{"id":3153,"date":"2018-12-11T13:51:12","date_gmt":"2018-12-11T18:51:12","guid":{"rendered":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/chapter\/multiply-and-divide-rational-expressions\/"},"modified":"2018-12-11T13:51:12","modified_gmt":"2018-12-11T18:51:12","slug":"multiply-and-divide-rational-expressions","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/chapter\/multiply-and-divide-rational-expressions\/","title":{"raw":"Multiply and Divide Rational Expressions","rendered":"Multiply and Divide Rational Expressions"},"content":{"raw":"\n[latexpage]<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\"><h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>By the end of this section, you will be able to: <ul><li>Determine the values for which a rational expression is undefined<\/li><li>Simplify rational expressions<\/li><li>Multiply rational expressions<\/li><li>Divide rational expressions<\/li><li>Multiply and divide rational functions<\/li><\/ul><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836378362\" class=\"be-prepared\"><p id=\"fs-id1167829749544\">Before you get started, take this readiness quiz.<\/p><ol id=\"fs-id1167836692202\" type=\"1\"><li>Simplify: \\(\\frac{90y}{15{y}^{2}}.\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/3fa6a6c5-9a36-4dee-aea1-0166229f52fb#fs-id1167835337754\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><li>Multiply: \\(\\frac{14}{15}\u00b7\\frac{6}{35}.\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/425620d9-51dd-45e5-8a21-953998a4a77f#fs-id1167836390100\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><li>Divide: \\(\\frac{12}{10}\u00f7\\frac{8}{25}.\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/425620d9-51dd-45e5-8a21-953998a4a77f#fs-id1167836356409\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><\/ol><\/div><p id=\"fs-id1167833061177\">We previously reviewed the properties of fractions and their operations. We introduced rational numbers, which are just fractions where the numerators and denominators are integers. In this chapter, we will work with fractions whose numerators and denominators are polynomials. We call this kind of expression a <span data-type=\"term\">rational expression<\/span>.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836545646\"><div data-type=\"title\">Rational Expression<\/div><p id=\"fs-id1167829789940\">A rational expression is an expression of the form \\(\\frac{p}{q},\\) where <em data-effect=\"italics\">p<\/em> and <em data-effect=\"italics\">q<\/em> are polynomials and \\(q\\ne 0.\\)<\/p><\/div><p id=\"fs-id1167829594575\">Here are some examples of rational expressions:<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836614305\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{cccccccccc}\\hfill -\\frac{24}{56}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}\\frac{5x}{12y}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}\\frac{4x+1}{{x}^{2}-9}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}\\frac{4{x}^{2}+3x-1}{2x-8}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><p>Notice that the first rational expression listed above, \\(-\\frac{24}{56}\\), is just a fraction. Since a constant is a polynomial with degree zero, the ratio of two constants is a rational expression, provided the denominator is not zero.<\/p><p id=\"fs-id1167829597677\">We will do the same operations with rational expressions that we did with fractions. We will simplify, add, subtract, multiply, divide and use them in applications.<\/p><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167833051286\"><h3 data-type=\"title\">Determine the Values for Which a Rational Expression is Undefined<\/h3><p id=\"fs-id1167833021717\">If the denominator is zero, the rational expression is undefined. The numerator of a rational expression may be 0\u2014but not the denominator.<\/p><p id=\"fs-id1167836523329\">When we work with a numerical fraction, it is easy to avoid dividing by zero because we can see the number in the denominator. In order to avoid dividing by zero in a rational expression, we must not allow values of the variable that will make the denominator be zero.<\/p><p id=\"fs-id1167833356628\">So before we begin any operation with a rational expression, we examine it first to find the values that would make the denominator zero. That way, when we solve a rational equation for example, we will know whether the algebraic solutions we find are allowed or not.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829785493\" class=\"howto\"><div data-type=\"title\">Determine the values for which a rational expression is undefined.<\/div><ol id=\"fs-id1167829853672\" type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Set the denominator equal to zero.<\/li><li>Solve the equation.<\/li><\/ol><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167836513845\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829596289\"><div data-type=\"problem\"><p id=\"fs-id1167829590560\">Determine the value for which each rational expression is undefined:<\/p><p id=\"fs-id1167836544617\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{8{a}^{2}b}{3c}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{4b-3}{2b+5}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{x+4}{{x}^{2}+5x+6}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836688430\"><p id=\"fs-id1167836285832\">The expression will be undefined when the denominator is zero.<\/p><p id=\"fs-id1167836635534\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\frac{8{a}^{2}b}{3c}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Set the denominator equal to zero and solve}\\hfill \\\\ \\text{for the variable.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}3c=0\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}c=0\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\frac{8{a}^{2}b}{3c}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is undefined for}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}c=0.\\hfill \\end{array}\\)<p id=\"fs-id1167836533216\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\frac{4b-3}{2b+5}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Set the denominator equal to zero and solve}\\hfill \\\\ \\text{for the variable.}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\\\ \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\begin{array}{ccc}\\hfill 2b+5&amp; =\\hfill &amp; 0\\hfill \\\\ \\hfill 2b&amp; =\\hfill &amp; -5\\hfill \\\\ \\hfill b&amp; =\\hfill &amp; -\\frac{5}{2}\\hfill \\end{array}\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\frac{4b-3}{2b+5}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is undefined for}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}b=-\\frac{5}{2}.\\hfill \\end{array}\\)<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{x+4}{{x}^{2}+5x+6}\\phantom{\\rule{1.4em}{0ex}}\\\\ \\begin{array}{c}\\text{Set the denominator equal to zero and solve}\\hfill \\\\ \\text{for the variable.}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\begin{array}{c}\\hfill {x}^{2}+5x+6=0\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\\\ \\hfill \\left(x+2\\right)\\left(x+3\\right)=0\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\\\ \\hfill x+2=0\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}\\text{or}\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}x+3=0\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\\\ \\hfill x=-2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{or}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x=-3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\end{array}\\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{x+4}{{x}^{2}+5x+6}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is undefined for}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x=-2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{or}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x=-3.\\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836423585\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836532232\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833056446\"><p id=\"fs-id1167829748476\">Determine the value for which each rational expression is undefined.<\/p><p id=\"fs-id1167836363709\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{3{y}^{2}}{8x}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{8n-5}{3n+1}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{a+10}{{a}^{2}+4a+3}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836521692\"><p id=\"fs-id1167836571284\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(x=0\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(n=-\\frac{1}{3}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(a=-1,a=-3\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836415406\"><p id=\"fs-id1167829853966\">Determine the value for which each rational expression is undefined.<\/p><p><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{4p}{5q}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{y-1}{3y+2}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{m-5}{{m}^{2}+m-6}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836558447\"><p id=\"fs-id1167836537914\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(q=0\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(y=-\\frac{2}{3}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(m=2,m=-3\\)<\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167829695612\"><h3 data-type=\"title\">Simplify Rational Expressions<\/h3><p>A fraction is considered simplified if there are no common factors, other than 1, in its numerator and denominator. Similarly, a <span data-type=\"term\">simplified rational expression<\/span> has no common factors, other than 1, in its numerator and denominator.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836398722\"><div data-type=\"title\">Simplified Rational Expression<\/div><p>A rational expression is considered simplified if there are no common factors in its numerator and denominator.<\/p><\/div><p id=\"fs-id1167829711718\">For example,<\/p><div data-type=\"equation\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{c}\\frac{x+2}{x+3}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is simplified because there are no common factors of}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x+2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x+3.\\hfill \\\\ \\frac{2x}{3x}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is not simplified because}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is a common factor of}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}2x\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}3x.\\hfill \\end{array}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167836322571\">We use the Equivalent Fractions Property to simplify numerical fractions. We restate it here as we will also use it to simplify rational expressions.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833061169\"><div data-type=\"title\">Equivalent Fractions Property<\/div><p id=\"fs-id1167836288889\">If <em data-effect=\"italics\">a<\/em>, <em data-effect=\"italics\">b<\/em>, and <em data-effect=\"italics\">c<\/em> are numbers where \\(b\\ne 0,c\\ne 0,\\)<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836503188\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\text{then}\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}\\frac{a}{b}=\\frac{a\u00b7c}{b\u00b7c}\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\frac{a\u00b7c}{b\u00b7c}=\\frac{a}{b}.\\)<\/div><\/div><p>Notice that in the Equivalent Fractions Property, the values that would make the denominators zero are specifically disallowed. We see \\(b\\ne 0,c\\ne 0\\) clearly stated.<\/p><p id=\"fs-id1167829696810\">To simplify rational expressions, we first write the numerator and denominator in factored form. Then we remove the common factors using the Equivalent Fractions Property.<\/p><p id=\"fs-id1167836622848\">Be very careful as you remove common factors. Factors are multiplied to make a product. You can remove a factor from a product. You cannot remove a term from a sum.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832950889\" data-alt=\"The rational expression is the quantity 2 times 3 times 7 divided by the quantity 3 times 5 times 7 are 3 and 7. Its common factors are 3 and 7, which are factors of the product. When they are removed, the result is two-fifths. The rational expression is the product of 3 x and the quantity x minus 9 divided by the product of 5 and the quantity x minus 9. The common factor is x minus 9, which is a factor of the product. When it is removed, the result is 3 x divided by 5. The rational expression is the quantity x plus 5 divided by 5. There is an x both the numerator and denomiantor. However, it is a term of the sum in the numerator. The rational expression has no common factors.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_001_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The rational expression is the quantity 2 times 3 times 7 divided by the quantity 3 times 5 times 7 are 3 and 7. Its common factors are 3 and 7, which are factors of the product. When they are removed, the result is two-fifths. The rational expression is the product of 3 x and the quantity x minus 9 divided by the product of 5 and the quantity x minus 9. The common factor is x minus 9, which is a factor of the product. When it is removed, the result is 3 x divided by 5. The rational expression is the quantity x plus 5 divided by 5. There is an x both the numerator and denomiantor. However, it is a term of the sum in the numerator. The rational expression has no common factors.\"><\/span><p id=\"fs-id1167836502802\">Removing the <em data-effect=\"italics\">x<\/em>\u2019s from \\(\\frac{x+5}{x}\\) would be like cancelling the 2\u2019s in the fraction \\(\\frac{2+5}{2}!\\)<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167829747159\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"title\">How to Simplify a Rational Expression<\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836320119\"><div data-type=\"problem\"><p id=\"fs-id1167836352962\">Simplify: \\(\\frac{{x}^{2}+5x+6}{{x}^{2}+8x+12}\\).<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833060810\"><span data-type=\"media\" data-alt=\"Step 1 is to factor the numerator and denominator completely in the rational expression, the quantity x squared plus 5 x plus six divided by the quantity x squared 8 x plus 12. The numerator, x squared plus 5 x plus six, factors into the quantity x plus 2 times the quantity x plus 3. The denominator, x squared 8 x plus 12, factors into the quantity x plus 2 times the quantity x plus 6.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_002a_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 1 is to factor the numerator and denominator completely in the rational expression, the quantity x squared plus 5 x plus six divided by the quantity x squared 8 x plus 12. The numerator, x squared plus 5 x plus six, factors into the quantity x plus 2 times the quantity x plus 3. The denominator, x squared 8 x plus 12, factors into the quantity x plus 2 times the quantity x plus 6.\"><\/span><span data-type=\"media\" data-alt=\"Step 2 is to simplify the rational expression, the quantity x plus 2 times the quantity x plus 3 all divided by the quantity x plus 2 times the quantity x plus 6, by dividing out the common factor, x plus 6. The result of removing the common factor is the quantity x plus 3 divided by the quantity x plus 6, where x is not equal to 2 and x is not equal to -6.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_002b_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 2 is to simplify the rational expression, the quantity x plus 2 times the quantity x plus 3 all divided by the quantity x plus 2 times the quantity x plus 6, by dividing out the common factor, x plus 6. The result of removing the common factor is the quantity x plus 3 divided by the quantity x plus 6, where x is not equal to 2 and x is not equal to -6.\"><\/span><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836292428\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836707128\"><p id=\"fs-id1167836513122\">Simplify: \\(\\frac{{x}^{2}-x-2}{{x}^{2}-3x+2}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836378640\"><p id=\"fs-id1167832980513\">\\(\\frac{x+1}{x-1},\\)\\(x\\ne 2,\\)\\(x\\ne 1\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836630478\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836300587\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836387307\"><p>Simplify: \\(\\frac{{x}^{2}-3x-10}{{x}^{2}+x-2}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836673528\"><p id=\"fs-id1167836287956\">\\(\\frac{x-5}{x-1},\\)\\(x\\ne \\text{\u2212}2,\\)\\(x\\ne 1\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167836287384\">We now summarize the steps you should follow to simplify rational expressions.<\/p><div data-type=\"note\" class=\"howto\"><div data-type=\"title\">Simplify a rational expression.<\/div><ol id=\"fs-id1167836309167\" type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Factor the numerator and denominator completely.<\/li><li>Simplify by dividing out common factors.<\/li><\/ol><\/div><p id=\"fs-id1167833059027\">Usually, we leave the simplified rational expression in factored form. This way, it is easy to check that we have removed <em data-effect=\"italics\">all<\/em> the common factors.<\/p><p>We\u2019ll use the methods we have learned to factor the polynomials in the numerators and denominators in the following examples.<\/p><p id=\"fs-id1167836321378\">Every time we write a rational expression, we should make a statement disallowing values that would make a denominator zero. However, to let us focus on the work at hand, we will omit writing it in the examples.<\/p><div data-type=\"example\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836560362\"><p id=\"fs-id1167833224556\">Simplify: \\(\\frac{3{a}^{2}-12ab+12{b}^{2}}{6{a}^{2}-24{b}^{2}}\\).<\/p><\/div><div data-type=\"solution\"><p id=\"fs-id1167836449555\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{3{a}^{2}-12ab+12{b}^{2}}{6{a}^{2}-24{b}^{2}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Factor the numerator and denominator,}\\hfill \\\\ \\text{first factoring out the GCF.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{3\\left({a}^{2}-4ab+4{b}^{2}\\right)}{6\\left({a}^{2}-4{b}^{2}\\right)}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{3\\left(a-2b\\right)\\left(a-2b\\right)}{6\\left(a+2b\\right)\\left(a-2b\\right)}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Remove the common factors of}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a-2b\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}3.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{\\overline{)3}\\left(a-2b\\right)\\overline{)\\left(a-2b\\right)}}{\\overline{)3}\u00b72\\left(a+2b\\right)\\overline{)\\left(a-2b\\right)}}\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{a-2b}{2\\left(a+2b\\right)}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836698783\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833059848\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836532563\"><p id=\"fs-id1167836532565\">Simplify: \\(\\frac{2{x}^{2}-12xy+18{y}^{2}}{3{x}^{2}-27{y}^{2}}\\).<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836526297\"><p>\\(\\frac{2\\left(x-3y\\right)}{3\\left(x+3y\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836544497\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836544500\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829936835\"><p id=\"fs-id1167829936837\">Simplify: \\(\\frac{5{x}^{2}-30xy+25{y}^{2}}{2{x}^{2}-50{y}^{2}}\\).<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836506693\"><p id=\"fs-id1167836506695\">\\(\\frac{5\\left(x-y\\right)}{2\\left(x+5y\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167836310916\">Now we will see how to simplify a rational expression whose numerator and denominator have opposite factors. We previously introduced opposite notation: the opposite of <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is \\(\\text{\u2212}a\\) and \\(\\text{\u2212}a=-1\u00b7a.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167836526746\">The numerical fraction, say \\(\\frac{7}{-7}\\) simplifies to \\(-1\\). We also recognize that the numerator and denominator are opposites.<\/p><p id=\"fs-id1167829908755\">The fraction \\(\\frac{a}{\\text{\u2212}a}\\), whose numerator and denominator are opposites also simplifies to \\(-1\\).<\/p><div data-type=\"equation\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{cccc}\\text{Let\u2019s look at the expression}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}b-a.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}b-a\\hfill \\\\ \\text{Rewrite.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\text{\u2212}a+b\\hfill \\\\ \\text{Factor out}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u20131.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}-1\\left(a-b\\right)\\hfill \\end{array}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167836538942\">This tells us that \\(b-a\\) is the opposite of \\(a-b.\\)<\/p><p id=\"fs-id1167836516632\">In general, we could write the opposite of \\(a-b\\) as \\(b-a.\\) So the rational expression \\(\\frac{a-b}{b-a}\\) simplifies to \\(-1.\\)<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836359669\"><div data-type=\"title\">Opposites in a Rational Expression<\/div><p id=\"fs-id1167836362838\">The opposite of \\(a-b\\) is \\(b-a.\\)<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836323144\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\frac{a-b}{b-a}=-1\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}a\\ne b\\)<\/div><p id=\"fs-id1167836694811\">An expression and its opposite divide to \\(-1.\\)<\/p><\/div><p id=\"fs-id1167836533690\">We will use this property to simplify rational expressions that contain opposites in their numerators and denominators. Be careful not to treat \\(a+b\\) and \\(b+a\\) as opposites. Recall that in addition, order doesn\u2019t matter so \\(a+b=b+a\\). So if \\(a\\ne \\text{\u2212}b\\), then \\(\\frac{a+b}{b+a}=1.\\)<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167836410229\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836520298\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836520300\"><p id=\"fs-id1167836560381\">Simplify: \\(\\frac{{x}^{2}-4x-32}{64-{x}^{2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829692856\"><table class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Factor the numerator and denominator of the rational expression, the quantity x squared minus 4 x minus 32 divided by the quantity 64 minus x squared. The numerator factors into the quantity x minus 8 times the quantity x plus 4. The denominator factors into the quantity 8 minus x times the quantity 8 plus x. The factors x minus 8 and 8 minus x are opposites, so multiply the rational expression by negative 1. The result is the negative of the quantity x plus 4 divided by the quantity x plus 8.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836539080\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_003a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Factor the numerator and the denominator.