{"id":2847,"date":"2018-12-11T13:46:31","date_gmt":"2018-12-11T18:46:31","guid":{"rendered":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/chapter\/properties-of-exponents-and-scientific-notation\/"},"modified":"2018-12-11T13:46:31","modified_gmt":"2018-12-11T18:46:31","slug":"properties-of-exponents-and-scientific-notation","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/chapter\/properties-of-exponents-and-scientific-notation\/","title":{"raw":"Properties of Exponents and Scientific Notation","rendered":"Properties of Exponents and Scientific Notation"},"content":{"raw":"\n[latexpage]<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\"><h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>By the end of this section, you will be able to: <ul><li>Simplify expressions using the properties for exponents<\/li><li>Use the definition of a negative exponent<\/li><li>Use scientific notation<\/li><\/ul><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834429200\" class=\"be-prepared\"><p id=\"fs-id1167835340010\">Before you get started, take this readiness quiz.<\/p><ol id=\"fs-id1167830903965\" type=\"1\"><li>Simplify: \\(\\left(-2\\right)\\left(-2\\right)\\left(-2\\right).\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/05eab039-6d1c-4d80-8c8c-94469164a52c#fs-id1167834536158\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><li>Simplify: \\(\\frac{8x}{24y}.\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/425620d9-51dd-45e5-8a21-953998a4a77f#fs-id1167836620030\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><li>Name the decimal \\(\\left(-2.6\\right)\\left(4.21\\right).\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/99b2296a-9957-4380-aff4-248abadc862b#fs-id1167836524294\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><\/ol><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167835344757\"><h3 data-type=\"title\">Simplify Expressions Using the Properties for Exponents<\/h3><p id=\"fs-id1167835390216\">Remember that an exponent indicates repeated multiplication of the same quantity. For example, in the expression \\({a}^{m},\\) the <em data-effect=\"italics\">exponent m<\/em> tells us how many times we use the <em data-effect=\"italics\">base a<\/em> as a factor.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835165758\" data-alt=\"First example: a raised to the power of m equals a times a times a times a and so on until you have multiplied m different factors of a together. Second example: the quantity negative 9 raised to the power of 5 equals negative 9 times negative 9 times negative 9 times negative 9 times negative 9, a total of 5 factors of negative 9.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_001_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"First example: a raised to the power of m equals a times a times a times a and so on until you have multiplied m different factors of a together. Second example: the quantity negative 9 raised to the power of 5 equals negative 9 times negative 9 times negative 9 times negative 9 times negative 9, a total of 5 factors of negative 9.\"><\/span><p id=\"fs-id1167835338614\">Let\u2019s review the vocabulary for expressions with exponents.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835595382\"><div data-type=\"title\">Exponential Notation<\/div><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835364196\" data-alt=\"The figure shows the letter a in a normal font with the label base and the letter m in a superscript font with the label exponent. This means we multiply the number a with itself, m times.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_002_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The figure shows the letter a in a normal font with the label base and the letter m in a superscript font with the label exponent. This means we multiply the number a with itself, m times.\"><\/span><p id=\"fs-id1167835415857\">This is read <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the \\({m}^{th}\\) power.<\/p><p>In the expression \\({a}^{m},\\) the <em data-effect=\"italics\">exponent m<\/em> tells us how many times we use the <em data-effect=\"italics\">base a<\/em> as a factor.<\/p><\/div><p id=\"fs-id1167835381313\">When we combine like terms by adding and subtracting, we need to have the same base with the same exponent. But when you multiply and divide, the exponents may be different, and sometimes the bases may be different, too.<\/p><p id=\"fs-id1167834132220\">First, we will look at an example that leads to the <span data-type=\"term\">Product Property<\/span>.<\/p><table id=\"fs-id1167834134574\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"The figure shows how to multiply exponentials with the same base. In the example we start with x raised to the power of 2 times x raised to the power of 3. This means the we are multiplying 2 factors of x with 3 factors of x for a total of 5 factors of x so the simplified result is x raised to the power of 5.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\\(\\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\)<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831106663\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_003a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">What does this mean?<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167826978064\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_003b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\\(\\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\)<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835345202\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_003c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167826997246\">Notice that 5 is the sum of the exponents, 2 and 3. We see \\({x}^{2}\u00b7{x}^{3}\\) is \\({x}^{2+3}\\) or \\({x}^{5}.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167834099524\">The base stayed the same and we added the exponents. This leads to the Product Property for Exponents.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834061393\"><div data-type=\"title\">Product Property for Exponents<\/div><p id=\"fs-id1167827966390\">If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is a real number and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers, then<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834473736\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({a}^{m}\u00b7{a}^{n}={a}^{m+n}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167834422726\">To multiply with like bases, add the exponents.<\/p><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835512989\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830699483\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835341651\"><p id=\"fs-id1167830699787\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({y}^{5}\u00b7{y}^{6}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({2}^{x}\u00b7{2}^{3x}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(2{a}^{7}\u00b73a.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\"><p id=\"fs-id1167827958382\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1167835532496\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"To simplify the expression y to the power of 5 times y to the power of 6 we notice that the base numbers are the same allowing us to use the product property and add the exponents. The expression is equal to y to the power of the quantity 5 plus 6 which simplifies to y to the power of 11.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835310420\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_004a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use the Product Property, \\({a}^{m}\u00b7{a}^{n}={a}^{m+n}.\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835534166\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_004b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167828431905\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_004c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167834194389\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1167835596439\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"To simplify the expression 2 to the power of x times 2 to the power of 3 x we notice that the base numbers are the same allowing us to use the product property and add the exponents. The expression is equal to 2 to the power of the quantity x plus 3 x which simplifies to 2 to the power of 4 x.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834063082\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_005a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use the Product Property, \\({a}^{m}\u00b7{a}^{n}={a}^{m+n}.\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834510660\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_005b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834534408\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_005c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167826783762\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1167835317463\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"To simplify the expression 2 a to the power of 7 times 3 a we rewrite a as a to the power of 1. We can use the commutative property to multiply the 2 and 3 to get 6. Then we can use the product property and add the exponents of the variable factors. The product of a to the power of 7 and a to the power of 1 is a to the power of 8. The simplified expression is equal to 6 a to the power of 8.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830702966\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_006a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Rewrite, \\(a={a}^{1}.\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831832658\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_006b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use the Commutative Property and<div data-type=\"newline\"><br><\/div>use the Product Property, \\({a}^{m}\u00b7{a}^{n}={a}^{m+n}.\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_006c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834183609\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_006d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167835615702\"><span class=\"token\">\u24d3<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1167831921006\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"To simplify the expression d to the power of 4 times d to the power of 5 times d to the power of 2 we notice that the base numbers are the same allowing us to use the product property and add the exponents. The expression is equal to d to the power of the quantity 4 plus 5 plus 2 which simplifies to d to the power of 11.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832060219\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_007a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Add the exponents, since bases are the same.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832151521\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_007b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832076326\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_007c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834598971\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834472541\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834183778\"><p id=\"fs-id1167834059547\">Simplify each expression:<\/p><p id=\"fs-id1167835218358\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({b}^{9}\u00b7{b}^{8}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({4}^{2x}\u00b7{4}^{x}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(3{p}^{5}\u00b74p\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({x}^{6}\u00b7{x}^{4}\u00b7{x}^{8}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832153594\"><p id=\"fs-id1167834431402\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({b}^{17}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({4}^{3x}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(12{p}^{6}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({x}^{18}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167830703616\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826781294\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835322068\"><p id=\"fs-id1167835173852\">Simplify each expression:<\/p><p id=\"fs-id1167835366816\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({x}^{12}\u00b7{x}^{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(10\u00b7{10}^{x}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(2z\u00b76{z}^{7}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({b}^{5}\u00b7{b}^{9}\u00b7{b}^{5}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832128660\"><p id=\"fs-id1167831881557\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({x}^{16}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({10}^{x+1}\\)<span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(12{z}^{8}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({b}^{19}\\)<\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834138025\">Now we will look at an exponent property for division. As before, we\u2019ll try to discover a property by looking at some examples.<\/p><table class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"The figure shows two examples of simplifying with the exponent property of division. In the first example the expression is x to the power of 5 divided by x to the power of 2. This means we have 5 factors of x divided by 2 factors of x. Using the equivalent fractions property, we can cross off two factors of x from the numerator and two from the denominator just leaving 3 of the original 5 factors in the numerator. So the simplified expression is x to the power of 3. In the second example the expression is x to the power of 2 divided by x to the power of 3. This means we have 2 factors of x divided by 3 factors of x. Using the equivalent fractions property, we can cross off two factors of x from the numerator and two from the denominator just leaving 1 factor of x in the denominator. So the simplified expression is 1 divided by x.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Consider<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\\(\\frac{{x}^{5}}{{x}^{2}}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">and<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\\(\\frac{{x}^{2}}{{x}^{3}}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">What do they mean?<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\\(\\frac{x\u00b7x\u00b7x\u00b7x\u00b7x}{x\u00b7x}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\\(\\frac{x\u00b7x}{x\u00b7x\u00b7x}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use the Equivalent Fractions Property.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\\(\\frac{\\overline{)x}\u00b7\\overline{)x}\u00b7x\u00b7x\u00b7x}{\\overline{)x}\u00b7\\overline{)x}}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\\(\\frac{\\overline{)x}\u00b7\\overline{)x}\u00b71}{\\overline{)x}\u00b7\\overline{)x}\u00b7x}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\\({x}^{3}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\\(\\frac{1}{x}\\)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p>Notice, in each case the bases were the same and we subtracted exponents. We see \\(\\frac{{x}^{5}}{{x}^{2}}\\) is \\({x}^{5-2}\\) or \\({x}^{3}\\). We see \\(\\frac{{x}^{2}}{{x}^{3}}\\) is or \\(\\frac{1}{x}.\\) When the larger exponent was in the numerator, we were left with factors in the numerator. When the larger exponent was in the denominator, we were left with factors in the denominator--notice the numerator of 1. When all the factors in the numerator have been removed, remember this is really dividing the factors to one, and so we need a 1 in the numerator. \\(\\frac{\\overline{)x}}{\\overline{)x}}=1\\). This leads to the <span data-type=\"term\">Quotient Property<\/span> for Exponents.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834463115\"><div data-type=\"title\">Quotient Property for Exponents<\/div><p id=\"fs-id1167832128310\">If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is a real number, \\(a\\ne 0,\\) and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers, then<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835336606\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}={a}^{m-n},\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}m&gt;n\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}=\\frac{1}{{a}^{n-m}},\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}n&gt;m\\)<\/div><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835337754\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834186113\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835254289\"><p id=\"fs-id1167835300554\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\frac{{x}^{9}}{{x}^{7}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\frac{{3}^{10}}{{3}^{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{{b}^{8}}{{b}^{12}}\\) <span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\(\\frac{{7}^{3}}{{7}^{5}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\"><p id=\"fs-id1167830700808\">To simplify an expression with a quotient, we need to first compare the exponents in the numerator and denominator.<\/p><p id=\"fs-id1167835400418\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1167835325737\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Simplify the expression x to the power of 9 divided by x to the power of 7. Since 9 is greater than 7, there are 2 more factors of x in the numerator. Using the quotient property the division is equal to x to the power of the quantity 9 minus 7. This simplifies to x to the power of 2.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td colspan=\"2\" data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Since \\(9&gt;7,\\) there are more factors of \\(x\\) in the numerator.\\(\\phantom{\\rule{0.85em}{0ex}}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831239576\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_008a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td colspan=\"2\" data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use Quotient Property, \\(\\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}={a}^{m-n}.\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835468555\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_008b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td colspan=\"2\" data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835183575\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_008c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167832057143\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1167835318939\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Simplify the expression 3 to the power of 10 divided by 3 to the power of 2. Since 10 is greater than 2, there are 8 more factors of 3 in the numerator. Using the quotient property the division is equal to 3 to the power of the quantity 10 minus 2. This simplifies to 3 to the power of 8.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td colspan=\"2\" data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Since \\(10&gt;2,\\) there are more factors of \\(3\\) in the numerator.\\(\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835596462\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_009a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td colspan=\"2\" data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use Quotient Property, \\(\\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}={a}^{m-n}.\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835274798\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_009b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td colspan=\"2\" data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830701110\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_009c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p>Notice that when the larger exponent is in the numerator, we are left with factors in the numerator.<\/p><p id=\"fs-id1167834531298\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1167832054519\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Simplify the expression b to the power of 8 divided by b to the power of 12. Since 12 is greater than 8, there are 4 more factors of b in the denominator. Using the quotient property the division is equal to 1 divided by b to the power of the quantity 12 minus 8. This simplifies to 1 divided by b to the power of 4.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Since \\(12&gt;8,\\) there are more factors of \\(b\\) in the denominator.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_010a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use Quotient Property, \\(\\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}=\\frac{1}{{a}^{n-m}}.\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831148954\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_010b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832128259\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_010c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167835374964\"><span class=\"token\">\u24d3<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Simplify the expression 7 to the power of 3 divided by 7 to the power of 5. Since 5 is greater than 3, there are 2 more factors of 7 in the denominator. Using the quotient property the division is equal to 1 divided by 7 to the power of the quantity 5 minus 3. This simplifies to 1 divided by 7 to the power of 2 or 1 divided by 49.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Since \\(5&gt;3,\\) there are more factors of \\(3\\) in the denominator.\\(\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_011a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use Quotient Property, \\(\\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}=\\frac{1}{{a}^{n-m}}.\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835200068\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_011b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835375250\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_011c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835422643\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_011d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167835344723\">Notice that when the larger exponent is in the denominator, we are left with factors in the denominator.<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835287849\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830836836\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834377135\"><p id=\"fs-id1167834515407\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\frac{{x}^{15}}{{x}^{10}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\frac{{6}^{14}}{{6}^{5}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{{x}^{18}}{{x}^{22}}\\) <span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\(\\frac{{12}^{15}}{{12}^{30}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\"><p id=\"fs-id1167835410549\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({x}^{5}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({6}^{9}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{{x}^{4}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\frac{1}{{12}^{15}}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834433269\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832031123\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826783792\"><p id=\"fs-id1167835341449\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\frac{{y}^{43}}{{y}^{37}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\frac{{10}^{15}}{{10}^{7}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{{m}^{7}}{{m}^{15}}\\) <span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\(\\frac{{9}^{8}}{{9}^{19}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835187900\"><p><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({y}^{6}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({10}^{8}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{{m}^{8}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\frac{1}{{9}^{11}}\\)<\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834234116\">A special case of the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Quotient Property<\/span> is when the exponents of the numerator and denominator are equal, such as an expression like \\(\\frac{{a}^{m}}{{a}^{m}}.\\) We know\\(,\\frac{x}{x}=1,\\) for any \\(x\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\left(x\\ne 0\\right)\\) since any number divided by itself is 1.<\/p><p id=\"fs-id1167834538630\">The Quotient Property for Exponents shows us how to simplify \\(\\frac{{a}^{m}}{{a}^{m}}.\\) when \\(m&gt;n\\) and when \\(n&lt;m\\) by subtracting exponents. What if \\(m=n?\\) We will simplify\\(\\frac{{a}^{m}}{{a}^{m}}\\) in two ways to lead us to the definition of the <span data-type=\"term\">Zero Exponent Property<\/span>. In general, for \\(a\\ne 0:\\)<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834188593\" data-alt=\"In the first way we write a to the power of m divided by a to the power of m as a to the power of the quantity m minus m. This is equal to a to the power of 0. In the second way we write a to the power of m divided by a to the power of m as a fraction with m factors of a in the numerator and a factors of m in the denominator. Simplifying this we can cross of all the factors and are left with the number 1. This shows that a to the power of 0 is equal to 1.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_012_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"In the first way we write a to the power of m divided by a to the power of m as a to the power of the quantity m minus m. This is equal to a to the power of 0. In the second way we write a to the power of m divided by a to the power of m as a fraction with m factors of a in the numerator and a factors of m in the denominator. Simplifying this we can cross of all the factors and are left with the number 1. This shows that a to the power of 0 is equal to 1.\"><\/span><p id=\"fs-id1167835310471\">We see \\(\\frac{{a}^{m}}{{a}^{m}}\\) simplifies to \\({a}^{0}\\) and to 1. So \\({a}^{0}=1.\\) Any non-zero base raised to the power of zero equals 1.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835280305\"><div data-type=\"title\">Zero Exponent Property<\/div><p id=\"fs-id1167826869964\">If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is a non-zero number, then \\({a}^{0}=1.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167828441753\">If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is a non-zero number, then <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the power of zero equals 1.<\/p><p id=\"fs-id1167835306928\">Any non-zero number raised to the zero power is 1.<\/p><\/div><p id=\"fs-id1167831969999\">In this text, we assume any variable that we raise to the zero power is not zero.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167834095326\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167827958610\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835489422\"><p id=\"fs-id1167834535923\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({9}^{0}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({n}^{0}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834474273\"><p id=\"fs-id1167830703722\">The definition says any non-zero number raised to the zero power is 1.<\/p><p id=\"fs-id1167834048955\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{9}^{0}\\hfill \\\\ \\text{Use the definition of the zero exponent.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}1\\hfill \\end{array}\\)<p id=\"fs-id1167832042560\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{n}^{0}\\hfill \\\\ \\text{Use the definition of the zero exponent.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}1\\hfill \\end{array}\\)<p id=\"fs-id1167834538098\">To simplify the expression <em data-effect=\"italics\">n<\/em> raised to the zero power we just use the definition of the zero exponent. The result is 1.<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167830702438\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835319550\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835369315\"><p id=\"fs-id1167835337284\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({11}^{0}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({q}^{0}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834327618\"><p><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834536136\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830873698\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835235138\"><p id=\"fs-id1167835416362\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({23}^{0}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({r}^{0}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834195053\"><p><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1<\/p><\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167831920266\"><h3 data-type=\"title\">Use the Definition of a Negative Exponent<\/h3><p id=\"fs-id1167831884927\">We saw that the Quotient Property for Exponents has two forms depending on whether the exponent is larger in the numerator or the denominator. What if we just subtract exponents regardless of which is larger?<\/p><p>Let\u2019s consider \\(\\frac{{x}^{2}}{{x}^{5}}.\\) We subtract the exponent in the denominator from the exponent in the numerator. We see \\(\\frac{{x}^{2}}{{x}^{5}}\\) is \\({x}^{2-5}\\) or \\({x}^{-3}.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167830693460\">We can also simplify \\(\\frac{{x}^{2}}{{x}^{5}}\\) by dividing out common factors:<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830962693\" data-alt=\"In the figure the expression x raised to the power of 2 divided by x raised to the power of 5 is written as a fraction with 2 factors of x in the numerator divided by 5 factors of x in the denominator. Two factors are crossed off in both the numerator and denominator. This only leaves 3 factors of x in the denominator. The simplified fraction is 1 divided by x to the power of 3.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_013_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"In the figure the expression x raised to the power of 2 divided by x raised to the power of 5 is written as a fraction with 2 factors of x in the numerator divided by 5 factors of x in the denominator. Two factors are crossed off in both the numerator and denominator. This only leaves 3 factors of x in the denominator. The simplified fraction is 1 divided by x to the power of 3.\"><\/span><p id=\"fs-id1167834515940\">This implies that \\({x}^{-3}=\\frac{1}{{x}^{3}}\\) and it leads us to the definition of a <em data-effect=\"italics\">negative exponent<\/em>. If <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is an integer and \\(a\\ne 0,\\) then \\({a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}.\\)<\/p><p>Let\u2019s now look at what happens to a fraction whose numerator is one and whose denominator is an integer raised to a negative exponent.<\/p><p id=\"fs-id1167835364310\">\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{1}{{a}^{\\text{\u2212}n}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Use the definition of a negative exponent,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{1}{\\frac{1}{{a}^{n}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify the complex fraction.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}1\u00b7\\frac{{a}^{n}}{1}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Multiply.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{a}^{n}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835511937\">This implies \\(\\frac{1}{{a}^{\\text{\u2212}n}}={a}^{n}\\) and is another form of the definition of <span data-type=\"term\">Properties of Negative Exponents<\/span>.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835376361\"><div data-type=\"title\">Properties of Negative Exponents<\/div><p id=\"fs-id1167834300924\">If <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is an integer and \\(a\\ne 0,\\) then \\({a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}\\) or \\(\\frac{1}{{a}^{\\text{\u2212}n}}={a}^{n}.\\)<\/p><\/div><p id=\"fs-id1167835497143\">The negative exponent tells us we can rewrite the expression by taking the reciprocal of the base and then changing the sign of the exponent.<\/p><p id=\"fs-id1167834175886\">Any expression that has negative exponents is not considered to be in simplest form. We will use the definition of a negative exponent and other properties of exponents to write the expression with only positive exponents.<\/p><p id=\"fs-id1167828365416\">For example, if after simplifying an expression we end up with the expression \\({x}^{-3},\\) we will take one more step and write \\(\\frac{1}{{x}^{3}}.\\) The answer is considered to be in simplest form when it has only positive exponents.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835527255\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835258541\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834536922\"><p id=\"fs-id1167834189871\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({x}^{-5}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({10}^{-3}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{1}{{y}^{-4}}\\) <span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\(\\frac{1}{{3}^{-2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835182634\"><p id=\"fs-id1167835327452\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{x}^{-5}\\hfill \\\\ \\text{Use the definition of a negative exponent,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{1}{{x}^{5}}\\hfill \\end{array}\\)<p id=\"fs-id1167831882411\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{10}^{-3}\\hfill \\\\ \\text{Use the definition of a negative exponent,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{1}{{10}^{3}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{1}{1000}\\hfill \\end{array}\\)<p id=\"fs-id1167826978384\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2.4em}{0ex}}\\frac{1}{{y}^{-4}}\\hfill \\\\ \\text{Use the property of a negative exponent,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\frac{1}{{a}^{\\text{\u2212}n}}={a}^{n}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2.4em}{0ex}}{y}^{4}\\hfill \\end{array}\\)<p id=\"fs-id1167826864280\"><span class=\"token\">\u24d3<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2.4em}{0ex}}\\frac{1}{{3}^{-2}}\\hfill \\\\ \\text{Use the property of a negative exponent,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\frac{1}{{a}^{\\text{\u2212}n}}={a}^{n}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2.4em}{0ex}}{3}^{2}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2.4em}{0ex}}9\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835364672\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835510218\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835176870\"><p id=\"fs-id1167835352582\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({z}^{-3}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({10}^{-7}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{1}{{p}^{-8}}\\) <span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\(\\frac{1}{{4}^{-3}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831081683\"><p id=\"fs-id1167834376494\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{1}{{z}^{3}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{1}{{10}^{7}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({p}^{8}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(64\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835369671\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835381706\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835218109\"><p id=\"fs-id1167834432778\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({n}^{-2}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({10}^{-4}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{1}{{q}^{-7}}\\) <span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\(\\frac{1}{{2}^{-4}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830925045\"><p id=\"fs-id1167835330635\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{1}{{n}^{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{1}{10,000}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({q}^{7}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(16\\)<\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167831040529\">Suppose now we have a fraction raised to a negative exponent. Let\u2019s use our definition of negative exponents to lead us to a new property.<\/p><p id=\"fs-id1167834329629\">\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\left(\\frac{3}{4}\\right)}^{-2}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Use the definition of a negative exponent,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{1}{{\\left(\\frac{3}{4}\\right)}^{2}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify the denominator.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{1}{\\frac{9}{16}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify the complex fraction.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{16}{9}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{But we know that}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\frac{16}{9}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(\\frac{4}{3}\\right)}^{2}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\\\ \\text{This tells us that}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\left(\\frac{3}{4}\\right)}^{-2}={\\left(\\frac{4}{3}\\right)}^{2}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167834193956\">To get from the original fraction raised to a negative exponent to the final result, we took the reciprocal of the base\u2014the fraction\u2014and changed the sign of the exponent.