}\\) term of \\({\\left(x+2\\right)}^{7}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835595926\"><p id=\"fs-id1167835595928\">280<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835595934\" class=\"media-2\"><p id=\"fs-id1167831896538\">Access these online resources for additional instruction and practice with sequences.<\/p><ul id=\"fs-id1167831896542\" data-display=\"block\"><li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37binexpanpastr\">Binomial Expansion Using Pascal\u2019s Triangle<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37binocoeffic\">Binomial Coefficients<\/a><\/li><\/ul><\/div><\/div><div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167831896564\"><h3 data-type=\"title\">Key Concepts<\/h3><ul id=\"fs-id1167831896571\" data-bullet-style=\"bullet\"><li><strong data-effect=\"bold\">Patterns in the expansion of<\/strong>\\({\\left(a+b\\right)}^{n}\\)<ul id=\"fs-id1167831896607\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>The number of terms is \\(n+1.\\)<\/li><li>The first term is \\({a}^{n}\\) and the last term is \\({b}^{n}.\\)<\/li><li>The exponents on <em data-effect=\"italics\">a<\/em> decrease by one on each term going left to right.<\/li><li>The exponents on <em data-effect=\"italics\">b<\/em> increase by one on each term going left to right.<\/li><li>The sum of the exponents on any term is <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/li><\/ul><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Pascal\u2019s Triangle<\/strong><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834062595\" data-alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_013_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\" \/><\/span><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Binomial Coefficient<\/strong>\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)\\)<strong data-effect=\"bold\">:<\/strong> A binomial coefficient \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right),\\) where <em data-effect=\"italics\">r<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers with \\(0\\le r\\le n,\\) is defined as<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> <div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835321467\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)=\\frac{n!}{r!\\left(n-r\\right)!}\\)<\/div><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> We read \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)\\) as \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> choose <em data-effect=\"italics\">r<\/em>\u201d or \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> taken <em data-effect=\"italics\">r<\/em> at a time\u201d.<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Properties of Binomial Coefficients<\/strong><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(\\begin{array}{ccccccccc}\\hfill \\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)=n\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right)=1\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)=1\\hfill \\end{array}\\)<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Binomial Theorem:<\/strong> For any real numbers <em data-effect=\"italics\">a<\/em>, <em data-effect=\"italics\">b<\/em>, and positive integer <em data-effect=\"italics\">n<\/em>,<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> <div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835468472\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(a+b\\right)}^{n}=\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-1}{b}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-2}{b}^{2}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-r}{b}^{r}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right){b}^{n}\\)<\/div><\/li><\/ul><\/div><div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167834188605\"><h3 data-type=\"title\">Section Exercises<\/h3><div class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167834188609\"><h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4><p id=\"fs-id1167834188617\"><strong data-effect=\"bold\">Use Pascal\u2019s Triangle to Expand a Binomial<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167834188624\">In the following exercises, expand each binomial using Pascal\u2019s Triangle.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834188628\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834188630\"><p id=\"fs-id1167834188633\">\\({\\left(x+y\\right)}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826799328\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826799330\"><p id=\"fs-id1167826799332\">\\({\\left(a+b\\right)}^{8}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826799354\"><p id=\"fs-id1167826799357\">\\({a}^{8}+8{a}^{7}b+28{a}^{6}{b}^{2}+56{a}^{5}{b}^{3}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+70{a}^{4}{b}^{4}+56{a}^{3}{b}^{5}+28{a}^{2}{b}^{6}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+8a{b}^{7}+{b}^{8}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835357815\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835357818\"><p id=\"fs-id1167835357820\">\\({\\left(m+n\\right)}^{10}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835281826\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835281828\"><p id=\"fs-id1167835281830\">\\({\\left(p+q\\right)}^{9}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835281852\"><p id=\"fs-id1167835281854\">\\({p}^{9}+9{p}^{8}q+36{p}^{7}{q}^{2}+84{p}^{6}{q}^{3}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+126{p}^{5}{q}^{4}+126{p}^{4}{q}^{5}+84{p}^{3}{q}^{6}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+36{p}^{2}{q}^{7}+9p{q}^{8}+{q}^{9}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834423683\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834423685\"><p id=\"fs-id1167826993944\">\\({\\left(x-y\\right)}^{5}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826994041\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826994043\"><p id=\"fs-id1167826994046\">\\({\\left(a-b\\right)}^{6}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826994068\"><p id=\"fs-id1167826994070\">\\({a}^{6}-6{a}^{5}b+15{a}^{4}{b}^{2}-20{a}^{3}{b}^{3}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+15{a}^{2}{b}^{4}-6a{b}^{5}+{b}^{6}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834066081\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834066083\"><p id=\"fs-id1167834066085\">\\({\\left(x+4\\right)}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832144279\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832144281\"><p id=\"fs-id1167832144283\">\\({\\left(x+5\\right)}^{3}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832144306\"><p id=\"fs-id1167832144308\">\\({x}^{3}+15{x}^{2}+75x+125\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832144340\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832144342\"><p id=\"fs-id1167832144344\">\\({\\left(y+2\\right)}^{5}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834195532\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834195534\"><p id=\"fs-id1167834195536\">\\({\\left(y+1\\right)}^{7}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834195558\"><p id=\"fs-id1167834195560\">\\({y}^{7}+7{y}^{6}+21{y}^{5}+35{y}^{4}+35{y}^{3}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+21{y}^{2}+7y+1\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834195631\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834195633\"><p id=\"fs-id1167834195635\">\\({\\left(z-3\\right)}^{5}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835379880\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835379882\"><p id=\"fs-id1167835379885\">\\({\\left(z-2\\right)}^{6}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835379907\"><p id=\"fs-id1167835379909\">\\({z}^{6}-12{z}^{5}+60{z}^{4}-160{z}^{3}+240{z}^{2}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(-192z+64\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831922804\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831922806\"><p id=\"fs-id1167831922809\">\\({\\left(4x-1\\right)}^{3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831922869\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831922872\"><p id=\"fs-id1167831922874\">\\({\\left(3x-1\\right)}^{5}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831922898\"><p id=\"fs-id1167831922900\">\\(243{x}^{5}-405{x}^{4}+270{x}^{3}-90{x}^{2}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+15x-1\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826987731\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826987733\"><p id=\"fs-id1167826987735\">\\({\\left(3x-4\\right)}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826987806\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826987808\"><p id=\"fs-id1167826987810\">\\({\\left(3x-5\\right)}^{3}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826987834\"><p id=\"fs-id1167826987837\">\\(27{x}^{3}-135{x}^{2}+225x-125\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835244769\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835244771\"><p id=\"fs-id1167835244773\">\\({\\left(2x+3y\\right)}^{3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835244849\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835244851\"><p id=\"fs-id1167835244853\">\\({\\left(3x+5y\\right)}^{3}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835244880\"><p id=\"fs-id1167835244882\">\\(27{x}^{3}+135{x}^{2}y+225x{y}^{2}+125{y}^{3}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167830705849\"><strong data-effect=\"bold\">Evaluate a Binomial Coefficient<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167830705854\">In the following exercises, evaluate.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830705858\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830705860\"><p id=\"fs-id1167830705862\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}8\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}10\\hfill \\\\ 10\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}6\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}9\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826977707\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826977709\"><p id=\"fs-id1167826977711\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}7\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 4\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}3\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}10\\hfill \\\\ 8\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831881632\"><p id=\"fs-id1167831881634\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 7 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 45<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831881659\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831881661\"><p id=\"fs-id1167831881663\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}3\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}9\\hfill \\\\ 9\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}7\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835352517\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835352519\"><p id=\"fs-id1167835352521\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}8\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}11\\hfill \\\\ 9\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835352633\"><p id=\"fs-id1167835352635\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 4 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 55<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167831920560\"><strong data-effect=\"bold\">Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167831920567\">In the following exercises, expand each binomial.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831920570\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831920572\"><p id=\"fs-id1167831920574\">\\({\\left(x+y\\right)}^{3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831920641\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831920644\"><p id=\"fs-id1167831920646\">\\({\\left(m+n\\right)}^{5}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831920668\"><p id=\"fs-id1167831920670\">\\({m}^{5}+5{m}^{4}n+10{m}^{3}{n}^{2}+10{m}^{2}{n}^{3}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+5m{n}^{4}+{n}^{5}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834535174\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834535177\"><p id=\"fs-id1167834535179\">\\({\\left(a+b\\right)}^{6}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834535291\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835622197\"><p id=\"fs-id1167835622199\">\\({\\left(s+t\\right)}^{7}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835622221\"><p id=\"fs-id1167835622223\">\\({s}^{7}+7{s}^{6}t+21{s}^{5}{t}^{2}+35{s}^{4}{t}^{3}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+35{s}^{3}{t}^{4}+21{s}^{2}{t}^{5}+7s{t}^{6}+{t}^{7}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835622326\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835622328\"><p id=\"fs-id1167835622330\">\\({\\left(x-2\\right)}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830704384\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830704387\"><p id=\"fs-id1167830704389\">\\({\\left(y-3\\right)}^{4}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830704411\"><p id=\"fs-id1167830704413\">\\({y}^{4}-12{y}^{3}+54{y}^{2}-108y+81\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830704455\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830704457\"><p id=\"fs-id1167830704459\">\\({\\left(p-1\\right)}^{5}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831884551\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831884553\"><p id=\"fs-id1167831884555\">\\({\\left(q-4\\right)}^{3}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831884577\"><p id=\"fs-id1167831884580\">\\({q}^{3}-12{q}^{2}+48q-64\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831884612\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831884614\"><p id=\"fs-id1167831884616\">\\({\\left(3x-y\\right)}^{5}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834537970\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834537973\"><p id=\"fs-id1167834537975\">\\({\\left(5x-2y\\right)}^{4}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834538001\"><p id=\"fs-id1167834538004\">\\(625{x}^{4}-1000{x}^{3}y+600{x}^{2}{y}^{2}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(-160x{y}^{3}+16{y}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834538065\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834538068\"><p id=\"fs-id1167834538070\">\\({\\left(2x+5y\\right)}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831823905\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831823907\"><p id=\"fs-id1167831823909\">\\({\\left(3x+4y\\right)}^{5}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831823936\"><p id=\"fs-id1167831823938\">\\(243{x}^{5}+1620{x}^{4}y+4320{x}^{3}{y}^{2}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+5760{x}^{2}{y}^{3}+3840x{y}^{4}+1024{y}^{5}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834430382\">In the following exercises, find the indicated term in the expansion of the binomial.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834430386\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834430388\"><p id=\"fs-id1167834430390\">Sixth term of \\({\\left(x+y\\right)}^{10}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834430438\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834430440\"><p id=\"fs-id1167834430442\">Fifth term of \\({\\left(a+b\\right)}^{9}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834430468\"><p id=\"fs-id1167834430470\">\\(126{a}^{5}{b}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834430489\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834430491\"><p id=\"fs-id1167834430493\">Fourth term of \\({\\left(x-y\\right)}^{8}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831887443\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831887445\"><p id=\"fs-id1167831887448\">Seventh term of \\({\\left(x-y\\right)}^{11}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831887474\"><p id=\"fs-id1167831887476\">\\(462{x}^{5}{y}^{6}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167831887496\">In the following exercises, find the coefficient of the indicated term in the expansion of the binomial.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831887500\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831887502\"><p id=\"fs-id1167831887504\">\\({y}^{3}\\) term of \\({\\left(y+5\\right)}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831887545\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831887547\"><p id=\"fs-id1167831887549\">\\({x}^{6}\\) term of \\({\\left(x+2\\right)}^{8}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831887582\"><p id=\"fs-id1167831887584\">112<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831887589\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831887592\"><p id=\"fs-id1167831887594\">\\({x}^{5}\\) term of \\({\\left(x-4\\right)}^{6}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831833765\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831833767\"><p id=\"fs-id1167831833769\">\\({x}^{7}\\) term of \\({\\left(x-3\\right)}^{9}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831833802\"><p id=\"fs-id1167831833805\">324<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831833810\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831833812\"><p id=\"fs-id1167831833814\">\\({a}^{4}{b}^{2}\\) term of \\({\\left(2a+b\\right)}^{6}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831833862\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831833864\"><p id=\"fs-id1167831833866\">\\({p}^{5}{q}^{4}\\) term of \\({\\left(3p+q\\right)}^{9}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834555252\"><p id=\"fs-id1167834555254\">30,618<\/p><\/div><\/div><\/div><div class=\"writing\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167829791146\"><h4 data-type=\"title\">Writing Exercises<\/h4><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834555269\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834555271\"><p id=\"fs-id1167834555273\">In your own words explain how to find the rows of the Pascal\u2019s Triangle. Write the first five rows of Pascal\u2019s Triangle.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834555286\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834555288\"><p id=\"fs-id1167834555290\">In your own words, explain the pattern of exponents for each variable in the expansion of.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834555295\"><p id=\"fs-id1167834555297\">Answers will vary.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834555303\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834555305\"><p id=\"fs-id1167834555307\">In your own words, explain the difference between \\({\\left(a+b\\right)}^{n}\\) and \\({\\left(a-b\\right)}^{n}.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834555360\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834555362\"><p id=\"fs-id1167834555365\">In your own words, explain how to find a specific term in the expansion of a binomial without expanding the whole thing. Use an example to help explain.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834555370\"><p id=\"fs-id1167834555372\">Answers will vary.<\/p><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167834555379\"><h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4><p id=\"fs-id1167834555384\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834555396\" data-alt=\"This figure shows a table with four rows and four columns. The first row is the header row and reads. &#x201c;I can&#x201d;, &#x201c;Confidently&#x201d;, &#x201c;With some help&#x201d; and &#x201c;No, I don&#x2019;t get it&#x201d;. The first column, beginning at the second row reads, &#x201c;Use Pascal&#x2019;s Triangle to Expand a Binomial&#x201d;, &#x201c;Evaluate a Binomial Coefficient&#x201d; and &#x201c;Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial&#x201d;. The remaining columns are blank.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_201_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows a table with four rows and four columns. The first row is the header row and reads. &#x201c;I can&#x201d;, &#x201c;Confidently&#x201d;, &#x201c;With some help&#x201d; and &#x201c;No, I don&#x2019;t get it&#x201d;. The first column, beginning at the second row reads, &#x201c;Use Pascal&#x2019;s Triangle to Expand a Binomial&#x201d;, &#x201c;Evaluate a Binomial Coefficient&#x201d; and &#x201c;Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial&#x201d;. The remaining columns are blank.\" \/><\/span><p id=\"fs-id1167834555408\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> On a scale of 1-10, how would you rate your mastery of this section in light of your responses on the checklist? How can you improve this?<\/p><\/div><\/div><div class=\"review-exercises\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167834533095\"><h3 data-type=\"title\">Chapter Review Exercises<\/h3><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167834533099\"><h4 data-type=\"title\"><a href=\"\/contents\/81cfc493-c857-49bd-a23f-82ac67cbb9c4\" class=\"target-chapter\">Sequences<\/a><\/h4><p id=\"fs-id1167834533110\"><strong data-effect=\"bold\">Write the First Few Terms of a Sequence<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167834533116\">In the following exercises, write the first five terms of the sequence whose general term is given.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834533120\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834533122\"><p id=\"fs-id1167834533124\">\\({a}_{n}=7n-5\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834533173\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834533175\"><p id=\"fs-id1167834533178\">\\({a}_{n}={3}^{n}+4\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834533200\"><p id=\"fs-id1167834533202\">\\(7,13,31,85,247\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834533228\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834533230\"><p id=\"fs-id1167834533232\">\\({a}_{n}={2}^{n}+n\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830699125\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830699127\"><p id=\"fs-id1167830699129\">\\({a}_{n}=\\frac{2n+1}{{4}^{n}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830699159\"><p id=\"fs-id1167830699161\">\\(\\frac{3}{4},\\frac{5}{16},\\frac{7}{64},\\frac{9}{256},\\frac{11}{1024}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830699208\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830699210\"><p id=\"fs-id1167830699212\">\\({a}_{n}=\\frac{{\\left(-1\\right)}^{n}}{{n}^{2}}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834098136\"><strong data-effect=\"bold\">Find a Formula for the General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th Term) of a Sequence<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167834098147\">In the following exercises, find a general term for the sequence whose first five terms are shown.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834098152\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834098154\"><p id=\"fs-id1167834098156\">\\(9,18,27,36,45,\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834098187\"><p id=\"fs-id1167834098189\">\\({a}_{n}=9n\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834098207\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834098209\"><p id=\"fs-id1167834098211\">\\(-5,-4,-3,-2,-1,\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834098265\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834098267\"><p id=\"fs-id1167834098269\">\\(\\frac{1}{{e}^{3}},\\frac{1}{{e}^{2}},\\frac{1}{e},1,e,\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834536203\"><p id=\"fs-id1167834536206\">\\({a}_{n}={e}^{n-4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834536230\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834536232\"><p id=\"fs-id1167834536234\">\\(1,-8,27,-64,125,\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834536307\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834536309\"><p id=\"fs-id1167834536311\">\\(-\\frac{1}{3},-\\frac{1}{2},-\\frac{3}{5},-\\frac{2}{3},-\\frac{5}{7},\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831846984\"><p id=\"fs-id1167831846986\">\\({a}_{n}=-\\frac{n}{n+2}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167831847012\"><strong data-effect=\"bold\">Use Factorial Notation<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167831847018\">In the following exercises, using factorial notation, write the first five terms of the sequence whose general term is given.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831847022\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831847024\"><p id=\"fs-id1167831847026\">\\({a}_{n}=4n!\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831847073\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831847076\"><p id=\"fs-id1167831847078\">\\({a}_{n}=\\frac{n!}{\\left(n+2\\right)\\text{!}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831847115\"><p id=\"fs-id1167831847117\">\\(\\frac{1}{6},\\frac{1}{12},\\frac{1}{20},\\frac{1}{30},\\frac{1}{42}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834095018\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834095020\"><p id=\"fs-id1167834095023\">\\({a}_{n}=\\frac{\\left(n-1\\right)!}{{\\left(n+1\\right)}^{\\text{2}}}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834095119\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Partial Sum<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167834095125\">In the following exercises, expand the partial sum and find its value.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834095129\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834095131\"><p id=\"fs-id1167834095133\">\\(\\sum _{i=1}^{7}\\left(2i-5\\right)\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830699348\"><p id=\"fs-id1167830699351\">\\(-3+\\left(-1\\right)+1+3+5\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+7+9=21\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830699397\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830699399\"><p id=\"fs-id1167830699402\">\\(\\sum _{i=1}^{3}{5}^{i}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830699453\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830699455\"><p id=\"fs-id1167830699457\">\\(\\sum _{k=0}^{4}\\frac{4}{k!}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830699488\"><p id=\"fs-id1167830699490\">\\(4+4+2+\\frac{2}{3}+\\frac{1}{6}=\\frac{65}{6}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835514050\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835514052\"><p id=\"fs-id1167835514054\">\\(\\sum _{k=1}^{4}\\left(k+1\\right)\\left(2k+1\\right)\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167835514133\"><strong data-effect=\"bold\">Use Summation Notation to write a Sum<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167835514140\">In the following exercises, write each sum using summation notation.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835514143\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835514145\"><p id=\"fs-id1167835514147\">\\(-\\frac{1}{3}+\\frac{1}{9}-\\frac{1}{27}+\\frac{1}{81}-\\frac{1}{243}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835514193\"><p id=\"fs-id1167835514195\">\\(\\sum _{n=1}^{5}{\\left(-1\\right)}^{n}\\frac{1}{{3}^{n}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834228203\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834228205\"><p id=\"fs-id1167834228208\">\\(4-8+12-16+20-24\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834228286\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834228288\"><p id=\"fs-id1167834228290\">\\(4+2+\\frac{4}{3}+1+\\frac{4}{5}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834228321\"><p id=\"fs-id1167834228323\">\\(\\sum _{n=1}^{5}\\frac{4}{n}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167834300985\"><h4 data-type=\"title\"><a href=\"\/contents\/beab9aa5-3e76-4e7b-92f5-1eae134e874b\" class=\"target-chapter\">Arithmetic Sequences<\/a><\/h4><p id=\"fs-id1167834300996\"><strong data-effect=\"bold\">Determine if a Sequence is Arithmetic<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167834301002\">In the following exercises, determine if each sequence is arithmetic, and if so, indicate the common difference.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834301006\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834301008\"><p id=\"fs-id1167834301010\">\\(1,2,4,8,16,32,\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834301053\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834301055\"><p id=\"fs-id1167834301057\">\\(-7,-1,5,11,17,23,\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834301092\"><p id=\"fs-id1167834301095\">The sequence is arithmetic with common difference \\(d=6.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834301111\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834301113\"><p id=\"fs-id1167834301115\">\\(13,9,5,1,-3,-7,\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834279552\">In the following exercises, write the first five terms of each arithmetic sequence with the given first term and common difference.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834279556\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834279558\"><p id=\"fs-id1167834279560\">\\({a}_{1}=5\\) and \\(d=3\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834279585\"><p id=\"fs-id1167834279587\">\\(5,8,11,14,17\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834279612\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834279615\"><p id=\"fs-id1167834279617\">\\({a}_{1}=8\\) and \\(d=-2\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834279669\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834279671\"><p id=\"fs-id1167834279673\">\\({a}_{1}=-13\\) and \\(d=6\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834279698\"><p id=\"fs-id1167834279700\">\\(-13,-7,-1,5,11\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167830704135\"><strong data-effect=\"bold\">Find the General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th Term) of an Arithmetic Sequence<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167830704146\">In the following exercises, find the term described using the information provided.