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836615458\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_003b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Recognize the factors that are opposites.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836732515\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_003c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167829597704\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_003d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829586819\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836509748\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829739342\"><p id=\"fs-id1167829739344\">Simplify: \\(\\frac{{x}^{2}-4x-5}{25-{x}^{2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836730147\"><p id=\"fs-id1167836730149\">\\(-\\frac{x+1}{x+5}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836376110\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833048618\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836547623\"><p id=\"fs-id1167836547625\">Simplify: \\(\\frac{{x}^{2}+x-2}{1-{x}^{2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836608272\"><p id=\"fs-id1167836536509\">\\(-\\frac{x+2}{x+1}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167836524164\"><h3 data-type=\"title\">Multiply Rational Expressions<\/h3><p id=\"fs-id1167836444832\">To multiply rational expressions, we do just what we did with numerical fractions. We multiply the numerators and multiply the denominators. Then, if there are any common factors, we remove them to simplify the result.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836513458\"><div data-type=\"title\">Multiplication of Rational Expressions<\/div><p id=\"fs-id1167836534861\">If <em data-effect=\"italics\">p<\/em>, <em data-effect=\"italics\">q<\/em>, <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, and <em data-effect=\"italics\">s<\/em> are polynomials where \\(q\\ne 0,s\\ne 0,\\) then<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836652582\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\frac{p}{q}\u00b7\\frac{r}{s}=\\frac{pr}{qs}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167836408369\">To multiply rational expressions, multiply the numerators and multiply the denominators.<\/p><\/div><p id=\"fs-id1167829906397\">Remember, throughout this chapter, we will assume that all numerical values that would make the denominator be zero are excluded. We will not write the restrictions for each rational expression, but keep in mind that the denominator can never be zero. So in this next example, \\(x\\ne 0,\\)\\(x\\ne 3,\\) and \\(x\\ne 4.\\)<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167836528392\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"title\">How to Multiply Rational Expressions<\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836612590\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836612592\"><p id=\"fs-id1167836310961\">Simplify: \\(\\frac{2x}{{x}^{2}-7x+12}\u00b7\\frac{{x}^{2}-9}{6{x}^{2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833017887\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167829809845\" data-alt=\"Step 1 is to factor each numerator and the denominator completely in 2 x divided by the quantity x squared minus 7 x plus 12 times the rational expression the quantity x squared minus 9 divided by 6 x squared. The denominator, x squared minus 7 x plus 12, factors into the quantity x minus 3 times the quantity x minus 4. The numerator x squared minus 9 factors into the quantity x minus 3 times the quantity x plus 3.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_004a_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 1 is to factor each numerator and the denominator completely in 2 x divided by the quantity x squared minus 7 x plus 12 times the rational expression the quantity x squared minus 9 divided by 6 x squared. The denominator, x squared minus 7 x plus 12, factors into the quantity x minus 3 times the quantity x minus 4. The numerator x squared minus 9 factors into the quantity x minus 3 times the quantity x plus 3.\"><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832937156\" data-alt=\"Step 2 is to multiply the numerators 2 x and the quantity x minus 3 times the quantity x plus 3, and the denominators the quantity x minus 3 times the quantity x minus 4 and 6 x squared. It is helpful to write the monomials in the numerator and in the denominator. first.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_004b_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 2 is to multiply the numerators 2 x and the quantity x minus 3 times the quantity x plus 3, and the denominators the quantity x minus 3 times the quantity x minus 4 and 6 x squared. It is helpful to write the monomials in the numerator and in the denominator. first.\"><\/span><span data-type=\"media\" data-alt=\"Step 3 is to simplify 2 x times the quantity x minus 3 times the quantity x plus 3 all divided by 2 times 3 times x times x times the quantity x minus 3 times the quantity x plus 4 by dividing out the common factor, x minus 3. Leaving the denominator in factored form, the result is the quantity x plus 3 divided by 3 x times the quantity x minus 4.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_004c_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 3 is to simplify 2 x times the quantity x minus 3 times the quantity x plus 3 all divided by 2 times 3 times x times x times the quantity x minus 3 times the quantity x plus 4 by dividing out the common factor, x minus 3. Leaving the denominator in factored form, the result is the quantity x plus 3 divided by 3 x times the quantity x minus 4.\"><\/span><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829789983\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836693093\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829719638\"><p id=\"fs-id1167829719641\">Simplify: \\(\\frac{5x}{{x}^{2}+5x+6}\u00b7\\frac{{x}^{2}-4}{10x}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829709413\"><p id=\"fs-id1167836526547\">\\(\\frac{x-2}{2\\left(x+3\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829692494\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829719727\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829719729\"><p id=\"fs-id1167833066720\">Simplify: \\(\\frac{9{x}^{2}}{{x}^{2}+11x+30}\u00b7\\frac{{x}^{2}-36}{3{x}^{2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829788223\"><p id=\"fs-id1167836693347\">\\(\\frac{3\\left(x-6\\right)}{x+5}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167832999834\" class=\"howto\"><div data-type=\"title\">Multiply rational expressions.<\/div><ol id=\"fs-id1167833413093\" type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Factor each numerator and denominator completely.<\/li><li>Multiply the numerators and denominators.<\/li><li>Simplify by dividing out common factors.<\/li><\/ol><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167829906676\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829906679\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836299899\"><p>Multiply: \\(\\frac{3{a}^{2}-8a-3}{{a}^{2}-25}\u00b7\\frac{{a}^{2}+10a+25}{3{a}^{2}-14a-5}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836598002\"><p>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{3{a}^{2}-8a-3}{{a}^{2}-25}\u00b7\\frac{{a}^{2}+10a+25}{3{a}^{2}-14a-5}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Factor the numerators and denominators}\\hfill \\\\ \\text{and then multiply.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{\\left(3a+1\\right)\\left(a-3\\right)\\left(a+5\\right)\\left(a+5\\right)}{\\left(a-5\\right)\\left(a+5\\right)\\left(3a+1\\right)\\left(a-5\\right)}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Simplify by dividing out}\\hfill \\\\ \\text{common factors.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{\\overline{)\\left(3a+1\\right)}\\left(a-3\\right)\\overline{)\\left(a+5\\right)}\\left(a+5\\right)}{\\left(a-5\\right)\\overline{)\\left(a+5\\right)}\\overline{)\\left(3a+1\\right)}\\left(a-5\\right)}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{\\left(a-3\\right)\\left(a+5\\right)}{\\left(a-5\\right)\\left(a-5\\right)}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Rewrite}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\left(a-5\\right)\\left(a-5\\right)\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{using an exponent.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{\\left(a-3\\right)\\left(a+5\\right)}{{\\left(a-5\\right)}^{2}}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833024318\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836416496\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836416499\"><p id=\"fs-id1167836416501\">Simplify: \\(\\frac{2{x}^{2}+5x-12}{{x}^{2}-16}\u00b7\\frac{{x}^{2}-8x+16}{2{x}^{2}-13x+15}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833139730\"><p id=\"fs-id1167833139732\">\\(\\frac{x-4}{x-5}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836507689\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836507692\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836507695\"><p id=\"fs-id1167836691911\">Simplify: \\(\\frac{4{b}^{2}+7b-2}{1-{b}^{2}}\u00b7\\frac{{b}^{2}-2b+1}{4{b}^{2}+15b-4}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836532453\"><p id=\"fs-id1167836532456\">\\(-\\frac{\\left(b+2\\right)\\left(b-1\\right)}{\\left(1+b\\right)\\left(b+4\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167832982339\"><h3 data-type=\"title\">Divide Rational Expressions<\/h3><p id=\"fs-id1167832982344\">Just like we did for numerical fractions, to divide rational expressions, we multiply the first fraction by the reciprocal of the second.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836620438\"><div data-type=\"title\">Division of Rational Expressions<\/div><p id=\"fs-id1167836542330\">If <em data-effect=\"italics\">p<\/em>, <em data-effect=\"italics\">q<\/em>, <em data-effect=\"italics\">r,<\/em> and <em data-effect=\"italics\">s<\/em> are polynomials where \\(q\\ne 0,r\\ne 0,s\\ne 0,\\) then<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836503136\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\frac{p}{q}\u00f7\\frac{r}{s}=\\frac{p}{q}\u00b7\\frac{s}{r}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167829594550\">To divide rational expressions, multiply the first fraction by the reciprocal of the second.<\/p><\/div><p id=\"fs-id1167836684083\">Once we rewrite the division as multiplication of the first expression by the reciprocal of the second, we then factor everything and look for common factors.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167836539011\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"title\">How to Divide Rational Expressions<\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836539013\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836539015\"><p id=\"fs-id1167833059599\">Divide: \\(\\frac{{p}^{3}+{q}^{3}}{2{p}^{2}+2pq+2{q}^{2}}\u00f7\\frac{{p}^{2}-{q}^{2}}{6}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836293485\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836312059\" data-alt=\"Step 1 is to rewrite the division of the rational expression, the quantity p cubed plus q cubes divided by the quantity 2 p squared plus 2 p q plus 2 q squared divided by the rational expression, the quantity p squared minus q squared all divided by 6. Do this by flipping the rational expression, the quantity p squared minus q squared all divided by 6, and changing division to multiplication. The result is the quantity p cubed plus q cubes divided by the quantity 2 p squared plus 2 p q plus 2 q squared times the quantity 6 divided by the quantity p squared minus q squared.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_005a_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 1 is to rewrite the division of the rational expression, the quantity p cubed plus q cubes divided by the quantity 2 p squared plus 2 p q plus 2 q squared divided by the rational expression, the quantity p squared minus q squared all divided by 6. Do this by flipping the rational expression, the quantity p squared minus q squared all divided by 6, and changing division to multiplication. The result is the quantity p cubed plus q cubes divided by the quantity 2 p squared plus 2 p q plus 2 q squared times the quantity 6 divided by the quantity p squared minus q squared.\"><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167829692817\" data-alt=\"Step 2 is to factor the numerators, the quantity p cubed plus q cubed and 6, and the denominators, the quantity 2 p squared plus 2 p q plus 2 squared and the quantity p squared minus q squared, completely. The result is the quantity p plus q times the quantity p squared minus p q plus q squared all times the quantity 2 times 3 divided by the quantity p minus q times the quantity p plus q.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_005b_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 2 is to factor the numerators, the quantity p cubed plus q cubed and 6, and the denominators, the quantity 2 p squared plus 2 p q plus 2 squared and the quantity p squared minus q squared, completely. The result is the quantity p plus q times the quantity p squared minus p q plus q squared all times the quantity 2 times 3 divided by the quantity p minus q times the quantity p plus q.\"><\/span><span data-type=\"media\" data-alt=\"Step 3 is to multiply the numerators and denominators. The result is the quantity p plus q times the quantity p squared minus p q plus q squared times 2 times 3 all divided by the 2 times the quantity p squared plus p q plus q squared times the quantity p minus q times the quantity p plus q.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_005c_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 3 is to multiply the numerators and denominators. The result is the quantity p plus q times the quantity p squared minus p q plus q squared times 2 times 3 all divided by the 2 times the quantity p squared plus p q plus q squared times the quantity p minus q times the quantity p plus q.\"><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167829905516\" data-alt=\"Step 4 is to simplify the expression by dividing out the common factors, the quantity p plus q and 2. The result is 3 times the quantity p squared minus p q plus q squared all divided by the quantity p minus q times the quantity p squared plus p q plus q squared.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_005d_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 4 is to simplify the expression by dividing out the common factors, the quantity p plus q and 2. The result is 3 times the quantity p squared minus p q plus q squared all divided by the quantity p minus q times the quantity p squared plus p q plus q squared.\"><\/span><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836525229\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836525232\"><div data-type=\"problem\"><p id=\"fs-id1167833382189\">Simplify: \\(\\frac{{x}^{3}-8}{3{x}^{2}-6x+12}\u00f7\\frac{{x}^{2}-4}{6}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\"><p>\\(\\frac{2\\left({x}^{2}+2x+4\\right)}{\\left(x+2\\right)\\left({x}^{2}-2x+4\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829850299\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829850302\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836299591\"><p id=\"fs-id1167836299593\">Simplify: \\(\\frac{2{z}^{2}}{{z}^{2}-1}\u00f7\\frac{{z}^{3}-{z}^{2}+z}{{z}^{3}+1}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836550165\"><p id=\"fs-id1167836550167\">\\(\\frac{2z}{z-1}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833019045\" class=\"howto\"><div data-type=\"title\">Divide rational expressions.<\/div><ol id=\"fs-id1167836706805\" type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Rewrite the division as the product of the first rational expression and the reciprocal of the second.<\/li><li>Factor the numerators and denominators completely.<\/li><li>Multiply the numerators and denominators together.<\/li><li>Simplify by dividing out common factors.<\/li><\/ol><\/div><p id=\"fs-id1167829590594\">Recall from <a href=\"\/contents\/d3697553-3900-453f-8c08-8f74d55711ba\" class=\"target-chapter\">Use the Language of Algebra<\/a> that a complex fraction is a fraction that contains a fraction in the numerator, the denominator or both. Also, remember a fraction bar means division. A complex fraction is another way of writing division of two fractions.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167836624628\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836624630\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836635371\"><p id=\"fs-id1167836635373\">Divide: \\(\\frac{\\frac{6{x}^{2}-7x+2}{4x-8}}{\\frac{2{x}^{2}-7x+3}{{x}^{2}-5x+6}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\"><p id=\"fs-id1167829720000\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{\\frac{6{x}^{2}-7x+2}{4x-8}}{\\frac{2{x}^{2}-7x+3}{{x}^{2}-5x+6}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Rewrite with a division sign.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{6{x}^{2}-7x+2}{4x-8}\u00f7\\frac{2{x}^{2}-7x+3}{{x}^{2}-5x+6}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite as product of first times reciprocal}\\hfill \\\\ \\text{of second.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{6{x}^{2}-7x+2}{4x-8}\u00b7\\frac{{x}^{2}-5x+6}{2{x}^{2}-7x+3}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Factor the numerators and the}\\hfill \\\\ \\text{denominators, and then multiply.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{\\left(2x-1\\right)\\left(3x-2\\right)\\left(x-2\\right)\\left(x-3\\right)}{4\\left(x-2\\right)\\left(2x-1\\right)\\left(x-3\\right)}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify by dividing out common factors.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{\\overline{)\\left(2x-1\\right)}\\left(3x-2\\right)\\overline{)\\left(x-2\\right)}\\overline{)\\left(x-3\\right)}}{4\\overline{)\\left(x-2\\right)}\\overline{)\\left(2x-1\\right)}\\overline{)\\left(x-3\\right)}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\frac{3x-2}{4}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829747929\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829747933\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829747935\"><p id=\"fs-id1167836615782\">Simplify: \\(\\frac{\\frac{3{x}^{2}+7x+2}{4x+24}}{\\frac{3{x}^{2}-14x-5}{{x}^{2}+x-30}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836689172\"><p id=\"fs-id1167836689174\">\\(\\frac{x+2}{4}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836542486\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833023247\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833023249\"><p id=\"fs-id1167833023251\">Simplify: \\(\\frac{\\frac{{y}^{2}-36}{2{y}^{2}+11y-6}}{\\frac{2{y}^{2}-2y-60}{8y-4}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836730637\"><p id=\"fs-id1167836730640\">\\(\\frac{2}{y+5}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167833327174\">If we have more than two rational expressions to work with, we still follow the same procedure. The first step will be to rewrite any division as multiplication by the reciprocal. Then, we factor and multiply.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167829713040\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829713042\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829713045\"><p id=\"fs-id1167829713047\">Perform the indicated operations: \\(\\frac{3x-6}{4x-4}\u00b7\\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}-3x-10}\u00f7\\frac{2x+12}{8x+16}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836532637\"><table id=\"fs-id1167836532641\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"The quantity 3 x minus 6 divided by the quantity 4 x minus 4 times the quantity x squared plus 2 x minus 3 divided by the quantity x squared minus 3 x minus 10 divided by the quantity 2 x plus 12 divided by the quantity 8 x plus 16. To simplify the expression, rewrite the division as multiplication using the reciprocal of the quantity 2 x plus 12 divided by the quantity 8 x plus 16, which is the quantity 8 x plus 16 divided by the quantity 2 x plus 12. The result is the quantity 3 x minus 6 divided by the quantity 4 x minus 4 times the quantity x squared plus 2 x minus 3 divided by the quantity x squared minus 3 x minus 10 times the quantity 8 x plus 16 divided by the quantity 2 x plus 12. Factor the numerators and denominators. The numerator 3 x minus 6 factors into 3 times the quantity x minus 2. The numerator x squared plus 2 x minus 3 factors into the quantity x plus 3 times the quantity x minus 1. The numerator 8 x plus 16 factors into 8 times the quantity x plus 2. The denominator 4 x minus 4 factors into 4 times the quantity x minus 1. The denominator x squared minus 3 x minus 10 factors into the quantity x plus two times the quantity x minus 5. The denominator 2 x plus 12 factors into 2 times the quantity x plus 6. The result is the rational expression, 3 times the quantity x minus 2 divided by 4 times the quantity x minus 1 times the rational expression, the quantity x plus 3 times the quantity x minus 1 divided by the quantity x plus 2 times the quantity x minus 5 times the rational expression 8 times the quantity x plus 2 divided by 2 times the quantity x plus 6. Multiply the fractions, bringing the constants to the front of the expression to help remove common factors. The result is 3 times 8 times the quantity x minus 2 times the quantity x plus 3 times the quantity x minus 1 times the quantity x plus 2 all divided by 4 times 2 times the quantity x minus 1 times the quantity x plus 2 times the quantity x minus 5 times the quantity x plus 6. Simplify by removing the common factors. 8 is in the numerator and the product of 4 and 2 is 8 in the denominator. Remove the common factors, 8, x minus 1, and x plus 2 from the numerator and denominator. The result is 3 times the quantity x minus 2 times the quantity x plus 3 all divided by the quantity x minus 5 times the quantity x plus 6.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836444988\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_006a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Rewrite the division as multiplication<div data-type=\"newline\"><br><\/div>by the reciprocal.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167829721189\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_006b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Factor the numerators and the denominators.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836665163\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_006c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Multiply the fractions. Bringing the constants to<div data-type=\"newline\"><br><\/div>the front will help when removing common factors.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify by dividing out common factors.