<\/p><p id=\"fs-id1167832067344\">This leads us to the <span data-type=\"term\">Quotient to a Negative Power<\/span> <strong data-effect=\"bold\">Property<\/strong>.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167826802180\"><div data-type=\"title\">Quotient to a Negative Power Property<\/div><p id=\"fs-id1167834183388\">If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> are real numbers, \\(a\\ne 0,b\\ne 0\\) and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is an integer, then<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834097807\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\text{and}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{\\text{\u2212}n}={\\left(\\frac{b}{a}\\right)}^{n}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835420160\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826996808\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826783936\"><p id=\"fs-id1167834193992\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\left(\\frac{5}{7}\\right)}^{-2}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left(-\\frac{x}{y}\\right)}^{-3}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835186216\"><p id=\"fs-id1167834183976\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}{\\left(\\frac{5}{7}\\right)}^{-2}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the Quotient to a Negative Exponent Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{\\text{\u2212}n}={\\left(\\frac{b}{a}\\right)}^{n}.\\hfill \\\\ \\text{Take the reciprocal of the fraction and change the sign of the exponent.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}{\\left(\\frac{7}{5}\\right)}^{2}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\frac{49}{25}\\hfill \\end{array}\\)<p id=\"fs-id1167835528140\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}{\\left(-\\frac{x}{y}\\right)}^{-3}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the Quotient to a Negative Exponent Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{\\text{\u2212}n}={\\left(\\frac{b}{a}\\right)}^{n}.\\hfill \\\\ \\text{Take the reciprocal of the fraction and change the sign of the exponent.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}{\\left(-\\frac{y}{x}\\right)}^{3}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}-\\frac{{y}^{3}}{{x}^{3}}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834523586\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831955877\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835244527\"><p id=\"fs-id1167830704869\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\left(\\frac{2}{3}\\right)}^{-4}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left(-\\frac{m}{n}\\right)}^{-2}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831823166\"><p id=\"fs-id1167835368882\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{81}{16}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167830757247\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834506138\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830865686\"><p id=\"fs-id1167834161529\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\left(\\frac{3}{5}\\right)}^{-3}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left(-\\frac{a}{b}\\right)}^{-4}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830960950\"><p id=\"fs-id1167834219652\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{125}{27}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{b}^{4}}{{a}^{4}}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834329587\">Now that we have negative exponents, we will use the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Product Property<\/span> with expressions that have negative exponents.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167834222370\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834534388\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834534390\"><p id=\"fs-id1167835240588\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({z}^{-5}\u00b7{z}^{-3}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\left({m}^{4}{n}^{-3}\\right)\\left({m}^{-5}{n}^{-2}\\right)\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\left(2{x}^{-6}{y}^{8}\\right)\\left(-5{x}^{5}{y}^{-3}\\right).\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826781307\"><p id=\"fs-id1167826781309\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}{z}^{-5}\u00b7{z}^{-3}\\hfill \\\\ \\text{Add the exponents, since the bases are the same.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}{z}^{-5-3}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}{z}^{-8}\\hfill \\\\ \\text{Use the definition of a negative exponent.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\frac{1}{{z}^{8}}\\hfill \\end{array}\\)<p id=\"fs-id1167830979522\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\left({m}^{4}{n}^{-3}\\right)\\left({m}^{-5}{n}^{-2}\\right)\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the Commutative Property to get like}\\hfill \\\\ \\text{bases together.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{m}^{4}{m}^{-5}\u00b7{n}^{-2}{n}^{-3}\\hfill \\\\ \\text{Add the exponents for each base.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{m}^{-1}\u00b7{n}^{-5}\\hfill \\\\ \\text{Take reciprocals and change the signs of the exponents.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{1}{{m}^{1}}\u00b7\\frac{1}{{n}^{5}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{1}{m{n}^{5}}\\hfill \\end{array}\\)<p id=\"fs-id1167834195699\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\left(2{x}^{-6}{y}^{8}\\right)\\left(-5{x}^{5}{y}^{-3}\\right)\\hfill \\\\ \\text{Rewrite with the like bases together.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}2\\left(-5\\right)\u00b7\\left({x}^{-6}{x}^{5}\\right)\u00b7\\left({y}^{8}{y}^{-3}\\right)\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Multiply the coefficients and add the exponents}\\hfill \\\\ \\text{of each variable.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}-10\u00b7{x}^{-1}\u00b7{y}^{5}\\hfill \\\\ \\text{Use the definition of a negative exponent,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}-10\u00b7\\frac{1}{x}\u00b7{y}^{5}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{-10{y}^{5}}{x}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167832075782\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834195124\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835515470\"><p id=\"fs-id1167835515472\">Simplify each expression:<\/p><p id=\"fs-id1167835337713\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({z}^{-4}\u00b7{z}^{-5}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left({p}^{6}{q}^{-2}\\right)\\left({p}^{-9}{q}^{-1}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(3{u}^{-5}{v}^{7}\\right)\\left(-4{u}^{4}{v}^{-2}\\right).\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834376861\"><p id=\"fs-id1167834376863\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{1}{{z}^{9}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{1}{{p}^{3}{q}^{3}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(-\\frac{12{v}^{5}}{u}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835479425\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835322182\"><p id=\"fs-id1167835322184\">Simplify each expression:<\/p><p id=\"fs-id1167832015755\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({c}^{-8}\u00b7{c}^{-7}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left({r}^{5}{s}^{-3}\\right)\\left({r}^{-7}{s}^{-5}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(-6{c}^{-6}{d}^{4}\\right)\\left(-5{c}^{-2}{d}^{-1}\\right).\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834376349\"><p><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{1}{{c}^{15}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{1}{{r}^{2}{s}^{8}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{30{d}^{3}}{{c}^{8}}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167830770196\">Now let\u2019s look at an exponential expression that contains a power raised to a power. See if you can discover a general property.<\/p><p id=\"fs-id1167834252690\">\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{8em}{0ex}}{\\left({x}^{2}\\right)}^{3}\\hfill \\\\ \\text{What does this mean?}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{9em}{0ex}}{x}^{2}\u00b7{x}^{2}\u00b7{x}^{2}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><table id=\"fs-id1167835350835\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"The quantity x raised to the power of 2 raised to the power of 3 is written as x to the power of 2 times x to the power of 2 times x to the power of 2. Since each x to the power of 2 is 2 factors of x this is 6 factors of x so we have x to the power of 6.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">How many factors altogether?<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832227172\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_014a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">So we have<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835351564\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_014b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167834213885\">Notice the 6 is the <em data-effect=\"italics\">product<\/em> of the exponents, 2 and 3. We see that \\({\\left({x}^{2}\\right)}^{3}\\) is \\({x}^{2\u00b73}\\) or \\({x}^{6}.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835421635\">We multiplied the exponents. This leads to the <span data-type=\"term\">Power Property<\/span> <strong data-effect=\"bold\">for Exponents.<\/strong><\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167830898684\"><div data-type=\"title\">Power Property for Exponents<\/div><p>If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is a real number and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers, then<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167832059436\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left({a}^{m}\\right)}^{n}={a}^{m\u00b7n}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167831233918\">To raise a power to a power, multiply the exponents.<\/p><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835304261\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832058618\"><p id=\"fs-id1167832058620\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\left({y}^{5}\\right)}^{9}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left({4}^{4}\\right)}^{7}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({\\left({y}^{3}\\right)}^{6}{\\left({y}^{5}\\right)}^{4}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831887284\"><p id=\"fs-id1167831887286\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1167835311594\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Simplify the quantity y to the power of 5 raised to the power of 9. Using the power property we multiply the exponents and get y to the power of 5 times 9 or y to the power of 45.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834064684\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_015a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use the Power Property, \\({\\left({a}^{m}\\right)}^{n}={a}^{m\u00b7n}.\\phantom{\\rule{1.2em}{0ex}}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834532615\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_015b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834135086\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_015c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167834396418\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1167830701093\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Simplify the quantity 4 to the power of 4 raised to the power of 7. Using the power property we multiply the exponents and get 4 to the power of 4 times 7 or 4 to the power of 28.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834448785\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_016a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use the Power Property.\u2003\u2003\u2003\u2003\u2003\u2003\u2003\u2003&nbsp;<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834065886\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_016b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_016c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167832055423\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5.8em}{0ex}}{\\left({y}^{3}\\right)}^{6}{\\left({y}^{5}\\right)}^{4}\\hfill \\\\ \\text{Use the Power Property.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5.8em}{0ex}}{y}^{18}\u00b7{y}^{20}\\hfill \\\\ \\text{Add the exponents.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5.8em}{0ex}}{y}^{38}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834156865\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834184362\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834184364\"><p id=\"fs-id1167834184366\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\left({b}^{7}\\right)}^{5}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left({5}^{4}\\right)}^{3}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({\\left({a}^{4}\\right)}^{5}{\\left({a}^{7}\\right)}^{4}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831891532\"><p id=\"fs-id1167831891535\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({b}^{35}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({5}^{12}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({a}^{48}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167830702858\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830702861\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834062982\"><p id=\"fs-id1167834062984\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\left({z}^{6}\\right)}^{9}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left({3}^{7}\\right)}^{7}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({\\left({q}^{4}\\right)}^{5}{\\left({q}^{3}\\right)}^{3}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830963243\"><p id=\"fs-id1167830963246\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({z}^{54}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({3}^{49}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({q}^{29}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167835351999\">We will now look at an expression containing a product that is raised to a power. Can you find this pattern?<\/p><p id=\"fs-id1167835352003\">\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill {\\left(2x\\right)}^{3}\\hfill \\\\ \\text{What does this mean?}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill 2x\u00b72x\u00b72x\\hfill \\\\ \\text{We group the like factors together.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill 2\u00b72\u00b72\u00b7x\u00b7x\u00b7x\\hfill \\\\ \\text{How many factors of 2 and of}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill {2}^{3}\u00b7{x}^{3}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167834134230\">Notice that each factor was raised to the power and \\({\\left(2x\\right)}^{3}\\) is \\({2}^{3}\u00b7{x}^{3}.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835479896\">The exponent applies to each of the factors! This leads to the <span data-type=\"term\">Product to a Power<\/span> <strong data-effect=\"bold\">Property for Exponents<\/strong>.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167826996996\"><div data-type=\"title\">Product to a Power Property for Exponents<\/div><p id=\"fs-id1167826997002\">If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> are real numbers and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> is a whole number, then<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167832211995\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(ab\\right)}^{m}={a}^{m}{b}^{m}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167830886378\">To raise a product to a power, raise each factor to that power.<\/p><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167830886382\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835351600\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835351602\"><p id=\"fs-id1167835351604\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\left(-3mn\\right)}^{3}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left(-4{a}^{2}b\\right)}^{0}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({\\left(6{k}^{3}\\right)}^{-2}\\) <span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\({\\left(5{x}^{-3}\\right)}^{2}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830693536\"><p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1167830693545\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Given negative 3 m n in parentheses to the power of 3 we can use the power of a product property to write negative 3 to the power of 3 m to the power of 3 n to the power of 3. This simplifies to negative 27 m to the power of 3 n to the power of 3.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834196387\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_017a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use Power of a Product Property, \\({\\left(ab\\right)}^{m}={a}^{m}{b}^{m}.\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167826983702\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_017b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834279412\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_017c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167832015963\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}{\\left(-4{a}^{2}b\\right)}^{0}\\hfill \\\\ \\text{Use Power of a Product Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(ab\\right)}^{m}={a}^{m}{b}^{m}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}{\\left(-4\\right)}^{0}{\\left({a}^{2}\\right)}^{0}{\\left(b\\right)}^{0}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}1\u00b71\u00b71\\hfill \\\\ \\text{Multiply.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}1\\hfill \\end{array}\\)<p id=\"fs-id1167831881555\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill {\\left(6{k}^{3}\\right)}^{-2}\\hfill \\\\ \\text{Use the Product to a Power Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(ab\\right)}^{m}={a}^{m}{b}^{m}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill {\\left(6\\right)}^{-2}{\\left({k}^{3}\\right)}^{-2}\\hfill \\\\ \\text{Use the Power Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left({a}^{m}\\right)}^{n}={a}^{m\u00b7n}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill {6}^{-2}{k}^{-6}\\hfill \\\\ \\text{Use the Definition of a negative exponent,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{1}{{6}^{2}}\u00b7\\frac{1}{{k}^{6}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{1}{36{k}^{6}}\\hfill \\end{array}\\)<p id=\"fs-id1167834184225\"><span class=\"token\">\u24d3<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill {\\left(5{x}^{-3}\\right)}^{2}\\hfill \\\\ \\text{Use the Product to a Power Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(ab\\right)}^{m}={a}^{m}{b}^{m}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill {5}^{2}{\\left({x}^{-3}\\right)}^{2}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill 25\u00b7{x}^{-6}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{x}^{-6}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{using,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill 25\u00b7\\frac{1}{{x}^{6}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{25}{{x}^{6}}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834461906\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834461909\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834461911\"><p id=\"fs-id1167834461913\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\left(2wx\\right)}^{5}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left(-11p{q}^{3}\\right)}^{0}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({\\left(2{b}^{3}\\right)}^{-4}\\) <span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\({\\left(8{a}^{-4}\\right)}^{2}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832210643\"><p id=\"fs-id1167832210646\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(32{w}^{5}{x}^{5}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{1}{16{b}^{12}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\(\\frac{64}{{a}^{8}}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835418705\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835418708\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835376265\"><p id=\"fs-id1167835376267\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\left(-3y\\right)}^{3}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left(-8{m}^{2}{n}^{3}\\right)}^{0}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({\\left(-4{x}^{4}\\right)}^{-2}\\) <span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\({\\left(2{c}^{-4}\\right)}^{3}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834534429\"><p id=\"fs-id1167834534431\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-27{y}^{3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{1}{16{x}^{8}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\(\\frac{8}{{c}^{12}}\\)<\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834182577\">Now we will look at an example that will lead us to the Quotient to a Power Property.<\/p><p id=\"fs-id1167834473247\">\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill {\\left(\\frac{x}{y}\\right)}^{3}\\hfill \\\\ \\text{This means}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{x}{y}\u00b7\\frac{x}{y}\u00b7\\frac{x}{y}\\hfill \\\\ \\text{Multiply the fractions.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{x\u00b7x\u00b7x}{y\u00b7y\u00b7y}\\hfill \\\\ \\text{Write with exponents.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{{x}^{3}}{{y}^{3}}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167830836776\">Notice that the exponent applies to both the numerator and the denominator.<\/p><p id=\"fs-id1167830836780\">We see that \\({\\left(\\frac{x}{y}\\right)}^{3}\\) is \\(\\frac{{x}^{3}}{{y}^{3}}.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167835264903\">This leads to the <span data-type=\"term\">Quotient to a Power Property<\/span> <strong data-effect=\"bold\">for Exponents<\/strong>.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835264913\"><div data-type=\"title\">Quotient to a Power Property for Exponents<\/div><p id=\"fs-id1167834131180\">If \\(a\\) and \\(b\\) are real numbers, \\(b\\ne 0,\\) and \\(m\\) is an integer, then<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834556212\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{m}=\\frac{{a}^{m}}{{b}^{m}}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167826994249\">To raise a fraction to a power, raise the numerator and denominator to that power.<\/p><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167826994253\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826994255\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826994257\"><p id=\"fs-id1167826994259\">Simplify each expression:<\/p><p id=\"fs-id1167828447064\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(\\frac{b}{3}\\right)}^{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(\\frac{k}{j}\\right)}^{-3}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(\\frac{2x{y}^{2}}{z}\\right)}^{3}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({\\left(\\frac{4{p}^{-3}}{{q}^{2}}\\right)}^{2}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826828726\"><p id=\"fs-id1167826828728\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1167834377041\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"To simplify b divided by 3 in parentheses to the power of 4 we use the quotient to a power property. The result is b to the power of 4 divided by 3 to the power of 4. This simplifies to b to the power of 4 divided by 81.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835332400\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_018a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use Quotient to a Power Property, \\({\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{m}=\\frac{{a}^{m}}{{b}^{m}}.\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831066054\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_018b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835377003\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_018c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167831833247\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1167834403351\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"To simplify k divided by j in parentheses to the power of negative 3 we use the quotient to a power property. The result is k to the power of negative 3 divided by j to the power of negative 3. Using the definition of negative exponent we have 1 divided by k to the power of 3 times j to the power of 3. This simplifies to j to the power of 3 divided by k to the power of 3.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835327330\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_019a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Raise the numerator and denominator to the power.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835530155\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_019b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use the definition of negative exponent.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830960693\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_019c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Multiply.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831023414\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_019d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167834396828\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill {\\left(\\frac{2x{y}^{2}}{z}\\right)}^{3}\\hfill \\\\ \\text{Use Quotient to a Power Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{m}=\\frac{{a}^{m}}{{b}^{m}}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{{\\left(2x{y}^{2}\\right)}^{3}}{{z}^{3}}\\hfill \\\\ \\text{Use the Product to a Power Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(ab\\right)}^{m}={a}^{m}{b}^{m}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{8{x}^{3}{y}^{6}}{{z}^{3}}\\hfill \\end{array}\\)<p id=\"fs-id1167834111488\"><span class=\"token\">\u24d3<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill {\\left(\\frac{4{p}^{-3}}{{q}^{2}}\\right)}^{2}\\hfill \\\\ \\text{Use Quotient to a Power Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{m}=\\frac{{a}^{m}}{{b}^{m}}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{{\\left(4{p}^{-3}\\right)}^{2}}{{\\left({q}^{2}\\right)}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Use the Product to a Power Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(ab\\right)}^{m}={a}^{m}{b}^{m}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{{4}^{2}{\\left({p}^{-3}\\right)}^{2}}{{\\left({q}^{2}\\right)}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify using the Power Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left({a}^{m}\\right)}^{n}={a}^{m\u00b7n}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{16{p}^{-6}}{{q}^{4}}\\hfill \\\\ \\text{Use the definition of negative exponent.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{16}{{q}^{4}}\u00b7\\frac{1}{{p}^{6}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{16}{{p}^{6}{q}^{4}}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167831148868\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831148872\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831148874\"><p id=\"fs-id1167835216944\">Simplify each expression:<\/p><p id=\"fs-id1167835216948\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(\\frac{p}{10}\\right)}^{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(\\frac{m}{n}\\right)}^{-7}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(\\frac{3a{b}^{3}}{{c}^{2}}\\right)}^{4}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({\\left(\\frac{3{x}^{-2}}{{y}^{3}}\\right)}^{3}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835377934\"><p id=\"fs-id1167835377936\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{{p}^{4}}{10000}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{n}^{7}}{{m}^{7}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{81{a}^{4}{b}^{12}}{{c}^{8}}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\frac{27}{{x}^{6}{y}^{9}}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834059341\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834147029\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834147031\"><p id=\"fs-id1167834147034\">Simplify each expression:<\/p><p id=\"fs-id1167834147037\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(\\frac{-2}{q}\\right)}^{3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(\\frac{w}{x}\\right)}^{-4}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(\\frac{x{y}^{3}}{3{z}^{2}}\\right)}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({\\left(\\frac{2{m}^{-2}}{{n}^{-2}}\\right)}^{3}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835367398\"><p id=\"fs-id1167835367400\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{-8}{{q}^{3}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{x}^{4}}{{w}^{4}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{{x}^{2}{y}^{6}}{9{z}^{4}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\frac{8{n}^{6}}{{m}^{6}}\\)<\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167830963944\">We now have several properties for exponents. Let\u2019s summarize them and then we\u2019ll do some more examples that use more than one of the properties.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167830963950\"><div data-type=\"title\">Summary of Exponent Properties<\/div><p>If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> are real numbers, and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers, then<\/p><table id=\"fs-id1167835216922\" class=\"unnumbered\" summary=\"This table has two columns, labeled Property and Description. The Product Property states that a to the m times a to the n equals a to the m plus n. The Power Property states that a to the m raised to a power of n is a to the m times n. The Quotient Property states that a to the m divided by a to the n equals a to the m minus n when a is not equal to 0. The Zero Exponent Property states that a to the 0 power equals 1 when a is not equal to 0. The Properties of Negative Exponents states that a to the negative n equals 1 over a to the n and 1 over a to the negative n equals a to the n. The Quotient to a Negative Exponent states that a over b all raised to the negative n equals b over a all raised to the n.\" data-label=\"\"><thead><tr valign=\"top\"><th data-valign=\"top\" data-align=\"center\">Property<\/th><th data-valign=\"top\" data-align=\"center\">Description<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Product Property<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{m}\u00b7{a}^{n}={a}^{m+n}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Power Property<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left({a}^{m}\\right)}^{n}={a}^{m\u00b7n}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Product to a Power<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(ab\\right)}^{n}={a}^{m}{b}^{m}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Quotient Property<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}={a}^{m-n},a\\ne 0\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Zero Exponent Property<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{0}=1,a\\ne 0\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Quotient to a Power Property<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{m}=\\frac{{a}^{m}}{{b}^{m}},b\\ne 0\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Properties of Negative Exponents<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}\\) and \\(\\frac{1}{{a}^{\\text{\u2212}n}}={a}^{n}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Quotient to a Negative Exponent<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{\\text{\u2212}n}={\\left(\\frac{b}{a}\\right)}^{n}\\)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835384528\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835384530\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835384532\"><p id=\"fs-id1167835384534\">Simplify each expression by applying several properties:<\/p><p id=\"fs-id1167834196101\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(3{x}^{2}y\\right)}^{4}{\\left(2x{y}^{2}\\right)}^{3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{\\left({x}^{3}\\right)}^{4}{\\left({x}^{-2}\\right)}^{5}}{{\\left({x}^{6}\\right)}^{5}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(\\frac{2x{y}^{2}}{{x}^{3}{y}^{-2}}\\right)}^{2}{\\left(\\frac{12x{y}^{3}}{{x}^{3}{y}^{-1}}\\right)}^{-1}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834229292\"><p id=\"fs-id1167834229294\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill {\\left(3{x}^{2}y\\right)}^{4}{\\left(2x{y}^{2}\\right)}^{3}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Use the Product to a Power Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(ab\\right)}^{m}={a}^{m}{b}^{m}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\left({3}^{4}{x}^{8}{y}^{4}\\right)\\left({2}^{3}{x}^{3}{y}^{6}\\right)\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\left(81{x}^{8}{y}^{4}\\right)\\left(8{x}^{3}{y}^{6}\\right)\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Use the Commutative Property.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill 81\u00b78\u00b7{x}^{8}\u00b7{x}^{3}\u00b7{y}^{4}\u00b7{y}^{6}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Multiply the constants and add the exponents.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill 648{x}^{11}{y}^{10}\\hfill \\end{array}\\)<p id=\"fs-id1167835513691\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{7em}{0ex}}\\frac{{\\left({x}^{3}\\right)}^{4}{\\left({x}^{-2}\\right)}^{5}}{{\\left({x}^{6}\\right)}^{5}}\\hfill \\\\ \\text{Use the Power Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left({a}^{m}\\right)}^{n}={a}^{m\u00b7n}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{7em}{0ex}}\\frac{\\left({x}^{12}\\right)\\left({x}^{-10}\\right)}{\\left({x}^{30}\\right)}\\hfill \\\\ \\text{Add the exponents in the numerator.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{7em}{0ex}}\\frac{{x}^{2}}{{x}^{30}}\\hfill \\\\ \\text{Use the Quotient Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}=\\frac{1}{{a}^{n-m}}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{7em}{0ex}}\\frac{1}{{x}^{28}}\\hfill \\end{array}\\)<p id=\"fs-id1167831239167\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill {\\left(\\frac{2x{y}^{2}}{{x}^{3}{y}^{-2}}\\right)}^{2}{\\left(\\frac{12x{y}^{3}}{{x}^{3}{y}^{-1}}\\right)}^{-1}\\hfill \\\\ \\text{Simplify inside the parentheses first.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill {\\left(\\frac{2{y}^{4}}{{x}^{2}}\\right)}^{2}{\\left(\\frac{12{y}^{4}}{{x}^{2}}\\right)}^{-1}\\hfill \\\\ \\text{Use the Quotient to a Power Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{m}=\\frac{{a}^{m}}{{b}^{m}}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{{\\left(2{y}^{4}\\right)}^{2}}{{\\left({x}^{2}\\right)}^{2}}\\frac{{\\left(12{y}^{4}\\right)}^{-1}}{{\\left({x}^{2}\\right)}^{-1}}\\hfill \\\\ \\text{Use the Product to a Power Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(ab\\right)}^{m}={a}^{m}{b}^{m}.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{4{y}^{8}}{{x}^{4}}\u00b7\\frac{{12}^{-1}{y}^{-4}}{{x}^{-2}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{4{y}^{4}}{12{x}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{{y}^{4}}{3{x}^{2}}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835348476\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835348480\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835348482\"><p id=\"fs-id1167835348485\">Simplify each expression:<\/p><p id=\"fs-id1167835348488\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left({c}^{4}{d}^{2}\\right)}^{5}{\\left(3c{d}^{5}\\right)}^{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{\\left({a}^{-2}\\right)}^{3}{\\left({a}^{2}\\right)}^{4}}{{\\left({a}^{4}\\right)}^{5}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(\\frac{3x{y}^{2}}{{x}^{2}{y}^{-3}}\\right)}^{2}{\\left(\\frac{9x{y}^{-3}}{{x}^{3}{y}^{2}}\\right)}^{-1}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834141335\"><p id=\"fs-id1167834141337\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(81{c}^{24}{d}^{30}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{1}{{a}^{18}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({y}^{15}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835357676\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835357679\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835357681\"><p id=\"fs-id1167835335637\">Simplify each expression:<\/p><p id=\"fs-id1167835335640\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left({a}^{3}{b}^{2}\\right)}^{6}{\\left(4a{b}^{3}\\right)}^{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{\\left({p}^{-3}\\right)}^{4}{\\left({p}^{5}\\right)}^{3}}{{\\left({p}^{7}\\right)}^{6}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(\\frac{4{x}^{3}{y}^{2}}{{x}^{2}{y}^{-1}}\\right)}^{2}{\\left(\\frac{8x{y}^{-3}}{{x}^{2}{y}^{}}\\right)}^{-1}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835513172\"><p id=\"fs-id1167835513174\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(256{a}^{22}{b}^{24}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{1}{{p}^{39}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(2{x}^{3}{y}^{10}\\)<\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167831944106\"><h3 data-type=\"title\">Use Scientific Notation<\/h3><p id=\"fs-id1167835320083\">Working with very large or very small numbers can be awkward. Since our number system is base ten we can use powers of ten to rewrite very large or very small numbers to make them easier to work with. Consider the numbers 4,000 and 0.004.