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830704149\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830704151\"><p id=\"fs-id1167830704153\">Find the twenty-fifth term of a sequence where the first term is five and the common difference is three.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830704169\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830704171\"><p id=\"fs-id1167830704174\">Find the thirtieth term of a sequence where the first term is 16 and the common difference is \\(-5.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830704185\"><p id=\"fs-id1167830704187\">\\(-129\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830704196\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830704198\"><p id=\"fs-id1167830704200\">Find the seventeenth term of a sequence where the first term is \\(-21\\) and the common difference is two.<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167830704220\">In the following exercises, find the indicated term and give the formula for the general term.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830704224\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830704227\"><p id=\"fs-id1167830704229\">Find the eighteenth term of a sequence where the fifth term is \\(12\\) and the common difference is seven.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830704238\"><p id=\"fs-id1167830704240\">\\({a}_{18}=103.\\) The general term is \\({a}_{n}=7n-23.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830704281\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830704283\"><p id=\"fs-id1167830704285\">Find the twenty-first term of a sequence where the seventh term is \\(14\\) and the common difference is \\(-3.\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167830694002\">In the following exercises, find the first term and common difference of the sequence with the given terms. Give the formula for the general term.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830694006\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830694008\"><p id=\"fs-id1167830694011\">The fifth term is 17 and the fourteenth term is 53.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830694015\"><p id=\"fs-id1167830694017\">\\({a}_{1}=1,\\)\\(d=4.\\) The general term is \\({a}_{n}=4n-3.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830694067\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830694069\"><p id=\"fs-id1167830694071\">The third term is \\(-26\\) and the sixteenth term is \\(-91.\\).<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167830694141\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Sum of the First <em data-effect=\"italics\">n<\/em> Terms of an Arithmetic Sequence<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167834533414\">In the following exercises, find the sum of the first 30 terms of each arithmetic sequence.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834533418\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834533420\"><p id=\"fs-id1167834533422\">\\(7,4,1,-2,-5,\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834533453\"><p id=\"fs-id1167834533455\">\\(-430\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834533464\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834533466\"><p id=\"fs-id1167834533468\">\\(1,6,11,16,21,\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834533510\">In the following exercises, find the sum of the first fifteen terms of the arithmetic sequence whose general term is given.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834533514\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834533516\"><p id=\"fs-id1167834533518\">\\({a}_{n}=4n+7\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834533540\"><p id=\"fs-id1167834533542\">\\(585\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834533550\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834533552\"><p id=\"fs-id1167834533554\">\\({a}_{n}=-2n+19\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167831921886\">In the following exercises, find each sum.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831921889\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831921891\"><p id=\"fs-id1167831921894\">\\(\\sum _{i=1}^{50}\\left(4i-5\\right)\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831921934\"><p id=\"fs-id1167831921936\">\\(4850\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831921944\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831921946\"><p id=\"fs-id1167831921949\">\\(\\sum _{i=1}^{30}\\left(-3i-7\\right)\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831922004\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831922006\"><p id=\"fs-id1167831922008\">\\(\\sum _{i=1}^{35}\\left(i+10\\right)\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831922046\"><p id=\"fs-id1167831922048\">\\(980\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167831922058\"><h4 data-type=\"title\"><a href=\"\/contents\/7e49f09d-5033-4393-a74f-556d343328c7\" class=\"target-chapter\">Geometric Sequences and Series<\/a><\/h4><p id=\"fs-id1167834432279\"><strong data-effect=\"bold\">Determine if a Sequence is Geometric<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167834432285\">In the following exercises, determine if the sequence is geometric, and if so, indicate the common ratio.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834432290\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834432292\"><p id=\"fs-id1167834432294\">\\(3,12,48,192,768,3072,\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834432347\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834432349\"><p id=\"fs-id1167834432352\">\\(5,10,15,20,25,30,\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834432387\"><p id=\"fs-id1167834432389\">The sequence is not geometric.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834432394\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834432396\"><p id=\"fs-id1167834432398\">\\(112,56,28,14,7,\\frac{7}{2},\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834279767\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834279769\"><p id=\"fs-id1167834279771\">\\(9,-18,36,-72,144,-288,\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834279806\"><p id=\"fs-id1167834279808\">The sequence is geometric with common ratio \\(r=-2.\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834279824\">In the following exercises, write the first five terms of each geometric sequence with the given first term and common ratio.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834279829\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834279831\"><p id=\"fs-id1167834279833\">\\({a}_{1}=-3\\) and \\(r=5\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834279885\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834279887\"><p id=\"fs-id1167834279890\">\\({a}_{1}=128\\) and \\(r=\\frac{1}{4}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834279917\"><p id=\"fs-id1167834279919\">\\(128,32,8,2,\\frac{1}{2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834279948\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834279950\"><p id=\"fs-id1167826994654\">\\({a}_{1}=5\\) and \\(r=-3\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167826994706\"><strong data-effect=\"bold\">Find the General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th Term) of a Geometric Sequence<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167826994718\">In the following exercises, find the indicated term of a sequence where the first term and the common ratio is given.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826994722\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826994724\"><p id=\"fs-id1167826994726\">Find \\({a}_{9}\\) given \\({a}_{1}=6\\) and \\(r=2.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826994760\"><p id=\"fs-id1167826994762\">\\(1,536\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826994775\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826994777\"><p id=\"fs-id1167826994779\">Find \\({a}_{11}\\) given \\({a}_{1}=10,000,000\\) and \\(r=0.1.\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167826994834\">In the following exercises, find the indicated term of the given sequence. Find the general term of the sequence.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826994838\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826994840\"><p id=\"fs-id1167826994842\">Find \\({a}_{12}\\) of the sequence, \\(6,-24,96,-384,1536,-6144,\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831835540\"><p id=\"fs-id1167831835542\">\\({a}_{12}=-25,165,824.\\) The general term is \\({a}_{n}=6{\\left(-4\\right)}^{n-1}.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831835605\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831835607\"><p id=\"fs-id1167831835609\">Find \\({a}_{9}\\) of the sequence, \\(4374,1458,486,162,54,18,\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834309711\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Sum of the First <em data-effect=\"italics\">n<\/em> terms of a Geometric Sequence<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167834309722\">In the following exercises, find the sum of the first fifteen terms of each geometric sequence.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834309726\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834309728\"><p id=\"fs-id1167834309731\">\\(-4,8,-16,32,-64,128\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834309764\"><p id=\"fs-id1167834309766\">5,460<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834309771\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834309773\"><p id=\"fs-id1167834309775\">\\(3,12,48,192,768,3072\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834309828\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834309830\"><p id=\"fs-id1167834309832\">\\(3125,625,125,25,5,1\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834309865\"><p id=\"fs-id1167834309867\">\\(\\approx 3906.25\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834309878\">In the following exercises, find the sum<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834309881\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834309883\"><p id=\"fs-id1167834309885\">\\(\\sum _{i=1}^{8}7{\\left(3\\right)}^{i}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830702709\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830702711\"><p id=\"fs-id1167830702713\">\\(\\sum _{i=1}^{6}24{\\left(\\frac{1}{2}\\right)}^{i}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830702754\"><p id=\"fs-id1167830702756\">\\(\\frac{189}{8}=23.625\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167830702773\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Sum of an Infinite Geometric Series<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167830702779\">In the following exercises, find the sum of each infinite geometric series.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830702782\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830702784\"><p id=\"fs-id1167830702787\">\\(1-\\frac{1}{3}+\\frac{1}{9}-\\frac{1}{27}+\\frac{1}{81}-\\frac{1}{243}+\\frac{1}{729}-\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830702863\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830702866\"><p id=\"fs-id1167830702868\">\\(49+7+1+\\frac{1}{7}+\\frac{1}{49}+\\frac{1}{343}+\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834314304\"><p id=\"fs-id1167834314306\">\\(\\frac{343}{6}\\approx 57.167\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834314323\">In the following exercises, write each repeating decimal as a fraction.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834314326\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834314328\"><p id=\"fs-id1167834314330\">\\(0.\\stackrel{\u2013}{8}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834314360\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834314362\"><p id=\"fs-id1167834314364\">\\(0.\\stackrel{\u2014}{36}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834314382\"><p id=\"fs-id1167834314384\">\\(\\frac{4}{11}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834314397\"><strong data-effect=\"bold\">Apply Geometric Sequences and Series in the Real World<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167834314403\">In the following exercises, solve the problem.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834314406\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834314409\"><p id=\"fs-id1167834314411\">What is the total effect on the economy of a government tax rebate of \\(\\text{?}360\\) to each household in order to stimulate the economy if each household will spend \\(60%\\) of the rebate in goods and services?<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834314443\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834314445\"><p id=\"fs-id1167834314447\">Adam just got his first full-time job after graduating from high school at age 17. He decided to invest \\(\\text{?}300\\) per month in an IRA (an annuity). The interest on the annuity is \\(7%\\) which is compounded monthly. How much will be in Adam\u2019s account when he retires at his sixty-seventh birthday?<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834314468\"><p id=\"fs-id1167834314470\">\\(\\text{?}1,634,421.27\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167831836421\"><h4 data-type=\"title\"><a href=\"\/contents\/c9aabcfa-7dac-4cdb-bca0-f8738ce61f22\" class=\"target-chapter\">Binomial Theorem<\/a><\/h4><p id=\"fs-id1167831836431\"><strong data-effect=\"bold\">Use Pascal\u2019s Triangle to Expand a Binomial<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167831836438\">In the following exercises, expand each binomial using Pascal\u2019s Triangle.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831836443\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831836445\"><p id=\"fs-id1167831836447\">\\({\\left(a+b\\right)}^{7}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831836574\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831836576\"><p id=\"fs-id1167831836578\">\\({\\left(x-y\\right)}^{4}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831836601\"><p id=\"fs-id1167831836603\">\\({x}^{4}-4{x}^{3}y+6{x}^{2}{y}^{2}-4x{y}^{3}+{y}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834395028\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834395030\"><p id=\"fs-id1167834395032\">\\({\\left(x+6\\right)}^{3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834395089\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834395091\"><p id=\"fs-id1167834395093\">\\({\\left(2y-3\\right)}^{5}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834395118\"><p id=\"fs-id1167834395120\">\\(32{y}^{5}-240{y}^{4}+720{y}^{3}-1080{y}^{2}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+810y-243\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834395173\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834395175\"><p id=\"fs-id1167834395178\">\\({\\left(7x+2y\\right)}^{3}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834528362\"><strong data-effect=\"bold\">Evaluate a Binomial Coefficient<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167834528369\">In the following exercises, evaluate.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834528372\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834528374\"><p id=\"fs-id1167834528376\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}11\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}12\\hfill \\\\ 12\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}13\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}8\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834528488\"><p id=\"fs-id1167834528490\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 11 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 56<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834528515\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834528517\"><p id=\"fs-id1167834528519\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}7\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}9\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}9\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831908221\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831908224\"><p id=\"fs-id1167831908226\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}1\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}15\\hfill \\\\ 15\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}11\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834273814\"><p id=\"fs-id1167834273816\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 55<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834273841\"><strong data-effect=\"bold\">Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167834273847\">In the following exercises, expand each binomial, using the Binomial Theorem.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834273850\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834273852\"><p id=\"fs-id1167834273855\">\\({\\left(p+q\\right)}^{6}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834273967\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834273969\"><p id=\"fs-id1167834273971\">\\({\\left(t-1\\right)}^{9}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834273993\"><p id=\"fs-id1167834273995\">\\({t}^{9}-9{t}^{8}+36{t}^{7}-84{t}^{6}+126{t}^{5}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(-126{t}^{4}+84{t}^{3}-36{t}^{2}+9t-1\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167828316129\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167828316131\"><p id=\"fs-id1167828316133\">\\({\\left(2x+1\\right)}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167828316203\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167828316205\"><p id=\"fs-id1167828316208\">\\({\\left(4x+3y\\right)}^{4}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167828316234\"><p id=\"fs-id1167828316236\">\\(256{x}^{4}+768{x}^{3}y+864{x}^{2}{y}^{2}\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\\(+432x{y}^{3}+81{y}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831919555\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831919557\"><p id=\"fs-id1167831919559\">\\({\\left(x-3y\\right)}^{5}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167831919660\">In the following exercises, find the indicated term in the expansion of the binomial.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831919663\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831919666\"><p id=\"fs-id1167831919668\">Seventh term of \\({\\left(a+b\\right)}^{9}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831919693\"><p id=\"fs-id1167831919695\">\\(84{a}^{6}{b}^{3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831919715\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831919717\"><p id=\"fs-id1167831919719\">Third term of \\({\\left(x-y\\right)}^{7}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834308232\">In the following exercises, find the coefficient of the indicated term in the expansion of the binomial.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834308236\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834308239\"><p id=\"fs-id1167834308241\">\\({y}^{4}\\) term of \\({\\left(y+3\\right)}^{6}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834308274\"><p id=\"fs-id1167834308276\">135<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834308281\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834308283\"><p id=\"fs-id1167834308286\">\\({x}^{5}\\) term of \\({\\left(x-2\\right)}^{8}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834308329\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834308331\"><p id=\"fs-id1167834308334\">\\({a}^{3}{b}^{4}\\) term of \\({\\left(2a+b\\right)}^{7}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834308374\"><p id=\"fs-id1167834308376\">280<\/p><\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"practice-test\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167834308384\"><h3 data-type=\"title\">Practice Test<\/h3><p id=\"fs-id1167834308391\">In the following exercises, write the first five terms of the sequence whose general term is given.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834308395\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834308397\"><p id=\"fs-id1167834308399\">\\({a}_{n}=\\frac{5n-3}{{3}^{n}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834430012\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834430014\"><p id=\"fs-id1167834430016\">\\({a}_{n}=\\frac{\\left(n+2\\right)!}{\\left(n+3\\right)\\text{!}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834430066\"><p id=\"fs-id1167834430068\">\\(\\frac{1}{4},\\frac{1}{5},\\frac{1}{6},\\frac{1}{7},\\frac{1}{8}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834430110\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834430112\"><p id=\"fs-id1167834430114\">Find a general term for the sequence, \\(-\\frac{2}{3},-\\frac{4}{5},-\\frac{6}{7},-\\frac{8}{9},-\\frac{10}{11},\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834430209\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834430211\"><p id=\"fs-id1167834430213\">Expand the partial sum and find its value. \\(\\sum _{i=1}^{4}{\\left(-4\\right)}^{i}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835378774\"><p id=\"fs-id1167835378776\">\\(-4+16-64+256=204\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835378801\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835378803\"><p id=\"fs-id1167835378806\">Write the following using summation notation. \\(-1+\\frac{1}{4}-\\frac{1}{9}+\\frac{1}{16}-\\frac{1}{25}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835378896\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835378898\"><p id=\"fs-id1167835378900\">Write the first five terms of the arithmetic sequence with the given first term and common difference. \\({a}_{1}=-13\\) and \\(d=3\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835378927\"><p id=\"fs-id1167835378929\">\\(-13,-10,-7,-4,-1\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835378954\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835378956\"><p id=\"fs-id1167835378959\">Find the twentieth term of an arithmetic sequence where the first term is two and the common difference is \\(-7.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835216576\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835216578\"><p id=\"fs-id1167835216580\">Find the twenty-third term of an arithmetic sequence whose seventh term is \\(11\\) and common difference is three. Then find a formula for the general term.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835216590\"><p id=\"fs-id1167835216592\">\\({a}_{23}=59.\\) The general term is \\({a}_{n}=3n-10.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835216632\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835216635\"><p id=\"fs-id1167835216637\">Find the first term and common difference of an arithmetic sequence whose ninth term is \\(-1\\) and the sixteenth term is \\(-15.\\) Then find a formula for the general term.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835216707\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835216709\"><p id=\"fs-id1167835216711\">Find the sum of the first 25 terms of the arithmetic sequence, \\(5,9,13,17,21,\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835216743\"><p id=\"fs-id1167835216745\">\\(1,325\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835216758\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835216760\"><p id=\"fs-id1167835216762\">Find the sum of the first 50 terms of the arithmetic sequence whose general term is \\({a}_{n}=-3n+100.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835216802\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835216804\"><p id=\"fs-id1167835216806\">Find the sum. \\(\\sum _{i=1}^{40}\\left(5i-21\\right)\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834538190\"><p id=\"fs-id1167834538192\">\\(3,260\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834538205\">In the following exercises, determine if the sequence is arithmetic, geometric, or neither. If arithmetic, then find the common difference. If geometric, then find the common ratio.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834538209\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834538212\"><p id=\"fs-id1167834538214\">\\(14,3,-8,-19,-30,-41,\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834538267\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834538269\"><p id=\"fs-id1167834538271\">\\(324,108,36,12,4,\\frac{4}{3},\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834538310\"><p id=\"fs-id1167834538312\">The sequence is geometric with common ratio \\(r=\\frac{1}{3}.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834538331\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834538333\"><p id=\"fs-id1167834538335\">Write the first five terms of the geometric sequence with the given first term and common ratio. \\({a}_{1}=6\\) and \\(r=-2\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834538390\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834538392\"><p id=\"fs-id1167834538394\">In the geometric sequence whose first term and common ratio are \\({a}_{1}=5\\) and \\(r=4,\\) find \\({a}_{11}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831895146\"><p id=\"fs-id1167831895148\">\\(5,242,880\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831895165\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831895167\"><p id=\"fs-id1167831895169\">Find \\({a}_{10}\\) of the geometric sequence, \\(1250,250,50,10,2,\\frac{2}{5},\\text{\u2026}\\text{.}\\) Then find a formula for the general term.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831895292\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831895294\"><p id=\"fs-id1167831895296\">Find the sum of the first thirteen terms of the geometric sequence, \\(2,-6,18,-54,162,-486\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831895330\"><p id=\"fs-id1167831895332\">\\(797,162\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167831895345\">In the following exercises, find the sum.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831895348\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831895350\"><p id=\"fs-id1167831895352\">\\(\\sum _{i=1}^{9}5{\\left(2\\right)}^{i}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834124597\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834124599\"><p id=\"fs-id1167834124601\">\\(1-\\frac{1}{5}+\\frac{1}{25}-\\frac{1}{125}+\\frac{1}{625}-\\frac{1}{3125}+\\text{\u2026}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834124656\"><p id=\"fs-id1167834124659\">\\(\\frac{5}{6}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834124670\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834124672\"><p id=\"fs-id1167834124675\">Write the repeating decimal as a fraction. \\(0.\\stackrel{\u2014}{81}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834124708\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834124710\"><p id=\"fs-id1167834124712\">Dave just got his first full-time job after graduating from high school at age 18. He decided to invest ?450 per month in an IRA (an annuity). The interest on the annuity is 6% which is compounded monthly. How much will be in Adam\u2019s account when he retires at his sixty-fifth birthday?<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834124720\"><p id=\"fs-id1167834124722\">\\(\\text{?}1,409,344.19\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834124741\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834124744\"><p id=\"fs-id1167834124746\">Expand the binomial using Pascal\u2019s Triangle. \\({\\left(m-2n\\right)}^{5}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834536641\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834536643\"><p id=\"fs-id1167834536645\">Evaluate each binomial coefficient. <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\left(\\begin{array}{c}8\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\left(\\begin{array}{c}16\\hfill \\\\ 16\\hfill \\end{array}\\right)\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\left(\\begin{array}{c}12\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\) <span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\(\\left(\\begin{array}{c}10\\hfill \\\\ 6\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834536758\"><p id=\"fs-id1167834536760\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 8 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 210<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834536785\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834536787\"><p id=\"fs-id1167834536789\">Expand the binomial using the Binomial Theorem. \\({\\left(4x+5y\\right)}^{3}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div>","rendered":"<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\">\n<h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>\n<p>By the end of this section, you will be able to: <\/p>\n<ul>\n<li>Use Pascal\u2019s Triangle to expand a binomial<\/li>\n<li>Evaluate a binomial coefficient<\/li>\n<li>Use the Binomial Theorem to expand a binomial<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834064807\" class=\"be-prepared\">\n<p id=\"fs-id1167835344602\">Before you get started, take this readiness quiz.