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_006d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836616432\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_006e_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836539198\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836539201\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836326116\"><p id=\"fs-id1167836326118\">Perform the indicated operations: \\(\\frac{4m+4}{3m-15}\u00b7\\frac{{m}^{2}-3m-10}{{m}^{2}-4m-32}\u00f7\\frac{12m-36}{6m-48}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836417806\"><p id=\"fs-id1167836417808\">\\(\\frac{2\\left(m+1\\right)\\left(m+2\\right)}{3\\left(m+4\\right)\\left(m-3\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836697267\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836697270\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836621886\"><p id=\"fs-id1167836621888\">Perform the indicated operations: \\(\\frac{2{n}^{2}+10n}{n-1}\u00f7\\frac{{n}^{2}+10n+24}{{n}^{2}+8n-9}\u00b7\\frac{n+4}{8{n}^{2}+12n}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829691149\"><p id=\"fs-id1167829691151\">\\(\\frac{\\left(n+5\\right)\\left(n+9\\right)}{2\\left(n+6\\right)\\left(2n+3\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167829644983\"><h3 data-type=\"title\">Multiply and Divide Rational Functions<\/h3><p id=\"fs-id1167829644988\">We started this section stating that a <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">rational expression<\/span> is an expression of the form \\(\\frac{p}{q},\\) where <em data-effect=\"italics\">p<\/em> and <em data-effect=\"italics\">q<\/em> are polynomials and \\(q\\ne 0.\\) Similarly, we define a <span data-type=\"term\">rational function<\/span> as a function of the form \\(R\\left(x\\right)=\\frac{p\\left(x\\right)}{q\\left(x\\right)}\\) where \\(p\\left(x\\right)\\) and \\(q\\left(x\\right)\\) are polynomial functions and \\(q\\left(x\\right)\\) is not zero.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833059225\"><div data-type=\"title\">Rational Function<\/div><p id=\"fs-id1167833059230\">A rational function is a function of the form<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167833059233\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(R\\left(x\\right)=\\frac{p\\left(x\\right)}{q\\left(x\\right)}\\)<\/div><p id=\"fs-id1167836732105\">where \\(p\\left(x\\right)\\) and \\(q\\left(x\\right)\\) are polynomial functions and \\(q\\left(x\\right)\\) is not zero.<\/p><\/div><p id=\"fs-id1167829595693\">The domain of a rational function is all real numbers except for those values that would cause division by zero. We must eliminate any values that make \\(q\\left(x\\right)=0.\\)<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833338734\" class=\"howto\"><div data-type=\"title\">Determine the domain of a rational function.<\/div><ol id=\"fs-id1167833138977\" type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Set the denominator equal to zero.<\/li><li>Solve the equation.<\/li><li>The domain is all real numbers excluding the values found in Step 2.<\/li><\/ol><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167829597438\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829597440\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829597443\"><p id=\"fs-id1167829597445\">Find the domain of \\(R\\left(x\\right)=\\frac{2{x}^{2}-14x}{4{x}^{2}-16x-48}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829644967\"><p id=\"fs-id1167829644969\">The domain will be all real numbers except those values that make the denominator zero. We will set the denominator equal to zero , solve that equation, and then exclude those values from the domain.<\/p><p id=\"fs-id1167836730404\">\\(\\begin{array}{cccc}\\text{Set the denominator to zero.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill 4{x}^{2}-16x-48=0\\phantom{\\rule{0.7em}{0ex}}\\\\ \\text{Factor, first factor out the GCF.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill 4\\left({x}^{2}-4x-12\\right)=0\\phantom{\\rule{0.7em}{0ex}}\\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill 4\\left(x-6\\right)\\left(x+2\\right)=0\\phantom{\\rule{0.7em}{0ex}}\\\\ \\text{Use the Zero Product Property.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill 4\\ne 0\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}x-6=0\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}x+2=0\\phantom{\\rule{0.7em}{0ex}}\\\\ \\text{Solve.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill x=6\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}x=-2\\\\ &amp; &amp; &amp; \\begin{array}{c}\\text{The domain of}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}R\\left(x\\right)\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is all real numbers}\\hfill \\\\ \\text{where}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x\\ne 6\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x\\ne \\text{\u2212}2.\\hfill \\end{array}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833024056\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833024060\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833024062\"><p id=\"fs-id1167829908161\">Find the domain of \\(R\\left(x\\right)=\\frac{2{x}^{2}-10x}{4{x}^{2}-16x-20}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836635186\"><p id=\"fs-id1167836635188\">The domain of \\(R\\left(x\\right)\\) is all real numbers where \\(x\\ne 5\\) and \\(x\\ne \\text{\u2212}1.\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833158074\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833158077\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833158080\"><p id=\"fs-id1167833158082\">Find the domain of \\(R\\left(x\\right)=\\frac{4{x}^{2}-16x}{8{x}^{2}-16x-64}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\"><p>The domain of \\(R\\left(x\\right)\\) is all real numbers where \\(x\\ne 4\\) and \\(x\\ne \\text{\u2212}2.\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167836629113\">To multiply rational functions, we multiply the resulting rational expressions on the right side of the equation using the same techniques we used to multiply rational expressions.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167836629118\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836629120\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836629122\"><p id=\"fs-id1167836629124\">Find \\(R\\left(x\\right)=f\\left(x\\right)\u00b7g\\left(x\\right)\\) where \\(f\\left(x\\right)=\\frac{2x-6}{{x}^{2}-8x+15}\\) and \\(g\\left(x\\right)=\\frac{{x}^{2}-25}{2x+10}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836629434\"><p>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}R\\left(x\\right)=f\\left(x\\right)\u00b7g\\left(x\\right)\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}R\\left(x\\right)=\\frac{2x-6}{{x}^{2}-8x+15}\u00b7\\frac{{x}^{2}-25}{2x+10}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Factor each numerator and denominator.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}R\\left(x\\right)=\\frac{2\\left(x-3\\right)}{\\left(x-3\\right)\\left(x-5\\right)}\u00b7\\frac{\\left(x-5\\right)\\left(x+5\\right)}{2\\left(x+5\\right)}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Multiply the numerators and denominators.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}R\\left(x\\right)=\\frac{2\\left(x-3\\right)\\left(x-5\\right)\\left(x+5\\right)}{2\\left(x-3\\right)\\left(x-5\\right)\\left(x+5\\right)}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Remove common factors.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}R\\left(x\\right)=\\frac{\\overline{)2}\\overline{)\\left(x-3\\right)}\\overline{)\\left(x-5\\right)}\\overline{)\\left(x+5\\right)}}{\\overline{)2}\\overline{)\\left(x-3\\right)}\\overline{)\\left(x-5\\right)}\\overline{)\\left(x+5\\right)}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}R\\left(x\\right)=1\\hfill \\end{array}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833047274\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829590372\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829590374\"><p id=\"fs-id1167829590376\">Find \\(R\\left(x\\right)=f\\left(x\\right)\u00b7g\\left(x\\right)\\) where \\(f\\left(x\\right)=\\frac{3x-21}{{x}^{2}-9x+14}\\) and \\(g\\left(x\\right)=\\frac{2{x}^{2}-8}{3x+6}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836444955\"><p id=\"fs-id1167836444957\">\\(R\\left(x\\right)=2\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836310741\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836310744\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833055836\"><p id=\"fs-id1167833055838\">Find \\(R\\left(x\\right)=f\\left(x\\right)\u00b7g\\left(x\\right)\\) where \\(f\\left(x\\right)=\\frac{{x}^{2}-x}{3{x}^{2}+27x-30}\\) and \\(g\\left(x\\right)=\\frac{{x}^{2}-100}{{x}^{2}-10x}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833048291\"><p id=\"fs-id1167833048293\">\\(R\\left(x\\right)=\\frac{1}{3}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p>To divide rational functions, we divide the resulting rational expressions on the right side of the equation using the same techniques we used to divide rational expressions.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167829624125\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829719479\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829719481\"><p id=\"fs-id1167829719483\">Find \\(R\\left(x\\right)=\\frac{f\\left(x\\right)}{g\\left(x\\right)}\\) where \\(f\\left(x\\right)=\\frac{3{x}^{2}}{{x}^{2}-4x}\\) and \\(g\\left(x\\right)=\\frac{9{x}^{2}-45x}{{x}^{2}-7x+10}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829694845\"><p id=\"fs-id1167829694847\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}R\\left(x\\right)=\\frac{f\\left(x\\right)}{g\\left(x\\right)}\\hfill \\\\ \\text{Substitute in the functions}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}f\\left(x\\right),\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}g\\left(x\\right).\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}R\\left(x\\right)=\\frac{\\frac{3{x}^{2}}{{x}^{2}-4x}}{\\frac{9{x}^{2}-45x}{{x}^{2}-7x+10}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the division as the product of}\\hfill \\\\ f\\left(x\\right)\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{and the reciprocal of}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}g\\left(x\\right).\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}R\\left(x\\right)=\\frac{3{x}^{2}}{{x}^{2}-4x}\u00b7\\frac{{x}^{2}-7x+10}{9{x}^{2}-45x}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Factor the numerators and denominators}\\hfill \\\\ \\text{and then multiply.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}R\\left(x\\right)=\\frac{3\u00b7x\u00b7x\u00b7\\left(x-5\\right)\\left(x-2\\right)}{x\\left(x-4\\right)\u00b73\u00b73\u00b7x\u00b7\\left(x-5\\right)}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify by dividing out common factors.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}R\\left(x\\right)=\\frac{\\overline{)3}\u00b7\\overline{)x}\u00b7\\overline{)x}\\overline{)\\left(x-5\\right)}\\left(x-2\\right)}{\\overline{)x}\\left(x-4\\right)\u00b7\\overline{)3}\u00b73\u00b7\\overline{)x}\\overline{)\\left(x-5\\right)}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}R\\left(x\\right)=\\frac{x-2}{3\\left(x-4\\right)}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833382940\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833382942\"><p id=\"fs-id1167833382945\">Find \\(R\\left(x\\right)=\\frac{f\\left(x\\right)}{g\\left(x\\right)}\\) where \\(f\\left(x\\right)=\\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}-8x}\\) and \\(g\\left(x\\right)=\\frac{8{x}^{2}+24x}{{x}^{2}+x-6}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836648830\"><p id=\"fs-id1167836648832\">\\(R\\left(x\\right)=\\frac{x-2}{4\\left(x-8\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829830051\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829830054\"><div data-type=\"problem\"><p id=\"fs-id1167829830058\">Find \\(R\\left(x\\right)=\\frac{f\\left(x\\right)}{g\\left(x\\right)}\\) where \\(f\\left(x\\right)=\\frac{15{x}^{2}}{3{x}^{2}+33x}\\) and \\(g\\left(x\\right)=\\frac{5x-5}{{x}^{2}+9x-22}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836576162\"><p id=\"fs-id1167836576164\">\\(R\\left(x\\right)=\\frac{x\\left(x-2\\right)}{x-1}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167833055818\"><h3 data-type=\"title\">Key Concepts<\/h3><ul id=\"fs-id1167829713109\" data-bullet-style=\"bullet\"><li><strong data-effect=\"bold\">Determine the values for which a rational expression is undefined.<\/strong><ol id=\"fs-id1167829713117\" type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Set the denominator equal to zero.<\/li><li>Solve the equation.<\/li><\/ol><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Equivalent Fractions Property<\/strong><div data-type=\"newline\"><br><\/div> If <em data-effect=\"italics\">a<\/em>, <em data-effect=\"italics\">b<\/em>, and <em data-effect=\"italics\">c<\/em> are numbers where \\(b\\ne 0,c\\ne 0,\\) then \\(\\frac{a}{b}=\\frac{a\u00b7c}{b\u00b7c}\\) and \\(\\frac{a\u00b7c}{b\u00b7c}=\\frac{a}{b}.\\)<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">How to simplify a rational expression.<\/strong><ol id=\"fs-id1167833138259\" type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Factor the numerator and denominator completely.<\/li><li>Simplify by dividing out common factors.<\/li><\/ol><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Opposites in a Rational Expression<\/strong><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\u2003\u2003\u2003\u2003 The opposite of \\(a-b\\) is \\(b-a.\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div>\u2003\u2003\u2003\u2003\\(\\frac{a-b}{b-a}=-1\\phantom{\\rule{8em}{0ex}}a\\ne b\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div>\u2003\u2003\u2003\u2003An expression and its opposite divide to \\(-1.\\)<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Multiplication of Rational Expressions<\/strong><div data-type=\"newline\"><br><\/div> If <em data-effect=\"italics\">p<\/em>, <em data-effect=\"italics\">q<\/em>, <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, and <em data-effect=\"italics\">s<\/em> are polynomials where \\(q\\ne 0,s\\ne 0,\\) then<div data-type=\"newline\"><br><\/div> \\(\\phantom{\\rule{8em}{0ex}}\\frac{p}{q}\u00b7\\frac{r}{s}=\\frac{pr}{qs}\\)<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">How to multiply rational expressions.<\/strong><ol id=\"fs-id1167833009502\" type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Factor each numerator and denominator completely.<\/li><li>Multiply the numerators and denominators.<\/li><li>Simplify by dividing out common factors.<\/li><\/ol><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Division of Rational Expressions<\/strong><div data-type=\"newline\"><br><\/div> If <em data-effect=\"italics\">p<\/em>, <em data-effect=\"italics\">q<\/em>, <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, and <em data-effect=\"italics\">s<\/em> are polynomials where \\(q\\ne 0,r\\ne 0,s\\ne 0,\\) then<div data-type=\"newline\"><br><\/div> \\(\\phantom{\\rule{8em}{0ex}}\\frac{p}{q}\u00f7\\frac{r}{s}=\\frac{p}{q}\u00b7\\frac{s}{r}\\)<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">How to divide rational expressions.<\/strong><ol type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Rewrite the division as the product of the first rational expression and the reciprocal of the second.<\/li><li>Factor the numerators and denominators completely.<\/li><li>Multiply the numerators and denominators together.<\/li><li>Simplify by dividing out common factors.<\/li><\/ol><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">How to determine the domain of a rational function.<\/strong><ol id=\"fs-id1167833056103\" type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Set the denominator equal to zero.<\/li><li>Solve the equation.<\/li><li>The domain is all real numbers excluding the values found in Step 2.<\/li><\/ol><\/li><\/ul><\/div><div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167836548283\"><div class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167836548287\"><h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4><p id=\"fs-id1167836548294\"><strong data-effect=\"bold\">Determine the Values for Which a Rational Expression is Undefined<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167836548301\">In the following exercises, determine the values for which the rational expression is undefined.<\/p><div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\"><p><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{2{x}^{2}}{z}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{4p-1}{6p-5}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{n-3}{{n}^{2}+2n-8}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829785065\"><p id=\"fs-id1167829785067\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(z=0\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(p=\\frac{5}{6}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(n=-4,n=2\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829683714\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829716228\"><p id=\"fs-id1167829716231\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{10m}{11n}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{6y+13}{4y-9}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{b-8}{{b}^{2}-36}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829590416\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829590418\"><p><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{4{x}^{2}y}{3y}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{3x-2}{2x+1}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{u-1}{{u}^{2}-3u-28}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833311270\"><p id=\"fs-id1167833311272\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(y=0\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(x=-\\frac{1}{2}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(u=-4,u=7\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833055333\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833055335\"><p id=\"fs-id1167833055337\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{5p{q}^{2}}{9q}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{7a-4}{3a+5}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{{x}^{2}-4}\\)<\/div><\/div><p id=\"fs-id1167836624536\"><strong data-effect=\"bold\">Simplify Rational Expressions<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167836624542\">In the following exercises, simplify each rational expression.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836624546\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836624548\"><p id=\"fs-id1167836624550\">\\(-\\frac{44}{55}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836484854\"><p id=\"fs-id1167836484856\">\\(-\\frac{4}{5}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829715823\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829715825\"><p id=\"fs-id1167829715827\">\\(\\frac{56}{63}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832936464\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832936466\"><p id=\"fs-id1167832936469\">\\(\\frac{8{m}^{3}n}{12m{n}^{2}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836529047\"><p id=\"fs-id1167836529049\">\\(\\frac{2{m}^{2}}{3n}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829628026\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829628028\"><p id=\"fs-id1167829628030\">\\(\\frac{36{v}^{3}{w}^{2}}{27v{w}^{3}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833181223\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833181226\"><p id=\"fs-id1167833181228\">\\(\\frac{8n-96}{3n-36}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836624844\"><p id=\"fs-id1167836624847\">\\(\\frac{8}{3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833368989\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833368991\"><p id=\"fs-id1167833368994\">\\(\\frac{12p-240}{5p-100}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829739733\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829739735\"><p id=\"fs-id1167829739737\">\\(\\frac{{x}^{2}+4x-5}{{x}^{2}-2x+1}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836433907\"><p id=\"fs-id1167836433909\">\\(\\frac{x+5}{x-1}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836552380\"><p>\\(\\frac{{y}^{2}+3y-4}{{y}^{2}-6y+5}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829833361\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829833364\"><p id=\"fs-id1167829833366\">\\(\\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}+6a-16}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836663015\"><p id=\"fs-id1167836663018\">\\(\\frac{a+2}{a+8}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836628275\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836628277\"><p id=\"fs-id1167836628279\">\\(\\frac{{y}^{2}-2y-3}{{y}^{2}-9}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829833237\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829833239\"><p id=\"fs-id1167829833241\">\\(\\frac{{p}^{3}+3{p}^{2}+4p+12}{{p}^{2}+p-6}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833059035\"><p id=\"fs-id1167833059037\">\\(\\frac{{p}^{2}+4}{p-2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833158120\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833158122\"><p id=\"fs-id1167833158124\">\\(\\frac{{x}^{3}-2{x}^{2}-25x+50}{{x}^{2}-25}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836450372\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836450375\"><p id=\"fs-id1167836450377\">\\(\\frac{8{b}^{2}-32b}{2{b}^{2}-6b-80}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829620931\"><p id=\"fs-id1167829620933\">\\(\\frac{4b\\left(b-4\\right)}{\\left(b+5\\right)\\left(b-8\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\"><div data-type=\"problem\"><p id=\"fs-id1167836667019\">\\(\\frac{-5{c}^{2}-10c}{-10{c}^{2}+30c+100}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833339818\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833339820\"><p id=\"fs-id1167833339822\">\\(\\frac{3{m}^{2}+30mn+75{n}^{2}}{4{m}^{2}-100{n}^{2}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836619448\"><p id=\"fs-id1167836619450\">\\(\\frac{3\\left(m+5n\\right)}{4\\left(m-5n\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829720689\"><div data-type=\"problem\"><p id=\"fs-id1167829720694\">\\(\\frac{5{r}^{2}+30rs-35{s}^{2}}{{r}^{2}-49{s}^{2}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836546957\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836546959\"><p id=\"fs-id1167836546961\">\\(\\frac{a-5}{5-a}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836629503\"><p id=\"fs-id1167836629505\">\\(-1\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836629513\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836629516\"><p id=\"fs-id1167836629518\">\\(\\frac{5-d}{d-5}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829721073\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829721075\"><p id=\"fs-id1167829721077\">\\(\\frac{20-5y}{{y}^{2}-16}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836551746\"><p id=\"fs-id1167836551748\">\\(-\\frac{5}{y+4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836728500\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836728502\"><p id=\"fs-id1167836728504\">\\(\\frac{4v-32}{64-{v}^{2}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836731038\"><p id=\"fs-id1167833366668\">\\(\\frac{{w}^{3}+216}{{w}^{2}-36}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833366695\"><p id=\"fs-id1167833366698\">\\(\\frac{{w}^{2}-6w+36}{w-6}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836532527\"><div data-type=\"problem\"><p id=\"fs-id1167836620768\">\\(\\frac{{v}^{3}+125}{{v}^{2}-25}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836296391\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836296393\"><p id=\"fs-id1167833381670\">\\(\\frac{{z}^{2}-9z+20}{16-{z}^{2}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836629533\"><p id=\"fs-id1167836629536\">\\(-\\frac{z-5}{4+z}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836629560\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836629562\"><p id=\"fs-id1167836629564\">\\(\\frac{{a}^{2}-5z-36}{81-{a}^{2}}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167829785105\"><strong data-effect=\"bold\">Multiply Rational Expressions<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167829785111\">In the following exercises, multiply the rational expressions.