<\/p><p id=\"fs-id1167835320088\">Using place value, we can rewrite the numbers 4,000 and 0.004. We know that 4,000 means \\(4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}1,000\\) and 0.004 means \\(4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\frac{1}{1,000}.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167831106726\">If we write the 1,000 as a power of ten in exponential form, we can rewrite these numbers in this way:<\/p><table id=\"fs-id1167831106730\" class=\"unnumbered\" summary=\".\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">4,000<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\\(4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}1,000\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\\(4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{3}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">0.004<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\\(4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\frac{1}{1,000}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\\(4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\frac{1}{{10}^{3}}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\\(4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-3}\\)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167835376493\">When a number is written as a product of two numbers, where the first factor is a number greater than or equal to one but less than ten, and the second factor is a power of 10 written in exponential form, it is said to be in <span data-type=\"term\">scientific notation<\/span>.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835376502\"><div data-type=\"title\">Scientific Notation<\/div><p id=\"fs-id1167835376507\">A number is expressed in <strong data-effect=\"bold\">scientific notation<\/strong> when it is of the form<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834376885\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(a\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{n}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{where}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}1\\le a&lt;10\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is an integer.}\\)<\/div><\/div><p id=\"fs-id1167830697936\">It is customary in scientific notation to use as the \\(\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\) multiplication sign, even though we avoid using this sign elsewhere in algebra.<\/p><p id=\"fs-id1167830697943\">If we look at what happened to the decimal point, we can see a method to easily convert from decimal notation to scientific notation.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830697948\" data-alt=\"The figure shows two examples of converting from standard notation to scientific notation. In one example 4000 is converted to 4 times 10 to the power of 3. The decimal point in 4000 starts at the right and moves 3 places to the left to make the number 4. The 3 places moved make the exponent 3. In the other example, the number 0.004 is converted to 4 times 10 to the negative 3 power. The decimal point in 0.004 is moved 3 places to the right to make the number 4. The 3 places moved make the exponent negative 3.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_020_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The figure shows two examples of converting from standard notation to scientific notation. In one example 4000 is converted to 4 times 10 to the power of 3. The decimal point in 4000 starts at the right and moves 3 places to the left to make the number 4. The 3 places moved make the exponent 3. In the other example, the number 0.004 is converted to 4 times 10 to the negative 3 power. The decimal point in 0.004 is moved 3 places to the right to make the number 4. The 3 places moved make the exponent negative 3.\"><\/span><p id=\"fs-id1167827943762\">In both cases, the decimal was moved 3 places to get the first factor between 1 and 10.<\/p><p id=\"fs-id1167834079476\">The power of 10 is positive when the number is larger than 1: \\(4,000=4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{3}\\)<\/p><p id=\"fs-id1167830925376\">The power of 10 is negative when the number is between 0 and 1: \\(0.004=4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-3}\\)<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167831883143\" class=\"howto\"><div data-type=\"title\">To convert a decimal to scientific notation.<\/div><ol id=\"fs-id1167831883150\" type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Move the decimal point so that the first factor is greater than or equal to 1 but less than 10.<\/li><li>Count the number of decimal places, <em data-effect=\"italics\">n<\/em>, that the decimal point was moved.<\/li><li>Write the number as a product with a power of 10. If the original number is. <ul id=\"fs-id1167834191353\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>greater than 1, the power of 10 will be \\({10}^{n}.\\)<\/li><li>between 0 and 1, the power of 10 will be \\({10}^{\\text{\u2212}n}.\\)<\/li><\/ul><\/li><li>Check.<\/li><\/ol><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835356836\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835356838\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835356840\"><p id=\"fs-id1167835483474\">Write in scientific notation: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> 37,000 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(0.0052.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167828095768\"><p id=\"fs-id1167828095771\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1167828095778\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Write the number 37,000 in scientific notation. Since the number is greater than 1 it will have a positive exponent. Move the decimal point to get 3.7. This requires that you move the decimal point 4 places. This makes the exponent 4. We write the number as 3.7 times 10 to the 4. You can check the answer by writing 3.7 times 10 to the 4 as 3.7 times 10000 which is 37000.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">The original number, 37,000, is greater than 1<div data-type=\"newline\"><br><\/div>so we will have a positive power of 10.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\)37,000<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Move the decimal point to get 3.7, a number<div data-type=\"newline\"><br><\/div>between 1 and 10.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834536285\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_021a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Count the number of decimal places the point<div data-type=\"newline\"><br><\/div>was moved.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834094827\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_021b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Write as a product with a power of 10.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835379836\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_021c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Check: \u2003\u2003\u2003\\(\\begin{array}{}\\\\ 3.7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{4}\\hfill \\\\ 3.7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}10,000\\hfill \\\\ 37,000\\hfill \\end{array}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834299524\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_021d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167835334048\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1167835334055\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Write the number 0.0052 in scientific notation. Since the number is less than 1 it will have a negative exponent. Move the decimal point to get 5.2. This requires that you move the decimal point 3 places. This makes the exponent negative 3. We write the number as 5.2 times 10 to the negative 3. You can check the answer by writing 5.2 times 10 to the negative 3 as 3.7 times 1 divided by 1000 which is 0.0052.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">The original number, 0.0052, is between 0<div data-type=\"newline\"><br><\/div>and 1 so we will have a negative power of 10.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\)0.0052<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Move the decimal point to get 5.2, a number<div data-type=\"newline\"><br><\/div>between 1 and 10.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167828420229\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_022a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Count the number of decimal places the point<div data-type=\"newline\"><br><\/div>was moved.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831922147\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_022b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Write as a product with a power of 10.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835517796\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_022c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\begin{array}{}\\\\ \\\\ \\text{Check:}\\hfill &amp; &amp; &amp; 5.2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-3}\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; 5.2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\frac{1}{{10}^{3}}\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; 5.2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\frac{1}{1000}\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; 5.2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}0.001\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; 0.0052\\hfill \\end{array}\\)<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832054055\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_022d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834448837\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834448841\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834448843\"><p id=\"fs-id1167834448845\">Write in scientific notation: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> 96,000 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 0.0078.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832152925\"><p id=\"fs-id1167832152927\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(9.6\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(7.8\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-3}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835374180\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835374185\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835518348\"><p id=\"fs-id1167835518350\">Write in scientific notation: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> 48,300 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 0.0129.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835518365\"><p id=\"fs-id1167831832533\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(4.83\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{4}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(1.29\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-2}\\)<\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834309885\">How can we convert from scientific notation to decimal form? Let\u2019s look at two numbers written in scientific notation and see.<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834309889\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{cccccc}\\hfill 9.12\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{4}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill 9.12\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-4}\\hfill \\\\ \\hfill 9.12\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}10,000\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill 9.12\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}0.0001\\hfill \\\\ \\hfill 91,200\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill 0.000912\\hfill \\end{array}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167832068300\">If we look at the location of the decimal point, we can see an easy method to convert a number from scientific notation to decimal form.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832068304\" data-alt=\"The figure shows two examples of converting from scientific notation to standard notation. In one example 9.12 times 10 to the power of 4 is converted to 91200. The decimal point in 9.12 moves 4 places to the right to make the number 91200. In the other example, the number 9.12 times 10 to the power of -4 is converted to 0.000912. The decimal point in 9.12 is moved 4 places to the left to make the number 0.000912.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_023_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The figure shows two examples of converting from scientific notation to standard notation. In one example 9.12 times 10 to the power of 4 is converted to 91200. The decimal point in 9.12 moves 4 places to the right to make the number 91200. In the other example, the number 9.12 times 10 to the power of -4 is converted to 0.000912. The decimal point in 9.12 is moved 4 places to the left to make the number 0.000912.\"><\/span><p id=\"fs-id1167828172243\">In both cases the decimal point moved 4 places. When the exponent was positive, the decimal moved to the right. When the exponent was negative, the decimal point moved to the left.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167828172248\" class=\"howto\"><div data-type=\"title\">Convert scientific notation to decimal form.<\/div><ol id=\"fs-id1167828172255\" type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Determine the exponent, <em data-effect=\"italics\">n<\/em>, on the factor 10.<\/li><li>Move the decimal <em data-effect=\"italics\">n<\/em> places, adding zeros if needed. <ul id=\"fs-id1167834062166\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>If the exponent is positive, move the decimal point <em data-effect=\"italics\">n<\/em> places to the right.<\/li><li>If the exponent is negative, move the decimal point \\(|n|\\) places to the left.<\/li><\/ul><\/li><li>Check.<\/li><\/ol><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167832067023\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832067025\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832067027\"><p id=\"fs-id1167835328755\">Convert to decimal form: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(6.2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{3}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(-8.9\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-2}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835389738\"><p id=\"fs-id1167835389740\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1167835389747\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"6.2 times 10 to the power of 3 is converted to standard notation. The exponent is 3. Since the exponent is positive the number is greater than 1. This means we move the decimal point to the right. Moving the decimal point 3 places to the right results in 62000.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834463049\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_024a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Determine the exponent, <em data-effect=\"italics\">n<\/em>, on the factor 10.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">The exponent is 3.<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Since the exponent is positive, move the<div data-type=\"newline\"><br><\/div>decimal point 3 places to the right.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834458683\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_024b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Add zeros as needed for placeholders.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834085082\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_024c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834219297\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_024d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1167831868999\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1167831869006\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Negative 8.9 times 10 to the power of negative 2 is converted to standard notation. The exponent is negative 2. Since the exponent is negative the number is less than 1. This means we move the decimal point to the left. Moving the decimal point 2 places to the left results in negative 0.089.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835349465\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_025a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Determine the exponent, <em data-effect=\"italics\">n<\/em>, on the factor 10.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">The exponent is \\(-2.\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Since the exponent is negative, move the<div data-type=\"newline\"><br><\/div>decimal point 2 places to the left.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167826828946\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_025b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Add zeros as needed for placeholders.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834079199\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_025c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167826978824\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_025d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834189747\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834189751\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834189753\"><p id=\"fs-id1167831824772\">Convert to decimal form: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(1.3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{3}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(-1.2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-4}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826987650\"><p id=\"fs-id1167826987652\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 1,300 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(-0.00012\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834327310\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834327313\"><p id=\"fs-id1167834327315\">Convert to decimal form: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(-9.5\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{4}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(7.5\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-2}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835497148\"><p id=\"fs-id1167835497151\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-950,000\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span> 0.075 <\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167827964075\">When scientists perform calculations with very large or very small numbers, they use scientific notation. Scientific notation provides a way for the calculations to be done without writing a lot of zeros. We will see how the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Properties of Exponents<\/span> are used to multiply and divide numbers in scientific notation.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167827964085\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167827964087\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167827964089\"><p id=\"fs-id1167834134985\">Multiply or divide as indicated. Write answers in decimal form: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\left(-4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{5}\\right)\\left(2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-7}\\right)\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\frac{9\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{3}}{3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830921240\"><p id=\"fs-id1167830921242\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\left(-4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{5}\\right)\\left(2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-7}\\right)\\hfill \\\\ \\text{Use the Commutative Property to rearrange the factors.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill -4\u00b72\u00b7{10}^{5}\u00b7{10}^{-7}\\hfill \\\\ \\text{Multiply.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill -8\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-2}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Change to decimal form by moving the decimal two}\\hfill \\\\ \\text{places left.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill -0.08\\hfill \\end{array}\\)<p id=\"fs-id1167834192001\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{9\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{3}}{9\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-2}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Separate the factors, rewriting as the product of two}\\hfill \\\\ \\text{fractions.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{9}{3}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\frac{{10}^{3}}{{10}^{-2}}\\hfill \\\\ \\text{Divide.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{5}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Change to decimal form by moving the decimal five}\\hfill \\\\ \\text{places right.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}300,000\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167831847171\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831847175\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830964422\"><p id=\"fs-id1167830964424\">Multiply or divide as indicated. Write answers in decimal form:<\/p><p id=\"fs-id1167830964427\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(-3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{5}\\right)\\left(2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-8}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{8\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{2}}{4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834213954\"><p id=\"fs-id1167834213956\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-0.006\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span> 20,000 <\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834282465\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834282469\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834282471\"><p id=\"fs-id1167834282474\">Multiply or divide as indicated. Write answers in decimal form:<\/p><p id=\"fs-id1167834282477\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>; \\(\\left(-3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-2}\\right)\\left(3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-1}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{8\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{4}}{2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-1}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835526536\"><p id=\"fs-id1167835526538\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-0.009\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span> 400,000 <\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834065080\" class=\"media\"><p id=\"fs-id1167831896557\">Access these online resources for additional instruction and practice with using multiplication properties of exponents.<\/p><ul id=\"fs-id1167831896561\" data-bullet-style=\"bullet\"><li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37Propofexpo\">Properties of Exponents<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37Negativeexpo\">Negative exponents<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37SciNotation\">Scientific Notation<\/a><\/li><\/ul><\/div><\/div><div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167834048826\"><h3 data-type=\"title\">Key Concepts<\/h3><ul id=\"fs-id1167834048833\" data-bullet-style=\"bullet\"><li><strong data-effect=\"bold\">Exponential Notation<\/strong><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831832834\" data-alt=\"The figure shows the letter a in a normal font with the label base and the letter m in a superscript font with the label exponent. This means we multiply the number a with itself, m times.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_027_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The figure shows the letter a in a normal font with the label base and the letter m in a superscript font with the label exponent. This means we multiply the number a with itself, m times.\"><\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div> This is read <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the \\({m}^{th}\\) power.<div data-type=\"newline\"><br><\/div> In the expression \\({a}^{m}\\), the <em data-effect=\"italics\">exponent m<\/em> tells us how many times we use the <em data-effect=\"italics\">base a<\/em> as a factor.<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Product Property for Exponents<\/strong><div data-type=\"newline\"><br><\/div> If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is a real number and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers, then<div data-type=\"newline\"><br><\/div> <div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167826983177\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({a}^{m}\u00b7{a}^{n}={a}^{m+n}\\)<\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div> To multiply with like bases, add the exponents.<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Quotient Property for Exponents<\/strong><div data-type=\"newline\"><br><\/div> If \\(a\\) is a real number, \\(a\\ne 0,\\) and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers, then<div data-type=\"newline\"><br><\/div> <div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835364680\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}={a}^{m-n},\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}m&gt;n\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}=\\frac{1}{{a}^{n-m}},\\phantom{\\rule{0.4em}{0ex}}n&gt;m\\)<\/div><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Zero Exponent<\/strong><ul id=\"fs-id1167828401334\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is a non-zero number, then \\({a}^{0}=1.\\)<\/li><li>If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is a non-zero number, then <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the power of zero equals 1.<\/li><li>Any non-zero number raised to the zero power is 1.<\/li><\/ul><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Negative Exponent<\/strong><ul id=\"fs-id1167832066211\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>If <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is an integer and \\(a\\ne 0,\\) then \\({a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}\\) or \\(\\frac{1}{{a}^{\\text{\u2212}n}}={a}^{n}.\\)<\/li><\/ul><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Quotient to a Negative Exponent Property<\/strong><div data-type=\"newline\"><br><\/div> If \\(a,b\\) are real numbers, \\(a\\ne 0,b\\ne 0\\) and \\(n\\) is an integer, then<div data-type=\"newline\"><br><\/div> <div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167831969945\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{\\text{\u2212}n}={\\left(\\frac{b}{a}\\right)}^{n}\\)<\/div><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Power Property for Exponents<\/strong><div data-type=\"newline\"><br><\/div> If \\(a\\) is a real number and \\(m,n\\) are integers, then<div data-type=\"newline\"><br><\/div> <div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834227736\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left({a}^{m}\\right)}^{n}={a}^{m\u00b7n}\\)<\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div> To raise a power to a power, multiply the exponents.<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Product to a Power Property for Exponents<\/strong><div data-type=\"newline\"><br><\/div> If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> are real numbers and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> is a whole number, then<div data-type=\"newline\"><br><\/div> <div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167832128384\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(ab\\right)}^{m}={a}^{m}{b}^{m}\\)<\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div> To raise a product to a power, raise each factor to that power.<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Quotient to a Power Property for Exponents<\/strong><div data-type=\"newline\"><br><\/div> If \\(a\\) and are real numbers, \\(b\\ne 0,\\) and \\(m\\) is an integer, then<div data-type=\"newline\"><br><\/div> <div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835318596\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{m}=\\frac{{a}^{m}}{{b}^{m}}\\)<\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div> To raise a fraction to a power, raise the numerator and denominator to that power.<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Summary of Exponent Properties<\/strong><div data-type=\"newline\"><br><\/div> If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> are real numbers, and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers, then<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div> <table id=\"fs-id1167834402896\" class=\"unnumbered\" summary=\"This table has two columns, labeled Property and Description. The Product Property states that a to the m times a to the n equals a to the m plus n. The Power Property states that a to the m raised to a power of n is a to the m times n. The Quotient Property states that a to the m divided by a to the n equals a to the m minus n when a is not equal to 0. The Zero Exponent Property states that a to the 0 power equals 1 when a is not equal to 0. The Properties of Negative Exponents states that a to the negative n equals 1 over a to the n and 1 over a to the negative n equals a to the n. The Quotient to a Negative Exponent states that a over b all raised to the negative n equals b over a all raised to the n.\"><thead><tr valign=\"top\"><th data-valign=\"top\" data-align=\"center\">Property<\/th><th data-valign=\"top\" data-align=\"center\">Description<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Product Property<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{m}\u00b7{a}^{n}={a}^{m+n}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Power Property<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left({a}^{m}\\right)}^{n}={a}^{m\u00b7n}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Product to a Power<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(ab\\right)}^{n}={a}^{m}{b}^{m}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Quotient Property<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}={a}^{m-n},a\\ne 0\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Zero Exponent Property<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{0}=1,a\\ne 0\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Quotient to a Power Property:<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{m}=\\frac{{a}^{m}}{{b}^{m}},b\\ne 0\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Properties of Negative Exponents<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}\\) and \\(\\frac{1}{{a}^{\\text{\u2212}n}}={a}^{n}\\)<\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Quotient to a Negative Exponent<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{\\text{\u2212}n}={\\left(\\frac{b}{a}\\right)}^{n}\\)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Scientific Notation<\/strong><div data-type=\"newline\"><br><\/div> A number is expressed in scientific notation when it is of the form<div data-type=\"newline\"><br><\/div> <div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834533416\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(a\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{n}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{where}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}1\\le a&lt;10\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is an integer.}\\)<\/div><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">How to convert a decimal to scientific notation.<\/strong><ol id=\"fs-id1167831921305\" type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Move the decimal point so that the first factor is greater than or equal to 1 but less than 10.<\/li><li>Count the number of decimal places, \\(n,\\) that the decimal point was moved.<\/li><li>Write the number as a product with a power of 10. If the original number is. <ul id=\"fs-id1167830921298\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>greater than 1, the power of 10 will be \\({10}^{n}.\\)<\/li><li>between 0 and 1, the power of 10 will be \\({10}^{\\text{\u2212}n}.\\)<\/li><\/ul><\/li><li>Check.<\/li><\/ol><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">How to convert scientific notation to decimal form.<\/strong><ol id=\"fs-id1167832153408\" type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Determine the exponent, \\(n,\\) on the factor 10.<\/li><li>Move the decimal \\(n\\) places, adding zeros if needed. <ul id=\"fs-id1167826926700\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>If the exponent is positive, move the decimal point \\(n\\) places to the right.<\/li><li>If the exponent is negative, move the decimal point \\(|n|\\) places to the left.<\/li><\/ul><\/li><li>Check.<\/li><\/ol><\/li><\/ul><\/div><div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167834422976\"><div class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\"><h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4><p id=\"fs-id1167834422987\"><strong data-effect=\"bold\">Simplify Expressions Using the Properties for Exponents<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167831901940\">In the following exercises, simplify each expression using the properties for exponents.