<em data-effect=\"italics\"><\/em><\/p>\n<ol id=\"fs-id1167835326566\" type=\"1\">\n<li>Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e22beee0937a2266b6abe2038630a2bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&middot;&#54;&middot;&#53;&middot;&#52;&#125;&#123;&#52;&middot;&#51;&middot;&#50;&middot;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/425620d9-51dd-45e5-8a21-953998a4a77f#fs-id1167836390100\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>Expand: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eab04ce407f3ef32618e44614336e36e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/0b9be1db-21c4-4bd0-8f8e-d809f6ff7c8c#fs-id1167836392219\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>Expand: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e944c3550ade8febc47a6c99952dd16e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/0b9be1db-21c4-4bd0-8f8e-d809f6ff7c8c#fs-id1167836392219\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167834346959\">\n<h3 data-type=\"title\">Use Pascal\u2019s Triangle to Expand a Binomial<\/h3>\n<p>In our previous work, we have squared binomials either by using FOIL or by using the Binomial Squares Pattern. We can also say that we expanded <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84d8d4b769127c3745da79438f548a4d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167831934023\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1cfbdf72854a6dc63ba0f2ae17f46708_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#97;&#98;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835329284\">To expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c906e99eec440639de0d4d01e60d893_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> we recognize that this is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9640d8306f708c6dc6041572e390a7aa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"114\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and multiply.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835334969\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a76847879fa47e7906a9a93ccc15d39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#97;&#98;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#50;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#50;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#51;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#51;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#51;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#51;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"134\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -61px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835309507\">To find a method that is less tedious that will work for higher expansions like <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be00ac7b92bcb866d2d397da852a55c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> we again look for patterns in some expansions.<\/p>\n<table id=\"fs-id1167835344744\" summary=\"No Summary\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\n<thead>\n<tr valign=\"top\">\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/th>\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Number of terms<\/th>\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">First term<\/th>\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Last term<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1efa2f59e7c1b6dcdabffe9dbe30cdc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#61;&#97;&#43;&#98;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">2<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10bade4055bb2f0383a9bf05112bf2c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2b843a28dace2d58e1322d04ace2739_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1cfbdf72854a6dc63ba0f2ae17f46708_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#97;&#98;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">3<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-91fa2bda4c48f12d3beccdcacaba4770_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e15739e82c5477e5c8440e0c8638c4af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34592150f28f48aff235b79c344f4f16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#51;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#51;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">4<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9c49c3f57f6f5eed5f4192bf868fe18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3fa48bbec0c61693cffcecb8a4a5d41_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e51cb1ab4d5deba8458c8f3dce1391ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#52;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#98;&#43;&#54;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#52;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"310\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">5<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-338254cc06a4a74a0fe2e45945acf0d0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4acb9a619db1f2b854c96d87cf322c05_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38976a8f4272781b6c4cbb347eb8fce9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#53;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#98;&#43;&#49;&#48;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#48;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#53;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"390\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">6<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2bc4c53dcfc4f9f19b0cacff20967696_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec866b1a5d0ecd76c18ef81222f84452_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-314dcbebc1901d9367d7f428d3792df4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><em data-effect=\"italics\">n<\/em><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef78644f25c125ead81d3c69ef32dee0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a7817e3440d75b2b2d01187b71ef4f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1167834229329\">Notice the first and last terms show only one variable. Recall that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ecac77b1153dc3e35ca9a2c0afdcf6a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;&#61;&#49;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> so we could rewrite the first and last terms to include both variables. For example, we could expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f33a1d01d65d6afb1b4ae1f10a0ca903_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> to show each term with both variables.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835352706\" data-alt=\"This figure shows the pattern a plus b to the power of 3 equals a to a power of 3 times b to a power of 0 plus 3 times a to a power of 2 times b to a power of 1 plus 3 a to a power of 0 times b to a power of 3.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_012_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows the pattern a plus b to the power of 3 equals a to a power of 3 times b to a power of 0 plus 3 times a to a power of 2 times b to a power of 1 plus 3 a to a power of 0 times b to a power of 3.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835310355\">Generally, we don\u2019t show the zero exponents, just as we usually write <em data-effect=\"italics\">x<\/em> rather than 1<em data-effect=\"italics\">x<\/em>.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835335671\">\n<div data-type=\"title\">Patterns in the expansion of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-314dcbebc1901d9367d7f428d3792df4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<ul id=\"fs-id1167835420707\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>The number of terms is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c36cd99fd08ed06099c3688c7858942_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#43;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/li>\n<li>The first term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef78644f25c125ead81d3c69ef32dee0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and the last term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-15669049429993354428cedfab05708e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/li>\n<li>The exponents on <em data-effect=\"italics\">a<\/em> decrease by one on each term going left to right.<\/li>\n<li>The exponents on <em data-effect=\"italics\">b<\/em> increase by one on each term going left to right.<\/li>\n<li>The sum of the exponents on any term is <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831882320\">Let\u2019s look at an example to highlight the last three patterns.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835230438\" data-alt=\"This figure shows the pattern a plus b to the power of 5 equals a plus 5 times a times b plus 10 times a times b plus 5 times a times b plus b.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_001_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows the pattern a plus b to the power of 5 equals a plus 5 times a times b plus 10 times a times b plus 5 times a times b plus b.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835349635\">From the patterns we identified, we see the variables in the expansion of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cfceffb48179679593971ec652cd636_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> would be<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835301706\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-358bcc0bd092d4ede4a8e9be90dbb1dc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"288\" style=\"vertical-align: -29px;\" \/><\/div>\n<p>To find the coefficients of the terms, we write our expansions again focusing on the coefficients. We rewrite the coefficients to the right forming an array of coefficients.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835331679\" data-alt=\"A plus b to the power of 0 equals 1. The top level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1. A plus b to the power of 1 equals 1 a plus 1 b. The second level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1, 1. A plus b to the power of 2 equals 1 a to the power of 2 plus 2 a b plus 1 b to the power of 2. The third level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1, 2, 1. A plus b to the power of 3 equals 1 a to the power of 3 plus 3 a to the power of 2 b plus 3 a b to the power of 2 plus 1 b to the power of 3. The fourth level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1,3,3,1. A plus b to the power of 4 equals 1 a to the power of 4 plus 4 a to the power of 3 b plus 6 a to the power of 2 b to the power of 2 plus 4 a b to the power of 3 plus 1 b to the power of 4. The fifth level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1, 4, 6, 4, 1. A plus b to the power of 5 equals 1 a to the power of 5 plus 5 a to the power of 4 b plus 10 a to the power of 3 b to the power of 2 plus 10 a to the power of 2 b to the power of 3. The sixth row of the Pascal&#x2019;s Triangle is 1, 5, 10, 10, 5, 1.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_002_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"A plus b to the power of 0 equals 1. The top level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1. A plus b to the power of 1 equals 1 a plus 1 b. The second level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1, 1. A plus b to the power of 2 equals 1 a to the power of 2 plus 2 a b plus 1 b to the power of 2. The third level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1, 2, 1. A plus b to the power of 3 equals 1 a to the power of 3 plus 3 a to the power of 2 b plus 3 a b to the power of 2 plus 1 b to the power of 3. The fourth level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1,3,3,1. A plus b to the power of 4 equals 1 a to the power of 4 plus 4 a to the power of 3 b plus 6 a to the power of 2 b to the power of 2 plus 4 a b to the power of 3 plus 1 b to the power of 4. The fifth level of Pascal&#x2019;s Triangle is 1, 4, 6, 4, 1. A plus b to the power of 5 equals 1 a to the power of 5 plus 5 a to the power of 4 b plus 10 a to the power of 3 b to the power of 2 plus 10 a to the power of 2 b to the power of 3. The sixth row of the Pascal&#x2019;s Triangle is 1, 5, 10, 10, 5, 1.\" \/><\/span><\/p>\n<p>The array to the right is called <span data-type=\"term\">Pascal\u2019s Triangle<\/span>. Notice each number in the array is the sum of the two closest numbers in the row above. We can find the next row by starting and ending with one and then adding two adjacent numbers.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834190649\" data-alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_003_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835233515\">This triangle gives the coefficients of the terms when we expand binomials.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835281872\">\n<div data-type=\"title\">Pascal\u2019s Triangle<\/div>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835414816\" data-alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_018_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\" \/><\/span><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835257249\">In the next example, we will use this triangle and the patterns we recognized to expand the binomial.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835346097\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835354716\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835240569\">\n<p id=\"fs-id1167835373694\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f58a503e4c43f4221e0e64e57a41e466_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835370990\">\n<p id=\"fs-id1167835350877\">We know the variables for this expansion will follow the pattern we identified. The nonzero exponents of <em data-effect=\"italics\">x<\/em> will start at six and decrease to one. The nonzero exponents of <em data-effect=\"italics\">y<\/em> will start at one and increase to six. The sum of the exponents in each term will be six. In our pattern, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0759fa4423e558f94bef102403b97b1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-900b7ba7492d3ad9041cdc43666f1f5a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#121;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835288344\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\n<pre class=\"ql-errors\">*** QuickLaTeX cannot compile formula:\n&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#61;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\n\n*** Error message:\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#125;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#125;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#125;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#125;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;\r\n\n<\/pre>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1171791245771\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835349236\" data-alt=\"This figure shows a plus b to the power of n equals a to the power of n plus a to the power if n minus 1 b to the power of 1 plus a to the power of n minus 2 b to the power if 2 plus ellipsis plus a to the power of 1 b to the power of n minus 1 plus b to the power of n. The next figure shows x plus y to the power of 6 equals x to the power of 6 plus x to the power of 5 y to the power of 1 plus x to the power of 4 y to the power of 2 plus x to the power of 3 y to the power of 3 plus x to the power of 2 y to the power of 4 plus x to the power of 1 y to the power of 5 plus y to the power of 6.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_004_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows a plus b to the power of n equals a to the power of n plus a to the power if n minus 1 b to the power of 1 plus a to the power of n minus 2 b to the power if 2 plus ellipsis plus a to the power of 1 b to the power of n minus 1 plus b to the power of n. The next figure shows x plus y to the power of 6 equals x to the power of 6 plus x to the power of 5 y to the power of 1 plus x to the power of 4 y to the power of 2 plus x to the power of 3 y to the power of 3 plus x to the power of 2 y to the power of 4 plus x to the power of 1 y to the power of 5 plus y to the power of 6.\" \/><\/span><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835310471\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835274654\">\n<p id=\"fs-id1167835350893\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f31a1cccd04b280ca30a701ce4247b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832227189\">\n<p id=\"fs-id1167835595669\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e014ddfedfd429e4fd9bb9af28e5ce0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#121;&#43;&#49;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"223\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88ad50a628bab10e132474d81422bcf9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#53;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835332238\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834587856\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835336201\">\n<p id=\"fs-id1167832075990\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7bb7f16e440f044f743b8b6cf3f24f4c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835339575\">\n<p id=\"fs-id1167834062049\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7014f45a2b7167a10f2f902716e8cf19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#43;&#55;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#113;&#43;&#50;&#49;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#53;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"217\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cbb32312a8a59d9e19f45b6d57c62654_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#51;&#53;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#50;&#49;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#55;&#112;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#43;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"230\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167835367953\">In the next example we want to expand a binomial with one variable and one constant. We need to identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> to carefully apply the pattern.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167826875115\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834449175\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834185829\">\n<p id=\"fs-id1167834192221\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-35fb0d2814b2cb791e050998414fe7ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834557095\">\n<p id=\"fs-id1167835338030\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835595646\" data-alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern x plus 3 to the power of 5.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_005_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern x plus 3 to the power of 5.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835343435\">In our pattern, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0759fa4423e558f94bef102403b97b1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ccac1182e5ee935a4d6b18da77f132f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"44\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834099596\">We know the variables for this expansion will follow the pattern we identified. The sum of the exponents in each term will be five.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834495476\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\n<pre class=\"ql-errors\">*** QuickLaTeX cannot compile formula:\n&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#61;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&middot;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&middot;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&middot;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&middot;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\n\n*** Error message:\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#125;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#92;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#125;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#92;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#125;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#92;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#125;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#92;\r\n\n<\/pre>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1171792522968\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835380485\" data-alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. This figure shows X plus 3 to the power of 5 equals 1 x to the power of 5 g 3 x to the power of 4 plus 10 g 9 x to the power of 3 plus 10 g 27 x to the power of 2 plus 5 g 81 x to the power of 1 plus 1 g 243. Then, x plus 3 to the power of 5 equals x to the power of 5 plus 15 x to the power of 4 plus 90 x to the power of 3 plus 270 x to the power of 2 plus 405 plus 243.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_006_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. This figure shows X plus 3 to the power of 5 equals 1 x to the power of 5 g 3 x to the power of 4 plus 10 g 9 x to the power of 3 plus 10 g 27 x to the power of 2 plus 5 g 81 x to the power of 1 plus 1 g 243. Then, x plus 3 to the power of 5 equals x to the power of 5 plus 15 x to the power of 4 plus 90 x to the power of 3 plus 270 x to the power of 2 plus 405 plus 243.\" \/><\/span><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835362654\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834064235\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835355964\">\n<p id=\"fs-id1167835329511\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a410e0019cfc2d8f84b6cb2828fb1fe9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831934028\">\n<p id=\"fs-id1167835319200\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-70f6cc26810241a5bea32c692f7ad03b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#56;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#50;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#50;&#120;&#43;&#49;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"213\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835325064\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835353654\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834195996\">\n<p id=\"fs-id1167835364514\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83d00ac9f86dcb8605af26e670cd8401_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832054098\">\n<p id=\"fs-id1167835417124\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3fbbee27480cea6e47e6fa8d0c50ed5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#43;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#49;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#50;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#49;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"237\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-530859b80f04fbf1f9fcf13ec693d7d0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#54;&#120;&#43;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"62\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834222081\">In the next example, the binomial is a difference and the first term has a constant times the variable. Once we identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern, we must once again carefully apply the pattern.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167834064692\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835342730\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831921014\">\n<p id=\"fs-id1167835332853\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-110a0e41c6e039024ac30d9fe899dcc0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834192233\">\n<p id=\"fs-id1167832031142\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834179970\" data-alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 3 x minus 2 to the power of 4.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_007_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 3 x minus 2 to the power of 4.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835333507\">In our pattern, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-723d3ff64e92fa43145366202ce30f60_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#51;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"52\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-159bea5680db08ee12ac3ee2ac90283c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#45;&#50;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"58\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834156982\" data-alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_008_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1171792683279\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835333046\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88cda41dea8cb0b2077ccf315bf65e18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#49;&middot;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#52;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#54;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#52;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#49;&middot;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#56;&#49;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#52;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#55;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#43;&#54;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#57;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#43;&#52;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#56;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#43;&#49;&middot;&#49;&#54;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#56;&#49;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#50;&#49;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#50;&#49;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#57;&#54;&#120;&#43;&#49;&#54;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"118\" width=\"540\" style=\"vertical-align: -54px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835339503\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831922206\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835305325\">\n<p id=\"fs-id1167832128907\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f22378837295ef81f4045d1f271a0bda_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835381343\">\n<p id=\"fs-id1167835262328\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c1c5d703f39011a57ada91d103ac851_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#57;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#50;&#49;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#49;&#54;&#120;&#43;&#56;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"255\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834195261\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835336537\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834190543\">\n<p id=\"fs-id1167831908479\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec429d8f50a5d17f51a3ca0618bbbd6a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832056861\">\n<p id=\"fs-id1167834430755\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6eb3313d28f83b36fa5f55ea0f72609f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#45;&#49;&#57;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#50;&#52;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#49;&#54;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"233\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf04b8574d6b2d277b00194e24ede197_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#54;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#50;&#120;&#43;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"129\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167834446378\">\n<h3 data-type=\"title\">Evaluate a Binomial Coefficient<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167835361505\">While Pascal\u2019s Triangle is one method to expand a binomial, we will also look at another method. Before we get to that, we need to introduce some more <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">factorial notation<\/span>. This notation is not only used to expand binomials, but also in the study and use of probability.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167834196639\">To find the coefficients of the terms of expanded binomials, we will need to be able to evaluate the notation <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e0f23cb1aa1e10df45e9c860c099917_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> which is called a <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">binomial coefficient<\/span>. We read <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e0f23cb1aa1e10df45e9c860c099917_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> as \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> choose <em data-effect=\"italics\">r<\/em>\u201d or \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> taken <em data-effect=\"italics\">r<\/em> at a time\u201d.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834192529\">\n<div data-type=\"title\">Binomial Coefficient <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e0f23cb1aa1e10df45e9c860c099917_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835369321\">A binomial coefficient <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b319784a479ccb98dfb49ba58aa272b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> where <em data-effect=\"italics\">r<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers with <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ffb6d98e501c319360164a173ae37b34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#92;&#108;&#101;&#32;&#114;&#92;&#108;&#101;&#32;&#110;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"80\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is defined as<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835239179\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-174a0c4900ad9d1bba7b58605f6075dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#110;&#33;&#125;&#123;&#114;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#45;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"127\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167834459152\">We read <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e0f23cb1aa1e10df45e9c860c099917_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> as \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> choose <em data-effect=\"italics\">r<\/em>\u201d or \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> taken <em data-effect=\"italics\">r<\/em> at a time\u201d.