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829785114\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829747998\"><p id=\"fs-id1167829748000\">\\(\\frac{12}{16}\u00b7\\frac{4}{10}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829748021\"><p>\\(\\frac{3}{10}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836554625\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836554627\"><p id=\"fs-id1167836554629\">\\(\\frac{32}{5}\u00b7\\frac{16}{24}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833339572\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833339575\"><p id=\"fs-id1167833339577\">\\(\\frac{5{x}^{2}{y}^{4}}{12x{y}^{3}}\u00b7\\frac{6{x}^{2}}{20{y}^{2}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829718996\"><p id=\"fs-id1167829789437\">\\(\\frac{{x}^{3}}{8y}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829789457\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829789459\"><p id=\"fs-id1167829789461\">\\(\\frac{12{a}^{3}b}{{b}^{2}}\u00b7\\frac{2a{b}^{2}}{9{b}^{3}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829746882\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829746884\"><p id=\"fs-id1167829746887\">\\(\\frac{5{p}^{2}}{{p}^{2}-5p-36}\u00b7\\frac{{p}^{2}-16}{10p}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833009519\"><p id=\"fs-id1167833009521\">\\(\\frac{p\\left(p-4\\right)}{2\\left(p-9\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833181694\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833181696\"><p id=\"fs-id1167833181699\">\\(\\frac{3{q}^{2}}{{q}^{2}+q-6}\u00b7\\frac{{q}^{2}-9}{9q}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836625757\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836625759\"><p id=\"fs-id1167836625761\">\\(\\frac{2{y}^{2}-10y}{{y}^{2}+10y+25}\u00b7\\frac{y+5}{6y}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829594912\"><p id=\"fs-id1167829594914\">\\(\\frac{y-5}{3\\left(y+5\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833009467\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833009469\"><p id=\"fs-id1167833009471\">\\(\\frac{{z}^{2}+3z}{{z}^{2}-3z-4}\u00b7\\frac{z-4}{{z}^{2}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836706074\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836706077\"><p>\\(\\frac{28-4b}{3b-3}\u00b7\\frac{{b}^{2}+8b-9}{{b}^{2}-49}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836701550\"><p id=\"fs-id1167836701553\">\\(-\\frac{4\\left(b+9\\right)}{3\\left(b+7\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836554392\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836554394\"><p id=\"fs-id1167833339322\">\\(\\frac{72m-12{m}^{2}}{8m+32}\u00b7\\frac{{m}^{2}+10m+24}{{m}^{2}-36}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833212921\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833212923\"><p id=\"fs-id1167833212926\">\\(\\frac{5{c}^{2}+9c+2}{{c}^{2}-25}\u00b7\\frac{{c}^{2}+10c+25}{3{c}^{2}-14c-5}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826025479\"><p id=\"fs-id1167826025481\">\\(\\frac{\\left(c+2\\right)\\left(c+2\\right)}{\\left(c-2\\right)\\left(c-3\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836557623\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836557625\"><p id=\"fs-id1167836557627\">\\(\\frac{2{d}^{2}+d-3}{{d}^{2}-16}\u00b7\\frac{{d}^{2}-8d+16}{2{d}^{2}-9d-18}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836792734\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836792736\"><p id=\"fs-id1167836792738\">\\(\\frac{2{m}^{2}-3m-2}{2{m}^{2}+7m+3}\u00b7\\frac{3{m}^{2}-14m+15}{3{m}^{2}+17m-20}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832989094\"><p id=\"fs-id1167832989096\">\\(\\frac{\\left(m-3\\right)\\left(m-2\\right)}{\\left(m+4\\right)\\left(m+3\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836548354\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836548356\"><p id=\"fs-id1167836548358\">\\(\\frac{2{n}^{2}-3n-14}{25-{n}^{2}}\u00b7\\frac{{n}^{2}-10n+25}{2{n}^{2}-13n+21}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167829719911\"><strong data-effect=\"bold\">Divide Rational Expressions<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1167829719917\">In the following exercises, divide the rational expressions.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829719920\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829719923\"><p id=\"fs-id1167829719925\">\\(\\frac{v-5}{11-v}\u00f7\\frac{{v}^{2}-25}{v-11}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833009075\"><p id=\"fs-id1167833009077\">\\(-\\frac{1}{v+5}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833009096\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836476699\"><p id=\"fs-id1167836476701\">\\(\\frac{10+w}{w-8}\u00f7\\frac{100-{w}^{2}}{8-w}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829689466\"><p id=\"fs-id1167829689468\">\\(\\frac{3{s}^{2}}{{s}^{2}-16}\u00f7\\frac{{s}^{3}-4{s}^{2}+16s}{{s}^{3}-64}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836455942\"><p id=\"fs-id1167836455944\">\\(\\frac{3s}{s+4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836570313\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836570315\"><p id=\"fs-id1167836570317\">\\(\\frac{{r}^{2}-9}{15}\u00f7\\frac{{r}^{3}-27}{5{r}^{2}+15r+45}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833240041\"><p id=\"fs-id1167833240043\">\\(\\frac{{p}^{3}+{q}^{3}}{3{p}^{2}+3pq+3{q}^{2}}\u00f7\\frac{{p}^{2}-{q}^{2}}{12}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836341409\"><p id=\"fs-id1167836341411\">\\(\\frac{4\\left({p}^{2}-pq+{q}^{2}\\right)}{\\left(p-q\\right)\\left({p}^{2}+pq+{q}^{2}\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836455985\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836455987\"><p id=\"fs-id1167836455989\">\\(\\frac{{v}^{3}-8{w}^{3}}{2{v}^{2}+4vw+8{w}^{2}}\u00f7\\frac{{v}^{2}-4{w}^{2}}{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836625349\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836625351\"><p id=\"fs-id1167836625353\">\\(\\frac{{x}^{2}+3x-10}{4x}\u00f7\\left(2{x}^{2}+20x+50\\right)\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836392104\"><p id=\"fs-id1167836392106\">\\(\\frac{x-2}{8x}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836392126\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836392128\"><p id=\"fs-id1167836392130\">\\(\\frac{2{y}^{2}-10yz-48{z}^{2}}{2y-1}\u00f7\\left(4{y}^{2}-32yz\\right)\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830014005\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830014007\"><p id=\"fs-id1167830014009\">\\(\\frac{\\frac{2{a}^{2}-a-21}{5a+20}}{\\frac{{a}^{2}+7a+12}{{a}^{2}+8a+16}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836492093\"><p id=\"fs-id1167836492095\">\\(\\frac{2a-7}{5}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836492114\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829834004\"><p id=\"fs-id1167829834006\">\\(\\frac{\\frac{3{b}^{2}+2b-8}{12b+18}}{\\frac{3{b}^{2}+2b-8}{2{b}^{2}-7b-15}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833223790\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833223792\"><p id=\"fs-id1167833223794\">\\(\\frac{\\frac{12{c}^{2}-12}{2{c}^{2}-3c+1}}{\\frac{4c+4}{6{c}^{2}-13c+5}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833329649\"><p id=\"fs-id1167833329651\">\\(3\\left(3c-5\\right)\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833329674\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833329676\"><p id=\"fs-id1167833329679\">\\(\\frac{\\frac{4{d}^{2}+7d-2}{35d+10}}{\\frac{{d}^{2}-4}{7{d}^{2}-12d-4}}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167836509892\">For the following exercises, perform the indicated operations.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836509895\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836509897\"><p id=\"fs-id1167836509899\">\\(\\frac{10{m}^{2}+80m}{3m-9}\u00b7\\frac{{m}^{2}+4m-21}{{m}^{2}-9m+20}\u00f7\\frac{5{m}^{2}+10m}{2m-10}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833310045\"><p id=\"fs-id1167833310048\">\\(\\frac{4\\left(m+8\\right)\\left(m+7\\right)}{3\\left(m-4\\right)\\left(m+2\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836539626\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836539629\"><p id=\"fs-id1167836539631\">\\(\\frac{4{n}^{2}+32n}{3n+2}\u00b7\\frac{3{n}^{2}-n-2}{{n}^{2}+n-30}\u00f7\\frac{108{n}^{2}-24n}{n+6}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836624612\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836624614\"><p id=\"fs-id1167836624616\">\\(\\frac{12{p}^{2}+3p}{p+3}\u00f7\\frac{{p}^{2}+2p-63}{{p}^{2}-p-12}\u00b7\\frac{p-7}{9{p}^{3}-9{p}^{2}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829744094\"><p id=\"fs-id1167829744096\">\\(\\frac{\\left(4p+1\\right)\\left(p-4\\right)}{3p\\left(p+9\\right)\\left(p-1\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836375623\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836375626\"><p id=\"fs-id1167829688780\">\\(\\frac{6q+3}{9{q}^{2}-9q}\u00f7\\frac{{q}^{2}+14q+33}{{q}^{2}+4q-5}\u00b7\\frac{4{q}^{2}+12q}{12q+6}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167833059093\"><strong data-effect=\"bold\">Multiply and Divide Rational Functions<\/strong><\/p><p>In the following exercises, find the domain of each function.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833059102\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\"><p>\\(R\\left(x\\right)=\\frac{{x}^{3}-2{x}^{2}-25x+50}{{x}^{2}-25}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829689510\"><p id=\"fs-id1167829689513\">\\(x\\ne 5\\) and \\(x\\ne \\text{\u2212}5\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829689537\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829689539\"><p id=\"fs-id1167829689541\">\\(R\\left(x\\right)=\\frac{{x}^{3}+3{x}^{2}-4x-12}{{x}^{2}-4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836732150\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836732152\"><p id=\"fs-id1167836732154\">\\(R\\left(x\\right)=\\frac{3{x}^{2}+15x}{6{x}^{2}+6x-36}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833340031\"><p id=\"fs-id1167833340033\">\\(x\\ne 2\\) and \\(x\\ne \\text{\u2212}3\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833340058\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833340060\"><p id=\"fs-id1167833340062\">\\(R\\left(x\\right)=\\frac{8{x}^{2}-32x}{2{x}^{2}-6x-80}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1167829906144\">For the following exercises, find \\(R\\left(x\\right)=f\\left(x\\right)\u00b7g\\left(x\\right)\\) where \\(f\\left(x\\right)\\) and \\(g\\left(x\\right)\\) are given.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836576054\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836699994\"><p id=\"fs-id1167836699996\">\\(f\\left(x\\right)=\\frac{6{x}^{2}-12x}{{x}^{2}+7x-18}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\phantom{\\rule{1.4em}{0ex}}g\\left(x\\right)=\\frac{{x}^{2}-81}{3{x}^{2}-27x}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836690844\"><p id=\"fs-id1167836690847\">\\(R\\left(x\\right)=2\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836690867\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836690869\"><p id=\"fs-id1167836690871\">\\(f\\left(x\\right)=\\frac{{x}^{2}-2x}{{x}^{2}+6x-16}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\phantom{\\rule{1.4em}{0ex}}g\\left(x\\right)=\\frac{{x}^{2}-64}{{x}^{2}-8x}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829713616\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829713618\"><p id=\"fs-id1167829713620\">\\(f\\left(x\\right)=\\frac{4x}{{x}^{2}-3x-10}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\phantom{\\rule{1.4em}{0ex}}g\\left(x\\right)=\\frac{{x}^{2}-25}{8{x}^{2}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833025227\"><p>\\(R\\left(x\\right)=\\frac{x+5}{2x\\left(x+2\\right)}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833025275\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833025277\"><p id=\"fs-id1167833025279\">\\(f\\left(x\\right)=\\frac{2{x}^{2}+8x}{{x}^{2}-9x+20}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\phantom{\\rule{1.4em}{0ex}}g\\left(x\\right)=\\frac{x-5}{{x}^{2}}\\)<\/div><\/div><p id=\"fs-id1167836697807\">For the following exercises, find \\(R\\left(x\\right)=\\frac{f\\left(x\\right)}{g\\left(x\\right)}\\) where \\(f\\left(x\\right)\\) and \\(g\\left(x\\right)\\) are given.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833020060\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833020062\"><p id=\"fs-id1167833020064\">\\(f\\left(x\\right)=\\frac{27{x}^{2}}{3x-21}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\phantom{\\rule{1.4em}{0ex}}g\\left(x\\right)=\\frac{3{x}^{2}+18x}{{x}^{2}+13x+42}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836391294\"><p id=\"fs-id1167836391296\">\\(R\\left(x\\right)=\\frac{3x\\left(x+7\\right)}{x-7}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833082422\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833082424\"><p id=\"fs-id1167833082426\">\\(f\\left(x\\right)=\\frac{24{x}^{2}}{2x-8}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\phantom{\\rule{1.4em}{0ex}}g\\left(x\\right)=\\frac{4{x}^{3}+28{x}^{2}}{{x}^{2}+11x+28}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833339505\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833339508\"><p id=\"fs-id1167833339510\">\\(f\\left(x\\right)=\\frac{16{x}^{2}}{4x+36}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\phantom{\\rule{1.4em}{0ex}}g\\left(x\\right)=\\frac{4{x}^{2}-24x}{{x}^{2}+4x-45}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829787176\"><p id=\"fs-id1167829787178\">\\(R\\left(x\\right)=\\frac{x\\left(x-5\\right)}{x-6}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833316754\" class=\"material-set-2\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833316756\"><p id=\"fs-id1167833316758\">\\(f\\left(x\\right)=\\frac{24{x}^{2}}{2x-4}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\phantom{\\rule{1.4em}{0ex}}g\\left(x\\right)=\\frac{12{x}^{2}+36x}{{x}^{2}-11x+18}\\)<\/div><\/div><\/div><div class=\"writing\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167833407439\"><h4 data-type=\"title\">Writing Exercises<\/h4><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833407446\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833407448\"><p id=\"fs-id1167833407450\">Explain how you find the values of <em data-effect=\"italics\">x<\/em> for which the rational expression \\(\\frac{{x}^{2}-x-20}{{x}^{2}-4}\\) is undefined.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829784980\"><p id=\"fs-id1167829784982\">Answers will vary.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829784987\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829784990\"><p id=\"fs-id1167829784992\">Explain all the steps you take to simplify the rational expression \\(\\frac{{p}^{2}+4p-21}{9-{p}^{2}}.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829785036\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829785039\"><p id=\"fs-id1167829785041\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> Multiply \\(\\frac{7}{4}\u00b7\\frac{9}{10}\\) and explain all your steps.<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span> Multiply \\(\\frac{n}{n-3}\u00b7\\frac{9}{n+3}\\) and explain all your steps.<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span> Evaluate your answer to part <span class=\"token\">\u24d1<\/span> when \\(n=7\\). Did you get the same answer you got in part <span class=\"token\">\u24d0<\/span>? Why or why not?<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836665075\"><p id=\"fs-id1167836665077\">Answers will vary.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836665082\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836665084\"><p id=\"fs-id1167836665086\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> Divide \\(\\frac{24}{5}\u00f76\\) and explain all your steps.<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span> Divide \\(\\frac{{x}^{2}-1}{x}\u00f7\\left(x+1\\right)\\) and explain all your steps.<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span> Evaluate your answer to part <span class=\"token\">\u24d1<\/span> when \\(x=5.\\) Did you get the same answer you got in part <span class=\"token\">\u24d0<\/span>? Why or why not?<\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167829942518\"><h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4><p id=\"fs-id1167829942528\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167829942545\" data-alt=\"This table has four columns and six rows. The first row is a header and it labels each column, \u201cI can\u2026\u201d, \u201cConfidently,\u201d \u201cWith some help,\u201d and \u201cNo-I don\u2019t get it!\u201d In row 2, the I can was determine the values for which a rational expression is undefined. In row 3, the I can was simplify rationale expressions. In row 4, the I can was multiply rational expressions. In row 5, the I can was divide rational expressions. In row 6, the I can was multiply and divide rational functions. There is the nothing in the other columns.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_201_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This table has four columns and six rows. The first row is a header and it labels each column, \u201cI can\u2026\u201d, \u201cConfidently,\u201d \u201cWith some help,\u201d and \u201cNo-I don\u2019t get it!\u201d In row 2, the I can was determine the values for which a rational expression is undefined. In row 3, the I can was simplify rationale expressions. In row 4, the I can was multiply rational expressions. In row 5, the I can was divide rational expressions. In row 6, the I can was multiply and divide rational functions. There is the nothing in the other columns.\"><\/span><p id=\"fs-id1167829942539\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> If most of your checks were:<\/p><p id=\"fs-id1167833139411\"><strong data-effect=\"bold\">\u2026confidently.<\/strong> Congratulations! You have achieved your goals in this section! Reflect on the study skills you used so that you can continue to use them. What did you do to become confident of your ability to do these things? Be specific!<\/p><p id=\"fs-id1167833139421\"><strong data-effect=\"bold\">\u2026with some help.<\/strong> This must be addressed quickly as topics you do not master become potholes in your road to success. Math is sequential - every topic builds upon previous work. It is important to make sure you have a strong foundation before you move on. Who can you ask for help? Your fellow classmates and instructor are good resources. Is there a place on campus where math tutors are available? Can your study skills be improved?<\/p><p id=\"fs-id1167833139432\"><strong data-effect=\"bold\">\u2026no - I don\u2019t get it!<\/strong> This is critical and you must not ignore it. You need to get help immediately or you will quickly be overwhelmed. See your instructor as soon as possible to discuss your situation. Together you can come up with a plan to get you the help you need.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"glossary\" class=\"textbox shaded\"><h3 data-type=\"glossary-title\">Glossary<\/h3><dl id=\"fs-id1167833139455\"><dt>rational expression<\/dt><dd id=\"fs-id1167833139460\">A rational expression is an expression of the form \\(\\frac{p}{q},\\) where <em data-effect=\"italics\">p<\/em> and <em data-effect=\"italics\">q<\/em> are polynomials and \\(q\\ne 0.\\)<\/dd><\/dl><dl id=\"fs-id1167836650203\"><dt>simplified rational expression<\/dt><dd id=\"fs-id1167836650208\">A simplified rational expression has no common factors, other than 1, in its numerator and denominator.<\/dd><\/dl><dl id=\"fs-id1167836650214\"><dt>rational function<\/dt><dd id=\"fs-id1167836650219\">A rational function is a function of the form \\(R\\left(x\\right)=\\frac{p\\left(x\\right)}{q\\left(x\\right)}\\) where \\(p\\left(x\\right)\\) and \\(q\\left(x\\right)\\) are polynomial functions and \\(q\\left(x\\right)\\) is not zero.<\/dd><\/dl><\/div>\n","rendered":"<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\">\n<h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>\n<p>By the end of this section, you will be able to: <\/p>\n<ul>\n<li>Determine the values for which a rational expression is undefined<\/li>\n<li>Simplify rational expressions<\/li>\n<li>Multiply rational expressions<\/li>\n<li>Divide rational expressions<\/li>\n<li>Multiply and divide rational functions<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836378362\" class=\"be-prepared\">\n<p id=\"fs-id1167829749544\">Before you get started, take this readiness quiz.<\/p>\n<ol id=\"fs-id1167836692202\" type=\"1\">\n<li>Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6332eeed0c0bf43455d3f6501973ee4b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#57;&#48;&#121;&#125;&#123;&#49;&#53;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/3fa6a6c5-9a36-4dee-aea1-0166229f52fb#fs-id1167835337754\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>Multiply: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bbb2d49cd5679e9535310a47b9698fb5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#52;&#125;&#123;&#49;&#53;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#125;&#123;&#51;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/425620d9-51dd-45e5-8a21-953998a4a77f#fs-id1167836390100\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>Divide: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4aacb00199b7f25186641743906cd49_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#50;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#125;&#123;&#50;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/425620d9-51dd-45e5-8a21-953998a4a77f#fs-id1167836356409\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167833061177\">We previously reviewed the properties of fractions and their operations. We introduced rational numbers, which are just fractions where the numerators and denominators are integers. In this chapter, we will work with fractions whose numerators and denominators are polynomials. We call this kind of expression a <span data-type=\"term\">rational expression<\/span>.