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831901944\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831901946\"><p id=\"fs-id1167831901948\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({d}^{3}\u00b7{d}^{6}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({4}^{5x}\u00b7{4}^{9x}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(2y\u00b74{y}^{3}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(w\u00b7{w}^{2}\u00b7{w}^{3}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834517431\"><p id=\"fs-id1167834517433\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({d}^{9}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({4}^{14x}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(8{y}^{4}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({w}^{6}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835323625\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835323627\"><p id=\"fs-id1167835323630\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({x}^{4}\u00b7{x}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({8}^{9x}\u00b7{8}^{3}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(3{z}^{25}\u00b75{z}^{8}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(y\u00b7{y}^{3}\u00b7{y}^{5}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832067002\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832067004\"><p><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({n}^{19}\u00b7{n}^{12}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({3}^{x}\u00b7{3}^{6}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(7{w}^{5}\u00b78{w}^{}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({a}^{4}\u00b7{a}^{3}\u00b7{a}^{9}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834429050\"><p id=\"fs-id1167834429052\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({n}^{31}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({3}^{x+6}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(56{w}^{6}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({a}^{16}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834376522\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834376525\"><p id=\"fs-id1167834376527\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({q}^{27}\u00b7{q}^{15}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({5}^{x}\u00b7{5}^{4x}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(9{u}^{41}\u00b77{u}^{53}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({c}^{5}\u00b7{c}^{11}\u00b7{c}^{2}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826804645\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826804647\"><p id=\"fs-id1167826804649\">\\({m}^{x}\u00b7{m}^{3}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831909556\"><p id=\"fs-id1167831909558\">\\({m}^{x+3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831909575\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831909577\"><p id=\"fs-id1167831909579\">\\({n}^{y}\u00b7{n}^{2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835281060\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835281062\"><p id=\"fs-id1167835281064\">\\({y}^{a}\u00b7{y}^{b}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831837671\"><p id=\"fs-id1167831837673\">\\({y}^{a+b}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831837690\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831837692\"><p id=\"fs-id1167831837694\">\\({x}^{p}\u00b7{x}^{q}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834309048\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834309051\"><p id=\"fs-id1167834309053\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{{x}^{18}}{{x}^{3}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{5}^{12}}{{5}^{3}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{{q}^{18}}{{q}^{36}}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\frac{{10}^{2}}{{10}^{3}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835510622\"><p id=\"fs-id1167835510624\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({x}^{15}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({5}^{9}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{{q}^{18}}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\frac{1}{10}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834228237\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834228239\"><p id=\"fs-id1167834228241\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{{y}^{20}}{{y}^{10}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{7}^{16}}{{7}^{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{{t}^{10}}{{t}^{40}}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\frac{{8}^{3}}{{8}^{5}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835352744\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835352746\"><p id=\"fs-id1167835352748\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{{p}^{21}}{{p}^{7}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{4}^{16}}{{4}^{4}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{b}{{b}^{9}}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\frac{4}{{4}^{6}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826967160\"><p id=\"fs-id1167826967162\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({p}^{14}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({4}^{12}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{{b}^{8}}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\frac{1}{{4}^{5}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826779602\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826779604\"><p id=\"fs-id1167826779606\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{{u}^{24}}{{u}^{3}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{9}^{15}}{{9}^{5}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{x}{{x}^{7}}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\frac{10}{{10}^{3}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835346133\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835346135\"><p id=\"fs-id1167835346138\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({20}^{0}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({b}^{0}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831928869\"><p id=\"fs-id1167831928871\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834132813\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834132815\"><p id=\"fs-id1167834132817\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({13}^{0}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({k}^{0}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835281766\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835281768\"><p id=\"fs-id1167835180584\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\text{\u2212}{27}^{0}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}\\left({27}^{0}\\right)\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831040279\"><p id=\"fs-id1167831040281\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-1\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(-1\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830924871\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830924873\"><p id=\"fs-id1167830924875\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\text{\u2212}{15}^{0}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}\\left({15}^{0}\\right)\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167826804108\"><strong data-effect=\"bold\">Use the Definition of a Negative Exponent<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167826870782\">In the following exercises, simplify each expression.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826870785\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826870787\"><p id=\"fs-id1167826870789\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({a}^{-2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({10}^{-3}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{{c}^{-5}}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\frac{1}{{3}^{-2}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\"><p><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{1}{{a}^{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{1}{1000}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({c}^{5}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(9\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830951836\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830951839\"><p id=\"fs-id1167830951841\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({b}^{-4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({10}^{-2}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{{c}^{-5}}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\frac{1}{{5}^{-2}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826780804\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826780806\"><p id=\"fs-id1167826780808\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({r}^{-3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({10}^{-5}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{{q}^{-10}}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\frac{1}{{10}^{-3}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826851771\"><p id=\"fs-id1167826851773\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{1}{{r}^{3}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{1}{100,000}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({q}^{10}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(1,000\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834094054\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834094056\"><p id=\"fs-id1167834094058\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({s}^{-8}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({10}^{-2}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{{t}^{-9}}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\frac{1}{{10}^{-4}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831835349\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831835351\"><p id=\"fs-id1167831835353\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(\\frac{5}{8}\\right)}^{-2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(-\\frac{b}{a}\\right)}^{-2}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834463230\"><p id=\"fs-id1167834463232\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{64}{25}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834279968\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834279971\"><p id=\"fs-id1167834279973\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(\\frac{3}{10}\\right)}^{-2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(-\\frac{2}{z}\\right)}^{-3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831040680\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831040682\"><p id=\"fs-id1167834527240\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(\\frac{4}{9}\\right)}^{-3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(-\\frac{u}{v}\\right)}^{-5}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835533082\"><p id=\"fs-id1167835533085\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{729}{64}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(-\\frac{{v}^{5}}{{u}^{5}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826986045\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826986047\"><p id=\"fs-id1167826986049\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(\\frac{7}{2}\\right)}^{-3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(-\\frac{3}{x}\\right)}^{-3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826869909\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826869911\"><p id=\"fs-id1167826869913\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(-5\\right)}^{-2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}{5}^{-2}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(-\\frac{1}{5}\\right)}^{-2}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\text{\u2212}{\\left(\\frac{1}{5}\\right)}^{-2}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834373422\"><p id=\"fs-id1167834373424\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{1}{25}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{1}{25}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(25\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(-25\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834120541\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834120544\"><p><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\text{\u2212}{5}^{-3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(-\\frac{1}{5}\\right)}^{-3}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\text{\u2212}{\\left(\\frac{1}{5}\\right)}^{-3}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({\\left(-5\\right)}^{-3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835311485\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835311487\"><p id=\"fs-id1167835311490\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(3\u00b7{5}^{-1}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(3\u00b75\\right)}^{-1}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835301966\"><p id=\"fs-id1167835301968\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{3}{5}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{1}{15}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834515459\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834515462\"><p id=\"fs-id1167834515464\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(3\u00b7{4}^{-2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(3\u00b74\\right)}^{-2}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167831919323\">In the following exercises, simplify each expression using the Product Property.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831919326\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831919328\"><p id=\"fs-id1167831919331\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({b}^{4}{b}^{-8}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left({w}^{4}{x}^{-5}\\right)\\left({w}^{-2}{x}^{-4}\\right)\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(-6{c}^{-3}{d}^{9}\\right)\\left(2{c}^{4}{d}^{-5}\\right)\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835332751\"><p id=\"fs-id1167835332753\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{1}{{b}^{4}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{w}^{2}}{{x}^{9}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(-12c{d}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826799029\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826799031\"><p id=\"fs-id1167826799033\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({s}^{3}\u00b7{s}^{-7}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left({m}^{3}{n}^{-3}\\right)\\left({m}^{-5}{n}^{-1}\\right)\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(-2{j}^{-5}{k}^{8}\\right)\\left(7{j}^{2}{k}^{-3}\\right)\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832076204\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832076206\"><p id=\"fs-id1167832076209\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({a}^{3}\u00b7{a}^{-3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(u{v}^{-2}\\right)\\left({u}^{-5}{v}^{-3}\\right)\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(-4{r}^{-2}{s}^{-8}\\right)\\left(9{r}^{4}{s}^{3}\\right)\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832051443\"><p id=\"fs-id1167832051445\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\frac{1}{{u}^{4}{v}^{5}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(-36\\frac{{r}^{2}}{{j}^{5}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834556746\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831837489\"><p id=\"fs-id1167831837491\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({y}^{5}\u00b7{y}^{-5}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(p{q}^{-4}\\right)\\left({p}^{-6}{q}^{-3}\\right)\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(-5{m}^{4}{n}^{6}\\right)\\left(8{m}^{-5}{n}^{-3}\\right)\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835361809\"><p id=\"fs-id1167835361811\">\\({p}^{5}\u00b7{p}^{-2}\u00b7{p}^{-4}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830979528\"><p id=\"fs-id1167830979530\">\\(\\frac{1}{p}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830979542\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830979544\"><p id=\"fs-id1167830979546\">\\({x}^{4}\u00b7{x}^{-2}\u00b7{x}^{-3}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167831890838\">In the following exercises, simplify each expression using the Power Property.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831890841\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831890843\"><p id=\"fs-id1167831890845\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left({m}^{4}\\right)}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left({10}^{3}\\right)}^{6}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left({x}^{3}\\right)}^{-4}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834111714\"><p id=\"fs-id1167834111716\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({m}^{8}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({10}^{18}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{{x}^{12}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831881663\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831881665\"><p id=\"fs-id1167831881667\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left({b}^{2}\\right)}^{7}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left({3}^{8}\\right)}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left({k}^{2}\\right)}^{-5}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834593098\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834593101\"><p id=\"fs-id1167834593103\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left({y}^{3}\\right)}^{x}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left({5}^{x}\\right)}^{y}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left({q}^{6}\\right)}^{-8}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832150168\"><p id=\"fs-id1167832150170\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({y}^{3x}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({5}^{xy}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{{q}^{48}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831023276\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831023278\"><p id=\"fs-id1167831023280\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left({x}^{2}\\right)}^{y}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left({7}^{a}\\right)}^{b}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left({a}^{9}\\right)}^{-10}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834076920\">In the following exercises, simplify each expression using the Product to a Power Property.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834076923\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834076925\"><p id=\"fs-id1167834076927\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(-3xy\\right)}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(6a\\right)}^{0}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(5{x}^{2}\\right)}^{-2}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({\\left(-4{y}^{-3}\\right)}^{2}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834535988\"><p id=\"fs-id1167834535990\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(9{x}^{2}{y}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{1}{25{x}^{4}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\(\\frac{16}{{y}^{6}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835215743\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835215745\"><p id=\"fs-id1167835215747\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(-4ab\\right)}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(5x\\right)}^{0}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(4{y}^{3}\\right)}^{-3}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({\\left(-7{y}^{-3}\\right)}^{2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167827954483\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167827954485\"><p id=\"fs-id1167827954487\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(-5ab\\right)}^{3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(-4pq\\right)}^{0}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(-6{x}^{3}\\right)}^{-2}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({\\left(3{y}^{-4}\\right)}^{2}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826829010\"><p id=\"fs-id1167826829012\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-125{a}^{3}{b}^{3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{1}{36{x}^{6}}\\) <span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\(\\frac{9}{{y}^{8}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835513388\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835513390\"><p id=\"fs-id1167835513392\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(-3xyz\\right)}^{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(-7mn\\right)}^{0}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(-3{x}^{3}\\right)}^{-2}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({\\left(2{y}^{-5}\\right)}^{2}\\)<\/div><\/div><p id=\"fs-id1167835342148\">In the following exercises, simplify each expression using the Quotient to a Power Property.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835342152\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835342154\"><p id=\"fs-id1167835342156\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(\\frac{p}{2}\\right)}^{5}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(\\frac{x}{y}\\right)}^{-6}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(\\frac{2x{y}^{2}}{z}\\right)}^{3}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({\\left(\\frac{4{p}^{-3}}{{q}^{2}}\\right)}^{2}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167828326817\"><p id=\"fs-id1167828326819\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{{p}^{5}}{32}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{y}^{6}}{{x}^{6}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{8{x}^{3}{y}^{6}}{{z}^{3}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\frac{16}{{p}^{6}{q}^{4}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167828240559\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167828240561\"><p id=\"fs-id1167828240563\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(\\frac{x}{3}\\right)}^{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{-5}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(\\frac{2x{y}^{2}}{z}\\right)}^{3}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({\\left(\\frac{{x}^{3}y}{{z}^{4}}\\right)}^{2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167828240675\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167828240677\"><p id=\"fs-id1167828240679\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(\\frac{a}{3b}\\right)}^{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(\\frac{5}{4m}\\right)}^{-2}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(\\frac{3{a}^{-2}{b}^{3}}{{c}^{3}}\\right)}^{-2}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({\\left(\\frac{{p}^{-1}{q}^{4}}{{r}^{-4}}\\right)}^{2}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835530153\"><p id=\"fs-id1167834301083\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{{a}^{4}}{81{b}^{4}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{16{m}^{2}}{25}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{{a}^{4}{c}^{4}}{9{b}^{6}}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\frac{{q}^{8}{r}^{8}}{{p}^{2}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830959532\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830959534\"><p id=\"fs-id1167830959536\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(\\frac{x}{2y}\\right)}^{3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(\\frac{10}{3q}\\right)}^{-4}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(\\frac{2{x}^{3}{y}^{4}}{3{z}^{2}}\\right)}^{5}\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\({\\left(\\frac{5{a}^{3}{b}^{-1}}{2{c}^{4}}\\right)}^{-3}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167830801579\">In the following exercises, simplify each expression by applying several properties.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830801582\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830801585\"><p id=\"fs-id1167830801587\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(5{t}^{2}\\right)}^{3}{\\left(3t\\right)}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{\\left({t}^{2}\\right)}^{5}{\\left({t}^{-4}\\right)}^{2}}{{\\left({t}^{3}\\right)}^{7}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(\\frac{2x{y}^{2}}{{x}^{3}{y}^{-2}}\\right)}^{2}{\\left(\\frac{12x{y}^{3}}{{x}^{3}{y}^{-1}}\\right)}^{-1}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834517713\"><p id=\"fs-id1167834517716\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(1125{t}^{8}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{1}{{t}^{19}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{{y}^{4}}{3{x}^{2}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831821883\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831821885\"><p id=\"fs-id1167831821887\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(10{k}^{4}\\right)}^{3}{\\left(5{k}^{6}\\right)}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{\\left({q}^{3}\\right)}^{6}{\\left({q}^{-2}\\right)}^{3}}{{\\left({q}^{4}\\right)}^{8}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826813801\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826813803\"><p id=\"fs-id1167826813805\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left({m}^{2}n\\right)}^{2}{\\left(2m{n}^{5}\\right)}^{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{\\left(-2{p}^{-2}\\right)}^{4}{\\left(3{p}^{4}\\right)}^{2}}{{\\left(-6{p}^{3}\\right)}^{2}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831869068\"><p id=\"fs-id1167831869070\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(16{m}^{8}{n}^{22}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{4}{{p}^{6}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831869114\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831869116\"><p id=\"fs-id1167828290425\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(3p{q}^{4}\\right)}^{2}{\\left(6{p}^{6}q\\right)}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{\\left(-2{k}^{-3}\\right)}^{2}{\\left(6{k}^{2}\\right)}^{4}}{{\\left(9{k}^{4}\\right)}^{2}}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167832133981\"><h4 data-type=\"title\">Mixed Practice<\/h4><p id=\"fs-id1167832133986\">In the following exercises, simplify each expression.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832133989\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832133991\"><p id=\"fs-id1167832133994\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(7{n}^{-1}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(7n\\right)}^{-1}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(-7n\\right)}^{-1}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826879978\"><p id=\"fs-id1167826879980\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{7}{n}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{1}{7n}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(-\\frac{1}{7n}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830705680\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830705682\"><p id=\"fs-id1167830705685\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(6{r}^{-1}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(6r\\right)}^{-1}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(-6r\\right)}^{-1}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831868865\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831868867\"><p id=\"fs-id1167835496114\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(3p\\right)}^{-2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(3{p}^{-2}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(-3{p}^{-2}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167828327096\"><p id=\"fs-id1167828327098\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{1}{9{p}^{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{3}{{p}^{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{-3}{{p}^{2}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835529325\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835529327\"><p id=\"fs-id1167835529330\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(2q\\right)}^{-4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(2{q}^{-4}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(-2{q}^{-4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834525332\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834525334\"><p id=\"fs-id1167834525336\">\\({\\left({x}^{2}\\right)}^{4}\u00b7{\\left({x}^{3}\\right)}^{2}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835621283\"><p id=\"fs-id1167835621285\">\\({x}^{14}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835621298\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831066124\"><p id=\"fs-id1167831066126\">\\({\\left({y}^{4}\\right)}^{3}\u00b7{\\left({y}^{5}\\right)}^{2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831893210\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831893212\"><p id=\"fs-id1167831893214\">\\({\\left({a}^{2}\\right)}^{6}\u00b7{\\left({a}^{3}\\right)}^{8}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831893253\"><p id=\"fs-id1167831893256\">\\({x}^{30}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826799127\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826799129\"><p id=\"fs-id1167826799131\">\\({\\left({b}^{7}\\right)}^{5}\u00b7{\\left({b}^{2}\\right)}^{6}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831825666\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831825668\"><p id=\"fs-id1167831825670\">\\({\\left(2{m}^{6}\\right)}^{3}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831825695\"><p id=\"fs-id1167831825697\">\\(2{m}^{18}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167827943553\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167827943555\"><p id=\"fs-id1167827943557\">\\({\\left(3{y}^{2}\\right)}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834505291\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834505293\"><p id=\"fs-id1167834505295\">\\({\\left(10{x}^{2}y\\right)}^{3}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834505323\"><p id=\"fs-id1167834505325\">\\(1,000{x}^{6}{y}^{3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832128578\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832128580\"><p id=\"fs-id1167832128582\">\\({\\left(2m{n}^{4}\\right)}^{5}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834538719\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834538721\"><p id=\"fs-id1167834538723\">\\({\\left(-2{a}^{3}{b}^{2}\\right)}^{4}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834538753\"><p id=\"fs-id1167834538755\">\\(16{a}^{12}{b}^{8}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835416129\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835416132\"><p id=\"fs-id1167835416134\">\\({\\left(-10{u}^{2}{v}^{4}\\right)}^{3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831881499\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831881501\"><p id=\"fs-id1167831881503\">\\({\\left(\\frac{2}{3}{x}^{2}y\\right)}^{3}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831881532\"><p id=\"fs-id1167831881534\">\\(\\frac{8}{27}{x}^{6}{y}^{3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830704400\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830704403\"><p id=\"fs-id1167830704405\">\\({\\left(\\frac{7}{9}p{q}^{4}\\right)}^{2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826799365\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\"><p id=\"fs-id1167826799369\">\\({\\left(8{a}^{3}\\right)}^{2}{\\left(2a\\right)}^{4}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835352807\"><p id=\"fs-id1167835352809\">\\(1,024{a}^{10}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835352824\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835352826\"><p id=\"fs-id1167835352828\">\\({\\left(5{r}^{2}\\right)}^{3}{\\left(3r\\right)}^{2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830979404\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830979407\"><p id=\"fs-id1167830979409\">\\({\\left(10{p}^{4}\\right)}^{3}{\\left(5{p}^{6}\\right)}^{2}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831017413\"><p id=\"fs-id1167831017415\">\\(25,000{p}^{24}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831017430\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831017432\"><p id=\"fs-id1167831017434\">\\({\\left(4{x}^{3}\\right)}^{3}{\\left(2{x}^{5}\\right)}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834183036\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834183038\"><p id=\"fs-id1167834183040\">\\({\\left(\\frac{1}{2}{x}^{2}{y}^{3}\\right)}^{4}{\\left(4{x}^{5}{y}^{3}\\right)}^{2}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834130755\"><p id=\"fs-id1167834130757\">\\({x}^{18}{y}^{18}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834130777\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834130779\"><p id=\"fs-id1167834130781\">\\({\\left(\\frac{1}{3}{m}^{3}{n}^{2}\\right)}^{4}{\\left(9{m}^{8}{n}^{3}\\right)}^{2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834502447\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834502449\"><p id=\"fs-id1167834502451\">\\({\\left(3{m}^{2}n\\right)}^{2}{\\left(2m{n}^{5}\\right)}^{4}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834502501\"><p id=\"fs-id1167834463285\">\\(144{m}^{8}{n}^{22}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834463305\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834463307\"><p id=\"fs-id1167834463309\">\\({\\left(2p{q}^{4}\\right)}^{3}{\\left(5{p}^{6}q\\right)}^{2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832053970\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832053972\"><p id=\"fs-id1167832053974\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(3x\\right)}^{2}\\left(5x\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(2y\\right)}^{3}\\left(6y\\right)\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826864604\"><p id=\"fs-id1167826864606\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(45{x}^{3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(48{y}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826864641\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826864643\"><p id=\"fs-id1167826864646\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(\\frac{1}{2}{y}^{2}\\right)}^{3}{\\left(\\frac{2}{3}y\\right)}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(\\frac{1}{2}{j}^{2}\\right)}^{5}{\\left(\\frac{2}{5}{j}^{3}\\right)}^{2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835564147\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835564149\"><p id=\"fs-id1167835564151\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(2{r}^{-2}\\right)}^{3}{\\left({4}^{-1}r\\right)}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(3{x}^{-3}\\right)}^{3}{\\left({3}^{-1}{x}^{5}\\right)}^{4}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830757204\"><p id=\"fs-id1167830757206\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{1}{2{r}^{4}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{1}{3}{x}^{11}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831892881\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831892884\"><p id=\"fs-id1167831892886\">\\({\\left(\\frac{{k}^{-2}{k}^{8}}{{k}^{3}}\\right)}^{2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834479532\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834479534\"><p id=\"fs-id1167834479536\">\\({\\left(\\frac{{j}^{-2}{j}^{5}}{{j}^{4}}\\right)}^{3}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834479573\"><p id=\"fs-id1167834479575\">\\(\\frac{1}{{j}^{3}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835498555\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835498557\"><p id=\"fs-id1167835498559\">\\(\\frac{{\\left(-4{m}^{-3}\\right)}^{2}{\\left(5{m}^{4}\\right)}^{3}}{{\\left(-10{m}^{6}\\right)}^{3}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830979490\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830979492\"><p id=\"fs-id1167830979495\">\\(\\frac{{\\left(-10{n}^{-2}\\right)}^{3}{\\left(4{n}^{5}\\right)}^{2}}{{\\left(2{n}^{8}\\right)}^{2}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834516640\"><p id=\"fs-id1167834516642\">\\(-\\frac{4000}{{n}^{12}}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834439748\"><strong data-effect=\"bold\">Use Scientific Notation<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167834439753\">In the following exercises, write each number in scientific notation.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834439756\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834439758\"><p id=\"fs-id1167834439761\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 57,000 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 0.026<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832134118\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832134120\"><p id=\"fs-id1167832134122\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 340,000 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 0.041<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832134136\"><p id=\"fs-id1167832134138\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(34\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(41\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167827940552\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167827940554\"><p id=\"fs-id1167827940556\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 8,750,000 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 0.00000871<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830962302\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830962304\"><p id=\"fs-id1167830962306\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 1,290,000 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 0.00000103<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830962320\"><p id=\"fs-id1167830962322\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(1.29\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{6}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(103\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-8}\\)<\/div><\/div><p id=\"fs-id1167834470812\">In the following exercises, convert each number to decimal form.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834470815\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834470818\"><p id=\"fs-id1167834470820\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(5.2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(2.5\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167828431794\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167828431796\"><p id=\"fs-id1167828431798\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-8.3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(3.8\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-2}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167828431839\"><p id=\"fs-id1167828431841\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-830\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span> 0.038<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830801099\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830801101\"><p id=\"fs-id1167830801103\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(7.5\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{6}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(-4.13\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-5}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831086498\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831086500\"><p id=\"fs-id1167831086503\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(1.6\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{10}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(8.43\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-6}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831086545\"><p id=\"fs-id1167831086547\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 16,000,000,000<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span> 0.00000843<\/div><\/div><p id=\"fs-id1167826885529\">In the following exercises, multiply or divide as indicated. Write your answer in decimal form.