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835269593\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834061966\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835324747\">\n<p id=\"fs-id1167834535323\">Evaluate: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7068d2a9900e4b93c9f2f9b3871752b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-258f7b817683acab71669dabacb3a658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#55;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#55;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f96169fe7247a4fbc29305825d5c330c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d3<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec6a93889bdcf11e8e4815ebf6850423_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#56;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"55\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835341027\">\n<p id=\"fs-id1167834063189\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> We will use the definition of a binomial coefficient, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e18a4b86d6926c6d15aac21e324ba2e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#110;&#33;&#125;&#123;&#114;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#45;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"132\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835352294\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a6d9495ac1a7a2c81a0a7b4626db7afb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#85;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#100;&#101;&#102;&#105;&#110;&#105;&#116;&#105;&#111;&#110;&#44;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#110;&#33;&#125;&#123;&#114;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#45;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#119;&#104;&#101;&#114;&#101;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#110;&#61;&#53;&#44;&#114;&#61;&#49;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#33;&#125;&#123;&#49;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#53;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#33;&#125;&#123;&#49;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#82;&#101;&#119;&#114;&#105;&#116;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#53;&#33;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#53;&middot;&#52;&#33;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&middot;&#52;&#33;&#125;&#123;&#49;&#33;&middot;&#52;&#33;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#44;&#32;&#98;&#121;&#32;&#114;&#101;&#109;&#111;&#118;&#105;&#110;&#103;&#32;&#99;&#111;&#109;&#109;&#111;&#110;&#32;&#102;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&middot;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#52;&#33;&#125;&#125;&#123;&#49;&middot;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#52;&#33;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"521\" width=\"551\" style=\"vertical-align: -256px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167832051714\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167831923391\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64f4f44a61f810c9249b869627f44aaa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#55;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#55;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#85;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#100;&#101;&#102;&#105;&#110;&#105;&#116;&#105;&#111;&#110;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#110;&#33;&#125;&#123;&#114;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#45;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#119;&#104;&#101;&#114;&#101;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#110;&#61;&#55;&#44;&#114;&#61;&#55;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&#33;&#125;&#123;&#55;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#55;&#45;&#55;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&#33;&#125;&#123;&#55;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#48;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#32;&#82;&#101;&#109;&#101;&#109;&#98;&#101;&#114;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#48;&#33;&#61;&#49;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#55;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#55;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"377\" width=\"555\" style=\"vertical-align: -184px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835308327\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167831921739\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9c5e1305c657383085a7c1f210eac84_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#85;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#100;&#101;&#102;&#105;&#110;&#105;&#116;&#105;&#111;&#110;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#110;&#33;&#125;&#123;&#114;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#45;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#119;&#104;&#101;&#114;&#101;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#110;&#61;&#52;&#44;&#114;&#61;&#48;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#33;&#125;&#123;&#48;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#45;&#48;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#33;&#125;&#123;&#48;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"377\" width=\"555\" style=\"vertical-align: -184px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835376930\"><span class=\"token\">\u24d3<\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835359942\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f96461cf2d7ffffaf265d04b3432667_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#56;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#85;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#100;&#101;&#102;&#105;&#110;&#105;&#116;&#105;&#111;&#110;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#110;&#33;&#125;&#123;&#114;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#45;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#119;&#104;&#101;&#114;&#101;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#110;&#61;&#56;&#44;&#114;&#61;&#53;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#33;&#125;&#123;&#53;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#56;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#33;&#125;&#123;&#53;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#82;&#101;&#119;&#114;&#105;&#116;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#56;&#33;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#56;&middot;&#55;&middot;&#54;&middot;&#53;&#33;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#32;&#114;&#101;&#109;&#111;&#118;&#101;&#32;&#99;&#111;&#109;&#109;&#111;&#110;&#32;&#102;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&middot;&#55;&middot;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#54;&#125;&middot;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#53;&#33;&#125;&#125;&#123;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#53;&#33;&#125;&middot;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#51;&#125;&middot;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#50;&#125;&middot;&#49;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#53;&#54;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#56;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#53;&#54;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"455\" width=\"538\" style=\"vertical-align: -223px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834228451\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835354049\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835354051\">\n<p id=\"fs-id1167834423481\">Evaluate each binomial coefficient:<\/p>\n<p id=\"fs-id1167834423484\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-69c20155f8f72ce7168c971020d00e5e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#54;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-800b94ce22bc6f386e9909868c1a5ef5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#56;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#56;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-719a21af1f3b111424e35f54e862a79e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8cc2df4552e3e6fdd06ae7ad8560ac3a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#55;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"55\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831911833\">\n<p id=\"fs-id1167831911835\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 6 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 35<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167832075978\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832075981\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834063434\">\n<p id=\"fs-id1167834063436\">Evaluate each binomial coefficient:<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835336627\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-008e41b49633801940caeac3754c378f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c039214d385a38495e6888b58fa8cb2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#49;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-468b8b5282143a1abe9cb116c57a04a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#57;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9492dc94d1dec8e99c0ec7f9b6adf315_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#54;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"55\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835236047\">\n<p id=\"fs-id1167835236049\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 2 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 6<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167830697865\">In the previous example, parts (a), (b), (c) demonstrate some special properties of binomial coefficients.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835355381\">\n<div data-type=\"title\">Properties of Binomial Coefficients<\/div>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1171791135347\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7c76207ae663a6d0fd68b11d0824d7f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#110;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#49;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"402\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167835230732\">\n<h3 data-type=\"title\">Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167835230737\">We are now ready to use the alternate method of expanding binomials. The <span data-type=\"term\">Binomial Theorem<\/span> uses the same pattern for the variables, but uses the binomial coefficient for the coefficient of each term.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835323777\">\n<div data-type=\"title\">Binomial Theorem<\/div>\n<p id=\"fs-id1167835323782\">For any real numbers <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em>, and positive integer <em data-effect=\"italics\">n<\/em>,<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167826996430\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76957a35cfa60e9ea7c40d4e7d5b2653_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#114;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#114;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167831880091\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835308162\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835308164\">\n<p id=\"fs-id1167835308166\">Use the Binomial Theorem to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6af1158377d23d9eeacb7f59d8fc3d29_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835379520\">\n<p id=\"fs-id1167835306013\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832056779\" data-alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern p plus q to the power of 4.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_009_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern p plus q to the power of 4.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167831911004\">In our pattern, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fde029e3062fc70206ffca110949a588_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#112;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87a9c38eadb36a4ccd19f6d188e38e85_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#113;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167826996798\">We use the Binomial Theorem.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167826996801\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76957a35cfa60e9ea7c40d4e7d5b2653_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#114;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#114;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835280488\">Substitute in the values <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2cef89676e415261a7e7d9a40d544c9d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#112;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb0f601919932910ca376e786fc84f47_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#113;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c6ac39adaebc39ea3674c874664a7669_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#52;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835421694\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-63444998b4ddb9b9d8cbca4f2f8b3edb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#52;&#45;&#49;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#52;&#45;&#50;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#52;&#45;&#51;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167834432896\">Simplify the exponents.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835414024\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39acce4c97c0275d1c436a4a17a23ac6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"557\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835305613\">Evaluate the coefficients. Remember, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30d29c99af8e7564f2539eb99ee2a84d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#110;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1399a9ba81e4fb9d076abe7025ea8bb3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#49;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"87\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b93f09f67ae0e23b1eeda32c8984a9c2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"87\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835348520\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4cd6f561c428230633be31392b208904_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#49;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#52;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#33;&#125;&#123;&#50;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#33;&#125;&#123;&#51;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#49;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#52;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#125;&#43;&#54;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#52;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"417\" style=\"vertical-align: -18px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835258730\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834196231\">\n<p id=\"fs-id1167834196233\">Use the Binomial Theorem to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f31a1cccd04b280ca30a701ce4247b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835235156\">\n<p id=\"fs-id1167835235158\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e014ddfedfd429e4fd9bb9af28e5ce0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#121;&#43;&#49;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"223\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88ad50a628bab10e132474d81422bcf9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#53;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835234583\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835234586\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835564728\">\n<p id=\"fs-id1167835564730\">Use the Binomial Theorem to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1924e59f1a39afb912a888e613fbff5f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#43;&#110;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835310773\">\n<p id=\"fs-id1167835310775\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-27f459f1e11d0ad559a039e7474da65d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#43;&#54;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#110;&#43;&#49;&#53;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#48;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"249\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fae0015b01a547adb524fc8128bff01c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#49;&#53;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#54;&#109;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"177\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834183795\">Notice that when we expanded <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ce69024e60e8dba7bf9321f57606069_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> in the last example, using the Binomial Theorem, we got the same coefficients we would get from using <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Pascal\u2019s Triangle<\/span>.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835241554\" data-alt=\"The figure above is P plus q to the power of 4 equals 4 choose 0 times p to the power of 4 plus 4 choose 1 times p to the power of 3 q plus 4 choose 2 times p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 choose 3 times p q to the power of 3 plus 4 choose 4 times q to the power of 4. P plus q to the power of 4 equals p to the power of 4 p to the power of 3 q plus 6 p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 p q to the power of 3 plus q to the power of 4. This figure on the right shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_014_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The figure above is P plus q to the power of 4 equals 4 choose 0 times p to the power of 4 plus 4 choose 1 times p to the power of 3 q plus 4 choose 2 times p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 choose 3 times p q to the power of 3 plus 4 choose 4 times q to the power of 4. P plus q to the power of 4 equals p to the power of 4 p to the power of 3 q plus 6 p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 p q to the power of 3 plus q to the power of 4. This figure on the right shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835322176\">The next example, the binomial is a difference. When the binomial is a difference, we must be careful in identifying the values we will use in the pattern.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167832066110\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832066113\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832066115\">\n<p id=\"fs-id1167832067124\">Use the Binomial Theorem to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e4e1e63048dce9cf868dc9c63e51a77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835349765\">\n<p id=\"fs-id1167835349768\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835330848\" data-alt=\"This figure shows x minus 2 to the power of 5.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_010_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows x minus 2 to the power of 5.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834556499\">In our pattern, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0759fa4423e558f94bef102403b97b1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-159bea5680db08ee12ac3ee2ac90283c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#45;&#50;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"58\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835358208\">We use the Binomial Theorem.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835358211\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76957a35cfa60e9ea7c40d4e7d5b2653_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#114;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#114;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835301541\">Substitute in the values <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4dd4393857b97e80c853a946393c0594_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#120;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-45ad4b0433e512ae25d95955518d6999_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#45;&#50;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-02fe7e9f3b24857bbb9d2286f3a37a55_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#53;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835422006\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-646177320b887bf8ffb76124ceb7a9f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#61;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#45;&#49;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#45;&#50;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#45;&#51;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#45;&#52;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835351262\">Simplify the exponents and evaluate the coefficients. Remember,<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30d29c99af8e7564f2539eb99ee2a84d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#110;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1399a9ba81e4fb9d076abe7025ea8bb3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#49;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"87\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b93f09f67ae0e23b1eeda32c8984a9c2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"87\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167830703936\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c3f3b3dfae0e047eed8bac27cd3d354_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#125;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#61;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#120;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#61;&#49;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#53;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#33;&#125;&#123;&#50;&#33;&middot;&#51;&#33;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#33;&#125;&#123;&#51;&#33;&middot;&#50;&#33;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#33;&#125;&#123;&#52;&#33;&middot;&#49;&#33;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#120;&#43;&#49;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#61;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#53;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#49;&#48;&middot;&#52;&middot;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#49;&#48;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#56;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#53;&middot;&#49;&#54;&middot;&#120;&#43;&#49;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#61;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#45;&#49;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#52;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#56;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#56;&#48;&#120;&#45;&#51;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835434158\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835479490\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835479492\">\n<p id=\"fs-id1167835479494\">Use the Binomial Theorem to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c2af1dfb78e7ce09717a87d2907c4dc0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835301460\">\n<p id=\"fs-id1167835301463\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4453d28529c2a46fffe8acf62552834_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#45;&#49;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#57;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#50;&#55;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"198\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7325381ecbe22801a8d8e558e768a5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#52;&#48;&#53;&#120;&#45;&#50;&#52;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167826803922\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826803926\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826803928\">\n<p id=\"fs-id1167826803930\">Use the Binomial Theorem to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb2428892ed867490812d4534de0c11b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#121;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835479505\">\n<p id=\"fs-id1167835479507\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82cd67e233058584edd89fe425445b22_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#45;&#54;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#49;&#53;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#50;&#48;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#49;&#53;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"233\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00a186c7b6e2b6ba4cbc0872c073f929_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#54;&#121;&#43;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834552544\">Things can get messy when both terms have a coefficient and a variable.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167834552548\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\">\n<div data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835589662\">Use the Binomial Theorem to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-040137caa7b4ec602cc4efd9551dc6b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834301208\">\n<p id=\"fs-id1167826997308\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830703285\" data-alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 2 x minus 3 y times the power of 4.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_011_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 2 x minus 3 y times the power of 4.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167831923400\">In our pattern, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-592a12f8948fcb60284bee8f07e54f79_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#50;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"52\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6fe0876770d316ab3d0d4f9df8a06ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#45;&#51;&#121;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834431031\">We use the Binomial Theorem.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834431034\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76957a35cfa60e9ea7c40d4e7d5b2653_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#114;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#114;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167834185496\">Substitute in the values <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c97f496106f745e0c3d22d1cb73b64d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#50;&#120;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3de19329d096dadbf50ade5d2ff72e76_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#45;&#51;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c6ac39adaebc39ea3674c874664a7669_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#52;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167831920149\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83de7f04c40719d30f98ff4a85cda726_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#45;&#49;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#45;&#50;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#45;&#51;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167834252381\">Simplify the exponents.