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836545646\">\n<div data-type=\"title\">Rational Expression<\/div>\n<p id=\"fs-id1167829789940\">A rational expression is an expression of the form <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2234e67f0d02bee8d24190a2ade2e6be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#112;&#125;&#123;&#113;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/> where <em data-effect=\"italics\">p<\/em> and <em data-effect=\"italics\">q<\/em> are polynomials and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e417a0769b70c865e6dde403ebb92108_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#113;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167829594575\">Here are some examples of rational expressions:<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836614305\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41675214683edb1ecc9e8ae1621c2bad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#52;&#125;&#123;&#53;&#54;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#120;&#125;&#123;&#49;&#50;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#120;&#43;&#49;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#57;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#120;&#45;&#49;&#125;&#123;&#50;&#120;&#45;&#56;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"464\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/div>\n<p>Notice that the first rational expression listed above, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9305043b04971e1de99e72ca06e126d7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#52;&#125;&#123;&#53;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/>, is just a fraction. Since a constant is a polynomial with degree zero, the ratio of two constants is a rational expression, provided the denominator is not zero.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167829597677\">We will do the same operations with rational expressions that we did with fractions. We will simplify, add, subtract, multiply, divide and use them in applications.<\/p>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167833051286\">\n<h3 data-type=\"title\">Determine the Values for Which a Rational Expression is Undefined<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167833021717\">If the denominator is zero, the rational expression is undefined. The numerator of a rational expression may be 0\u2014but not the denominator.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167836523329\">When we work with a numerical fraction, it is easy to avoid dividing by zero because we can see the number in the denominator. In order to avoid dividing by zero in a rational expression, we must not allow values of the variable that will make the denominator be zero.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167833356628\">So before we begin any operation with a rational expression, we examine it first to find the values that would make the denominator zero. That way, when we solve a rational equation for example, we will know whether the algebraic solutions we find are allowed or not.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829785493\" class=\"howto\">\n<div data-type=\"title\">Determine the values for which a rational expression is undefined.<\/div>\n<ol id=\"fs-id1167829853672\" type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Set the denominator equal to zero.<\/li>\n<li>Solve the equation.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167836513845\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829596289\">\n<div data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167829590560\">Determine the value for which each rational expression is undefined:<\/p>\n<p id=\"fs-id1167836544617\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-623510829e792e45dd65cdb8ca2d5097_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#125;&#123;&#51;&#99;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"27\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1959b7f17c4a596b0f9e5f9714f18bff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#98;&#45;&#51;&#125;&#123;&#50;&#98;&#43;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"31\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f02b7c580fde900e236a7113ad26167a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#43;&#52;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#53;&#120;&#43;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836688430\">\n<p id=\"fs-id1167836285832\">The expression will be undefined when the denominator is zero.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167836635534\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-673348eb09f17d84941a79737ad7cdf9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#125;&#123;&#51;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#101;&#116;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#100;&#101;&#110;&#111;&#109;&#105;&#110;&#97;&#116;&#111;&#114;&#32;&#101;&#113;&#117;&#97;&#108;&#32;&#116;&#111;&#32;&#122;&#101;&#114;&#111;&#32;&#97;&#110;&#100;&#32;&#115;&#111;&#108;&#118;&#101;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#102;&#111;&#114;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#118;&#97;&#114;&#105;&#97;&#98;&#108;&#101;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#51;&#99;&#61;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#99;&#61;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#125;&#123;&#51;&#99;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#32;&#117;&#110;&#100;&#101;&#102;&#105;&#110;&#101;&#100;&#32;&#102;&#111;&#114;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#99;&#61;&#48;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"115\" width=\"690\" style=\"vertical-align: -53px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167836533216\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bddd2e7732790344d17a083887ae1957_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#98;&#45;&#51;&#125;&#123;&#50;&#98;&#43;&#53;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#101;&#116;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#100;&#101;&#110;&#111;&#109;&#105;&#110;&#97;&#116;&#111;&#114;&#32;&#101;&#113;&#117;&#97;&#108;&#32;&#116;&#111;&#32;&#122;&#101;&#114;&#111;&#32;&#97;&#110;&#100;&#32;&#115;&#111;&#108;&#118;&#101;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#102;&#111;&#114;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#118;&#97;&#114;&#105;&#97;&#98;&#108;&#101;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#50;&#98;&#43;&#53;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#50;&#98;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#45;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#98;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#50;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#98;&#45;&#51;&#125;&#123;&#50;&#98;&#43;&#53;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#32;&#117;&#110;&#100;&#101;&#102;&#105;&#110;&#101;&#100;&#32;&#102;&#111;&#114;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#98;&#61;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#50;&#125;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"158\" width=\"709\" style=\"vertical-align: -75px;\" \/><\/p>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f64487887d56e5353ab53ac49cc7ff8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#43;&#52;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#53;&#120;&#43;&#54;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#101;&#116;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#100;&#101;&#110;&#111;&#109;&#105;&#110;&#97;&#116;&#111;&#114;&#32;&#101;&#113;&#117;&#97;&#108;&#32;&#116;&#111;&#32;&#122;&#101;&#114;&#111;&#32;&#97;&#110;&#100;&#32;&#115;&#111;&#108;&#118;&#101;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#102;&#111;&#114;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#118;&#97;&#114;&#105;&#97;&#98;&#108;&#101;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#53;&#120;&#43;&#54;&#61;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#120;&#43;&#50;&#61;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#111;&#114;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;&#43;&#51;&#61;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#120;&#61;&#45;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#111;&#114;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;&#61;&#45;&#51;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#43;&#52;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#53;&#120;&#43;&#54;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#32;&#117;&#110;&#100;&#101;&#102;&#105;&#110;&#101;&#100;&#32;&#102;&#111;&#114;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;&#61;&#45;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#111;&#114;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;&#61;&#45;&#51;&#46;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"136\" width=\"728\" style=\"vertical-align: -64px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836423585\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836532232\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833056446\">\n<p id=\"fs-id1167829748476\">Determine the value for which each rational expression is undefined.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167836363709\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00569353535553c33d9b2a415da9c60b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#56;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-79d06cf23cbce120d64903aa2ca73bab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#110;&#45;&#53;&#125;&#123;&#51;&#110;&#43;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-731a2124a28fef23bf0260e7cfecbc8b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#43;&#49;&#48;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#52;&#97;&#43;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836521692\">\n<p id=\"fs-id1167836571284\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8203ced39e0cdafefa708857c7ec2264_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#61;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e88aea8d08ad5f7ef5771359f7d9b200_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d96d164935f12f81efbf40561fe6c00_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#45;&#49;&#44;&#97;&#61;&#45;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"120\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836415406\">\n<p id=\"fs-id1167829853966\">Determine the value for which each rational expression is undefined.<\/p>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-330da0130b3787ed2ac8c3d19b8a3f8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#112;&#125;&#123;&#53;&#113;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9bc935c5b50051dc3a03891c64463d75_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#121;&#45;&#49;&#125;&#123;&#51;&#121;&#43;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c764486526d4efd2c4159c16aae8cafb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#109;&#45;&#53;&#125;&#123;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#109;&#45;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836558447\">\n<p id=\"fs-id1167836537914\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4154b50cd718de7df1237b73bb5bebbb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#113;&#61;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-75b00436fc834a17c37d2e3ad5d575c8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;&#61;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7908b52595209335bb7a47954d38d6ef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#109;&#61;&#50;&#44;&#109;&#61;&#45;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"118\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167829695612\">\n<h3 data-type=\"title\">Simplify Rational Expressions<\/h3>\n<p>A fraction is considered simplified if there are no common factors, other than 1, in its numerator and denominator. Similarly, a <span data-type=\"term\">simplified rational expression<\/span> has no common factors, other than 1, in its numerator and denominator.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836398722\">\n<div data-type=\"title\">Simplified Rational Expression<\/div>\n<p>A rational expression is considered simplified if there are no common factors in its numerator and denominator.<\/p>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167829711718\">For example,<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9114fb612ee3344772465a3202b50dd6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#43;&#50;&#125;&#123;&#120;&#43;&#51;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#32;&#115;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#105;&#101;&#100;&#32;&#98;&#101;&#99;&#97;&#117;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#114;&#101;&#32;&#97;&#114;&#101;&#32;&#110;&#111;&#32;&#99;&#111;&#109;&#109;&#111;&#110;&#32;&#102;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#115;&#32;&#111;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;&#43;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;&#43;&#51;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#120;&#125;&#123;&#51;&#120;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#32;&#110;&#111;&#116;&#32;&#115;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#105;&#101;&#100;&#32;&#98;&#101;&#99;&#97;&#117;&#115;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#32;&#97;&#32;&#99;&#111;&#109;&#109;&#111;&#110;&#32;&#102;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#32;&#111;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#50;&#120;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#51;&#120;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"561\" style=\"vertical-align: -18px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167836322571\">We use the Equivalent Fractions Property to simplify numerical fractions. We restate it here as we will also use it to simplify rational expressions.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833061169\">\n<div data-type=\"title\">Equivalent Fractions Property<\/div>\n<p id=\"fs-id1167836288889\">If <em data-effect=\"italics\">a<\/em>, <em data-effect=\"italics\">b<\/em>, and <em data-effect=\"italics\">c<\/em> are numbers where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-db153ab0c4406f4cf2d57596a36fe4de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;&#99;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"92\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836503188\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-864784c47f687f21ae85a6fbc2c3310b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#98;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&middot;&#99;&#125;&#123;&#98;&middot;&#99;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&middot;&#99;&#125;&#123;&#98;&middot;&#99;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#98;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"215\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p>Notice that in the Equivalent Fractions Property, the values that would make the denominators zero are specifically disallowed. We see <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c95b1fc74be8e9624bc66bfb3e8c0da4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;&#99;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> clearly stated.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167829696810\">To simplify rational expressions, we first write the numerator and denominator in factored form. Then we remove the common factors using the Equivalent Fractions Property.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167836622848\">Be very careful as you remove common factors. Factors are multiplied to make a product. You can remove a factor from a product. You cannot remove a term from a sum.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832950889\" data-alt=\"The rational expression is the quantity 2 times 3 times 7 divided by the quantity 3 times 5 times 7 are 3 and 7. Its common factors are 3 and 7, which are factors of the product. When they are removed, the result is two-fifths. The rational expression is the product of 3 x and the quantity x minus 9 divided by the product of 5 and the quantity x minus 9. The common factor is x minus 9, which is a factor of the product. When it is removed, the result is 3 x divided by 5. The rational expression is the quantity x plus 5 divided by 5. There is an x both the numerator and denomiantor. However, it is a term of the sum in the numerator. The rational expression has no common factors.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_001_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The rational expression is the quantity 2 times 3 times 7 divided by the quantity 3 times 5 times 7 are 3 and 7. Its common factors are 3 and 7, which are factors of the product. When they are removed, the result is two-fifths. The rational expression is the product of 3 x and the quantity x minus 9 divided by the product of 5 and the quantity x minus 9. The common factor is x minus 9, which is a factor of the product. When it is removed, the result is 3 x divided by 5. The rational expression is the quantity x plus 5 divided by 5. There is an x both the numerator and denomiantor. However, it is a term of the sum in the numerator. The rational expression has no common factors.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167836502802\">Removing the <em data-effect=\"italics\">x<\/em>\u2019s from <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ea37a129a788c843b5eacf75b114ba29_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#43;&#53;&#125;&#123;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> would be like cancelling the 2\u2019s in the fraction <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4fa56746ab3b517e70be0275e1874227_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#43;&#53;&#125;&#123;&#50;&#125;&#33;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"30\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167829747159\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"title\">How to Simplify a Rational Expression<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836320119\">\n<div data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167836352962\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-187f16c08faaee750688cffd6a94720a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#53;&#120;&#43;&#54;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#56;&#120;&#43;&#49;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/>.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833060810\"><span data-type=\"media\" data-alt=\"Step 1 is to factor the numerator and denominator completely in the rational expression, the quantity x squared plus 5 x plus six divided by the quantity x squared 8 x plus 12. The numerator, x squared plus 5 x plus six, factors into the quantity x plus 2 times the quantity x plus 3. The denominator, x squared 8 x plus 12, factors into the quantity x plus 2 times the quantity x plus 6.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_002a_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 1 is to factor the numerator and denominator completely in the rational expression, the quantity x squared plus 5 x plus six divided by the quantity x squared 8 x plus 12. The numerator, x squared plus 5 x plus six, factors into the quantity x plus 2 times the quantity x plus 3. The denominator, x squared 8 x plus 12, factors into the quantity x plus 2 times the quantity x plus 6.\" \/><\/span><span data-type=\"media\" data-alt=\"Step 2 is to simplify the rational expression, the quantity x plus 2 times the quantity x plus 3 all divided by the quantity x plus 2 times the quantity x plus 6, by dividing out the common factor, x plus 6. The result of removing the common factor is the quantity x plus 3 divided by the quantity x plus 6, where x is not equal to 2 and x is not equal to -6.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_002b_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 2 is to simplify the rational expression, the quantity x plus 2 times the quantity x plus 3 all divided by the quantity x plus 2 times the quantity x plus 6, by dividing out the common factor, x plus 6. The result of removing the common factor is the quantity x plus 3 divided by the quantity x plus 6, where x is not equal to 2 and x is not equal to -6.\" \/><\/span><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836292428\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836707128\">\n<p id=\"fs-id1167836513122\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74389dc3c6bcbd37202bb15bd50ae732_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#120;&#45;&#50;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#120;&#43;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836378640\">\n<p id=\"fs-id1167832980513\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a6ba7995ebd457dd84e2ebe46319c7f5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#43;&#49;&#125;&#123;&#120;&#45;&#49;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"31\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3baa6c593a3c6255a66a76ea38371e26_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#50;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07652aaac10652c3ffcd03e780128f56_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836630478\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836300587\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836387307\">\n<p>Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2f5863754cb1f5966da5ad8ba37f91c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#120;&#45;&#49;&#48;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#120;&#45;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836673528\">\n<p id=\"fs-id1167836287956\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1ea2968b91abd8faca982c16cd3d49e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#45;&#53;&#125;&#123;&#120;&#45;&#49;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"31\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3d74df32b4e118c33931aa4e995ced1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#50;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07652aaac10652c3ffcd03e780128f56_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167836287384\">We now summarize the steps you should follow to simplify rational expressions.<\/p>\n<div data-type=\"note\" class=\"howto\">\n<div data-type=\"title\">Simplify a rational expression.<\/div>\n<ol id=\"fs-id1167836309167\" type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Factor the numerator and denominator completely.<\/li>\n<li>Simplify by dividing out common factors.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167833059027\">Usually, we leave the simplified rational expression in factored form. This way, it is easy to check that we have removed <em data-effect=\"italics\">all<\/em> the common factors.