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826885533\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826885535\"><p id=\"fs-id1167826885537\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-5}\\right)\\left(3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{9}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-3}}{1\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-7}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167828240411\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167828240413\"><p id=\"fs-id1167828240415\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{2}\\right)\\left(1\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-4}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{5\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-2}}{1\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-10}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835495987\"><p id=\"fs-id1167835495989\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 0.02 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 500,000,000<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831224449\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831224451\"><p id=\"fs-id1167831224453\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(7.1\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-2}\\right)\\left(2.4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-4}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{6\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{4}}{3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-2}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830699975\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830699978\"><p id=\"fs-id1167830699980\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(3.5\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-4}\\right)\\left(1.6\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-2}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{8\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{6}}{4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-1}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830925268\"><p id=\"fs-id1167830925271\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 0.0000056 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 20,000,000<\/p><\/div><\/div><\/div><div class=\"writing\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167835532409\"><h4 data-type=\"title\">Writing Exercises<\/h4><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835532416\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835532418\"><p id=\"fs-id1167835532420\">Use the Product Property for Exponents to explain why \\(x\u00b7x={x}^{2}.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835532450\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835532452\"><p id=\"fs-id1167835532454\">Jennifer thinks the quotient \\(\\frac{{a}^{24}}{{a}^{6}}\\) simplifies to \\({a}^{4}.\\) What is wrong with her reasoning?<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834329651\"><p id=\"fs-id1167834329653\">Answers will vary.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834329658\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834329660\"><p id=\"fs-id1167834329662\">Explain why \\(\\text{\u2212}{5}^{3}={\\left(-5\\right)}^{3}\\) but \\(\\text{\u2212}{5}^{4}\\ne {\\left(-5\\right)}^{4}.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834284103\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834284105\"><p id=\"fs-id1167834284107\">When you convert a number from decimal notation to scientific notation, how do you know if the exponent will be positive or negative?<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834284113\"><p id=\"fs-id1167834284115\">Answers will vary.<\/p><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167834284121\"><h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4><p id=\"fs-id1167834284127\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834284135\" data-alt=\"This table has 4 rows and 4 columns. The first row is a header row and it labels each column. The first column header is \u201cI can\u2026\u201d, the second is \u201cConfidently\u201d, the third is \u201cWith some help\u201d, and the fourth is \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. Under the first column are the phrases \u201csimplify expressions using the properties for exponents.\u201d, \u201cuse the definition of a negative exponent\u201d, and \u201cuse scientific notation\u201d. The other columns are left blank so that the learner may indicate their mastery level for each topic.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_201_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This table has 4 rows and 4 columns. The first row is a header row and it labels each column. The first column header is \u201cI can\u2026\u201d, the second is \u201cConfidently\u201d, the third is \u201cWith some help\u201d, and the fourth is \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. Under the first column are the phrases \u201csimplify expressions using the properties for exponents.\u201d, \u201cuse the definition of a negative exponent\u201d, and \u201cuse scientific notation\u201d. The other columns are left blank so that the learner may indicate their mastery level for each topic.\"><\/span><p id=\"fs-id1167828289415\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> After reviewing this checklist, what will you do to become confident for all goals?<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"glossary\" class=\"textbox shaded\"><h3 data-type=\"glossary-title\">Glossary<\/h3><dl id=\"fs-id1167828289428\"><dt>Product Property<\/dt><dd id=\"fs-id1167828289433\">According to the Product Property, <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> times <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">n<\/em> equals <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> plus <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/dd><\/dl><dl id=\"fs-id1167834501895\"><dt>Power Property<\/dt><dd id=\"fs-id1167834501900\">According to the Power Property, <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">n<\/em> equals <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> times <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/dd><\/dl><dl id=\"fs-id1167834501936\"><dt>Product to a Power<\/dt><dd id=\"fs-id1167834501941\">According to the Product to a Power Property, <em data-effect=\"italics\">a<\/em> times <em data-effect=\"italics\">b<\/em> in parentheses to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> equals <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> times <em data-effect=\"italics\">b<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em>.<\/dd><\/dl><dl id=\"fs-id1167831224392\"><dt>Quotient Property<\/dt><dd id=\"fs-id1167831224397\">According to the Quotient Property, <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> divided by <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">n<\/em> equals <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> minus <em data-effect=\"italics\">n<\/em> as long as <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is not zero.<\/dd><\/dl><dl id=\"fs-id1167831223728\"><dt>Zero Exponent Property<\/dt><dd id=\"fs-id1167831223733\">According to the Zero Exponent Property, <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the zero is 1 as long as <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is not zero.<\/dd><\/dl><dl id=\"fs-id1167831223747\"><dt>Quotient to a Power Property<\/dt><dd id=\"fs-id1167831223752\">According to the Quotient to a Power Property, <em data-effect=\"italics\">a<\/em> divided by <em data-effect=\"italics\">b<\/em> in parentheses to the power of <em data-effect=\"italics\">m<\/em> is equal to <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> divided by <em data-effect=\"italics\">b<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> as long as <em data-effect=\"italics\">b<\/em> is not zero.<\/dd><\/dl><dl id=\"fs-id1167831955194\"><dt>Properties of Negative Exponents<\/dt><dd id=\"fs-id1167831955199\">According to the Properties of Negative Exponents, <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the negative <em data-effect=\"italics\">n<\/em> equals 1 divided by <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">n<\/em> and 1 divided by <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the negative <em data-effect=\"italics\">n<\/em> equals <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/dd><\/dl><dl id=\"fs-id1167831955245\"><dt>Quotient to a Negative Exponent<\/dt><dd id=\"fs-id1167831955250\">Raising a quotient to a negative exponent occurs when <em data-effect=\"italics\">a<\/em> divided by <em data-effect=\"italics\">b<\/em> in parentheses to the power of negative <em data-effect=\"italics\">n<\/em> equals <em data-effect=\"italics\">b<\/em> divided by <em data-effect=\"italics\">a<\/em> in parentheses to the power of <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/dd><\/dl><\/div>\n","rendered":"<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\">\n<h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>\n<p>By the end of this section, you will be able to: <\/p>\n<ul>\n<li>Simplify expressions using the properties for exponents<\/li>\n<li>Use the definition of a negative exponent<\/li>\n<li>Use scientific notation<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834429200\" class=\"be-prepared\">\n<p id=\"fs-id1167835340010\">Before you get started, take this readiness quiz.<\/p>\n<ol id=\"fs-id1167830903965\" type=\"1\">\n<li>Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec0cd3cd64f2329b37bd70262d93bc43_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/05eab039-6d1c-4d80-8c8c-94469164a52c#fs-id1167834536158\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c15c491bbccab86b4a6640b11afbd169_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#120;&#125;&#123;&#50;&#52;&#121;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"27\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/425620d9-51dd-45e5-8a21-953998a4a77f#fs-id1167836620030\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>Name the decimal <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2657a3bc27ee0c3329ab4a3b6ca2483_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#46;&#54;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#46;&#50;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/99b2296a-9957-4380-aff4-248abadc862b#fs-id1167836524294\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167835344757\">\n<h3 data-type=\"title\">Simplify Expressions Using the Properties for Exponents<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167835390216\">Remember that an exponent indicates repeated multiplication of the same quantity. For example, in the expression <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b5305f6331bcc2c02b3bff15863b45b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> the <em data-effect=\"italics\">exponent m<\/em> tells us how many times we use the <em data-effect=\"italics\">base a<\/em> as a factor.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835165758\" data-alt=\"First example: a raised to the power of m equals a times a times a times a and so on until you have multiplied m different factors of a together. Second example: the quantity negative 9 raised to the power of 5 equals negative 9 times negative 9 times negative 9 times negative 9 times negative 9, a total of 5 factors of negative 9.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_001_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"First example: a raised to the power of m equals a times a times a times a and so on until you have multiplied m different factors of a together. Second example: the quantity negative 9 raised to the power of 5 equals negative 9 times negative 9 times negative 9 times negative 9 times negative 9, a total of 5 factors of negative 9.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835338614\">Let\u2019s review the vocabulary for expressions with exponents.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835595382\">\n<div data-type=\"title\">Exponential Notation<\/div>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835364196\" data-alt=\"The figure shows the letter a in a normal font with the label base and the letter m in a superscript font with the label exponent. This means we multiply the number a with itself, m times.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_002_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The figure shows the letter a in a normal font with the label base and the letter m in a superscript font with the label exponent. This means we multiply the number a with itself, m times.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835415857\">This is read <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-54b488d725322353e3336ad5152f5c41_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#116;&#104;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"29\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> power.<\/p>\n<p>In the expression <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b5305f6331bcc2c02b3bff15863b45b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> the <em data-effect=\"italics\">exponent m<\/em> tells us how many times we use the <em data-effect=\"italics\">base a<\/em> as a factor.<\/p>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167835381313\">When we combine like terms by adding and subtracting, we need to have the same base with the same exponent. But when you multiply and divide, the exponents may be different, and sometimes the bases may be different, too.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167834132220\">First, we will look at an example that leads to the <span data-type=\"term\">Product Property<\/span>.<\/p>\n<table id=\"fs-id1167834134574\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"The figure shows how to multiply exponentials with the same base. In the example we start with x raised to the power of 2 times x raised to the power of 3. This means the we are multiplying 2 factors of x with 3 factors of x for a total of 5 factors of x so the simplified result is x raised to the power of 5.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9ab22ad991fe7c719067fb4633bd8e8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"1\" width=\"1\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831106663\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_003a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">What does this mean?<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b0c01809498b952e2c488a85b3a8da6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"1\" width=\"1\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167826978064\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_003b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9ab22ad991fe7c719067fb4633bd8e8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"1\" width=\"1\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835345202\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_003c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1167826997246\">Notice that 5 is the sum of the exponents, 2 and 3. We see <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08932df1fc34dc48df5cdde1b7591d22_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&middot;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"35\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84d238131eeac81fe814bd6cd44f8ac8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#43;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"35\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> or <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9b6405015084aa8518052953c3fd416_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834099524\">The base stayed the same and we added the exponents. This leads to the Product Property for Exponents.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834061393\">\n<div data-type=\"title\">Product Property for Exponents<\/div>\n<p id=\"fs-id1167827966390\">If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is a real number and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers, then<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834473736\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d71a0d5ab133871b83639a6c9f68f8e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&middot;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#43;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"105\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167834422726\">To multiply with like bases, add the exponents.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835512989\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830699483\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835341651\">\n<p id=\"fs-id1167830699787\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6fdf1fa1c8858f963ffd57de4e82d5b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&middot;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21d59f833ac69dfb224d1e36f1945ef9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#120;&#125;&middot;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#51;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"41\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d59bc00989a963ff55ae7ef2c55ec8fa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&middot;&#51;&#97;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"48\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167827958382\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1167835532496\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"To simplify the expression y to the power of 5 times y to the power of 6 we notice that the base numbers are the same allowing us to use the product property and add the exponents. The expression is equal to y to the power of the quantity 5 plus 6 which simplifies to y to the power of 11.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835310420\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_004a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use the Product Property, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bafc7d7fe44a96b5bf50ca93f8908fe9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&middot;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#43;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"110\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835534166\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_004b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167828431905\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_004c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1167834194389\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1167835596439\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"To simplify the expression 2 to the power of x times 2 to the power of 3 x we notice that the base numbers are the same allowing us to use the product property and add the exponents. The expression is equal to 2 to the power of the quantity x plus 3 x which simplifies to 2 to the power of 4 x.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834063082\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_005a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use the Product Property, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bafc7d7fe44a96b5bf50ca93f8908fe9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&middot;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#43;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"110\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834510660\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_005b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834534408\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_005c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1167826783762\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1167835317463\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"To simplify the expression 2 a to the power of 7 times 3 a we rewrite a as a to the power of 1. We can use the commutative property to multiply the 2 and 3 to get 6. Then we can use the product property and add the exponents of the variable factors. The product of a to the power of 7 and a to the power of 1 is a to the power of 8. The simplified expression is equal to 6 a to the power of 8.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830702966\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_006a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Rewrite, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-40c8984cdb77ef8505fadeadd4f9dbe4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"54\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831832658\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_006b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use the Commutative Property and<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>use the Product Property, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bafc7d7fe44a96b5bf50ca93f8908fe9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&middot;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#43;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"110\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_006c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834183609\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_006d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1167835615702\"><span class=\"token\">\u24d3<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1167831921006\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"To simplify the expression d to the power of 4 times d to the power of 5 times d to the power of 2 we notice that the base numbers are the same allowing us to use the product property and add the exponents. The expression is equal to d to the power of the quantity 4 plus 5 plus 2 which simplifies to d to the power of 11.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832060219\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_007a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Add the exponents, since bases are the same.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832151521\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_007b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832076326\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_007c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834598971\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834472541\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834183778\">\n<p id=\"fs-id1167834059547\">Simplify each expression:<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835218358\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d85a3f9da589c688c4483ff0ea19daa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;&middot;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"30\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7d0c7961591c23c564958b07a867c59_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#52;&#125;&#94;&#123;&#50;&#120;&#125;&middot;&#123;&#52;&#125;&#94;&#123;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96d525cf50f4d7de04fad10599ecfbde_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&middot;&#52;&#112;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8db967eab0a7907fbf612ef4f60df472_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&middot;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&middot;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"57\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832153594\">\n<p id=\"fs-id1167834431402\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1b570fc26536b1a68d7644286d2f14d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-400203a5b437fc289f47182357fc2f8f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#52;&#125;&#94;&#123;&#51;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48b026f47a1fe32af7b707de5ef53242_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#50;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a3c509287fa90f5bcff02276b127ff48_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"24\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167830703616\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826781294\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835322068\">\n<p id=\"fs-id1167835173852\">Simplify each expression:<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835366816\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c006debe04aab008cc721ec258df7898_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#50;&#125;&middot;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-973f57aaa13ec92b9d74eb268d527dda_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#48;&middot;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a02d9d05f9b0a2ff535130fcbcfcc1c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#122;&middot;&#54;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b50b4db159b5cf893fd6a898bef44240_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&middot;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;&middot;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"50\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832128660\">\n<p id=\"fs-id1167831881557\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94d91c510fc8d9abb2188a2fcf79fcfd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"24\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-68f5e26f5e5f600c8db8b88e80a733ad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#120;&#43;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bbb57a2682a108101d2947531ffcfc86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#50;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-439e06ed3f3ab27c909aa91dd48a5aad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834138025\">Now we will look at an exponent property for division. As before, we\u2019ll try to discover a property by looking at some examples.<\/p>\n<table class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"The figure shows two examples of simplifying with the exponent property of division. In the first example the expression is x to the power of 5 divided by x to the power of 2. This means we have 5 factors of x divided by 2 factors of x. Using the equivalent fractions property, we can cross off two factors of x from the numerator and two from the denominator just leaving 3 of the original 5 factors in the numerator. So the simplified expression is x to the power of 3. In the second example the expression is x to the power of 2 divided by x to the power of 3. This means we have 2 factors of x divided by 3 factors of x. Using the equivalent fractions property, we can cross off two factors of x from the numerator and two from the denominator just leaving 1 factor of x in the denominator. So the simplified expression is 1 divided by x.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Consider<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170a37fd2ccdbd37ba2a6b82ccd50f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">and<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83a12d045ff141a157c817057cf7f50b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">What do they mean?<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-285d57a662e967a79e1665fbc9990b36_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&middot;&#120;&middot;&#120;&middot;&#120;&middot;&#120;&#125;&#123;&#120;&middot;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-840c4ae9c7018690066f7de91b2e8e3a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&middot;&#120;&#125;&#123;&#120;&middot;&#120;&middot;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use the Equivalent Fractions Property.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-180f5e991b72d3f749c4a9029e078c84_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#120;&#125;&middot;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#120;&#125;&middot;&#120;&middot;&#120;&middot;&#120;&#125;&#123;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#120;&#125;&middot;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#120;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5ffab99b22128d981de4f4c3bb7ff85_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#120;&#125;&middot;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#120;&#125;&middot;&#49;&#125;&#123;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#120;&#125;&middot;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#120;&#125;&middot;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a29a18debcfeba0c22f81de96b6c65e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d82f627618529306a99528df45171f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"8\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Notice, in each case the bases were the same and we subtracted exponents. We see <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170a37fd2ccdbd37ba2a6b82ccd50f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26bbc96754fdbf246c179971b2f51784_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#45;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"35\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> or <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a29a18debcfeba0c22f81de96b6c65e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>. We see <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83a12d045ff141a157c817057cf7f50b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> is or <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c03d1daf4bbfac1ecf047599f344cc8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#120;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> When the larger exponent was in the numerator, we were left with factors in the numerator. When the larger exponent was in the denominator, we were left with factors in the denominator&#8211;notice the numerator of 1. When all the factors in the numerator have been removed, remember this is really dividing the factors to one, and so we need a 1 in the numerator. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-edf0bca1a6f1bb61c11ed295a6e50c5d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#120;&#125;&#125;&#61;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/>. This leads to the <span data-type=\"term\">Quotient Property<\/span> for Exponents.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834463115\">\n<div data-type=\"title\">Quotient Property for Exponents<\/div>\n<p id=\"fs-id1167832128310\">If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is a real number, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d28cb478bd8b6abe7d9573551313d6d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers, then<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835336606\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c822d5ad4c166045a5be19a1df8e0c2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#45;&#110;&#125;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#109;&#62;&#110;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#109;&#125;&#125;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#110;&#62;&#109;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"368\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835337754\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834186113\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835254289\">\n<p id=\"fs-id1167835300554\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-128aff1009b0a140bea9928233a96760_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-961c23dd5687b69e42cd8c1dbf566b9b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#125;&#125;&#123;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f9044a010187e8abbacd7ae7f0e9a37e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#125;&#123;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"19\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d3<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3e50f0502515720bf4e1e79f01bd7bd3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#55;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#123;&#123;&#55;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167830700808\">To simplify an expression with a quotient, we need to first compare the exponents in the numerator and denominator.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835400418\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1167835325737\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Simplify the expression x to the power of 9 divided by x to the power of 7. Since 9 is greater than 7, there are 2 more factors of x in the numerator. Using the quotient property the division is equal to x to the power of the quantity 9 minus 7. This simplifies to x to the power of 2.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td colspan=\"2\" data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Since <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b13563fdb1042519fe14ba33fb7dc9e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#57;&#62;&#55;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> there are more factors of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> in the numerator.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6359d47043467603a956094a2b7a5f26_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#56;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"1\" width=\"1\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831239576\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_008a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td colspan=\"2\" data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use Quotient Property, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b7df5bf35ec5157d18b694845cf2e0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#45;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835468555\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_008b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td colspan=\"2\" data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835183575\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_008c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1167832057143\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1167835318939\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Simplify the expression 3 to the power of 10 divided by 3 to the power of 2. Since 10 is greater than 2, there are 8 more factors of 3 in the numerator. Using the quotient property the division is equal to 3 to the power of the quantity 10 minus 2. This simplifies to 3 to the power of 8.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td colspan=\"2\" data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Since <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cd42ab2b24c58f2b53a6aad9e209cd38_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#48;&#62;&#50;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> there are more factors of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a1d3ea4963f568cabd97329456036b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> in the numerator.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83de427defbafb40f3434ffb60f0bc02_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"1\" width=\"1\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835596462\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_009a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td colspan=\"2\" data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use Quotient Property, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b7df5bf35ec5157d18b694845cf2e0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#45;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835274798\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_009b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td colspan=\"2\" data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830701110\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_009c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Notice that when the larger exponent is in the numerator, we are left with factors in the numerator.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167834531298\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1167832054519\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Simplify the expression b to the power of 8 divided by b to the power of 12. Since 12 is greater than 8, there are 4 more factors of b in the denominator. Using the quotient property the division is equal to 1 divided by b to the power of the quantity 12 minus 8. This simplifies to 1 divided by b to the power of 4.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Since <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dcabdcdf2f0e387c77cf848a3607ecdb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#50;&#62;&#56;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> there are more factors of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> in the denominator.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_010a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use Quotient Property, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0f6e1bf90fec4222fe636cff8933c45_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#109;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831148954\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_010b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832128259\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_010c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1167835374964\"><span class=\"token\">\u24d3<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Simplify the expression 7 to the power of 3 divided by 7 to the power of 5. Since 5 is greater than 3, there are 2 more factors of 7 in the denominator. Using the quotient property the division is equal to 1 divided by 7 to the power of the quantity 5 minus 3. This simplifies to 1 divided by 7 to the power of 2 or 1 divided by 49.