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834252384\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e01b5e362ab186792183edd28b60454_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835375441\">Evaluate the coefficients. Remember, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d045ea4f52f6aed4f909b6c55861ba02_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#110;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#49;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"299\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834534435\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3bd9c22ed9eac5af93dc325d64928424_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#49;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#52;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#33;&#125;&#123;&#50;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#33;&#125;&#123;&#51;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#49;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835515336\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0f1b344d0f54aca8f1037d3347f8108a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#49;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#52;&middot;&#56;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#43;&#54;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#57;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#43;&#52;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#55;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#43;&#56;&#49;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"556\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834362197\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d76e35247398d7cfccac5029153301a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#49;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#57;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#121;&#43;&#50;&#49;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#49;&#54;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#56;&#49;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"419\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167832036224\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832036228\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832036230\">\n<p id=\"fs-id1167832036232\">Use the Binomial Theorem to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f562575d633de09c46afd32c24c7fae0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#45;&#50;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834252341\">\n<p id=\"fs-id1167834252343\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9fb6977897eaad017658d798c3623a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#52;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#45;&#56;&#49;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#121;&#43;&#49;&#48;&#56;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"211\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-16173da5f595eb2b81c9ae15065805eb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#55;&#50;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#50;&#52;&#48;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#51;&#50;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"205\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167831920175\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831920179\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831920181\">\n<p id=\"fs-id1167831920184\">Use the Binomial Theorem to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56a442de2ad18a6149515385aff5028d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#120;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831920941\">\n<p id=\"fs-id1167831920943\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fddffae1de699dc371a4dd007dd480e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#53;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#55;&#54;&#56;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#121;&#43;&#56;&#54;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-548347d8e68f1d944c1485a2696df3b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#52;&#51;&#50;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#56;&#49;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167826803948\">The real beauty of the Binomial Theorem is that it gives a formula for any particular term of the expansion without having to compute the whole sum. Let\u2019s look for a pattern in the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Binomial Theorem<\/span>.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167826803959\" data-alt=\"This figure shows a plus b to the power of n equals n choose 0 times a to the power of n b to the power of 0 plus n choose 1 times a to the power of n minus 1 b to the 1 plus n choose 2 times a to the power of n minus 2 b to the power of 2 plus ellipsis plus n choose r times a to the power of n minus r plus ellipsis plus n choose n times b to the power of n.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_015_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows a plus b to the power of n equals n choose 0 times a to the power of n b to the power of 0 plus n choose 1 times a to the power of n minus 1 b to the 1 plus n choose 2 times a to the power of n minus 2 b to the power of 2 plus ellipsis plus n choose r times a to the power of n minus r plus ellipsis plus n choose n times b to the power of n.\" \/><\/span><\/p>\n<p>Notice, that in each case the exponent on the <em data-effect=\"italics\">b<\/em> is one less than the number of the term. The <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26251900824b25e91c007d11b387e97d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#114;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#115;&#116;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> term is the term where the exponent of <em data-effect=\"italics\">b<\/em> is <em data-effect=\"italics\">r<\/em>. So we can use the format of the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26251900824b25e91c007d11b387e97d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#114;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#115;&#116;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> term to find the value of a specific term.<\/p>\n<div data-type=\"note\">\n<div data-type=\"title\">Find a Specific Term in a Binomial Expansion<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831921238\">The <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21bebf39c7a9584397b7f8668cb1b0b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#114;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#115;&#116;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> term in the expansion of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-314dcbebc1901d9367d7f428d3792df4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835575770\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7787d0ce5d074f1b28588b2a2c16c2b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#114;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#114;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167831922343\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831922345\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831922347\">\n<p id=\"fs-id1167831922349\">Find the fourth term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4225d2d2fec122dbbb21442ca1c875a3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831922375\">\n<table id=\"fs-id1167831922378\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"X plus y to the power of 7. N choose r times a to the power of n minus r b to the power of r. 7 choose 3 times a to the power of 7 minus 3 b to the power of 3. Use n choose r equals n factorial divided by r factorial times n minus r times factorial to get 7 factorial divided by 3 factorial 4 factorial times a to the power of 7 minus 3 b to the power of 3. Simplify 7 g 6 g 5 g 4 factorial divided by 4 factorial g 3 g 2 g 1 times a to the power of 4 b to the power of 3. Simplify to 35 a to the power of 4 b to the power of 3.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"bottom\" data-align=\"left\">In our pattern, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf954190372168c7972f0ea4b0ad4f03_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#55;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#97;&#61;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"98\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-900b7ba7492d3ad9041cdc43666f1f5a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#121;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834238718\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">We are looking for the fourth term.<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6fb0974ca6af4736fead61114664c990_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#110;&#99;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#43;&#49;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#52;&#44;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#51;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"142\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Write the formula.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834238794\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Substitute in the values, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5770a8a57b71e42c8ee8ddf519cd9882_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#55;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00e23bdfa54506c13ef550425c0b9ae6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#51;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4dd4393857b97e80c853a946393c0594_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#120;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-900b7ba7492d3ad9041cdc43666f1f5a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#121;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834065735\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834065754\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834539336\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016e_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834539361\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016f_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834539388\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016g_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834539405\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834539409\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834539411\">\n<p id=\"fs-id1167834539413\">Find the third term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f58a503e4c43f4221e0e64e57a41e466_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830705516\">\n<p id=\"fs-id1167830705518\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5eb969829e0548004857ca122af9cced_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167830705538\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830705542\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830705544\">\n<p id=\"fs-id1167830705546\">Find the fifth term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc86bc4039119fbd825c767769e476fc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830705572\">\n<p id=\"fs-id1167830705574\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9aca8963d74e8dcabb2a4ff8149bfc5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#56;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"33\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167830705591\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830705593\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830705595\">\n<p id=\"fs-id1167830705598\">Find the coefficient of the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ade694690dad929018ebadb1c3acd5e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-983ae8518d2f4ccdbe9988f11a4c804e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826788459\">\n<table id=\"fs-id1167826788462\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern x plus 3 to the power of 9. N choose r times a to the power of n minus r b to the power r. 9 choose 3 times x to the power of 9 minus 3 g 3 to the power of 3. The figure shows two equations on the right and the left. The left reads use n choose r equals n factorial divided by r factorial times n minus r times factorial. The right reads 9 factorial divided by 3 factorial 6 factorial x to the power of 9 minus 3 g 3 to the power of 3. Simplify to 9 g 7 g 6 factorial divided by 3 g 2 g 1 g 6 factorial times x to the power of 6 g 27. Simplify to 9 g 27 g x to the power of 6. Simplify to 243 x to the power of 6.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"bottom\" data-align=\"left\">In our pattern, then <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-340e8abed600e10d7d1c7c3352a40bf8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#57;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4dd4393857b97e80c853a946393c0594_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#120;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ccac1182e5ee935a4d6b18da77f132f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"44\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167826788542\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">We are looking for the coefficient of the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ade694690dad929018ebadb1c3acd5e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term.<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\u2003\u2003\u2003\u2003Since <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4dd4393857b97e80c853a946393c0594_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#120;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3a0465c67d5b8890fcdb88bc1feccda_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#57;&#45;&#114;&#125;&#61;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> we know <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b98ca186bf84e6aa6a05213a89163cf1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"45\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Write the formula.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835483761\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Substitute in the values, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-340e8abed600e10d7d1c7c3352a40bf8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#57;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00e23bdfa54506c13ef550425c0b9ae6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#51;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4dd4393857b97e80c853a946393c0594_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#120;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ccac1182e5ee935a4d6b18da77f132f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"44\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835364607\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835364627\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017e_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830703815\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017f_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830703842\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017g_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830703868\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017h_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">The coefficient of the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ade694690dad929018ebadb1c3acd5e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term is 2268.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835595833\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835595836\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835595838\">\n<p id=\"fs-id1167835595841\">Find the coefficient of the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48541f82788d9b97a870606bd6257cd7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b98db7f287fa21c56a966483d253beee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835595875\">\n<p id=\"fs-id1167835595877\">7,168<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835595883\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835595887\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835595890\">\n<p id=\"fs-id1167835595892\">Find the coefficient of the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-159899034a68d14dd24abc2121923568_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-321434d50ecd4daf8d881574e78d13e1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835595926\">\n<p id=\"fs-id1167835595928\">280<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835595934\" class=\"media-2\">\n<p id=\"fs-id1167831896538\">Access these online resources for additional instruction and practice with sequences.<\/p>\n<ul id=\"fs-id1167831896542\" data-display=\"block\">\n<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37binexpanpastr\">Binomial Expansion Using Pascal\u2019s Triangle<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37binocoeffic\">Binomial Coefficients<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167831896564\">\n<h3 data-type=\"title\">Key Concepts<\/h3>\n<ul id=\"fs-id1167831896571\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li><strong data-effect=\"bold\">Patterns in the expansion of<\/strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-314dcbebc1901d9367d7f428d3792df4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>\n<ul id=\"fs-id1167831896607\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>The number of terms is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c36cd99fd08ed06099c3688c7858942_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#43;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/li>\n<li>The first term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef78644f25c125ead81d3c69ef32dee0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and the last term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-15669049429993354428cedfab05708e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/li>\n<li>The exponents on <em data-effect=\"italics\">a<\/em> decrease by one on each term going left to right.<\/li>\n<li>The exponents on <em data-effect=\"italics\">b<\/em> increase by one on each term going left to right.<\/li>\n<li>The sum of the exponents on any term is <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Pascal\u2019s Triangle<\/strong><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834062595\" data-alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_013_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows Pascal&#x2019;s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\" \/><\/span><\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Binomial Coefficient<\/strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e0f23cb1aa1e10df45e9c860c099917_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><strong data-effect=\"bold\">:<\/strong> A binomial coefficient <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b319784a479ccb98dfb49ba58aa272b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> where <em data-effect=\"italics\">r<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers with <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ffb6d98e501c319360164a173ae37b34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#92;&#108;&#101;&#32;&#114;&#92;&#108;&#101;&#32;&#110;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"80\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is defined as<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835321467\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-174a0c4900ad9d1bba7b58605f6075dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#110;&#33;&#125;&#123;&#114;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#45;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"127\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span> We read <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e0f23cb1aa1e10df45e9c860c099917_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> as \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> choose <em data-effect=\"italics\">r<\/em>\u201d or \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> taken <em data-effect=\"italics\">r<\/em> at a time\u201d.<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Properties of Binomial Coefficients<\/strong><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-09f193e95a0dd9e0c47afb3d28bf3275_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"384\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Binomial Theorem:<\/strong> For any real numbers <em data-effect=\"italics\">a<\/em>, <em data-effect=\"italics\">b<\/em>, and positive integer <em data-effect=\"italics\">n<\/em>,<span data-type=\"newline\"><br \/><\/span>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835468472\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76957a35cfa60e9ea7c40d4e7d5b2653_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#114;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#114;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167834188605\">\n<h3 data-type=\"title\">Section Exercises<\/h3>\n<div class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167834188609\">\n<h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4>\n<p id=\"fs-id1167834188617\"><strong data-effect=\"bold\">Use Pascal\u2019s Triangle to Expand a Binomial<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834188624\">In the following exercises, expand each binomial using Pascal\u2019s Triangle.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834188628\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834188630\">\n<p id=\"fs-id1167834188633\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80c1dd6cbcc03069cdc9811783a59d48_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826799328\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826799330\">\n<p id=\"fs-id1167826799332\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5eb48d13de7839f02f767a84007bd8b8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826799354\">\n<p id=\"fs-id1167826799357\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-12c005f097d78219cbed3efa11e9fb2f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#43;&#56;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#98;&#43;&#50;&#56;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#53;&#54;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"215\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d41756de701e48411cc2652b420884d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#55;&#48;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#53;&#54;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#50;&#56;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"207\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad5d1e72e7ea49d417c0c49625a3080a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#56;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835357815\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835357818\">\n<p id=\"fs-id1167835357820\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a1c9a3f6f856f3bd9c5de21e339a425_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#43;&#110;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835281826\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835281828\">\n<p id=\"fs-id1167835281830\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-de0a1be2712efb7e55d88efd97256818_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835281852\">\n<p id=\"fs-id1167835281854\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-452bcf8ab232a901cb19f8497492696d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;&#43;&#57;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#113;&#43;&#51;&#54;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#56;&#52;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"217\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c7fa75c41bc984cb78b9fcabffeff91c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#49;&#50;&#54;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#49;&#50;&#54;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#56;&#52;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"226\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2fc1ae8ca83e40888bb90f6061d81498_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#51;&#54;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#43;&#57;&#112;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#43;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"157\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834423683\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834423685\">\n<p id=\"fs-id1167826993944\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8caea09786511f539af2b588733c8392_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826994041\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826994043\">\n<p id=\"fs-id1167826994046\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e008f251550c0556ae682c4f85cd0a34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826994068\">\n<p id=\"fs-id1167826994070\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa226c0e2ff2fdb2ced9008ba87cf8fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#45;&#54;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#98;&#43;&#49;&#53;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#48;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"215\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d003f6ead0c0dc2e73a5bd09c9190249_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#49;&#53;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#54;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"156\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834066081\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834066083\">\n<p id=\"fs-id1167834066085\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9588f0e72bb6f1db8c25bd783f4deea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832144279\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832144281\">\n<p id=\"fs-id1167832144283\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-acddc27f8e1537e7fd6a24982b1d9021_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832144306\">\n<p id=\"fs-id1167832144308\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-452dc1c3bc963215451cbc10bbf879ac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#49;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#55;&#53;&#120;&#43;&#49;&#50;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"172\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832144340\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832144342\">\n<p id=\"fs-id1167832144344\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-877292bdeaa890ef3fda646f9d37678a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#121;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834195532\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834195534\">\n<p id=\"fs-id1167834195536\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f71870aa32cdf34b2cb819061762ce15_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#121;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834195558\">\n<p id=\"fs-id1167834195560\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-560800b2ecfd5a2fabad5966dcbe3bce_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#43;&#55;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#43;&#50;&#49;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#51;&#53;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#51;&#53;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"233\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8178ec3c794b0a93c47f048f6f5ccdd7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#50;&#49;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#55;&#121;&#43;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"118\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834195631\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834195633\">\n<p id=\"fs-id1167834195635\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32735fce035736aa155c4f401f737aa9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#122;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835379880\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835379882\">\n<p id=\"fs-id1167835379885\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d7e567cec885093954e94dd55546ce3a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#122;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835379907\">\n<p id=\"fs-id1167835379909\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d62b344f786cb5b379e116cf7127888_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#45;&#49;&#50;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#54;&#48;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#49;&#54;&#48;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#50;&#52;&#48;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"258\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd4d06acd10ae12d7737418d69125a8a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#57;&#50;&#122;&#43;&#54;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831922804\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831922806\">\n<p id=\"fs-id1167831922809\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-90d9cd8b6958d9a441780724a8a5ef24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#120;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831922869\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831922872\">\n<p id=\"fs-id1167831922874\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cec4da98b3fb2707fff8d566bf71b927_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831922898\">\n<p id=\"fs-id1167831922900\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7bfe13c158bdd63811d0bc926a34325d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#52;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#45;&#52;&#48;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#50;&#55;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#57;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"233\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d46781a81239aaf36f92881087a532d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#49;&#53;&#120;&#45;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"71\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826987731\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826987733\">\n<p id=\"fs-id1167826987735\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-abe7eda5928fcc20d527cd7495762793_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#45;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826987806\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826987808\">\n<p id=\"fs-id1167826987810\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3fb0d9e02808b6db650de9bfdb077417_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826987834\">\n<p id=\"fs-id1167826987837\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-948a36677392de63b1e3ef4ddf37a760_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#55;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#49;&#51;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#50;&#53;&#120;&#45;&#49;&#50;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"208\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835244769\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835244771\">\n<p id=\"fs-id1167835244773\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3df4553d63cbd22ef4c7367cf3adfa69_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#43;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835244849\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835244851\">\n<p id=\"fs-id1167835244853\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f8e2e88497bb14e7b08943b10ad60bf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#43;&#53;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835244880\">\n<p id=\"fs-id1167835244882\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb6c3a55178a30c9146239169912a13b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#55;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#49;&#51;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#121;&#43;&#50;&#50;&#53;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#50;&#53;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167830705849\"><strong data-effect=\"bold\">Evaluate a Binomial Coefficient<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167830705854\">In the following exercises, evaluate.