<\/p>\n<p>We\u2019ll use the methods we have learned to factor the polynomials in the numerators and denominators in the following examples.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167836321378\">Every time we write a rational expression, we should make a statement disallowing values that would make a denominator zero. However, to let us focus on the work at hand, we will omit writing it in the examples.<\/p>\n<div data-type=\"example\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836560362\">\n<p id=\"fs-id1167833224556\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3981d2f3b4fae92471b6e52f00dfb7f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#50;&#97;&#98;&#43;&#49;&#50;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#54;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#52;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/>.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167836449555\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d17416ab6a3cc9aeb9416b172e8ca9e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#50;&#97;&#98;&#43;&#49;&#50;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#54;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#52;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#70;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#110;&#117;&#109;&#101;&#114;&#97;&#116;&#111;&#114;&#32;&#97;&#110;&#100;&#32;&#100;&#101;&#110;&#111;&#109;&#105;&#110;&#97;&#116;&#111;&#114;&#44;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#102;&#105;&#114;&#115;&#116;&#32;&#102;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#105;&#110;&#103;&#32;&#111;&#117;&#116;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#71;&#67;&#70;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#97;&#98;&#43;&#52;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#54;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#50;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#50;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#54;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#50;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#50;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#82;&#101;&#109;&#111;&#118;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#99;&#111;&#109;&#109;&#111;&#110;&#32;&#102;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#115;&#32;&#111;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#97;&#45;&#50;&#98;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#51;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#51;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#50;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#50;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#125;&#123;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#51;&#125;&middot;&#50;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#50;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#50;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#45;&#50;&#98;&#125;&#123;&#50;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#50;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"289\" width=\"499\" style=\"vertical-align: -140px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836698783\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833059848\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836532563\">\n<p id=\"fs-id1167836532565\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-86554176d402a5edc23d29ef9109475e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#50;&#120;&#121;&#43;&#49;&#56;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#55;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"100\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/>.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836526297\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d10e31e537fd41db6c75a58156300727_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#51;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836544497\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836544500\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829936835\">\n<p id=\"fs-id1167829936837\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24ea5c5058dd3c016c2ff41c2237e14a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#48;&#120;&#121;&#43;&#50;&#53;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#53;&#48;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"100\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/>.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836506693\">\n<p id=\"fs-id1167836506695\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cd3de268ca9beacb08567aa645bc8495_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#50;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#53;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167836310916\">Now we will see how to simplify a rational expression whose numerator and denominator have opposite factors. We previously introduced opposite notation: the opposite of <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-72f40b638bc7a3c2267bc2dd2bb4be48_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#97;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c0f0ed6ed5545422f5909c74471abb22_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#97;&#61;&#45;&#49;&middot;&#97;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167836526746\">The numerical fraction, say <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4165f77dd2795816af0dc47a72118ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&#125;&#123;&#45;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> simplifies to <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b34c01098c83fa602de54e9d74d63a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/>. We also recognize that the numerator and denominator are opposites.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167829908755\">The fraction <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d35b1c8dd54e60f36102cc75cda1fce5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"8\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/>, whose numerator and denominator are opposites also simplifies to <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b34c01098c83fa602de54e9d74d63a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/>.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad3d81ed2f1ec95750f61b8fb42a9da9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#76;&#101;&#116;&#39;&#115;&#32;&#108;&#111;&#111;&#107;&#32;&#97;&#116;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#101;&#120;&#112;&#114;&#101;&#115;&#115;&#105;&#111;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#98;&#45;&#97;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#98;&#45;&#97;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#82;&#101;&#119;&#114;&#105;&#116;&#101;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#97;&#43;&#98;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#70;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#32;&#111;&#117;&#116;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#45;&#49;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#45;&#49;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"61\" width=\"430\" style=\"vertical-align: -26px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167836538942\">This tells us that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac820ad92491a782fbaf5307b22e7129_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#45;&#97;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"38\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> is the opposite of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f014753e9476ff82825fbd0d735ca018_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#45;&#98;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167836516632\">In general, we could write the opposite of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b644d18119c5701b308f883bd50656d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#45;&#98;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"39\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> as <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5baa6942d39b31815901d8e98c4a0f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#45;&#97;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> So the rational expression <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f9a4a6cba4e84bfc38e6c363c9074d6a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#45;&#98;&#125;&#123;&#98;&#45;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> simplifies to <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc343c70c6ffe28a6cd57dfb53f250b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836359669\">\n<div data-type=\"title\">Opposites in a Rational Expression<\/div>\n<p id=\"fs-id1167836362838\">The opposite of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b644d18119c5701b308f883bd50656d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#45;&#98;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"39\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5baa6942d39b31815901d8e98c4a0f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#45;&#97;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836323144\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-45f36d40507332c77ef2aea28db6e750_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#45;&#98;&#125;&#123;&#98;&#45;&#97;&#125;&#61;&#45;&#49;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#98;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167836694811\">An expression and its opposite divide to <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc343c70c6ffe28a6cd57dfb53f250b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167836533690\">We will use this property to simplify rational expressions that contain opposites in their numerators and denominators. Be careful not to treat <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38830949a60ce6786a6fdf6309482002_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#43;&#98;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c64728a94fce7d939996b1cb9d38fbce_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#43;&#97;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> as opposites. Recall that in addition, order doesn\u2019t matter so <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7fa0e33db08d1885cd9114a9935cba0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#43;&#98;&#61;&#98;&#43;&#97;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/>. So if <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d40570b31b1eab3a42af2cfd56eef774_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#98;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>, then <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-06d9dee6e3ec58a3bfeeff06004cf311_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#43;&#98;&#125;&#123;&#98;&#43;&#97;&#125;&#61;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"62\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167836410229\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836520298\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836520300\">\n<p id=\"fs-id1167836560381\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2548a44636473719ebc8d2c7260fa750_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#120;&#45;&#51;&#50;&#125;&#123;&#54;&#52;&#45;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829692856\">\n<table class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"Factor the numerator and denominator of the rational expression, the quantity x squared minus 4 x minus 32 divided by the quantity 64 minus x squared. The numerator factors into the quantity x minus 8 times the quantity x plus 4. The denominator factors into the quantity 8 minus x times the quantity 8 plus x. The factors x minus 8 and 8 minus x are opposites, so multiply the rational expression by negative 1. The result is the negative of the quantity x plus 4 divided by the quantity x plus 8.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836539080\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_003a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Factor the numerator and the denominator.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836615458\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_003b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Recognize the factors that are opposites.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836732515\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_003c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167829597704\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_003d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829586819\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836509748\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829739342\">\n<p id=\"fs-id1167829739344\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b9bfe7762bb1745b5fc0cfd820d1412e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#120;&#45;&#53;&#125;&#123;&#50;&#53;&#45;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836730147\">\n<p id=\"fs-id1167836730149\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4ed34063df2fa7ad9f5270046140dfef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#43;&#49;&#125;&#123;&#120;&#43;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836376110\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833048618\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836547623\">\n<p id=\"fs-id1167836547625\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-483d41dc1c1bd9bc6b9b761c00e4755f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#120;&#45;&#50;&#125;&#123;&#49;&#45;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836608272\">\n<p id=\"fs-id1167836536509\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-45daf94556398499f9ac334a5fdfc6c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#43;&#50;&#125;&#123;&#120;&#43;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167836524164\">\n<h3 data-type=\"title\">Multiply Rational Expressions<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167836444832\">To multiply rational expressions, we do just what we did with numerical fractions. We multiply the numerators and multiply the denominators. Then, if there are any common factors, we remove them to simplify the result.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836513458\">\n<div data-type=\"title\">Multiplication of Rational Expressions<\/div>\n<p id=\"fs-id1167836534861\">If <em data-effect=\"italics\">p<\/em>, <em data-effect=\"italics\">q<\/em>, <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, and <em data-effect=\"italics\">s<\/em> are polynomials where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0d3a7934f1a12b49c1e6e5d379a1aca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#113;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;&#115;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"94\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> then<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836652582\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b715b242501aae9af92ecd73979557da_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#112;&#125;&#123;&#113;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#114;&#125;&#123;&#115;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#112;&#114;&#125;&#123;&#113;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167836408369\">To multiply rational expressions, multiply the numerators and multiply the denominators.<\/p>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167829906397\">Remember, throughout this chapter, we will assume that all numerical values that would make the denominator be zero are excluded. We will not write the restrictions for each rational expression, but keep in mind that the denominator can never be zero. So in this next example, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80303cc9f7874559ed16da3ea418b1bc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1566d9a0c56412961ed8deca4750f638_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#51;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7112ae50e9efd1b5a002a64d57f978bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#52;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167836528392\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"title\">How to Multiply Rational Expressions<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836612590\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836612592\">\n<p id=\"fs-id1167836310961\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-13ebb1e44070ed3f0c609de82268115c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#120;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#55;&#120;&#43;&#49;&#50;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#57;&#125;&#123;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833017887\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167829809845\" data-alt=\"Step 1 is to factor each numerator and the denominator completely in 2 x divided by the quantity x squared minus 7 x plus 12 times the rational expression the quantity x squared minus 9 divided by 6 x squared. The denominator, x squared minus 7 x plus 12, factors into the quantity x minus 3 times the quantity x minus 4. The numerator x squared minus 9 factors into the quantity x minus 3 times the quantity x plus 3.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_004a_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 1 is to factor each numerator and the denominator completely in 2 x divided by the quantity x squared minus 7 x plus 12 times the rational expression the quantity x squared minus 9 divided by 6 x squared. The denominator, x squared minus 7 x plus 12, factors into the quantity x minus 3 times the quantity x minus 4. The numerator x squared minus 9 factors into the quantity x minus 3 times the quantity x plus 3.\" \/><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167832937156\" data-alt=\"Step 2 is to multiply the numerators 2 x and the quantity x minus 3 times the quantity x plus 3, and the denominators the quantity x minus 3 times the quantity x minus 4 and 6 x squared. It is helpful to write the monomials in the numerator and in the denominator. first.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_004b_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 2 is to multiply the numerators 2 x and the quantity x minus 3 times the quantity x plus 3, and the denominators the quantity x minus 3 times the quantity x minus 4 and 6 x squared. It is helpful to write the monomials in the numerator and in the denominator. first.\" \/><\/span><span data-type=\"media\" data-alt=\"Step 3 is to simplify 2 x times the quantity x minus 3 times the quantity x plus 3 all divided by 2 times 3 times x times x times the quantity x minus 3 times the quantity x plus 4 by dividing out the common factor, x minus 3. Leaving the denominator in factored form, the result is the quantity x plus 3 divided by 3 x times the quantity x minus 4.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_004c_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 3 is to simplify 2 x times the quantity x minus 3 times the quantity x plus 3 all divided by 2 times 3 times x times x times the quantity x minus 3 times the quantity x plus 4 by dividing out the common factor, x minus 3. Leaving the denominator in factored form, the result is the quantity x plus 3 divided by 3 x times the quantity x minus 4.\" \/><\/span><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829789983\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836693093\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829719638\">\n<p id=\"fs-id1167829719641\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dee8e765f33a6d3cca81376688655a60_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#120;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#53;&#120;&#43;&#54;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#125;&#123;&#49;&#48;&#120;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829709413\">\n<p id=\"fs-id1167836526547\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-667426227eb9d3802f0dca665890710d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#45;&#50;&#125;&#123;&#50;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829692494\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829719727\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829719729\">\n<p id=\"fs-id1167833066720\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e03ac26227a7b8e17dbf8c410bee556_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#57;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#49;&#120;&#43;&#51;&#48;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#54;&#125;&#123;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"120\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829788223\">\n<p id=\"fs-id1167836693347\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af553c028c0cd24eed94aa0ea615d772_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#54;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#120;&#43;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167832999834\" class=\"howto\">\n<div data-type=\"title\">Multiply rational expressions.<\/div>\n<ol id=\"fs-id1167833413093\" type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Factor each numerator and denominator completely.<\/li>\n<li>Multiply the numerators and denominators.<\/li>\n<li>Simplify by dividing out common factors.