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Since <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-517d869e2f1969ab8417181c9af52fa7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#62;&#51;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> there are more factors of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a1d3ea4963f568cabd97329456036b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> in the denominator.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb67e99fe65503af5b6d887435782d98_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"1\" width=\"1\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_011a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use Quotient Property, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0f6e1bf90fec4222fe636cff8933c45_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#109;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835200068\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_011b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835375250\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_011c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835422643\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_011d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1167835344723\">Notice that when the larger exponent is in the denominator, we are left with factors in the denominator.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835287849\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830836836\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834377135\">\n<p id=\"fs-id1167834515407\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-86e9226938e63f7e8c304c50fb2da362_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#53;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e0986c6bd6fae69e10f13c930a27280_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#54;&#125;&#94;&#123;&#49;&#52;&#125;&#125;&#123;&#123;&#54;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-904baca5c51f92f7c85bad829131198b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#56;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d3<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a7a52a54f813774b5824998b1244454_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#49;&#50;&#125;&#94;&#123;&#49;&#53;&#125;&#125;&#123;&#123;&#49;&#50;&#125;&#94;&#123;&#51;&#48;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835410549\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48541f82788d9b97a870606bd6257cd7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-add25dc34382883048312c9ed30c0700_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#54;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-42f9c29bed947a71788eb83df997df00_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-214eb59cdb4b624b687e31dd01c2b5be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#49;&#50;&#125;&#94;&#123;&#49;&#53;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"27\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834433269\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832031123\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826783792\">\n<p id=\"fs-id1167835341449\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-70157ed939800ec2ae2ff15597587d97_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#51;&#125;&#125;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#55;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49b4a2d51e36c603ae95f66ef7356409_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#49;&#53;&#125;&#125;&#123;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"27\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f39e7f9ffc381e761f2f6c6eb5a10dd0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#125;&#123;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#49;&#53;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d3<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3de3b6f9dc9c5f703debdd1fe63a3342_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#57;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#125;&#123;&#123;&#57;&#125;&#94;&#123;&#49;&#57;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835187900\">\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9060d39682be0df4477f1a5b1986aa5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e4eb80f131277c26b1d2c29cbf8b615_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e8002a642c363c85a80ac289e699f70_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"19\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f045dd65ef4c94900d2b603dcddc94ce_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#57;&#125;&#94;&#123;&#49;&#49;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834234116\">A special case of the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Quotient Property<\/span> is when the exponents of the numerator and denominator are equal, such as an expression like <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a6f757350a57c982f0fcf412d407f847_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> We know<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5b87e34650ef99167b74ecdc6eb7e8c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#125;&#123;&#120;&#125;&#61;&#49;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"55\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> for any <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-60a91d5f42d700c41366491dd32f862c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> since any number divided by itself is 1.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167834538630\">The Quotient Property for Exponents shows us how to simplify <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a6f757350a57c982f0fcf412d407f847_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> when <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be4566746dcfc38fe85e0ae7ef3d2ceb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#109;&#62;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"50\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and when <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c37e2a8a102aeabed40c312855371553_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#60;&#109;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"49\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> by subtracting exponents. What if <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d68237222a6a1e678ee11be35a073f22_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#109;&#61;&#110;&#63;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"58\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> We will simplify<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a30565b9ffaa77f1f70481225e39dd2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"19\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> in two ways to lead us to the definition of the <span data-type=\"term\">Zero Exponent Property<\/span>. In general, for <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48a45175b1a7fe48e696f192d336269a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#58;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834188593\" data-alt=\"In the first way we write a to the power of m divided by a to the power of m as a to the power of the quantity m minus m. This is equal to a to the power of 0. In the second way we write a to the power of m divided by a to the power of m as a fraction with m factors of a in the numerator and a factors of m in the denominator. Simplifying this we can cross of all the factors and are left with the number 1. This shows that a to the power of 0 is equal to 1.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_012_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"In the first way we write a to the power of m divided by a to the power of m as a to the power of the quantity m minus m. This is equal to a to the power of 0. In the second way we write a to the power of m divided by a to the power of m as a fraction with m factors of a in the numerator and a factors of m in the denominator. Simplifying this we can cross of all the factors and are left with the number 1. This shows that a to the power of 0 is equal to 1.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835310471\">We see <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a30565b9ffaa77f1f70481225e39dd2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"19\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> simplifies to <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8fd43f87b436f4fe4a10f792fc700a2a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and to 1. So <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e543dfe6b225728aa6f18f7bbcf6db5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;&#61;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> Any non-zero base raised to the power of zero equals 1.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835280305\">\n<div data-type=\"title\">Zero Exponent Property<\/div>\n<p id=\"fs-id1167826869964\">If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is a non-zero number, then <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e543dfe6b225728aa6f18f7bbcf6db5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;&#61;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167828441753\">If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is a non-zero number, then <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the power of zero equals 1.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835306928\">Any non-zero number raised to the zero power is 1.<\/p>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831969999\">In this text, we assume any variable that we raise to the zero power is not zero.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167834095326\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167827958610\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835489422\">\n<p id=\"fs-id1167834535923\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc6bccf4cdeac0222542bea48eb9154e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#57;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4eec408f6a6b92e5c3f696a01d06d4c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834474273\">\n<p id=\"fs-id1167830703722\">The definition says any non-zero number raised to the zero power is 1.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167834048955\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c05c95c24f3c32bf44c2812547d4c8e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#57;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#85;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#100;&#101;&#102;&#105;&#110;&#105;&#116;&#105;&#111;&#110;&#32;&#111;&#102;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#122;&#101;&#114;&#111;&#32;&#101;&#120;&#112;&#111;&#110;&#101;&#110;&#116;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"407\" style=\"vertical-align: -14px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167832042560\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-605dec064e6d76d6d0b525ad6b16df4f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#85;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#100;&#101;&#102;&#105;&#110;&#105;&#116;&#105;&#111;&#110;&#32;&#111;&#102;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#122;&#101;&#114;&#111;&#32;&#101;&#120;&#112;&#111;&#110;&#101;&#110;&#116;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"409\" style=\"vertical-align: -14px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834538098\">To simplify the expression <em data-effect=\"italics\">n<\/em> raised to the zero power we just use the definition of the zero exponent. The result is 1.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167830702438\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835319550\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835369315\">\n<p id=\"fs-id1167835337284\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdb341b02693f7a44a425abdf1ecbe1e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#49;&#49;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf9065af9d9663ab16319f36d621ed2f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834327618\">\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834536136\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830873698\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835235138\">\n<p id=\"fs-id1167835416362\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-915135e7a3eb3906f797fc56b3964115_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#50;&#51;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"25\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bee9188c04c8b0ec490ea834913110a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"20\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834195053\">\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167831920266\">\n<h3 data-type=\"title\">Use the Definition of a Negative Exponent<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167831884927\">We saw that the Quotient Property for Exponents has two forms depending on whether the exponent is larger in the numerator or the denominator. What if we just subtract exponents regardless of which is larger?<\/p>\n<p>Let\u2019s consider <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3da1bab373ac4bbcec2964410fa26b0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> We subtract the exponent in the denominator from the exponent in the numerator. We see <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-54e4a0f298b683716756341da81c28e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c14ae13c456b0ca29e10721639de765e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#45;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"35\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> or <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a0a4ff1b90f46360477b88b19e534a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#45;&#51;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"33\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167830693460\">We can also simplify <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-54e4a0f298b683716756341da81c28e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> by dividing out common factors:<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830962693\" data-alt=\"In the figure the expression x raised to the power of 2 divided by x raised to the power of 5 is written as a fraction with 2 factors of x in the numerator divided by 5 factors of x in the denominator. Two factors are crossed off in both the numerator and denominator. This only leaves 3 factors of x in the denominator. The simplified fraction is 1 divided by x to the power of 3.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_013_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"In the figure the expression x raised to the power of 2 divided by x raised to the power of 5 is written as a fraction with 2 factors of x in the numerator divided by 5 factors of x in the denominator. Two factors are crossed off in both the numerator and denominator. This only leaves 3 factors of x in the denominator. The simplified fraction is 1 divided by x to the power of 3.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834515940\">This implies that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b48068e441152dc59e8eb0f629ad9fd2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#45;&#51;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> and it leads us to the definition of a <em data-effect=\"italics\">negative exponent<\/em>. If <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is an integer and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d28cb478bd8b6abe7d9573551313d6d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> then <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3d7523c03608a8ff2d197de86751c0f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<p>Let\u2019s now look at what happens to a fraction whose numerator is one and whose denominator is an integer raised to a negative exponent.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835364310\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05f7a67386d8eed8cf525b54fa66a02b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#85;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#100;&#101;&#102;&#105;&#110;&#105;&#116;&#105;&#111;&#110;&#32;&#111;&#102;&#32;&#97;&#32;&#110;&#101;&#103;&#97;&#116;&#105;&#118;&#101;&#32;&#101;&#120;&#112;&#111;&#110;&#101;&#110;&#116;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#99;&#111;&#109;&#112;&#108;&#101;&#120;&#32;&#102;&#114;&#97;&#99;&#116;&#105;&#111;&#110;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#49;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#123;&#49;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#77;&#117;&#108;&#116;&#105;&#112;&#108;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"225\" width=\"537\" style=\"vertical-align: -106px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835511937\">This implies <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-615b61398e4af1496c0058df54efbba5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> and is another form of the definition of <span data-type=\"term\">Properties of Negative Exponents<\/span>.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835376361\">\n<div data-type=\"title\">Properties of Negative Exponents<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834300924\">If <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is an integer and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d28cb478bd8b6abe7d9573551313d6d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> then <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a95cdadc5fa1d5ca4a4b89625805083_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> or <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-079683001f198abfbf464cf5c06ce412_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167835497143\">The negative exponent tells us we can rewrite the expression by taking the reciprocal of the base and then changing the sign of the exponent.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167834175886\">Any expression that has negative exponents is not considered to be in simplest form. We will use the definition of a negative exponent and other properties of exponents to write the expression with only positive exponents.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167828365416\">For example, if after simplifying an expression we end up with the expression <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-98cc72004401eff0301f17fea8c958e1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#45;&#51;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> we will take one more step and write <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2dd62e35c5b18a6d5d14749343035ae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> The answer is considered to be in simplest form when it has only positive exponents.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835527255\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835258541\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834536922\">\n<p id=\"fs-id1167834189871\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef35007faf005a630ceaff6eee61fb42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#45;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"28\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eea810a09e75c2035d30b334ec50e8ef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aadff0a8326c8511e5771be454b90087_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#45;&#52;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d3<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bfb736333c35e5a6809bbc043d588a9d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#45;&#50;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835182634\">\n<p id=\"fs-id1167835327452\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e72daeb6f00b937a9d84b63db02edb90_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#45;&#53;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#85;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#100;&#101;&#102;&#105;&#110;&#105;&#116;&#105;&#111;&#110;&#32;&#111;&#102;&#32;&#97;&#32;&#110;&#101;&#103;&#97;&#116;&#105;&#118;&#101;&#32;&#101;&#120;&#112;&#111;&#110;&#101;&#110;&#116;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"538\" style=\"vertical-align: -18px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167831882411\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6843dd7608a2fb00bd2f1562d4e136c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"67\" width=\"546\" style=\"vertical-align: -29px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167826978384\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d6eba0bdd340bc5e79af3db5e4d3d83_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"537\" style=\"vertical-align: -18px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167826864280\"><span class=\"token\">\u24d3<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1bc94ab3dc65de50ee2c8d4d33d6991d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e5be2e2602a14aa642dcaa0707a88c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#49;&#48;&#44;&#48;&#48;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a3461c8abb17b5980f030140016ff43a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" 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Let\u2019s use our definition of negative exponents to lead us to a new property.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167834329629\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3f78141b1ca0474d30bbc85118e77f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#52;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#45;&#50;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#85;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#100;&#101;&#102;&#105;&#110;&#105;&#116;&#105;&#111;&#110;&#32;&#111;&#102;&#32;&#97;&#32;&#110;&#101;&#103;&#97;&#116;&#105;&#118;&#101;&#32;&#101;&#120;&#112;&#111;&#110;&#101;&#110;&#116;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#52;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#100;&#101;&#110;&#111;&#109;&#105;&#110;&#97;&#116;&#111;&#114;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#57;&#125;&#123;&#49;&#54;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#99;&#111;&#109;&#112;&#108;&#101;&#120;&#32;&#102;&#114;&#97;&#99;&#116;&#105;&#111;&#110;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#54;&#125;&#123;&#57;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#66;&#117;&#116;&#32;&#119;&#101;&#32;&#107;&#110;&#111;&#119;&#32;&#116;&#104;&#97;&#116;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#54;&#125;&#123;&#57;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#104;&#105;&#115;&#32;&#116;&#101;&#108;&#108;&#115;&#32;&#117;&#115;&#32;&#116;&#104;&#97;&#116;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#52;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#45;&#50;&#125;&#61;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"335\" width=\"613\" style=\"vertical-align: -163px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834193956\">To get from the original fraction raised to a negative exponent to the final result, we took the reciprocal of the base\u2014the fraction\u2014and changed the sign of the exponent.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167832067344\">This leads us to the <span data-type=\"term\">Quotient to a Negative Power<\/span> <strong data-effect=\"bold\">Property<\/strong>.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167826802180\">\n<div data-type=\"title\">Quotient to a Negative Power Property<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834183388\">If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> are real numbers, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a068d10333b909026eda652326b4441e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;&#98;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is an integer, then<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834097807\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e913306f3be9a0e0029fc2abebb66cc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88c423f1c5a93f40d4a2d3a4d12fa516_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#55;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#45;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff5caed10d9940851e694efddd22a1bf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"92\" width=\"717\" style=\"vertical-align: -41px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835528140\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-097398b3e8827a85f69bc8b92f5659b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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width=\"28\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167830770196\">Now let\u2019s look at an exponential expression that contains a power raised to a power. See if you can discover a general property.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167834252690\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-001a82536bcbbdb24b2b0b236ef30811_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#56;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#87;&#104;&#97;&#116;&#32;&#100;&#111;&#101;&#115;&#32;&#116;&#104;&#105;&#115;&#32;&#109;&#101;&#97;&#110;&#63;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#57;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&middot;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&middot;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"467\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/><\/p>\n<table id=\"fs-id1167835350835\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"The quantity x raised to the power of 2 raised to the power of 3 is written as x to the power of 2 times x to the power of 2 times x to the power of 2. Since each x to the power of 2 is 2 factors of x this is 6 factors of x so we have x to the power of 6.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">How many factors altogether?<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832227172\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_014a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">So we have<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835351564\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_014b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1167834213885\">Notice the 6 is the <em data-effect=\"italics\">product<\/em> of the exponents, 2 and 3. We see that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c7714f3cbcab462f9c7e0f875dec56ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b97123df6f34de3e44b3277e554fd05f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&middot;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"24\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> or <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b33b85d02d883b6c7ffa6ddbdac2302a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835421635\">We multiplied the exponents. This leads to the <span data-type=\"term\">Power Property<\/span> <strong data-effect=\"bold\">for Exponents.<\/strong><\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167830898684\">\n<div data-type=\"title\">Power Property for Exponents<\/div>\n<p>If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is a real number and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers, then<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167832059436\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04b0b18650f1bde86de61d78ce3e60cc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&middot;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167831233918\">To raise a power to a power, multiply the exponents.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835304261\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832058618\">\n<p id=\"fs-id1167832058620\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c921019a56c568d69c1dd6e82a95b749_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4676e3827f77c384bd35d8f28e2704f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#52;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dbaff13fb12b4cd9947d504bc2f79eaf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831887284\">\n<p id=\"fs-id1167831887286\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1167835311594\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Simplify the quantity y to the power of 5 raised to the power of 9. Using the power property we multiply the exponents and get y to the power of 5 times 9 or y to the power of 45.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834064684\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_015a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use the Power Property, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5af762c02bc199d0f78e9c816bb26df2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&middot;&#110;&#125;&#46;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834532615\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_015b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834135086\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_015c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1167834396418\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1167830701093\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Simplify the quantity 4 to the power of 4 raised to the power of 7. Using the power property we multiply the exponents and get 4 to the power of 4 times 7 or 4 to the power of 28.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834448785\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_016a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use the Power Property.\u2003\u2003\u2003\u2003\u2003\u2003\u2003\u2003&nbsp;<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834065886\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_016b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_016c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1167832055423\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9af8d1ca299bcfbf371dbf67e7ebccdc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#53;&#46;&#56;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#85;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#80;&#111;&#119;&#101;&#114;&#32;&#80;&#114;&#111;&#112;&#101;&#114;&#116;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#53;&#46;&#56;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#49;&#56;&#125;&middot;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#48;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#65;&#100;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#101;&#120;&#112;&#111;&#110;&#101;&#110;&#116;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#53;&#46;&#56;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#56;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"67\" width=\"455\" style=\"vertical-align: -27px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834156865\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834184362\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834184364\">\n<p id=\"fs-id1167834184366\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c16e26fc8f4d0cd2d50773dbe1f1bc7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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id=\"fs-id1167834062982\">\n<p id=\"fs-id1167834062984\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a689cd7ef4064a7b935c537b600c003_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ea363c1cc27b91db2cc0fcf164aba501_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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id=\"fs-id1167830963243\">\n<p id=\"fs-id1167830963246\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d2d486730f102d5aa6eb02f51af1687f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#53;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"23\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0afd25ce243a791b91cb83262f620629_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#52;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"23\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b97189bb717d20eb56d18cf642055e40_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167835351999\">We will now look at an expression containing a product that is raised to a power. Can you find this pattern?<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835352003\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6cc845dbe3f648fa73ab75686eebd3de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#87;&#104;&#97;&#116;&#32;&#100;&#111;&#101;&#115;&#32;&#116;&#104;&#105;&#115;&#32;&#109;&#101;&#97;&#110;&#63;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#50;&#120;&middot;&#50;&#120;&middot;&#50;&#120;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#87;&#101;&#32;&#103;&#114;&#111;&#117;&#112;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#108;&#105;&#107;&#101;&#32;&#102;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#115;&#32;&#116;&#111;&#103;&#101;&#116;&#104;&#101;&#114;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#50;&middot;&#50;&middot;&#50;&middot;&#120;&middot;&#120;&middot;&#120;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#72;&#111;&#119;&#32;&#109;&#97;&#110;&#121;&#32;&#102;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#115;&#32;&#111;&#102;&#32;&#50;&#32;&#97;&#110;&#100;&#32;&#111;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&middot;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"87\" width=\"409\" style=\"vertical-align: -37px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834134230\">Notice that each factor was raised to the power and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3fbb673da6f79e00868924ea34b41c73_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d9f7a688fa0a1b47638773a1e12fea4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&middot;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"38\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835479896\">The exponent applies to each of the factors! This leads to the <span data-type=\"term\">Product to a Power<\/span> <strong data-effect=\"bold\">Property for Exponents<\/strong>.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167826996996\">\n<div data-type=\"title\">Product to a Power Property for Exponents<\/div>\n<p id=\"fs-id1167826997002\">If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> are real numbers and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> is a whole number, then<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167832211995\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f7ed42a6ae5889598c964652c0808f69_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167830886378\">To raise a product to a power, raise each factor to that power.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167830886382\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835351600\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835351602\">\n<p id=\"fs-id1167835351604\">Simplify each expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-95991d72111d7973968dd6f26192e79b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#109;&#110;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1cf5805d21ee12067f6161253221420d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#52;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-605464105c33763a29037cc3e1dd720c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#54;&#123;&#107;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#45;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d3<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d2766c7045a630780e6dbbcb1cde2010_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#45;&#51;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830693536\">\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1167830693545\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Given negative 3 m n in parentheses to the power of 3 we can use the power of a product property to write negative 3 to the power of 3 m to the power of 3 n to the power of 3. This simplifies to negative 27 m to the power of 3 n to the power of 3.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834196387\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_017a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use Power of a Product Property, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62976b70f2234a41066367e0a43dcab5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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style=\"vertical-align: -4px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24c33a2402277a4ec0b4ea011f4f3a93_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#56;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1da68deb82538777292c75a4a82fa5a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"111\" width=\"296\" style=\"vertical-align: -51px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167830836776\">Notice that the exponent applies to both the numerator and the denominator.