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830705858\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830705860\">\n<p id=\"fs-id1167830705862\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b34dd23232d30b85a8214a3bfd4170fb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#56;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9efcaac3c2807678435ee4a6d5edb3c8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#49;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eeda748397eb42a56f84527b23dd0c24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#54;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82a90c02d048720e1446f3200000f306_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#57;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826977707\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826977709\">\n<p id=\"fs-id1167826977711\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac1a3a78d2d461ba6681fbb07018c55e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#55;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-117c1b0b56100da21d82e8448e012be6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e5dcfe8094cd054dc9384904b3a9d980_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d68b86a7eb5c5579760ca378079afe4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#49;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#56;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831881632\">\n<p id=\"fs-id1167831881634\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 7 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 45<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831881659\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831881661\">\n<p id=\"fs-id1167831881663\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a1caf7d930f7eec50ce32027e7cec3f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d85a2b9de4264c0b3fad64c49009a9a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#57;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#57;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b375ad5ce37a1696efd6d8f7f32f2d1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#55;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-60f3221db97628f0b58719324eef286b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835352517\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835352519\">\n<p id=\"fs-id1167835352521\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c5f7512bba00704a6833013831083fa9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50de728c3074ce263445c36f55e4effe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73a5b37346c499ce6e1351f5a6d744da_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#56;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9bbc406436801289c72d2c5f589d9e47_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#49;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#57;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835352633\">\n<p id=\"fs-id1167835352635\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 4 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 55<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831920560\"><strong data-effect=\"bold\">Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167831920567\">In the following exercises, expand each binomial.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831920570\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831920572\">\n<p id=\"fs-id1167831920574\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0b9349de57d1d909e3b5623de66e58d0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831920641\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831920644\">\n<p id=\"fs-id1167831920646\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2bad656ee6e553bf6b9910cb77d468b8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#43;&#110;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831920668\">\n<p id=\"fs-id1167831920670\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9454e62ef198e42c29ed360c6bff36b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#53;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#110;&#43;&#49;&#48;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#48;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"249\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c4c36e940f177668df9096f1600bcd7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#53;&#109;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834535174\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834535177\">\n<p id=\"fs-id1167834535179\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3984d7c6baa96053734668ff543773f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834535291\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835622197\">\n<p id=\"fs-id1167835622199\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-260d243a2d92e4e0215610ec49bc8f9b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#115;&#43;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835622221\">\n<p id=\"fs-id1167835622223\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-323cdd7998f1f0677bb4c459c4551b24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#43;&#55;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#116;&#43;&#50;&#49;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#53;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"207\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff224a4251e7151ef10d2167f207d57d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#51;&#53;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#50;&#49;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#55;&#115;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#43;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"219\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835622326\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835622328\">\n<p id=\"fs-id1167835622330\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94ccb6c2962272076e93b162a95c1c05_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830704384\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830704387\">\n<p id=\"fs-id1167830704389\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd72388efdac3bc15ad85052c98dbfc9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#121;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830704411\">\n<p id=\"fs-id1167830704413\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c6b6855b701c6b22c88768df00104b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#49;&#50;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#53;&#52;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#48;&#56;&#121;&#43;&#56;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"226\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830704455\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830704457\">\n<p id=\"fs-id1167830704459\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2d2f928b0634f6d9d845502cd97e5532_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831884551\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831884553\">\n<p id=\"fs-id1167831884555\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-972c90fdda09e61b02a8599d07a1a251_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#113;&#45;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831884577\">\n<p id=\"fs-id1167831884580\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62b511a18c3844bb7f87db5eab4498a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#49;&#50;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#52;&#56;&#113;&#45;&#54;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"159\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831884612\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831884614\">\n<p id=\"fs-id1167831884616\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bece79ae4480e6118b642b4cb661127a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#45;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834537970\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834537973\">\n<p id=\"fs-id1167834537975\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9928b99cf069c626f5e59f2a1b1eb104_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#53;&#120;&#45;&#50;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834538001\">\n<p id=\"fs-id1167834538004\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b095861eafd52b56e300f21cc8347164_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#50;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#49;&#48;&#48;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#121;&#43;&#54;&#48;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"211\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76fc3ab44d3c2685003588ef4b42286c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#54;&#48;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#49;&#54;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834538065\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834538068\">\n<p id=\"fs-id1167834538070\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-239bd481af150a90dd456961fa3f72e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#43;&#53;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831823905\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831823907\">\n<p id=\"fs-id1167831823909\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74a3179e68e7766bb824e823e212bfc0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#43;&#52;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831823936\">\n<p id=\"fs-id1167831823938\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df12b9d0f37f3c7d0e16fc8bec6d9101_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#52;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#49;&#54;&#50;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#121;&#43;&#52;&#51;&#50;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"220\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-28c66fd3eb9c797a7a8bba12d77d32e2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#53;&#55;&#54;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#51;&#56;&#52;&#48;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#49;&#48;&#50;&#52;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"242\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834430382\">In the following exercises, find the indicated term in the expansion of the binomial.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834430386\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834430388\">\n<p id=\"fs-id1167834430390\">Sixth term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8c17617d5616fec705d4773e6a832be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834430438\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834430440\">\n<p id=\"fs-id1167834430442\">Fifth term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6af464e80151f36ea9c7f3887c3e71c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834430468\">\n<p id=\"fs-id1167834430470\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-096b10d206bc923dcd1fc57610740636_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#50;&#54;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834430489\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834430491\">\n<p id=\"fs-id1167834430493\">Fourth term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8f1cfdf3e934955b3379a050f08c769_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831887443\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831887445\">\n<p id=\"fs-id1167831887448\">Seventh term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0640f260c905398b82efe9bbd7e026bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831887474\">\n<p id=\"fs-id1167831887476\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d8733f972a2c21ec571a473efb038ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#54;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831887496\">In the following exercises, find the coefficient of the indicated term in the expansion of the binomial.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831887500\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831887502\">\n<p id=\"fs-id1167831887504\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1636a6f930103611f98b9c915049d17_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6fd76e334e44d5d48fa66369c3cc2ef9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#121;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831887545\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831887547\">\n<p id=\"fs-id1167831887549\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ade694690dad929018ebadb1c3acd5e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-302f54b3195e5de8b12a316565577d84_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831887582\">\n<p id=\"fs-id1167831887584\">112<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831887589\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831887592\">\n<p id=\"fs-id1167831887594\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48541f82788d9b97a870606bd6257cd7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-152bc04ecce9bba1abe8f47cebb4a91a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831833765\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831833767\">\n<p id=\"fs-id1167831833769\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39dc93d4d7d29689c540d3ad91eed2c8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a1a98780f11204c51f30546c69a066a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831833802\">\n<p id=\"fs-id1167831833805\">324<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831833810\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831833812\">\n<p id=\"fs-id1167831833814\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-890674c35f80bc1b9314c49fbf40d17f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"32\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8815249e2d9fb3c0a2f7c3d35372e552_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831833862\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831833864\">\n<p id=\"fs-id1167831833866\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d22c74dd84a6f8849f0e4e10fbe16f0e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-600a3e0ee2b7417ba5b609f0ff2ec847_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834555252\">\n<p id=\"fs-id1167834555254\">30,618<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"writing\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167829791146\">\n<h4 data-type=\"title\">Writing Exercises<\/h4>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834555269\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834555271\">\n<p id=\"fs-id1167834555273\">In your own words explain how to find the rows of the Pascal\u2019s Triangle. Write the first five rows of Pascal\u2019s Triangle.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834555286\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834555288\">\n<p id=\"fs-id1167834555290\">In your own words, explain the pattern of exponents for each variable in the expansion of.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834555295\">\n<p id=\"fs-id1167834555297\">Answers will vary.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834555303\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834555305\">\n<p id=\"fs-id1167834555307\">In your own words, explain the difference between <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-314dcbebc1901d9367d7f428d3792df4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a719823240cd18ec1be29a7e2e96668b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834555360\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834555362\">\n<p id=\"fs-id1167834555365\">In your own words, explain how to find a specific term in the expansion of a binomial without expanding the whole thing. Use an example to help explain.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834555370\">\n<p id=\"fs-id1167834555372\">Answers will vary.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167834555379\">\n<h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4>\n<p id=\"fs-id1167834555384\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834555396\" data-alt=\"This figure shows a table with four rows and four columns. The first row is the header row and reads. &#x201c;I can&#x201d;, &#x201c;Confidently&#x201d;, &#x201c;With some help&#x201d; and &#x201c;No, I don&#x2019;t get it&#x201d;. The first column, beginning at the second row reads, &#x201c;Use Pascal&#x2019;s Triangle to Expand a Binomial&#x201d;, &#x201c;Evaluate a Binomial Coefficient&#x201d; and &#x201c;Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial&#x201d;. The remaining columns are blank.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_201_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This figure shows a table with four rows and four columns. The first row is the header row and reads. &#x201c;I can&#x201d;, &#x201c;Confidently&#x201d;, &#x201c;With some help&#x201d; and &#x201c;No, I don&#x2019;t get it&#x201d;. The first column, beginning at the second row reads, &#x201c;Use Pascal&#x2019;s Triangle to Expand a Binomial&#x201d;, &#x201c;Evaluate a Binomial Coefficient&#x201d; and &#x201c;Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial&#x201d;. The remaining columns are blank.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834555408\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> On a scale of 1-10, how would you rate your mastery of this section in light of your responses on the checklist? How can you improve this?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"review-exercises\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167834533095\">\n<h3 data-type=\"title\">Chapter Review Exercises<\/h3>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167834533099\">\n<h4 data-type=\"title\"><a href=\"\/contents\/81cfc493-c857-49bd-a23f-82ac67cbb9c4\" class=\"target-chapter\">Sequences<\/a><\/h4>\n<p id=\"fs-id1167834533110\"><strong data-effect=\"bold\">Write the First Few Terms of a Sequence<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834533116\">In the following exercises, write the first five terms of the sequence whose general term is given.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834533120\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834533122\">\n<p id=\"fs-id1167834533124\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ed1c091ef4ff11d41f037160928c0b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#55;&#110;&#45;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834533173\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834533175\">\n<p id=\"fs-id1167834533178\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dea6c7f6c2ea0ff04d76f7853d798a91_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834533200\">\n<p id=\"fs-id1167834533202\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7676be28194eb75eae3834193ea5e079_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#44;&#49;&#51;&#44;&#51;&#49;&#44;&#56;&#53;&#44;&#50;&#52;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834533228\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834533230\">\n<p id=\"fs-id1167834533232\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-627346ca7f18fc7fa257286c0cf97e19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830699125\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830699127\">\n<p id=\"fs-id1167830699129\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df1873467a5152db6a0dc9c4eae9e9c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#110;&#43;&#49;&#125;&#123;&#123;&#52;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830699159\">\n<p id=\"fs-id1167830699161\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5bd46102a4a104caeb7ada58b978eddb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#52;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#49;&#54;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&#125;&#123;&#54;&#52;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#57;&#125;&#123;&#50;&#53;&#54;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#49;&#125;&#123;&#49;&#48;&#50;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"130\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830699208\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830699210\">\n<p id=\"fs-id1167830699212\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a41d54a176449f79dde5669fa2a2998_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#123;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834098136\"><strong data-effect=\"bold\">Find a Formula for the General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th Term) of a Sequence<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834098147\">In the following exercises, find a general term for the sequence whose first five terms are shown.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834098152\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834098154\">\n<p id=\"fs-id1167834098156\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b803ddd0cfae5c7f8cfd8371f9c4adf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#57;&#44;&#49;&#56;&#44;&#50;&#55;&#44;&#51;&#54;&#44;&#52;&#53;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"116\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834098187\">\n<p id=\"fs-id1167834098189\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-06ea0a991ad7085f8884751a207d7735_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#57;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"62\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834098207\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834098209\">\n<p id=\"fs-id1167834098211\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-710b11ef15bf520b4ceecacfc495f17b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#53;&#44;&#45;&#52;&#44;&#45;&#51;&#44;&#45;&#50;&#44;&#45;&#49;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"148\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834098265\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834098267\">\n<p id=\"fs-id1167834098269\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bad6185fa7c341cf57363ee50bf00224_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#101;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#101;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#101;&#125;&#44;&#49;&#44;&#101;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834536203\">\n<p id=\"fs-id1167834536206\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4dafd4194be67727546f83c6a9300943_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#101;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834536230\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834536232\">\n<p id=\"fs-id1167834536234\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-829ff203c861863510de2a91505f3dea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#44;&#45;&#56;&#44;&#50;&#55;&#44;&#45;&#54;&#52;&#44;&#49;&#50;&#53;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"142\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834536307\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834536309\">\n<p id=\"fs-id1167834536311\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-539b68c984df70474aa7a034025b8f1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#44;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#44;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#53;&#125;&#44;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;&#44;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#55;&#125;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"157\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831846984\">\n<p id=\"fs-id1167831846986\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ca758163a4ef658911d293de1b3c5f0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#110;&#125;&#123;&#110;&#43;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831847012\"><strong data-effect=\"bold\">Use Factorial Notation<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167831847018\">In the following exercises, using factorial notation, write the first five terms of the sequence whose general term is given.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831847022\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831847024\">\n<p id=\"fs-id1167831847026\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-79a142f1b346e3fe3bf24f47ffb2f128_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#52;&#110;&#33;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831847073\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831847076\">\n<p id=\"fs-id1167831847078\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8f455a0e6cf7cfc69b32f3111fdba16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#110;&#33;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#33;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831847115\">\n<p id=\"fs-id1167831847117\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1dc95b11caa457971e840bbeb4b830d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#54;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#49;&#50;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#48;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#48;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834095018\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834095020\">\n<p id=\"fs-id1167834095023\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c04f0f0f34b5b35c7c20952cec3307f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#123;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#50;&#125;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834095119\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Partial Sum<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834095125\">In the following exercises, expand the partial sum and find its value.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834095129\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834095131\">\n<p id=\"fs-id1167834095133\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-122a51cbc24f53ef04fc136530a8c431_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#105;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830699348\">\n<p id=\"fs-id1167830699351\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff07470a49d106ed4ca2b15d01ac73de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#51;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#43;&#49;&#43;&#51;&#43;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"170\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec3c846dbaf3c1905862ae3b629c8952_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#55;&#43;&#57;&#61;&#50;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"94\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830699397\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830699399\">\n<p id=\"fs-id1167830699402\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-977d5550acf9647ff691678d8c44b5b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#53;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830699453\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830699455\">\n<p id=\"fs-id1167830699457\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f87e99d26ed3c8274495eb75a14fb195_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#107;&#61;&#48;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#107;&#33;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"62\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830699488\">\n<p id=\"fs-id1167830699490\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b7156ddabeffdee8b118e4b23dda38ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#43;&#52;&#43;&#50;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#54;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#53;&#125;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"174\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835514050\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835514052\">\n<p id=\"fs-id1167835514054\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-978a0163175a7d95eee7c03565766157_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#107;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#107;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#107;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"167\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167835514133\"><strong data-effect=\"bold\">Use Summation Notation to write a Sum<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835514140\">In the following exercises, write each sum using summation notation.