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167829906676\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829906679\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836299899\">\n<p>Multiply: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f89df3ed4e12647cbe3400ef9505e37_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#56;&#97;&#45;&#51;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#53;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#48;&#97;&#43;&#50;&#53;&#125;&#123;&#51;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#52;&#97;&#45;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836598002\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-06130eea3b3ef28805b7fe6c20cea8f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#56;&#97;&#45;&#51;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#53;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#48;&#97;&#43;&#50;&#53;&#125;&#123;&#51;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#52;&#97;&#45;&#53;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#70;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#110;&#117;&#109;&#101;&#114;&#97;&#116;&#111;&#114;&#115;&#32;&#97;&#110;&#100;&#32;&#100;&#101;&#110;&#111;&#109;&#105;&#110;&#97;&#116;&#111;&#114;&#115;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#110;&#32;&#109;&#117;&#108;&#116;&#105;&#112;&#108;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#97;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#97;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#32;&#98;&#121;&#32;&#100;&#105;&#118;&#105;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#111;&#117;&#116;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#109;&#109;&#111;&#110;&#32;&#102;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#97;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#97;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#82;&#101;&#119;&#114;&#105;&#116;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#117;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#97;&#110;&#32;&#101;&#120;&#112;&#111;&#110;&#101;&#110;&#116;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"347\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -169px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833024318\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836416496\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836416499\">\n<p id=\"fs-id1167836416501\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-910d52d48754d58daf16378a2667d1d7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#53;&#120;&#45;&#49;&#50;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#54;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#56;&#120;&#43;&#49;&#54;&#125;&#123;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#51;&#120;&#43;&#49;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"159\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833139730\">\n<p id=\"fs-id1167833139732\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-db78c193c417fa12f999dc5e5d5c75ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#45;&#52;&#125;&#123;&#120;&#45;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836507689\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836507692\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836507695\">\n<p id=\"fs-id1167836691911\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d66b1743816c614a9fd20a51d7b0763_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#55;&#98;&#45;&#50;&#125;&#123;&#49;&#45;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#98;&#43;&#49;&#125;&#123;&#52;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#53;&#98;&#45;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"138\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836532453\">\n<p id=\"fs-id1167836532456\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cdbbcb4954bf957a666df3cd39ed9f70_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#98;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#98;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#98;&#43;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167832982339\">\n<h3 data-type=\"title\">Divide Rational Expressions<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167832982344\">Just like we did for numerical fractions, to divide rational expressions, we multiply the first fraction by the reciprocal of the second.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836620438\">\n<div data-type=\"title\">Division of Rational Expressions<\/div>\n<p id=\"fs-id1167836542330\">If <em data-effect=\"italics\">p<\/em>, <em data-effect=\"italics\">q<\/em>, <em data-effect=\"italics\">r,<\/em> and <em data-effect=\"italics\">s<\/em> are polynomials where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0055f78a0c1058b0fc9ea68346c58fe6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#113;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;&#114;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;&#115;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> then<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836503136\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4c2b6e0c9fc705af033169796f31b39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#112;&#125;&#123;&#113;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#114;&#125;&#123;&#115;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#112;&#125;&#123;&#113;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#115;&#125;&#123;&#114;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167829594550\">To divide rational expressions, multiply the first fraction by the reciprocal of the second.<\/p>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167836684083\">Once we rewrite the division as multiplication of the first expression by the reciprocal of the second, we then factor everything and look for common factors.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167836539011\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"title\">How to Divide Rational Expressions<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836539013\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836539015\">\n<p id=\"fs-id1167833059599\">Divide: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d2be3fe54b918be52d392378bcbc38b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#123;&#50;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#112;&#113;&#43;&#50;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"130\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836293485\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836312059\" data-alt=\"Step 1 is to rewrite the division of the rational expression, the quantity p cubed plus q cubes divided by the quantity 2 p squared plus 2 p q plus 2 q squared divided by the rational expression, the quantity p squared minus q squared all divided by 6. Do this by flipping the rational expression, the quantity p squared minus q squared all divided by 6, and changing division to multiplication. The result is the quantity p cubed plus q cubes divided by the quantity 2 p squared plus 2 p q plus 2 q squared times the quantity 6 divided by the quantity p squared minus q squared.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_005a_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 1 is to rewrite the division of the rational expression, the quantity p cubed plus q cubes divided by the quantity 2 p squared plus 2 p q plus 2 q squared divided by the rational expression, the quantity p squared minus q squared all divided by 6. Do this by flipping the rational expression, the quantity p squared minus q squared all divided by 6, and changing division to multiplication. The result is the quantity p cubed plus q cubes divided by the quantity 2 p squared plus 2 p q plus 2 q squared times the quantity 6 divided by the quantity p squared minus q squared.\" \/><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167829692817\" data-alt=\"Step 2 is to factor the numerators, the quantity p cubed plus q cubed and 6, and the denominators, the quantity 2 p squared plus 2 p q plus 2 squared and the quantity p squared minus q squared, completely. The result is the quantity p plus q times the quantity p squared minus p q plus q squared all times the quantity 2 times 3 divided by the quantity p minus q times the quantity p plus q.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_005b_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 2 is to factor the numerators, the quantity p cubed plus q cubed and 6, and the denominators, the quantity 2 p squared plus 2 p q plus 2 squared and the quantity p squared minus q squared, completely. The result is the quantity p plus q times the quantity p squared minus p q plus q squared all times the quantity 2 times 3 divided by the quantity p minus q times the quantity p plus q.\" \/><\/span><span data-type=\"media\" data-alt=\"Step 3 is to multiply the numerators and denominators. The result is the quantity p plus q times the quantity p squared minus p q plus q squared times 2 times 3 all divided by the 2 times the quantity p squared plus p q plus q squared times the quantity p minus q times the quantity p plus q.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_005c_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 3 is to multiply the numerators and denominators. The result is the quantity p plus q times the quantity p squared minus p q plus q squared times 2 times 3 all divided by the 2 times the quantity p squared plus p q plus q squared times the quantity p minus q times the quantity p plus q.\" \/><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167829905516\" data-alt=\"Step 4 is to simplify the expression by dividing out the common factors, the quantity p plus q and 2. The result is 3 times the quantity p squared minus p q plus q squared all divided by the quantity p minus q times the quantity p squared plus p q plus q squared.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_005d_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Step 4 is to simplify the expression by dividing out the common factors, the quantity p plus q and 2. The result is 3 times the quantity p squared minus p q plus q squared all divided by the quantity p minus q times the quantity p squared plus p q plus q squared.\" \/><\/span><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836525229\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836525232\">\n<div data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167833382189\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1eda4a349299a5e6881fd3ea44bbaff2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#56;&#125;&#123;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#54;&#120;&#43;&#49;&#50;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#125;&#123;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"113\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8778e0b13a2601824af14f6c84cbf3b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#120;&#43;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#120;&#43;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"105\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829850299\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829850302\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836299591\">\n<p id=\"fs-id1167836299593\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f19937b4d5841eacdbe9ec79547fd57c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#122;&#125;&#123;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836550165\">\n<p id=\"fs-id1167836550167\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-23a949b6b46cdf173812af9580856a24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#122;&#125;&#123;&#122;&#45;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833019045\" class=\"howto\">\n<div data-type=\"title\">Divide rational expressions.<\/div>\n<ol id=\"fs-id1167836706805\" type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Rewrite the division as the product of the first rational expression and the reciprocal of the second.<\/li>\n<li>Factor the numerators and denominators completely.<\/li>\n<li>Multiply the numerators and denominators together.<\/li>\n<li>Simplify by dividing out common factors.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167829590594\">Recall from <a href=\"\/contents\/d3697553-3900-453f-8c08-8f74d55711ba\" class=\"target-chapter\">Use the Language of Algebra<\/a> that a complex fraction is a fraction that contains a fraction in the numerator, the denominator or both. Also, remember a fraction bar means division. A complex fraction is another way of writing division of two fractions.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167836624628\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836624630\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836635371\">\n<p id=\"fs-id1167836635373\">Divide: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c74dc3c6699e4394e7a069c6167a1776_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#55;&#120;&#43;&#50;&#125;&#123;&#52;&#120;&#45;&#56;&#125;&#125;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#55;&#120;&#43;&#51;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#53;&#120;&#43;&#54;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"47\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -20px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167829720000\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bfa285ed1145e11ae0306961a8237436_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#55;&#120;&#43;&#50;&#125;&#123;&#52;&#120;&#45;&#56;&#125;&#125;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#55;&#120;&#43;&#51;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#53;&#120;&#43;&#54;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#82;&#101;&#119;&#114;&#105;&#116;&#101;&#32;&#119;&#105;&#116;&#104;&#32;&#97;&#32;&#100;&#105;&#118;&#105;&#115;&#105;&#111;&#110;&#32;&#115;&#105;&#103;&#110;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#55;&#120;&#43;&#50;&#125;&#123;&#52;&#120;&#45;&#56;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#55;&#120;&#43;&#51;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#53;&#120;&#43;&#54;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#82;&#101;&#119;&#114;&#105;&#116;&#101;&#32;&#97;&#115;&#32;&#112;&#114;&#111;&#100;&#117;&#99;&#116;&#32;&#111;&#102;&#32;&#102;&#105;&#114;&#115;&#116;&#32;&#116;&#105;&#109;&#101;&#115;&#32;&#114;&#101;&#99;&#105;&#112;&#114;&#111;&#99;&#97;&#108;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#111;&#102;&#32;&#115;&#101;&#99;&#111;&#110;&#100;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#55;&#120;&#43;&#50;&#125;&#123;&#52;&#120;&#45;&#56;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#53;&#120;&#43;&#54;&#125;&#123;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#55;&#120;&#43;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#70;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#110;&#117;&#109;&#101;&#114;&#97;&#116;&#111;&#114;&#115;&#32;&#97;&#110;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#100;&#101;&#110;&#111;&#109;&#105;&#110;&#97;&#116;&#111;&#114;&#115;&#44;&#32;&#97;&#110;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#110;&#32;&#109;&#117;&#108;&#116;&#105;&#112;&#108;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#52;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#32;&#98;&#121;&#32;&#100;&#105;&#118;&#105;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#111;&#117;&#116;&#32;&#99;&#111;&#109;&#109;&#111;&#110;&#32;&#102;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#125;&#123;&#52;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#120;&#45;&#50;&#125;&#123;&#52;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"436\" width=\"576\" style=\"vertical-align: -213px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829747929\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829747933\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829747935\">\n<p id=\"fs-id1167836615782\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38b5b18922b0faddbeacbdf06bda714b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#55;&#120;&#43;&#50;&#125;&#123;&#52;&#120;&#43;&#50;&#52;&#125;&#125;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#52;&#120;&#45;&#53;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#120;&#45;&#51;&#48;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"47\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -20px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836689172\">\n<p id=\"fs-id1167836689174\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e9e062c34adf75596d2aa9b13809f21d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#43;&#50;&#125;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836542486\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833023247\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833023249\">\n<p id=\"fs-id1167833023251\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-943494cd31d72d43c90568aecfa0c81e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#54;&#125;&#123;&#50;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#49;&#121;&#45;&#54;&#125;&#125;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#121;&#45;&#54;&#48;&#125;&#123;&#56;&#121;&#45;&#52;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -19px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836730637\">\n<p id=\"fs-id1167836730640\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7f3908bf3ab703f8fbc7215ee6ca08e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#43;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167833327174\">If we have more than two rational expressions to work with, we still follow the same procedure. The first step will be to rewrite any division as multiplication by the reciprocal. Then, we factor and multiply.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167829713040\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829713042\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829713045\">\n<p id=\"fs-id1167829713047\">Perform the indicated operations: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-27eabae520802e075197350206d853de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#120;&#45;&#54;&#125;&#123;&#52;&#120;&#45;&#52;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#120;&#45;&#51;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#120;&#45;&#49;&#48;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#120;&#43;&#49;&#50;&#125;&#123;&#56;&#120;&#43;&#49;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"149\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836532637\">\n<table id=\"fs-id1167836532641\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"The quantity 3 x minus 6 divided by the quantity 4 x minus 4 times the quantity x squared plus 2 x minus 3 divided by the quantity x squared minus 3 x minus 10 divided by the quantity 2 x plus 12 divided by the quantity 8 x plus 16. To simplify the expression, rewrite the division as multiplication using the reciprocal of the quantity 2 x plus 12 divided by the quantity 8 x plus 16, which is the quantity 8 x plus 16 divided by the quantity 2 x plus 12. The result is the quantity 3 x minus 6 divided by the quantity 4 x minus 4 times the quantity x squared plus 2 x minus 3 divided by the quantity x squared minus 3 x minus 10 times the quantity 8 x plus 16 divided by the quantity 2 x plus 12. Factor the numerators and denominators. The numerator 3 x minus 6 factors into 3 times the quantity x minus 2. The numerator x squared plus 2 x minus 3 factors into the quantity x plus 3 times the quantity x minus 1. The numerator 8 x plus 16 factors into 8 times the quantity x plus 2. The denominator 4 x minus 4 factors into 4 times the quantity x minus 1. The denominator x squared minus 3 x minus 10 factors into the quantity x plus two times the quantity x minus 5. The denominator 2 x plus 12 factors into 2 times the quantity x plus 6. The result is the rational expression, 3 times the quantity x minus 2 divided by 4 times the quantity x minus 1 times the rational expression, the quantity x plus 3 times the quantity x minus 1 divided by the quantity x plus 2 times the quantity x minus 5 times the rational expression 8 times the quantity x plus 2 divided by 2 times the quantity x plus 6. Multiply the fractions, bringing the constants to the front of the expression to help remove common factors. The result is 3 times 8 times the quantity x minus 2 times the quantity x plus 3 times the quantity x minus 1 times the quantity x plus 2 all divided by 4 times 2 times the quantity x minus 1 times the quantity x plus 2 times the quantity x minus 5 times the quantity x plus 6. Simplify by removing the common factors. 8 is in the numerator and the product of 4 and 2 is 8 in the denominator. Remove the common factors, 8, x minus 1, and x plus 2 from the numerator and denominator. The result is 3 times the quantity x minus 2 times the quantity x plus 3 all divided by the quantity x minus 5 times the quantity x plus 6.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836444988\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_006a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Rewrite the division as multiplication<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>by the reciprocal.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167829721189\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_006b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Factor the numerators and the denominators.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836665163\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_006c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Multiply the fractions. Bringing the constants to<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>the front will help when removing common factors.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify by dividing out common factors.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_006d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836616432\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_006e_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836539198\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836539201\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836326116\">\n<p id=\"fs-id1167836326118\">Perform the indicated operations: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-43fa4695180759d1968fcd65a4d54b71_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#109;&#43;&#52;&#125;&#123;&#51;&#109;&#45;&#49;&#53;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#109;&#45;&#49;&#48;&#125;&#123;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#109;&#45;&#51;&#50;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#50;&#109;&#45;&#51;&#54;&#125;&#123;&#54;&#109;&#45;&#52;&#56;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"181\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836417806\">\n<p id=\"fs-id1167836417808\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-108558b05de3f9740aeeee2845ba63e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#51;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#43;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836697267\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836697270\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836621886\">\n<p id=\"fs-id1167836621888\">Perform the indicated operations: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a99362cb73d7511e13617ae67bb0f62f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#48;&#110;&#125;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#48;&#110;&#43;&#50;&#52;&#125;&#123;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#56;&#110;&#45;&#57;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#110;&#43;&#52;&#125;&#123;&#56;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#50;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"196\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829691149\">\n<p id=\"fs-id1167829691151\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-54c1099108b7a0ef91c85aa695b6b54f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#43;&#57;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#50;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#43;&#54;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#110;&#43;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167829644983\">\n<h3 data-type=\"title\">Multiply and Divide Rational Functions<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167829644988\">We started this section stating that a <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">rational expression<\/span> is an expression of the form <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2234e67f0d02bee8d24190a2ade2e6be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#112;&#125;&#123;&#113;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/> where <em data-effect=\"italics\">p<\/em> and <em data-effect=\"italics\">q<\/em> are polynomials and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e417a0769b70c865e6dde403ebb92108_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#113;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> Similarly, we define a <span data-type=\"term\">rational function<\/span> as a function of the form <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21ca2968b7f427a9f3093d1bbf8e352b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#112;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#113;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"92\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/> where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b13ac312613ace7cb455ede30a19b5fa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#112;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-428f18d16b4058d1236554965e5de78f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#113;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> are polynomial functions and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-428f18d16b4058d1236554965e5de78f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#113;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is not zero.