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167830836780\">We see that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f00d47a4e38213c30e5ef18cdc78fa0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#125;&#123;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/> is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2442243720d7ec502ab37d5cdf409b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835264903\">This leads to the <span data-type=\"term\">Quotient to a Power Property<\/span> <strong data-effect=\"bold\">for Exponents<\/strong>.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167835264913\">\n<div data-type=\"title\">Quotient to a Power Property for Exponents<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834131180\">If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> are real numbers, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6a0135701625ac5da01c134efeaebdf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b41df788161942c6f98604d37de8098_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#109;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> is an integer, then<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834556212\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d4537193ffd2ec872e2f8d426ef5982_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#98;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167826994249\">To raise a fraction to a power, raise the numerator and denominator to that power.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167826994253\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826994255\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826994257\">\n<p id=\"fs-id1167826994259\">Simplify each expression:<\/p>\n<p id=\"fs-id1167828447064\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f5be7829c6bd358d8ca64a125c742ae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#98;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-11ee3fc31f2739a44477ea3a10b5439f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#107;&#125;&#123;&#106;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#45;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"48\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-598e6dae147251caedbd7c184ffb250a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#122;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-44924629722a0814fef8636d1a91b651_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#45;&#51;&#125;&#125;&#123;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826828726\">\n<p id=\"fs-id1167826828728\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1167834377041\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"To simplify b divided by 3 in parentheses to the power of 4 we use the quotient to a power property. The result is b to the power of 4 divided by 3 to the power of 4. This simplifies to b to the power of 4 divided by 81.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835332400\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_018a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use Quotient to a Power Property, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41e91e8f65f5981d3699c825af3318e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#98;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831066054\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_018b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\">\u2003\u2003<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835377003\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_018c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1167831833247\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1167834403351\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"To simplify k divided by j in parentheses to the power of negative 3 we use the quotient to a power property. The result is k to the power of negative 3 divided by j to the power of negative 3. Using the definition of negative exponent we have 1 divided by k to the power of 3 times j to the power of 3. This simplifies to j to the power of 3 divided by k to the power of 3.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835327330\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_019a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Raise the numerator and denominator to the power.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835530155\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_019b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use the definition of negative exponent.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830960693\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_019c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Multiply.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831023414\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_019d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1167834396828\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7a1b2cc2971c3b8ae9b3697ed24f2b12_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"93\" width=\"556\" style=\"vertical-align: -42px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834111488\"><span class=\"token\">\u24d3<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e8a7cc0e5806b924f7752c6bfc59400_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1ee7030ae9db97d1722651ea5813688_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#125;&#123;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167830963944\">We now have several properties for exponents. Let\u2019s summarize them and then we\u2019ll do some more examples that use more than one of the properties.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167830963950\">\n<div data-type=\"title\">Summary of Exponent Properties<\/div>\n<p>If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> are real numbers, and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers, then<\/p>\n<table id=\"fs-id1167835216922\" class=\"unnumbered\" summary=\"This table has two columns, labeled Property and Description. The Product Property states that a to the m times a to the n equals a to the m plus n. The Power Property states that a to the m raised to a power of n is a to the m times n. The Quotient Property states that a to the m divided by a to the n equals a to the m minus n when a is not equal to 0. The Zero Exponent Property states that a to the 0 power equals 1 when a is not equal to 0. The Properties of Negative Exponents states that a to the negative n equals 1 over a to the n and 1 over a to the negative n equals a to the n. The Quotient to a Negative Exponent states that a over b all raised to the negative n equals b over a all raised to the n.\" data-label=\"\">\n<thead>\n<tr valign=\"top\">\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"center\">Property<\/th>\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"center\">Description<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Product Property<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d71a0d5ab133871b83639a6c9f68f8e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&middot;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#43;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"105\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Power Property<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04b0b18650f1bde86de61d78ce3e60cc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&middot;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Product to a Power<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f8a37224935d0803770c0a00ca7bbb0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"105\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Quotient Property<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50f406566552d675c6806b3f0574496a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#45;&#110;&#125;&#44;&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"136\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Zero Exponent Property<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9b6ef1114e5e0df25762859abace0dc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;&#61;&#49;&#44;&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Quotient to a Power Property<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb4d741eab395fb1060fe7db2c499cc4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#98;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#44;&#98;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"133\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Properties of Negative Exponents<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a95cdadc5fa1d5ca4a4b89625805083_l3.png\" 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Exponent<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e2ed9c382cb7bc55e431effde1aa732_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#98;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#61;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#98;&#125;&#123;&#97;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"94\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835384528\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835384530\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835384532\">\n<p id=\"fs-id1167835384534\">Simplify each expression by applying several properties:<\/p>\n<p id=\"fs-id1167834196101\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d2204e7847c827f7fd535c4d73b7a48_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"117\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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Since our number system is base ten we can use powers of ten to rewrite very large or very small numbers to make them easier to work with. Consider the numbers 4,000 and 0.004.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835320088\">Using place value, we can rewrite the numbers 4,000 and 0.004. We know that 4,000 means <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-90005cc4749e4e3a288bb2c67ca1a3c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#49;&#44;&#48;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and 0.004 means <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-012a5c7715bf42d06bd6acdc29b8afe9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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data-effect=\"bold\">scientific notation<\/strong> when it is of the form<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834376885\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9c83b8787098f4421ad7501ca8bd941_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#119;&#104;&#101;&#114;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#49;&#92;&#108;&#101;&#32;&#97;&#60;&#49;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#110;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#32;&#97;&#110;&#32;&#105;&#110;&#116;&#101;&#103;&#101;&#114;&#46;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167830697936\">It is customary in scientific notation to use as the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eb0e59b955d6847f99b9da8f15e4d279_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"1\" width=\"1\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> multiplication sign, even though we avoid using this sign elsewhere in algebra.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167830697943\">If we look at what happened to the decimal point, we can see a method to easily convert from decimal notation to scientific notation.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167830697948\" data-alt=\"The figure shows two examples of converting from standard notation to scientific notation. In one example 4000 is converted to 4 times 10 to the power of 3. The decimal point in 4000 starts at the right and moves 3 places to the left to make the number 4. The 3 places moved make the exponent 3. In the other example, the number 0.004 is converted to 4 times 10 to the negative 3 power. The decimal point in 0.004 is moved 3 places to the right to make the number 4. The 3 places moved make the exponent negative 3.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_020_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The figure shows two examples of converting from standard notation to scientific notation. In one example 4000 is converted to 4 times 10 to the power of 3. The decimal point in 4000 starts at the right and moves 3 places to the left to make the number 4. The 3 places moved make the exponent 3. In the other example, the number 0.004 is converted to 4 times 10 to the negative 3 power. The decimal point in 0.004 is moved 3 places to the right to make the number 4. The 3 places moved make the exponent negative 3.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167827943762\">In both cases, the decimal was moved 3 places to get the first factor between 1 and 10.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167834079476\">The power of 10 is positive when the number is larger than 1: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d7f98dc18fdb519e244f496c21cfea74_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#44;&#48;&#48;&#48;&#61;&#52;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"108\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167830925376\">The power of 10 is negative when the number is between 0 and 1: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a1052bb817e45bd9731298759e7e66cd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#48;&#48;&#52;&#61;&#52;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"116\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167831883143\" class=\"howto\">\n<div data-type=\"title\">To convert a decimal to scientific notation.<\/div>\n<ol id=\"fs-id1167831883150\" type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Move the decimal point so that the first factor is greater than or equal to 1 but less than 10.<\/li>\n<li>Count the number of decimal places, <em data-effect=\"italics\">n<\/em>, that the decimal point was moved.<\/li>\n<li>Write the number as a product with a power of 10. If the original number is.\n<ul id=\"fs-id1167834191353\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>greater than 1, the power of 10 will be <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a22c7db8dce20cf5bc422116aeedd73_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"30\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/li>\n<li>between 0 and 1, the power of 10 will be <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-546bf20421f24d474148a5bc06d817a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"30\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>Check.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167835356836\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835356838\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835356840\">\n<p id=\"fs-id1167835483474\">Write in scientific notation: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> 37,000 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb498403ef639e1aed4f6c92e084b86c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#48;&#48;&#53;&#50;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"54\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167828095768\">\n<p id=\"fs-id1167828095771\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1167828095778\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Write the number 37,000 in scientific notation. Since the number is greater than 1 it will have a positive exponent. Move the decimal point to get 3.7. This requires that you move the decimal point 4 places. This makes the exponent 4. We write the number as 3.7 times 10 to the 4. You can check the answer by writing 3.7 times 10 to the 4 as 3.7 times 10000 which is 37000.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">The original number, 37,000, is greater than 1<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>so we will have a positive power of 10.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c25cdfa6b33781c17b54ccb87b14a6b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"1\" width=\"1\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>37,000<\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Move the decimal point to get 3.7, a number<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>between 1 and 10.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834536285\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_021a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Count the number of decimal places the point<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>was moved.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834094827\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_021b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Write as a product with a power of 10.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835379836\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_021c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Check: \u2003\u2003\u2003<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-864fb648770afffaa8d2f07e3e7673d0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#125;&#92;&#92;&#32;&#51;&#46;&#55;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#51;&#46;&#55;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#49;&#48;&#44;&#48;&#48;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#51;&#55;&#44;&#48;&#48;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"62\" width=\"80\" style=\"vertical-align: -36px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834299524\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_021d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1167835334048\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1167835334055\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Write the number 0.0052 in scientific notation. Since the number is less than 1 it will have a negative exponent. Move the decimal point to get 5.2. This requires that you move the decimal point 3 places. This makes the exponent negative 3. We write the number as 5.2 times 10 to the negative 3. You can check the answer by writing 5.2 times 10 to the negative 3 as 3.7 times 1 divided by 1000 which is 0.0052.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">The original number, 0.0052, is between 0<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>and 1 so we will have a negative power of 10.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c25cdfa6b33781c17b54ccb87b14a6b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"1\" width=\"1\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>0.0052<\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Move the decimal point to get 5.2, a number<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>between 1 and 10.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167828420229\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_022a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Count the number of decimal places the point<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>was moved.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831922147\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_022b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Write as a product with a power of 10.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835517796\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_022c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f679f3f7836a833c99beba4522602260_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#125;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#67;&#104;&#101;&#99;&#107;&#58;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#53;&#46;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#53;&#46;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#53;&#46;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#49;&#48;&#48;&#48;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#53;&#46;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#48;&#46;&#48;&#48;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#48;&#46;&#48;&#48;&#53;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"227\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"center\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832054055\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_022d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834448837\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834448841\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834448843\">\n<p id=\"fs-id1167834448845\">Write in scientific notation: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> 96,000 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 0.0078.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832152925\">\n<p id=\"fs-id1167832152927\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-23a57e4ea10b74a227c74f91476ea174_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#57;&#46;&#54;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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<span class=\"token\">\u24d1<\/span> 0.0129.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835518365\">\n<p id=\"fs-id1167831832533\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f3401027e84d610b34ffcea748dd82d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#46;&#56;&#51;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a289d66698c5085dcebede51c9e4bfea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#46;&#50;&#57;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834309885\">How can we convert from scientific notation to decimal form? Let\u2019s look at two numbers written in scientific notation and see.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834309889\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c7ca24eaec4895ba4365c0ef68564bd3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#57;&#46;&#49;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#57;&#46;&#49;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#52;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#57;&#46;&#49;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#49;&#48;&#44;&#48;&#48;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#57;&#46;&#49;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#48;&#46;&#48;&#48;&#48;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#57;&#49;&#44;&#50;&#48;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#48;&#46;&#48;&#48;&#48;&#57;&#49;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"63\" width=\"259\" style=\"vertical-align: -26px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167832068300\">If we look at the location of the decimal point, we can see an easy method to convert a number from scientific notation to decimal form.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832068304\" data-alt=\"The figure shows two examples of converting from scientific notation to standard notation. In one example 9.12 times 10 to the power of 4 is converted to 91200. The decimal point in 9.12 moves 4 places to the right to make the number 91200. In the other example, the number 9.12 times 10 to the power of -4 is converted to 0.000912. The decimal point in 9.12 is moved 4 places to the left to make the number 0.000912.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_023_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The figure shows two examples of converting from scientific notation to standard notation. In one example 9.12 times 10 to the power of 4 is converted to 91200. The decimal point in 9.12 moves 4 places to the right to make the number 91200. In the other example, the number 9.12 times 10 to the power of -4 is converted to 0.000912. The decimal point in 9.12 is moved 4 places to the left to make the number 0.000912.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167828172243\">In both cases the decimal point moved 4 places. When the exponent was positive, the decimal moved to the right. When the exponent was negative, the decimal point moved to the left.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167828172248\" class=\"howto\">\n<div data-type=\"title\">Convert scientific notation to decimal form.<\/div>\n<ol id=\"fs-id1167828172255\" type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Determine the exponent, <em data-effect=\"italics\">n<\/em>, on the factor 10.<\/li>\n<li>Move the decimal <em data-effect=\"italics\">n<\/em> places, adding zeros if needed.\n<ul id=\"fs-id1167834062166\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>If the exponent is positive, move the decimal point <em data-effect=\"italics\">n<\/em> places to the right.<\/li>\n<li>If the exponent is negative, move the decimal point <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b38a586dc76a31dfa818cbaca2da26f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#124;&#110;&#124;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> places to the left.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>Check.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167832067023\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832067025\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832067027\">\n<p id=\"fs-id1167835328755\">Convert to decimal form: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e00e6e3a87d904d99e34e144902b017_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#46;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92d16fcf26bd291194749c2a382cb316_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#56;&#46;&#57;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835389738\">\n<p id=\"fs-id1167835389740\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1167835389747\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"6.2 times 10 to the power of 3 is converted to standard notation. The exponent is 3. Since the exponent is positive the number is greater than 1. This means we move the decimal point to the right. Moving the decimal point 3 places to the right results in 62000.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834463049\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_024a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Determine the exponent, <em data-effect=\"italics\">n<\/em>, on the factor 10.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">The exponent is 3.<\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Since the exponent is positive, move the<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>decimal point 3 places to the right.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834458683\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_024b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Add zeros as needed for placeholders.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834085082\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_024c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834219297\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_024d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1167831868999\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1167831869006\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Negative 8.9 times 10 to the power of negative 2 is converted to standard notation. The exponent is negative 2. Since the exponent is negative the number is less than 1. This means we move the decimal point to the left. Moving the decimal point 2 places to the left results in negative 0.089.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167835349465\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_025a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Determine the exponent, <em data-effect=\"italics\">n<\/em>, on the factor 10.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">The exponent is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d36c434a1919e0aaa1a4125fdaa40853_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#50;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Since the exponent is negative, move the<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>decimal point 2 places to the left.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167826828946\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_025b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Add zeros as needed for placeholders.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834079199\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_025c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167826978824\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_025d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834189747\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834189751\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834189753\">\n<p id=\"fs-id1167831824772\">Convert to decimal form: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49f0e5edee92934a0b24d16f5d65e044_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#46;&#51;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cca0f1beb9c2a101eb9dde6f64331227_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#46;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826987650\">\n<p id=\"fs-id1167826987652\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 1,300 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8708a49f984274b0dc2271b094c96d0c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#48;&#46;&#48;&#48;&#48;&#49;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"71\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834327310\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834327313\">\n<p id=\"fs-id1167834327315\">Convert to decimal form: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1d02ba13978524400d9882b605221b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#57;&#46;&#53;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af5b2adf10a4ab8d3ad5e845c3ec67da_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#46;&#53;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835497148\">\n<p id=\"fs-id1167835497151\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ab77061a0a339fbbd210cb90bce8ff14_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#57;&#53;&#48;&#44;&#48;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span> 0.075 <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167827964075\">When scientists perform calculations with very large or very small numbers, they use scientific notation. Scientific notation provides a way for the calculations to be done without writing a lot of zeros. We will see how the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Properties of Exponents<\/span> are used to multiply and divide numbers in scientific notation.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167827964085\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167827964087\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167827964089\">\n<p id=\"fs-id1167834134985\">Multiply or divide as indicated. Write answers in decimal form: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e129bc684fa54e41b0a775e46e428905_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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<span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-70bdedaf3e9699060071393673ee45a3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"132\" width=\"638\" style=\"vertical-align: -60px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167831847171\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831847175\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830964422\">\n<p id=\"fs-id1167830964424\">Multiply or divide as indicated. Write answers in decimal form:<\/p>\n<p id=\"fs-id1167830964427\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83edf04dc1633f1f292f8e61f08799a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#56;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac1e019aea524a450f299c905d459eeb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#52;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#50;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834213954\">\n<p id=\"fs-id1167834213956\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-adb8c5bd46e118f4c345b2e25bc38e56_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#48;&#46;&#48;&#48;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"54\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span> 20,000 <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834282465\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834282469\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834282471\">\n<p id=\"fs-id1167834282474\">Multiply or divide as indicated. Write answers in decimal form:<\/p>\n<p id=\"fs-id1167834282477\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>; <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ef806bd2255cbb89bfc54c0c45d8dd7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#49;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"149\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c05fec3222275402883b474beeb65c76_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#125;&#123;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#49;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835526536\">\n<p id=\"fs-id1167835526538\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-28052e2ece1db839d3973a308f53cb94_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#48;&#46;&#48;&#48;&#57;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"54\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span> 400,000 <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167834065080\" class=\"media\">\n<p id=\"fs-id1167831896557\">Access these online resources for additional instruction and practice with using multiplication properties of exponents.<\/p>\n<ul id=\"fs-id1167831896561\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37Propofexpo\">Properties of Exponents<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37Negativeexpo\">Negative exponents<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37SciNotation\">Scientific Notation<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167834048826\">\n<h3 data-type=\"title\">Key Concepts<\/h3>\n<ul id=\"fs-id1167834048833\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li><strong data-effect=\"bold\">Exponential Notation<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167831832834\" data-alt=\"The figure shows the letter a in a normal font with the label base and the letter m in a superscript font with the label exponent. This means we multiply the number a with itself, m times.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_027_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The figure shows the letter a in a normal font with the label base and the letter m in a superscript font with the label exponent. This means we multiply the number a with itself, m times.\" \/><\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> This is read <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-54b488d725322353e3336ad5152f5c41_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#116;&#104;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"29\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> power.<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> In the expression <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d2a487b91c28857bf9b3c6373f3ffdc8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>, the <em data-effect=\"italics\">exponent m<\/em> tells us how many times we use the <em data-effect=\"italics\">base a<\/em> as a factor.<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Product Property for Exponents<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is a real number and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers, then<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167826983177\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d71a0d5ab133871b83639a6c9f68f8e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&middot;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#43;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"105\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> To multiply with like bases, add the exponents.<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Quotient Property for Exponents<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> is a real number, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d28cb478bd8b6abe7d9573551313d6d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers, then<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835364680\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3f766d011574ee8ad162185b480bb15_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#45;&#110;&#125;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#109;&#62;&#110;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#109;&#125;&#125;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#110;&#62;&#109;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"364\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Zero Exponent<\/strong>\n<ul id=\"fs-id1167828401334\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is a non-zero number, then <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e543dfe6b225728aa6f18f7bbcf6db5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;&#61;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/li>\n<li>If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is a non-zero number, then <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the power of zero equals 1.<\/li>\n<li>Any non-zero number raised to the zero power is 1.