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835514143\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835514145\">\n<p id=\"fs-id1167835514147\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66e16a79dc95e5561462f3ec3a16599f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#57;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#55;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#56;&#49;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#52;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"179\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835514193\">\n<p id=\"fs-id1167835514195\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d61e134d313880be0a406a7510ba4409_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#110;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"112\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834228203\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834228205\">\n<p id=\"fs-id1167834228208\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9fe9cb3745554d0dc86030c4e2052558_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#45;&#56;&#43;&#49;&#50;&#45;&#49;&#54;&#43;&#50;&#48;&#45;&#50;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"197\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834228286\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834228288\">\n<p id=\"fs-id1167834228290\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3e1942a5885dd3c3fe52b38f6a83664b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#43;&#50;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#51;&#125;&#43;&#49;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"133\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834228321\">\n<p id=\"fs-id1167834228323\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b25f5ad2db30c9485db7111e7c8cdee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#110;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167834300985\">\n<h4 data-type=\"title\"><a href=\"\/contents\/beab9aa5-3e76-4e7b-92f5-1eae134e874b\" class=\"target-chapter\">Arithmetic Sequences<\/a><\/h4>\n<p id=\"fs-id1167834300996\"><strong data-effect=\"bold\">Determine if a Sequence is Arithmetic<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834301002\">In the following exercises, determine if each sequence is arithmetic, and if so, indicate the common difference.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834301006\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834301008\">\n<p id=\"fs-id1167834301010\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2c140d2d90d65b85098d00bb1a9104d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#44;&#50;&#44;&#52;&#44;&#56;&#44;&#49;&#54;&#44;&#51;&#50;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"114\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834301053\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834301055\">\n<p id=\"fs-id1167834301057\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4399e9892526b39b4379049a329c194_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#55;&#44;&#45;&#49;&#44;&#53;&#44;&#49;&#49;&#44;&#49;&#55;&#44;&#50;&#51;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834301092\">\n<p id=\"fs-id1167834301095\">The sequence is arithmetic with common difference <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83bf7a637eb2444be42f6e09b71e4f9a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#100;&#61;&#54;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"46\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834301111\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834301113\">\n<p id=\"fs-id1167834301115\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf3d221a9b7e51164ddd68fa815980e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#51;&#44;&#57;&#44;&#53;&#44;&#49;&#44;&#45;&#51;&#44;&#45;&#55;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"132\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834279552\">In the following exercises, write the first five terms of each arithmetic sequence with the given first term and common difference.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834279556\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834279558\">\n<p id=\"fs-id1167834279560\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b32738d1e587625d5a8967f4c233650b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c670fab3ff7b014c602cc0ebf5e374b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#100;&#61;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834279585\">\n<p id=\"fs-id1167834279587\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bc6a0069d49958831e51141bdd04296f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#44;&#56;&#44;&#49;&#49;&#44;&#49;&#52;&#44;&#49;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834279612\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834279615\">\n<p id=\"fs-id1167834279617\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2ec59e1f924513e496ad183953304f8e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#56;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c5f311149c0889e57f7d91d60a47c56_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#100;&#61;&#45;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"55\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834279669\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834279671\">\n<p id=\"fs-id1167834279673\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2522cbd4b1bcfda5fed958b9944a939_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#45;&#49;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf704b522af3cb7d608adf23f49efb4b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#100;&#61;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834279698\">\n<p id=\"fs-id1167834279700\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c879939cd7934a42c72ced12cb33ce03_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#51;&#44;&#45;&#55;&#44;&#45;&#49;&#44;&#53;&#44;&#49;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"133\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167830704135\"><strong data-effect=\"bold\">Find the General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th Term) of an Arithmetic Sequence<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167830704146\">In the following exercises, find the term described using the information provided.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830704149\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830704151\">\n<p id=\"fs-id1167830704153\">Find the twenty-fifth term of a sequence where the first term is five and the common difference is three.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830704169\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830704171\">\n<p id=\"fs-id1167830704174\">Find the thirtieth term of a sequence where the first term is 16 and the common difference is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a304c08841a2d59337cd8ea9a3811e93_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#53;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830704185\">\n<p id=\"fs-id1167830704187\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c292cc19a4388b6109bdb427b7e46dcc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#50;&#57;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830704196\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830704198\">\n<p id=\"fs-id1167830704200\">Find the seventeenth term of a sequence where the first term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2cae475c6cc4ade824f228f09d1e1ad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#50;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"30\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> and the common difference is two.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167830704220\">In the following exercises, find the indicated term and give the formula for the general term.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830704224\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830704227\">\n<p id=\"fs-id1167830704229\">Find the eighteenth term of a sequence where the fifth term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-40f7428479801bf4ef27a5149e9df526_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> and the common difference is seven.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830704238\">\n<p id=\"fs-id1167830704240\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-53752c0832741295ca6afd6bdada533f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#56;&#125;&#61;&#49;&#48;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> The general term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c15704167f4657367ee7b7062c3747eb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#55;&#110;&#45;&#50;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"105\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830704281\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830704283\">\n<p id=\"fs-id1167830704285\">Find the twenty-first term of a sequence where the seventh term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38826cadfc5dbf2d92abbbfd6d370410_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> and the common difference is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cfa36400e576c82fd4847d2da37b1d56_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167830694002\">In the following exercises, find the first term and common difference of the sequence with the given terms. Give the formula for the general term.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830694006\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830694008\">\n<p id=\"fs-id1167830694011\">The fifth term is 17 and the fourteenth term is 53.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830694015\">\n<p id=\"fs-id1167830694017\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74c65da55468f3ad7e81f94cde2e7291_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#49;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7395254a8a7e2922b12eaac8093e0888_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#100;&#61;&#52;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> The general term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0fcf577176238e88e07bd3d40ea0d49f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#52;&#110;&#45;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830694067\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830694069\">\n<p id=\"fs-id1167830694071\">The third term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1fd6b8831cf04fbc6926afb2f9f0a71b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#50;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"31\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and the sixteenth term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7f0611aae531b7c2b33ad12aba6ad334_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#57;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/>.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167830694141\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Sum of the First <em data-effect=\"italics\">n<\/em> Terms of an Arithmetic Sequence<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834533414\">In the following exercises, find the sum of the first 30 terms of each arithmetic sequence.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834533418\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834533420\">\n<p id=\"fs-id1167834533422\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4cc3344d62d9e8c23a4dc6133fda9d2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#44;&#52;&#44;&#49;&#44;&#45;&#50;&#44;&#45;&#53;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"108\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834533453\">\n<p id=\"fs-id1167834533455\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c0c0fe07b66d054dedade92a9e0ce4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#52;&#51;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834533464\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834533466\">\n<p id=\"fs-id1167834533468\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6fb56f78c85ce14f0ffbc2d47c849ec0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#44;&#54;&#44;&#49;&#49;&#44;&#49;&#54;&#44;&#50;&#49;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834533510\">In the following exercises, find the sum of the first fifteen terms of the arithmetic sequence whose general term is given.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834533514\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834533516\">\n<p id=\"fs-id1167834533518\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1092a4be9025c59a507bc49afe6e4095_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#52;&#110;&#43;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"92\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834533540\">\n<p id=\"fs-id1167834533542\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21cf38cca5020d53d56fd73fc2db3751_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#56;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834533550\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834533552\">\n<p id=\"fs-id1167834533554\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-881f52f25bdbfb2005a74b0d3bf06b08_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#45;&#50;&#110;&#43;&#49;&#57;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"115\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831921886\">In the following exercises, find each sum.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831921889\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831921891\">\n<p id=\"fs-id1167831921894\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f9b15b959226ef48d156537c57b3ffd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#53;&#48;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#105;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831921934\">\n<p id=\"fs-id1167831921936\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bfab97ff318f194148022f674abef467_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#56;&#53;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831921944\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831921946\">\n<p id=\"fs-id1167831921949\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07d27cd246e744105d9cbfb41395c141_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#51;&#48;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#105;&#45;&#55;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"117\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831922004\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831922006\">\n<p id=\"fs-id1167831922008\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df33dd2a7fc871d64f21fc73804446fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#51;&#53;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#105;&#43;&#49;&#48;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831922046\">\n<p id=\"fs-id1167831922048\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b095fa0ffba2e2f300e8d1fef5e07d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#57;&#56;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"27\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167831922058\">\n<h4 data-type=\"title\"><a href=\"\/contents\/7e49f09d-5033-4393-a74f-556d343328c7\" class=\"target-chapter\">Geometric Sequences and Series<\/a><\/h4>\n<p id=\"fs-id1167834432279\"><strong data-effect=\"bold\">Determine if a Sequence is Geometric<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834432285\">In the following exercises, determine if the sequence is geometric, and if so, indicate the common ratio.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834432290\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834432292\">\n<p id=\"fs-id1167834432294\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3aaa8866aea6ffc85fd61a9dc7a1231c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#44;&#49;&#50;&#44;&#52;&#56;&#44;&#49;&#57;&#50;&#44;&#55;&#54;&#56;&#44;&#51;&#48;&#55;&#50;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"177\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834432347\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834432349\">\n<p id=\"fs-id1167834432352\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-126a26c95a92b9fa655a50faf1698514_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#44;&#49;&#48;&#44;&#49;&#53;&#44;&#50;&#48;&#44;&#50;&#53;&#44;&#51;&#48;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"141\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834432387\">\n<p id=\"fs-id1167834432389\">The sequence is not geometric.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834432394\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834432396\">\n<p id=\"fs-id1167834432398\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a36bdd1c01a138c178522bbc9a4c177_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#49;&#50;&#44;&#53;&#54;&#44;&#50;&#56;&#44;&#49;&#52;&#44;&#55;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&#125;&#123;&#50;&#125;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"142\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834279767\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834279769\">\n<p id=\"fs-id1167834279771\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e18098364d910cfd892b6a8e3f789986_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#57;&#44;&#45;&#49;&#56;&#44;&#51;&#54;&#44;&#45;&#55;&#50;&#44;&#49;&#52;&#52;&#44;&#45;&#50;&#56;&#56;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"201\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834279806\">\n<p id=\"fs-id1167834279808\">The sequence is geometric with common ratio <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-256a3011fa22b2ffc8abe8b2bc3337ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#45;&#50;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"59\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834279824\">In the following exercises, write the first five terms of each geometric sequence with the given first term and common ratio.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834279829\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834279831\">\n<p id=\"fs-id1167834279833\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0b2dcc1fd4030f424280a7424c73a69_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#45;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-646c6f3582313c1b1e5a0b3a7dd1802b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"40\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834279885\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834279887\">\n<p id=\"fs-id1167834279890\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b28a84756afcb053461a27a86d628c79_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#49;&#50;&#56;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a92933bb0d5b400526da3f19f363f464_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834279917\">\n<p id=\"fs-id1167834279919\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-898d86006cb17cfe1f166079dd6d19c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#50;&#56;&#44;&#51;&#50;&#44;&#56;&#44;&#50;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"102\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834279948\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834279950\">\n<p id=\"fs-id1167826994654\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b32738d1e587625d5a8967f4c233650b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4eb43016d13c48ab7f14b644b1cee646_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#45;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"55\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167826994706\"><strong data-effect=\"bold\">Find the General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th Term) of a Geometric Sequence<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167826994718\">In the following exercises, find the indicated term of a sequence where the first term and the common ratio is given.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826994722\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826994724\">\n<p id=\"fs-id1167826994726\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f53b65baf2773750b33b30b7d20f7d9e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> given <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-db6e0a0bb6ea8af98bf4b1f27bbddde7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c73cc4a7f7662f7dc9844c731b2f4ddd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#50;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"45\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826994760\">\n<p id=\"fs-id1167826994762\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2e6768cb279e439585b898f835f2bfa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#44;&#53;&#51;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826994775\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826994777\">\n<p id=\"fs-id1167826994779\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5412ac0a6b3d415021615c11e8243a13_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> given <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64c7ae51cdd939d6b2544ba86ad2c114_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#49;&#48;&#44;&#48;&#48;&#48;&#44;&#48;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1560a818941a01ffc42f7ee69a5f18a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#48;&#46;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167826994834\">In the following exercises, find the indicated term of the given sequence. Find the general term of the sequence.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826994838\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826994840\">\n<p id=\"fs-id1167826994842\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0144f6ed66ad74c24e462c3f9a18241_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> of the sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-44cfcc8e8b49968f30728e0d1e3ba6b7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#44;&#45;&#50;&#52;&#44;&#57;&#54;&#44;&#45;&#51;&#56;&#52;&#44;&#49;&#53;&#51;&#54;&#44;&#45;&#54;&#49;&#52;&#52;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"227\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831835540\">\n<p id=\"fs-id1167831835542\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe8837905ca0ac8bd7e55fdc62aa801a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#50;&#125;&#61;&#45;&#50;&#53;&#44;&#49;&#54;&#53;&#44;&#56;&#50;&#52;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"152\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> The general term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34b21c5165265622b055e16c2dda3797_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#54;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"118\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831835605\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831835607\">\n<p id=\"fs-id1167831835609\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f53b65baf2773750b33b30b7d20f7d9e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> of the sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-498ffe7db4e4642f6d5d8bcee22a4112_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#51;&#55;&#52;&#44;&#49;&#52;&#53;&#56;&#44;&#52;&#56;&#54;&#44;&#49;&#54;&#50;&#44;&#53;&#52;&#44;&#49;&#56;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"203\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834309711\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Sum of the First <em data-effect=\"italics\">n<\/em> terms of a Geometric Sequence<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834309722\">In the following exercises, find the sum of the first fifteen terms of each geometric sequence.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834309726\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834309728\">\n<p id=\"fs-id1167834309731\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b56b62bbfd742290bc32640e91f71f8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#52;&#44;&#56;&#44;&#45;&#49;&#54;&#44;&#51;&#50;&#44;&#45;&#54;&#52;&#44;&#49;&#50;&#56;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"178\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834309764\">\n<p id=\"fs-id1167834309766\">5,460<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834309771\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834309773\">\n<p id=\"fs-id1167834309775\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6aef2a50421ff159f36666173996dbad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#44;&#49;&#50;&#44;&#52;&#56;&#44;&#49;&#57;&#50;&#44;&#55;&#54;&#56;&#44;&#51;&#48;&#55;&#50;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"172\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834309828\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834309830\">\n<p id=\"fs-id1167834309832\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a44beaa705066dd49743de43212162ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#49;&#50;&#53;&#44;&#54;&#50;&#53;&#44;&#49;&#50;&#53;&#44;&#50;&#53;&#44;&#53;&#44;&#49;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"163\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834309865\">\n<p id=\"fs-id1167834309867\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a1c143bbb02b2d4d5718704e3ec44d86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#51;&#57;&#48;&#54;&#46;&#50;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"76\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834309878\">In the following exercises, find the sum<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834309881\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834309883\">\n<p id=\"fs-id1167834309885\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c2c4f39b9eaa442b807b3f89c0466b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#55;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830702709\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830702711\">\n<p id=\"fs-id1167830702713\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-71e94a7901b9b1174128e59141fa88f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#50;&#52;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"94\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830702754\">\n<p id=\"fs-id1167830702756\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80f49b79ce63027ec5ea9faa9fe9cac9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#56;&#57;&#125;&#123;&#56;&#125;&#61;&#50;&#51;&#46;&#54;&#50;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167830702773\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Sum of an Infinite Geometric Series<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167830702779\">In the following exercises, find the sum of each infinite geometric series.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830702782\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830702784\">\n<p id=\"fs-id1167830702787\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07e0dcdbf9cacdd9c6f2141d1a4451a4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#57;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#55;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#56;&#49;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#52;&#51;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#55;&#50;&#57;&#125;&#45;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"261\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830702863\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830702866\">\n<p id=\"fs-id1167830702868\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f0eebdee1bc616c414c514e8494a34a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#57;&#43;&#55;&#43;&#49;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#55;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#57;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#52;&#51;&#125;&#43;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"214\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834314304\">\n<p id=\"fs-id1167834314306\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e05035ecc62abe23dd24c94d000e752_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#52;&#51;&#125;&#123;&#54;&#125;&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#53;&#55;&#46;&#49;&#54;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834314323\">In the following exercises, write each repeating decimal as a fraction.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834314326\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834314328\">\n<p id=\"fs-id1167834314330\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-54ebf3ebb0cc19d8601567b13014d316_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#45;&#125;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834314360\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834314362\">\n<p id=\"fs-id1167834314364\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cdd130d4d27d1b255bad05a1e907df41_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#8212;&#125;&#123;&#51;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"37\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834314382\">\n<p id=\"fs-id1167834314384\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b937a04c873462b9d7d3fc2e70ffe32_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#49;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834314397\"><strong data-effect=\"bold\">Apply Geometric Sequences and Series in the Real World<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834314403\">In the following exercises, solve the problem.