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Negative Exponent<\/strong>\n<ul id=\"fs-id1167832066211\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>If <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is an integer and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d28cb478bd8b6abe7d9573551313d6d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> then <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a95cdadc5fa1d5ca4a4b89625805083_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> or <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-079683001f198abfbf464cf5c06ce412_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Quotient to a Negative Exponent Property<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bfaed44949cf9cfbeb3445de33aabd3b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#44;&#98;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> are real numbers, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a068d10333b909026eda652326b4441e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;&#98;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> is an integer, then<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167831969945\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e2ed9c382cb7bc55e431effde1aa732_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#98;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#61;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#98;&#125;&#123;&#97;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"94\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Power Property for Exponents<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> is a real number and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7802b180fbdc92b8b164327d508e4170_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#109;&#44;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> are integers, then<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834227736\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04b0b18650f1bde86de61d78ce3e60cc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&middot;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> To raise a power to a power, multiply the exponents.<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Product to a Power Property for Exponents<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> are real numbers and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> is a whole number, then<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167832128384\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f7ed42a6ae5889598c964652c0808f69_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> To raise a product to a power, raise each factor to that power.<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Quotient to a Power Property for Exponents<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and are real numbers, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6a0135701625ac5da01c134efeaebdf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b41df788161942c6f98604d37de8098_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#109;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> is an integer, then<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167835318596\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d4537193ffd2ec872e2f8d426ef5982_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#98;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> To raise a fraction to a power, raise the numerator and denominator to that power.<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Summary of Exponent Properties<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> are real numbers, and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers, then<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1167834402896\" class=\"unnumbered\" summary=\"This table has two columns, labeled Property and Description. The Product Property states that a to the m times a to the n equals a to the m plus n. The Power Property states that a to the m raised to a power of n is a to the m times n. The Quotient Property states that a to the m divided by a to the n equals a to the m minus n when a is not equal to 0. The Zero Exponent Property states that a to the 0 power equals 1 when a is not equal to 0. The Properties of Negative Exponents states that a to the negative n equals 1 over a to the n and 1 over a to the negative n equals a to the n. The Quotient to a Negative Exponent states that a over b all raised to the negative n equals b over a all raised to the n.\">\n<thead>\n<tr valign=\"top\">\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"center\">Property<\/th>\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"center\">Description<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Product Property<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d71a0d5ab133871b83639a6c9f68f8e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&middot;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#43;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"105\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Power Property<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04b0b18650f1bde86de61d78ce3e60cc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&middot;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Product to a Power<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f8a37224935d0803770c0a00ca7bbb0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"105\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Quotient Property<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50f406566552d675c6806b3f0574496a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#45;&#110;&#125;&#44;&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"136\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Zero Exponent Property<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9b6ef1114e5e0df25762859abace0dc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;&#61;&#49;&#44;&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Quotient to a Power Property:<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb4d741eab395fb1060fe7db2c499cc4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#98;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#44;&#98;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"133\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Properties of Negative Exponents<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a95cdadc5fa1d5ca4a4b89625805083_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-615b61398e4af1496c0058df54efbba5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Quotient to a Negative Exponent<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e2ed9c382cb7bc55e431effde1aa732_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#98;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#61;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#98;&#125;&#123;&#97;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"94\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Scientific Notation<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> A number is expressed in scientific notation when it is of the form<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167834533416\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9c83b8787098f4421ad7501ca8bd941_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#119;&#104;&#101;&#114;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#49;&#92;&#108;&#101;&#32;&#97;&#60;&#49;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#110;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#32;&#97;&#110;&#32;&#105;&#110;&#116;&#101;&#103;&#101;&#114;&#46;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/div>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">How to convert a decimal to scientific notation.<\/strong>\n<ol id=\"fs-id1167831921305\" type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Move the decimal point so that the first factor is greater than or equal to 1 but less than 10.<\/li>\n<li>Count the number of decimal places, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-428977d87d8c9ab2c3d60050f95d109b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> that the decimal point was moved.<\/li>\n<li>Write the number as a product with a power of 10. If the original number is.\n<ul id=\"fs-id1167830921298\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>greater than 1, the power of 10 will be <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a22c7db8dce20cf5bc422116aeedd73_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"30\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/li>\n<li>between 0 and 1, the power of 10 will be <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-546bf20421f24d474148a5bc06d817a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"30\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>Check.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">How to convert scientific notation to decimal form.<\/strong>\n<ol id=\"fs-id1167832153408\" type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Determine the exponent, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-428977d87d8c9ab2c3d60050f95d109b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> on the factor 10.<\/li>\n<li>Move the decimal <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> places, adding zeros if needed.\n<ul id=\"fs-id1167826926700\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>If the exponent is positive, move the decimal point <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> places to the right.<\/li>\n<li>If the exponent is negative, move the decimal point <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b38a586dc76a31dfa818cbaca2da26f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#124;&#110;&#124;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> places to the left.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>Check.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167834422976\">\n<div class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\">\n<h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4>\n<p id=\"fs-id1167834422987\"><strong data-effect=\"bold\">Simplify Expressions Using the Properties for Exponents<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167831901940\">In the following exercises, simplify each expression using the properties for exponents.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831901944\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831901946\">\n<p id=\"fs-id1167831901948\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cbd48768632a90537615212acdd4f39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#100;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&middot;&#123;&#100;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"33\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-925678b0215b1f2f7af78acb9a28d8f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#52;&#125;&#94;&#123;&#53;&#120;&#125;&middot;&#123;&#52;&#125;&#94;&#123;&#57;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"48\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e933c6eee384f4a3c423c820540b010f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#121;&middot;&#52;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a8ea7744a6a66bc7dbd70581fd932b67_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#119;&middot;&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&middot;&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"54\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834517431\">\n<p id=\"fs-id1167834517433\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8958a18829fd0fe88361aa30195cc0c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#100;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5acc9ad0da8fbe2ac670485ace8b4d60_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#52;&#125;&#94;&#123;&#49;&#52;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"31\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5bb85761f837b6be06d739889ff7b40a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#56;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad285054745da852c0554072ecf83ae0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"20\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835323625\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835323627\">\n<p id=\"fs-id1167835323630\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b5192c5804413a3eef0ebc463ce732da_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&middot;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"35\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c13a2ec17af666140c212923cbf29dab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#56;&#125;&#94;&#123;&#57;&#120;&#125;&middot;&#123;&#56;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"40\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f9a827cacbfadfe7f556c39c311fba37_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#50;&#53;&#125;&middot;&#53;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"57\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d69bb987deab12536bfd91aaadeba59_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;&middot;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&middot;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832067002\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832067004\">\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94b104fd419c1b8c89347c8cdc9d5a12_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#49;&#57;&#125;&middot;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#49;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"50\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-088d32b4787857c6ba0a64a3b75c71b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#120;&#125;&middot;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"33\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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id=\"fs-id1167834429052\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4365f8ff1c6f33113f7045eb9d4f5d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#51;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"24\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c76226305ec5ce1b7252d35cb403f5e8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#120;&#43;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"35\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f763fde2bdee74f2b8eded470d94be4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#54;&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"38\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1e9198b50e52972921e4a7f3210745d2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"23\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834376522\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834376525\">\n<p id=\"fs-id1167834376527\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7fab1d8183cc26e610430c1a8e54c26e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#55;&#125;&middot;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#49;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59eefeaf506b85f038ea1d5f5ac53aee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#53;&#125;&#94;&#123;&#120;&#125;&middot;&#123;&#53;&#125;&#94;&#123;&#52;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"41\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span 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data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167831040279\">\n<p id=\"fs-id1167831040281\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b34c01098c83fa602de54e9d74d63a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b34c01098c83fa602de54e9d74d63a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830924871\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830924873\">\n<p id=\"fs-id1167830924875\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be412194ee4dbaca4ec6caf21178288d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#123;&#49;&#53;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ee546c49bfa8d5d73a40a4961692d40_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#49;&#53;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by 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class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-09779c78fe59a3c61cdd7cfe38ca6fc6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#44;&#48;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834094054\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834094056\">\n<p id=\"fs-id1167834094058\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cafb11837fe76e03b0670958a7ba3482_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#45;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 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data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834515462\">\n<p id=\"fs-id1167834515464\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad67af8683ab2235800fc7c811a8b087_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&middot;&#123;&#52;&#125;&#94;&#123;&#45;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd66a21fdf7b0473952a685012c406a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&middot;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#45;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831919323\">In the following exercises, simplify each expression using the Product Property.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831919326\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831919328\">\n<p id=\"fs-id1167831919331\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d703b25659a9b2d91a668140b18c4495_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#45;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"41\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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-7px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e41cede04f399fb36567e5424b2edd4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4da76fc654e92fef25c4263cad5dd7e1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#50;&#99;&#123;&#100;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"55\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826799029\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826799031\">\n<p id=\"fs-id1167826799033\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a585581c927d2db258fe52ccbd218321_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&middot;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#45;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84dcba6fa0c842c95b4d6249e9713ef6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"44\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9c05fbaea9159a71e9b572123e840b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#117;&#123;&#118;&#125;&#94;&#123;&#45;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#117;&#125;&#94;&#123;&#45;&#53;&#125;&#123;&#118;&#125;&#94;&#123;&#45;&#51;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"125\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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id=\"fs-id1167831837491\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d466ac2035f7681e100e6508a0dc64c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&middot;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#45;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b47e79a414eecc769375a21c1b988f3f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830979528\">\n<p id=\"fs-id1167830979530\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-787e7bc352eb28aa21cddf4fb6619578_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#112;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"8\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830979542\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830979544\">\n<p id=\"fs-id1167830979546\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb24a76a80a9d270c44625133eeef5b9_l3.png\" 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Property.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834076923\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834076925\">\n<p id=\"fs-id1167834076927\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5875e4afe0c5ce69fe14636a20e52dbf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#120;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"62\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-79afddac0751a38ea39b0b50c8ae26fe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835215743\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835215745\">\n<p id=\"fs-id1167835215747\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0be9b73d3986b1be1df1b0155db549cd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#52;&#97;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5463d69505530e3ce6b0c3d46447a70d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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-7px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d3<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d81f4db8e3de009b966f747d98d4721b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#54;&#125;&#123;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167828240559\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167828240561\">\n<p id=\"fs-id1167828240563\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0cfbb1e7fc3dc3a6b997aaa53f6a8785_l3.png\" 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QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167835530153\">\n<p id=\"fs-id1167834301083\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a191b85c9e4c7e8eb11fc04ae90be58e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#125;&#123;&#56;&#49;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"27\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3454f447dbe2a852c606bb9ad7a132dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167830801579\">In the following exercises, simplify each expression by applying several properties.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830801582\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830801585\">\n<p id=\"fs-id1167830801587\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-68e12e4cf7aa36fd3ef6d082979d43e1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#53;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" 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class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5959a3da3aaadb3cbac59bc4799c7ec3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#45;&#50;&#125;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#50;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#45;&#49;&#125;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#45;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"148\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834517713\">\n<p id=\"fs-id1167834517716\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-535b20fb92270cddafea24c7a537546d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#49;&#50;&#53;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"48\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-923dcbe4805e7e8e52d6f65d222aedd9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#49;&#57;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e8aa56111e9127d2ff015122c12b1b1c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#125;&#123;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831821883\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831821885\">\n<p id=\"fs-id1167831821887\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-46c6eccd235db776d62e1bf11c125175_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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id=\"fs-id1167832133991\">\n<p id=\"fs-id1167832133994\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80b46b9b45ef8e95e0af7f66cf6ac35f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#45;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"37\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a3657510101bc3488db92536467a1cc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#55;&#110;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#45;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span 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class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831066124\">\n<p id=\"fs-id1167831066126\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e24d01b2c486525b074e6baf2def9bfc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&middot;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831893210\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831893212\">\n<p id=\"fs-id1167831893214\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"24\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826799127\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826799129\">\n<p id=\"fs-id1167826799131\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64ee2bddd4e2ea3a34a30d06524f62b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&middot;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" 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QuickLaTeX.com\" height=\"37\" width=\"112\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834516640\">\n<p id=\"fs-id1167834516642\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9407a01b25a1355e3835cf659025b49c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#48;&#48;&#48;&#125;&#123;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#49;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834439748\"><strong data-effect=\"bold\">Use Scientific Notation<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834439753\">In the following exercises, write each number in scientific notation.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834439756\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834439758\">\n<p id=\"fs-id1167834439761\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 57,000 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 0.026<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832134118\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832134120\">\n<p id=\"fs-id1167832134122\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 340,000 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 0.041<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832134136\">\n<p id=\"fs-id1167832134138\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c94c6f15c305808c5699c501ca3b9d93_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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1,290,000 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 0.00000103<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167830962320\">\n<p id=\"fs-id1167830962322\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00c8f64bc3e84860e05690ed2273dfbf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#46;&#50;&#57;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"62\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c05797ef779e02d236ef69ba426c72e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#48;&#51;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834470812\">In the following exercises, convert each number to decimal form.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834470815\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834470818\">\n<p id=\"fs-id1167834470820\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c18fe7cae70dbfa2cd3b19b03e22c89_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#46;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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class=\"token\">\u24d1<\/span> 0.038<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830801099\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830801101\">\n<p id=\"fs-id1167830801103\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e4c65c9923f6d7880ec4bc00d129952_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#46;&#53;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span 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Write your answer in decimal form.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826885533\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826885535\">\n<p id=\"fs-id1167826885537\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a182ca2eac86426228077c874c3f161d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167828240413\">\n<p id=\"fs-id1167828240415\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0092db8646226151d5e2f7e49c9683a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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id=\"fs-id1167835495989\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 0.02 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 500,000,000<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167831224449\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167831224451\">\n<p id=\"fs-id1167831224453\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2d0058330cf5cb4918256cde7f69a301_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830699978\">\n<p id=\"fs-id1167830699980\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5011c99e6888de9eed79436f8c056fab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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id=\"fs-id1167830925271\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 0.0000056 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 20,000,000<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"writing\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167835532409\">\n<h4 data-type=\"title\">Writing Exercises<\/h4>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835532416\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835532418\">\n<p id=\"fs-id1167835532420\">Use the Product Property for Exponents to explain why <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a3afb1b476da98b5ac8cec98f9a1a1ca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&middot;&#120;&#61;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"66\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167835532450\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167835532452\">\n<p id=\"fs-id1167835532454\">Jennifer thinks the quotient <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7bda75125a24267e2d244230748378b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#52;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> simplifies to <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5b79174d9576c83997ae4b8f2f7fd211_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> What is wrong with her reasoning?<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167834329651\">\n<p id=\"fs-id1167834329653\">Answers will vary.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167834329658\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167834329660\">\n<p id=\"fs-id1167834329662\">Explain why <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bc14f0e3b726b14ebfcc10c66fd58a2a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#123;&#53;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#61;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> but <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167834284121\">\n<h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4>\n<p id=\"fs-id1167834284127\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167834284135\" data-alt=\"This table has 4 rows and 4 columns. The first row is a header row and it labels each column. The first column header is \u201cI can\u2026\u201d, the second is \u201cConfidently\u201d, the third is \u201cWith some help\u201d, and the fourth is \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. Under the first column are the phrases \u201csimplify expressions using the properties for exponents.\u201d, \u201cuse the definition of a negative exponent\u201d, and \u201cuse scientific notation\u201d. The other columns are left blank so that the learner may indicate their mastery level for each topic.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_05_02_201_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This table has 4 rows and 4 columns. The first row is a header row and it labels each column. The first column header is \u201cI can\u2026\u201d, the second is \u201cConfidently\u201d, the third is \u201cWith some help\u201d, and the fourth is \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. Under the first column are the phrases \u201csimplify expressions using the properties for exponents.\u201d, \u201cuse the definition of a negative exponent\u201d, and \u201cuse scientific notation\u201d. The other columns are left blank so that the learner may indicate their mastery level for each topic.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167828289415\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> After reviewing this checklist, what will you do to become confident for all goals?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"glossary\" class=\"textbox shaded\">\n<h3 data-type=\"glossary-title\">Glossary<\/h3>\n<dl id=\"fs-id1167828289428\">\n<dt>Product Property<\/dt>\n<dd id=\"fs-id1167828289433\">According to the Product Property, <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> times <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">n<\/em> equals <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> plus <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/dd>\n<\/dl>\n<dl id=\"fs-id1167834501895\">\n<dt>Power Property<\/dt>\n<dd id=\"fs-id1167834501900\">According to the Power Property, <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">n<\/em> equals <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> times <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/dd>\n<\/dl>\n<dl id=\"fs-id1167834501936\">\n<dt>Product to a Power<\/dt>\n<dd id=\"fs-id1167834501941\">According to the Product to a Power Property, <em data-effect=\"italics\">a<\/em> times <em data-effect=\"italics\">b<\/em> in parentheses to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> equals <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> times <em data-effect=\"italics\">b<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em>.<\/dd>\n<\/dl>\n<dl id=\"fs-id1167831224392\">\n<dt>Quotient Property<\/dt>\n<dd id=\"fs-id1167831224397\">According to the Quotient Property, <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> divided by <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">n<\/em> equals <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> minus <em data-effect=\"italics\">n<\/em> as long as <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is not zero.<\/dd>\n<\/dl>\n<dl id=\"fs-id1167831223728\">\n<dt>Zero Exponent Property<\/dt>\n<dd id=\"fs-id1167831223733\">According to the Zero Exponent Property, <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the zero is 1 as long as <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is not zero.<\/dd>\n<\/dl>\n<dl id=\"fs-id1167831223747\">\n<dt>Quotient to a Power Property<\/dt>\n<dd id=\"fs-id1167831223752\">According to the Quotient to a Power Property, <em data-effect=\"italics\">a<\/em> divided by <em data-effect=\"italics\">b<\/em> in parentheses to the power of <em data-effect=\"italics\">m<\/em> is equal to <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> divided by <em data-effect=\"italics\">b<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">m<\/em> as long as <em data-effect=\"italics\">b<\/em> is not zero.<\/dd>\n<\/dl>\n<dl id=\"fs-id1167831955194\">\n<dt>Properties of Negative Exponents<\/dt>\n<dd id=\"fs-id1167831955199\">According to the Properties of Negative Exponents, <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the negative <em data-effect=\"italics\">n<\/em> equals 1 divided by <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">n<\/em> and 1 divided by <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the negative <em data-effect=\"italics\">n<\/em> equals <em data-effect=\"italics\">a<\/em> to the <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/dd>\n<\/dl>\n<dl id=\"fs-id1167831955245\">\n<dt>Quotient to a Negative Exponent<\/dt>\n<dd id=\"fs-id1167831955250\">Raising a quotient to a negative exponent occurs when <em data-effect=\"italics\">a<\/em> divided by <em data-effect=\"italics\">b<\/em> in parentheses to the power of negative <em data-effect=\"italics\">n<\/em> equals <em data-effect=\"italics\">b<\/em> divided by <em data-effect=\"italics\">a<\/em> in parentheses to the power of <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/dd>\n<\/dl>\n<\/div>\n","protected":false},"author":103,"menu_order":3,"template":"","meta":{"pb_show_title":"on","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"class_list":["post-2847","chapter","type-chapter","status-publish","hentry"],"part":2727,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/2847","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/users\/103"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/2847\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":15239,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/2847\/revisions\/15239"}],"part":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/2727"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/2847\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2847"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=2847"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=2847"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=2847"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}