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834314406\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834314409\">\n<p id=\"fs-id1167834314411\">What is the total effect on the economy of a government tax rebate of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5ff6793ed200f46138406143f8e014b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#51;&#54;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"35\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> to each household in order to stimulate the economy if each household will spend <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf6b5eae50675eef3e211adcc1d0e751_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#48;&#37;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> of the rebate in goods and services?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834314443\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834314445\">\n<p id=\"fs-id1167834314447\">Adam just got his first full-time job after graduating from high school at age 17. He decided to invest <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ac68873663f67e885b1b73375126af5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#51;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"35\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> per month in an IRA (an annuity). The interest on the annuity is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8af32676606376700529a0b367328f4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#37;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> which is compounded monthly. How much will be in Adam\u2019s account when he retires at his sixty-seventh birthday?<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834314468\">\n<p id=\"fs-id1167834314470\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0fabbb5e539bb17d5262b12958b980ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#49;&#44;&#54;&#51;&#52;&#44;&#52;&#50;&#49;&#46;&#50;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167831836421\">\n<h4 data-type=\"title\"><a href=\"\/contents\/c9aabcfa-7dac-4cdb-bca0-f8738ce61f22\" class=\"target-chapter\">Binomial Theorem<\/a><\/h4>\n<p id=\"fs-id1167831836431\"><strong data-effect=\"bold\">Use Pascal\u2019s Triangle to Expand a Binomial<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167831836438\">In the following exercises, expand each binomial using Pascal\u2019s Triangle.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831836443\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831836445\">\n<p id=\"fs-id1167831836447\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2374a2628c9b929492de64293ae12f84_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831836574\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831836576\">\n<p id=\"fs-id1167831836578\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6287bb779aefa4d837e308c7a88e0373_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831836601\">\n<p id=\"fs-id1167831836603\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1a5161754969d50b00327f5daaea7184_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#121;&#43;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"237\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834395028\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834395030\">\n<p id=\"fs-id1167834395032\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-103d3097e8849584e632d0cf765e9638_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#54;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834395089\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834395091\">\n<p id=\"fs-id1167834395093\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-531c04cc1086bb5a4ca4a0f274a3df5b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#121;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834395118\">\n<p id=\"fs-id1167834395120\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b231ced3c379809114992684b85e2a25_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#50;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#45;&#50;&#52;&#48;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#55;&#50;&#48;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#49;&#48;&#56;&#48;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"239\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9696f753d2e779de1eb17cc99fd7c40e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#56;&#49;&#48;&#121;&#45;&#50;&#52;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"98\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834395173\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834395175\">\n<p id=\"fs-id1167834395178\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0bc2a1f183c856df1d7a25be94cb1b5e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#55;&#120;&#43;&#50;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834528362\"><strong data-effect=\"bold\">Evaluate a Binomial Coefficient<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834528369\">In the following exercises, evaluate.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834528372\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834528374\">\n<p id=\"fs-id1167834528376\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb3f9b84e2f5cae9e2a72dba0f20265b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#49;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-262ad3fe3d8e86885bca768c2a4b2580_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#49;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca0399aef5b621eb3ac42e00d6949e76_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#49;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ced288df037375d348f08b4220c876d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#56;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834528488\">\n<p id=\"fs-id1167834528490\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 11 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 56<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834528515\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834528517\">\n<p id=\"fs-id1167834528519\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac1a3a78d2d461ba6681fbb07018c55e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#55;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50de728c3074ce263445c36f55e4effe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-468b8b5282143a1abe9cb116c57a04a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#57;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d84b98580c047d32fa87e9c476cdcdb7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#57;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831908221\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831908224\">\n<p id=\"fs-id1167831908226\"><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f62914dd12d06659503a083470e27ae8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-27d5e565e4cb0678ab082b5f790e7ffb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#49;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f96169fe7247a4fbc29305825d5c330c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd135caee1edb364881933693b5846e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#49;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834273814\">\n<p id=\"fs-id1167834273816\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 55<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834273841\"><strong data-effect=\"bold\">Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834273847\">In the following exercises, expand each binomial, using the Binomial Theorem.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834273850\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834273852\">\n<p id=\"fs-id1167834273855\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6445e54eb9c239cf088420fbfa721695_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834273967\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834273969\">\n<p id=\"fs-id1167834273971\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89ff69a4a674501ccfe5b9090b5c97bf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834273993\">\n<p id=\"fs-id1167834273995\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-653e68e0d5e89bc05beafd5540e59dcf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;&#45;&#57;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#43;&#51;&#54;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#45;&#56;&#52;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#43;&#49;&#50;&#54;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"227\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d1aa6555d6ff3da2528a28d0b85da80_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#50;&#54;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#56;&#52;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#51;&#54;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#57;&#116;&#45;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"227\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167828316129\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167828316131\">\n<p id=\"fs-id1167828316133\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bef7bd6b95966fadd6b09cc169ac39c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167828316203\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167828316205\">\n<p id=\"fs-id1167828316208\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a37c2178a2b0c53268d877cd5af47ef5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#120;&#43;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167828316234\">\n<p id=\"fs-id1167828316236\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c544da98caf7be580f41f896ecfb237_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#53;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#55;&#54;&#56;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#121;&#43;&#56;&#54;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4fbd99844d82220b55f4bc9f128735bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#52;&#51;&#50;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#56;&#49;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831919555\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831919557\">\n<p id=\"fs-id1167831919559\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2996e715383bdead9137408ed4e53589_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831919660\">In the following exercises, find the indicated term in the expansion of the binomial.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831919663\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831919666\">\n<p id=\"fs-id1167831919668\">Seventh term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6af464e80151f36ea9c7f3887c3e71c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831919693\">\n<p id=\"fs-id1167831919695\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef7d0c3a4f006fa0c5cd87eedeaa1804_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#56;&#52;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831919715\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831919717\">\n<p id=\"fs-id1167831919719\">Third term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f57f6997e7084d0cf6ccc092e7f0e01d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834308232\">In the following exercises, find the coefficient of the indicated term in the expansion of the binomial.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834308236\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834308239\">\n<p id=\"fs-id1167834308241\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9fa1c788703ad2a568e6e3981a4f55e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5524316652ca14902c2a368e0272d332_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#121;&#43;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834308274\">\n<p id=\"fs-id1167834308276\">135<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834308281\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834308283\">\n<p id=\"fs-id1167834308286\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48541f82788d9b97a870606bd6257cd7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0ac3db76b278ee77672bf5fc46eab9b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834308329\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834308331\">\n<p id=\"fs-id1167834308334\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55c5290e5c08ab679a92660ea63119af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"32\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f9a6074c038ae9750d1a73d70b885b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834308374\">\n<p id=\"fs-id1167834308376\">280<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"practice-test\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167834308384\">\n<h3 data-type=\"title\">Practice Test<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167834308391\">In the following exercises, write the first five terms of the sequence whose general term is given.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834308395\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834308397\">\n<p id=\"fs-id1167834308399\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdbd2212f59e284e4f76e89bcd4b51a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#110;&#45;&#51;&#125;&#123;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834430012\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834430014\">\n<p id=\"fs-id1167834430016\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd9355e486d11113a3ab3a9cd38f3003_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#43;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#33;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834430066\">\n<p id=\"fs-id1167834430068\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a807bfb3e75904b1d37dca351d78008e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#53;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#54;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#55;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834430110\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834430112\">\n<p id=\"fs-id1167834430114\">Find a general term for the sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b136b917274359b3b71f6b81045180d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;&#44;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#53;&#125;&#44;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#125;&#123;&#55;&#125;&#44;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#125;&#123;&#57;&#125;&#44;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#48;&#125;&#123;&#49;&#49;&#125;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"164\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834430209\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834430211\">\n<p id=\"fs-id1167834430213\">Expand the partial sum and find its value. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-786090c74801ee11271fc128e068bbbd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835378774\">\n<p id=\"fs-id1167835378776\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-367c392c9b3ed48cbeb4ca1cb2c3f3b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#52;&#43;&#49;&#54;&#45;&#54;&#52;&#43;&#50;&#53;&#54;&#61;&#50;&#48;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835378801\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835378803\">\n<p id=\"fs-id1167835378806\">Write the following using summation notation. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26b01b2121cdd75c2fc545379b101bed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#57;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#49;&#54;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"163\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835378896\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835378898\">\n<p id=\"fs-id1167835378900\">Write the first five terms of the arithmetic sequence with the given first term and common difference. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2522cbd4b1bcfda5fed958b9944a939_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#45;&#49;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c670fab3ff7b014c602cc0ebf5e374b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#100;&#61;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835378927\">\n<p id=\"fs-id1167835378929\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f22718f1ed7b492499872fc83ec3ee7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#51;&#44;&#45;&#49;&#48;&#44;&#45;&#55;&#44;&#45;&#52;&#44;&#45;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"161\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835378954\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835378956\">\n<p id=\"fs-id1167835378959\">Find the twentieth term of an arithmetic sequence where the first term is two and the common difference is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-095e1dfdc93a80eb2c8554aaa37b4f18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#55;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835216576\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835216578\">\n<p id=\"fs-id1167835216580\">Find the twenty-third term of an arithmetic sequence whose seventh term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cba90047eec6a05e400b16dfb86d7f29_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> and common difference is three. Then find a formula for the general term.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835216590\">\n<p id=\"fs-id1167835216592\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc4199b9a23092eded232dfad3e7bb0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#50;&#51;&#125;&#61;&#53;&#57;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> The general term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4460b21c0b7a68b579d0e6b2f91d3e09_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#51;&#110;&#45;&#49;&#48;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"105\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835216632\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835216635\">\n<p id=\"fs-id1167835216637\">Find the first term and common difference of an arithmetic sequence whose ninth term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b34c01098c83fa602de54e9d74d63a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> and the sixteenth term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-13ae2ce64ac335846388649c957a3e3f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#53;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> Then find a formula for the general term.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835216707\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835216709\">\n<p id=\"fs-id1167835216711\">Find the sum of the first 25 terms of the arithmetic sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0f8550c7d8fa16cf5a034513cff489a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#44;&#57;&#44;&#49;&#51;&#44;&#49;&#55;&#44;&#50;&#49;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835216743\">\n<p id=\"fs-id1167835216745\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-502c769520b5a1a8fc8f02eb1d322eb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#44;&#51;&#50;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835216758\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835216760\">\n<p id=\"fs-id1167835216762\">Find the sum of the first 50 terms of the arithmetic sequence whose general term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a1159f39bec0361305995263700595a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#45;&#51;&#110;&#43;&#49;&#48;&#48;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835216802\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835216804\">\n<p id=\"fs-id1167835216806\">Find the sum. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec218a6eb1fb323fd502bcde4ac51399_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#52;&#48;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#53;&#105;&#45;&#50;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"112\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834538190\">\n<p id=\"fs-id1167834538192\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b7209d3b533f3c3eecae45707a128455_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#44;&#50;&#54;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834538205\">In the following exercises, determine if the sequence is arithmetic, geometric, or neither. If arithmetic, then find the common difference. If geometric, then find the common ratio.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834538209\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834538212\">\n<p id=\"fs-id1167834538214\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d7327f1d809a8edcb769ceff847d9cd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#52;&#44;&#51;&#44;&#45;&#56;&#44;&#45;&#49;&#57;&#44;&#45;&#51;&#48;&#44;&#45;&#52;&#49;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"187\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834538267\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834538269\">\n<p id=\"fs-id1167834538271\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7fb072bece7b72da574627c30220161_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#50;&#52;&#44;&#49;&#48;&#56;&#44;&#51;&#54;&#44;&#49;&#50;&#44;&#52;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#51;&#125;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"152\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834538310\">\n<p id=\"fs-id1167834538312\">The sequence is geometric with common ratio <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cfa185ebf83b6591c42bbd43e89f71ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834538331\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834538333\">\n<p id=\"fs-id1167834538335\">Write the first five terms of the geometric sequence with the given first term and common ratio. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-db6e0a0bb6ea8af98bf4b1f27bbddde7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d75e3ba8e2d2ab0451520a284f02520e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#45;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"54\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834538390\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834538392\">\n<p id=\"fs-id1167834538394\">In the geometric sequence whose first term and common ratio are <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b32738d1e587625d5a8967f4c233650b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aee2a01d1f62228b9a7a821e20949320_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#52;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b97e839468d947e272c0cfad87a24fb5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"28\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831895146\">\n<p id=\"fs-id1167831895148\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1ffa6e8cd0c7af8cf64b66207b1f730b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#44;&#50;&#52;&#50;&#44;&#56;&#56;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"78\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831895165\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831895167\">\n<p id=\"fs-id1167831895169\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4ff64ab224c7e6de45e201c77ce98e26_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> of the geometric sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30be90a68f53babfa4626e47912dd6d0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#50;&#53;&#48;&#44;&#50;&#53;&#48;&#44;&#53;&#48;&#44;&#49;&#48;&#44;&#50;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#53;&#125;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"167\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> Then find a formula for the general term.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831895292\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831895294\">\n<p id=\"fs-id1167831895296\">Find the sum of the first thirteen terms of the geometric sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3786b965d4a1723a96f8e53cd585aed3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#44;&#45;&#54;&#44;&#49;&#56;&#44;&#45;&#53;&#52;&#44;&#49;&#54;&#50;&#44;&#45;&#52;&#56;&#54;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"188\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831895330\">\n<p id=\"fs-id1167831895332\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7f92f0d32b1ee79db69b0825c1f2d546_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#57;&#55;&#44;&#49;&#54;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831895345\">In the following exercises, find the sum.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831895348\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831895350\">\n<p id=\"fs-id1167831895352\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8660c606027ee0252c649a90343bc0ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;&#53;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834124597\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834124599\">\n<p id=\"fs-id1167834124601\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa13a6596499bc9f00bf4f48252ad848_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#53;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#53;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#49;&#50;&#53;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#54;&#50;&#53;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#49;&#50;&#53;&#125;&#43;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"242\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834124656\">\n<p id=\"fs-id1167834124659\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b589e486fc233b12d903a213a61a086_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"7\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834124670\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834124672\">\n<p id=\"fs-id1167834124675\">Write the repeating decimal as a fraction. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74c00e355372cf58e37b6f0cf8b51fd0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#8212;&#125;&#123;&#56;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834124708\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834124710\">\n<p id=\"fs-id1167834124712\">Dave just got his first full-time job after graduating from high school at age 18. He decided to invest ?450 per month in an IRA (an annuity). The interest on the annuity is 6% which is compounded monthly. How much will be in Adam\u2019s account when he retires at his sixty-fifth birthday?<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834124720\">\n<p id=\"fs-id1167834124722\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b742289b96c00b0855dbcfa01e1f72a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#49;&#44;&#52;&#48;&#57;&#44;&#51;&#52;&#52;&#46;&#49;&#57;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834124741\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834124744\">\n<p id=\"fs-id1167834124746\">Expand the binomial using Pascal\u2019s Triangle. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-de9324885dbb2c9bcc270730e6d6c77b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#45;&#50;&#110;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834536641\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834536643\">\n<p id=\"fs-id1167834536645\">Evaluate each binomial coefficient. <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b34dd23232d30b85a8214a3bfd4170fb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#56;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/><\/span><span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e35415778b9bba7842519121685bbb2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#49;&#54;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#54;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-efda74284d3abde6b5057c558cc170af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#49;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d3<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b548bfcf890bb8b706aa284558cceba6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#49;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#54;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834536758\">\n<p id=\"fs-id1167834536760\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 8 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 210<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834536785\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834536787\">\n<p id=\"fs-id1167834536789\">Expand the binomial using the Binomial Theorem. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-678bd5110e3e1358b103bf4d7fd7daad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#120;&#43;&#53;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"author":103,"menu_order":5,"template":"","meta":{"pb_show_title":"on","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"class_list":["post-15764","chapter","type-chapter","status-publish","hentry"],"part":15662,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/15764","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/users\/103"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/15764\/revisions"}],"part":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/15662"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/15764\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=15764"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=15764"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=15764"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=15764"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}