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833059225\">\n<div data-type=\"title\">Rational Function<\/div>\n<p id=\"fs-id1167833059230\">A rational function is a function of the form<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167833059233\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21ca2968b7f427a9f3093d1bbf8e352b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#112;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#113;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"92\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167836732105\">where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b13ac312613ace7cb455ede30a19b5fa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#112;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-428f18d16b4058d1236554965e5de78f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#113;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> are polynomial functions and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-428f18d16b4058d1236554965e5de78f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#113;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is not zero.<\/p>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167829595693\">The domain of a rational function is all real numbers except for those values that would cause division by zero. We must eliminate any values that make <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38dbefafba3caf3e4aceeda3cce5939d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#113;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#48;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833338734\" class=\"howto\">\n<div data-type=\"title\">Determine the domain of a rational function.<\/div>\n<ol id=\"fs-id1167833138977\" type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Set the denominator equal to zero.<\/li>\n<li>Solve the equation.<\/li>\n<li>The domain is all real numbers excluding the values found in Step 2.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167829597438\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829597440\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829597443\">\n<p id=\"fs-id1167829597445\">Find the domain of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-037d6636ca8140c35c3a461b07bced9e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#52;&#120;&#125;&#123;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#54;&#120;&#45;&#52;&#56;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829644967\">\n<p id=\"fs-id1167829644969\">The domain will be all real numbers except those values that make the denominator zero. We will set the denominator equal to zero , solve that equation, and then exclude those values from the domain.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167836730404\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-20b6b727234c0083e7d72e4a4797d222_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#101;&#116;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#100;&#101;&#110;&#111;&#109;&#105;&#110;&#97;&#116;&#111;&#114;&#32;&#116;&#111;&#32;&#122;&#101;&#114;&#111;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#54;&#120;&#45;&#52;&#56;&#61;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#55;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#70;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#44;&#32;&#102;&#105;&#114;&#115;&#116;&#32;&#102;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#32;&#111;&#117;&#116;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#71;&#67;&#70;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#52;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#120;&#45;&#49;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#55;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#52;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#54;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#55;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#85;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#90;&#101;&#114;&#111;&#32;&#80;&#114;&#111;&#100;&#117;&#99;&#116;&#32;&#80;&#114;&#111;&#112;&#101;&#114;&#116;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#52;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;&#45;&#54;&#61;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;&#43;&#50;&#61;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#55;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#111;&#108;&#118;&#101;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#120;&#61;&#54;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;&#61;&#45;&#50;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#104;&#101;&#32;&#100;&#111;&#109;&#97;&#105;&#110;&#32;&#111;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#32;&#97;&#108;&#108;&#32;&#114;&#101;&#97;&#108;&#32;&#110;&#117;&#109;&#98;&#101;&#114;&#115;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#119;&#104;&#101;&#114;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#54;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#50;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"152\" width=\"624\" style=\"vertical-align: -70px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833024056\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833024060\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833024062\">\n<p id=\"fs-id1167829908161\">Find the domain of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c5007fce9cf1f32969617ecb0347bb3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#48;&#120;&#125;&#123;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#54;&#120;&#45;&#50;&#48;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836635186\">\n<p id=\"fs-id1167836635188\">The domain of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f264abc4b41d7f930b4d3d73b6915acb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is all real numbers where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-064a55f67e65f434394e7204b46526c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-71420467457a892c3f9e26acc4f866b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833158074\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833158077\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833158080\">\n<p id=\"fs-id1167833158082\">Find the domain of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62c6098981922890c7d39d34395abb58_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#54;&#120;&#125;&#123;&#56;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#54;&#120;&#45;&#54;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\">\n<p>The domain of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f264abc4b41d7f930b4d3d73b6915acb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is all real numbers where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ac71dee51807bbfb5a24f34b74b553e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e26a0c4b4bbae466ffdfc03037bb477_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#50;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167836629113\">To multiply rational functions, we multiply the resulting rational expressions on the right side of the equation using the same techniques we used to multiply rational expressions.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167836629118\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836629120\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836629122\">\n<p id=\"fs-id1167836629124\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a19d698605e6f0a4acb05b75c0c8025_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&middot;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9770c68e2bfb1e5cf70bc6210063fc3c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#120;&#45;&#54;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#56;&#120;&#43;&#49;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-920f39cf63ced07cf0a07519e1ef50f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#53;&#125;&#123;&#50;&#120;&#43;&#49;&#48;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836629434\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f32f8c51cb12275a48d3c2552f6699f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&middot;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#120;&#45;&#54;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#56;&#120;&#43;&#49;&#53;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#53;&#125;&#123;&#50;&#120;&#43;&#49;&#48;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#70;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#32;&#101;&#97;&#99;&#104;&#32;&#110;&#117;&#109;&#101;&#114;&#97;&#116;&#111;&#114;&#32;&#97;&#110;&#100;&#32;&#100;&#101;&#110;&#111;&#109;&#105;&#110;&#97;&#116;&#111;&#114;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#50;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#77;&#117;&#108;&#116;&#105;&#112;&#108;&#121;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#110;&#117;&#109;&#101;&#114;&#97;&#116;&#111;&#114;&#115;&#32;&#97;&#110;&#100;&#32;&#100;&#101;&#110;&#111;&#109;&#105;&#110;&#97;&#116;&#111;&#114;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#50;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#82;&#101;&#109;&#111;&#118;&#101;&#32;&#99;&#111;&#109;&#109;&#111;&#110;&#32;&#102;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#50;&#125;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#125;&#123;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#50;&#125;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"376\" width=\"640\" style=\"vertical-align: -183px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833047274\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829590372\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829590374\">\n<p id=\"fs-id1167829590376\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a19d698605e6f0a4acb05b75c0c8025_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&middot;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00f21ef3977fe8870d72ff77c6fa31b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#120;&#45;&#50;&#49;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#57;&#120;&#43;&#49;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-817ed233384c0d96a0b0a2b2ef44a434_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#56;&#125;&#123;&#51;&#120;&#43;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836444955\">\n<p id=\"fs-id1167836444957\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df35f4284d569186d05afd83ad488c21_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836310741\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836310744\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833055836\">\n<p id=\"fs-id1167833055838\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a19d698605e6f0a4acb05b75c0c8025_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&middot;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac5fabcc4723cb9a6fd897a632fc4e3d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#120;&#125;&#123;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#55;&#120;&#45;&#51;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"142\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32f28b54d786fea59dc41e8e0a330dd6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#48;&#48;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#48;&#120;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"114\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833048291\">\n<p id=\"fs-id1167833048293\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-beeaf0ea9b97ba4efdd3c44255a13a0c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>To divide rational functions, we divide the resulting rational expressions on the right side of the equation using the same techniques we used to divide rational expressions.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167829624125\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829719479\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829719481\">\n<p id=\"fs-id1167829719483\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c0b221e9e07eaf1d1995ed2df80b9d32_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/> where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eaa3bce5bdddf2fe7427a09b96737b90_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad9c734d0f7e51fe3db47f8c3000cda0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#57;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#53;&#120;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#55;&#120;&#43;&#49;&#48;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"132\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829694845\">\n<p id=\"fs-id1167829694847\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-61892112fb98108e39a778dc0a613ac8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#117;&#98;&#115;&#116;&#105;&#116;&#117;&#116;&#101;&#32;&#105;&#110;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#102;&#117;&#110;&#99;&#116;&#105;&#111;&#110;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#57;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#53;&#120;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#55;&#120;&#43;&#49;&#48;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#82;&#101;&#119;&#114;&#105;&#116;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#100;&#105;&#118;&#105;&#115;&#105;&#111;&#110;&#32;&#97;&#115;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#112;&#114;&#111;&#100;&#117;&#99;&#116;&#32;&#111;&#102;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#114;&#101;&#99;&#105;&#112;&#114;&#111;&#99;&#97;&#108;&#32;&#111;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#120;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#55;&#120;&#43;&#49;&#48;&#125;&#123;&#57;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#53;&#120;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#70;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#110;&#117;&#109;&#101;&#114;&#97;&#116;&#111;&#114;&#115;&#32;&#97;&#110;&#100;&#32;&#100;&#101;&#110;&#111;&#109;&#105;&#110;&#97;&#116;&#111;&#114;&#115;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#110;&#32;&#109;&#117;&#108;&#116;&#105;&#112;&#108;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&middot;&#120;&middot;&#120;&middot;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&middot;&#51;&middot;&#51;&middot;&#120;&middot;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#32;&#98;&#121;&#32;&#100;&#105;&#118;&#105;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#111;&#117;&#116;&#32;&#99;&#111;&#109;&#109;&#111;&#110;&#32;&#102;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#51;&#125;&middot;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#120;&#125;&middot;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#120;&#125;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#120;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&middot;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#51;&#125;&middot;&#51;&middot;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#120;&#125;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#45;&#50;&#125;&#123;&#51;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"400\" width=\"608\" style=\"vertical-align: -195px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833382940\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833382942\">\n<p id=\"fs-id1167833382945\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c0b221e9e07eaf1d1995ed2df80b9d32_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/> where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-144a9d7915ef77a88208190b7cf3a5c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#56;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c5d53100b2513d1f079e654b6edd0d10_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#52;&#120;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#120;&#45;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836648830\">\n<p id=\"fs-id1167836648832\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b62d2c107d2ad6bdf369ca20d77c437_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#45;&#50;&#125;&#123;&#52;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#56;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829830051\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829830054\">\n<div data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167829830058\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c0b221e9e07eaf1d1995ed2df80b9d32_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/> where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6006920dbd7905fa6c46fc5ea8fd67ad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#51;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"117\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-61a52f5db0907425627ffd082c91e400_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#120;&#45;&#53;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#57;&#120;&#45;&#50;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"132\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836576162\">\n<p id=\"fs-id1167836576164\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-401e31401a7b77d72bec8629bdc2fc7c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#120;&#45;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167833055818\">\n<h3 data-type=\"title\">Key Concepts<\/h3>\n<ul id=\"fs-id1167829713109\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li><strong data-effect=\"bold\">Determine the values for which a rational expression is undefined.<\/strong>\n<ol id=\"fs-id1167829713117\" type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Set the denominator equal to zero.<\/li>\n<li>Solve the equation.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Equivalent Fractions Property<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If <em data-effect=\"italics\">a<\/em>, <em data-effect=\"italics\">b<\/em>, and <em data-effect=\"italics\">c<\/em> are numbers where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-db153ab0c4406f4cf2d57596a36fe4de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;&#99;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"92\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> then <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4826516972c8e413618db1ce751f6d44_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#98;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&middot;&#99;&#125;&#123;&#98;&middot;&#99;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e9f76ab51c94dd9586c1559b694b610_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&middot;&#99;&#125;&#123;&#98;&middot;&#99;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#98;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">How to simplify a rational expression.<\/strong>\n<ol id=\"fs-id1167833138259\" type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Factor the numerator and denominator completely.<\/li>\n<li>Simplify by dividing out common factors.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Opposites in a Rational Expression<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>\u2003\u2003\u2003\u2003 The opposite of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b644d18119c5701b308f883bd50656d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#45;&#98;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"39\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5baa6942d39b31815901d8e98c4a0f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#45;&#97;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>\u2003\u2003\u2003\u2003<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32f08be7f3e8537142173f701d547e1b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#45;&#98;&#125;&#123;&#98;&#45;&#97;&#125;&#61;&#45;&#49;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#56;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#98;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"255\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>\u2003\u2003\u2003\u2003An expression and its opposite divide to <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc343c70c6ffe28a6cd57dfb53f250b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Multiplication of Rational Expressions<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If <em data-effect=\"italics\">p<\/em>, <em data-effect=\"italics\">q<\/em>, <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, and <em data-effect=\"italics\">s<\/em> are polynomials where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0d3a7934f1a12b49c1e6e5d379a1aca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#113;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;&#115;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"94\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> then<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1f400b1900847e2834f1f514e23399e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#56;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#112;&#125;&#123;&#113;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#114;&#125;&#123;&#115;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#112;&#114;&#125;&#123;&#113;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">How to multiply rational expressions.<\/strong>\n<ol id=\"fs-id1167833009502\" type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Factor each numerator and denominator completely.<\/li>\n<li>Multiply the numerators and denominators.<\/li>\n<li>Simplify by dividing out common factors.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Division of Rational Expressions<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If <em data-effect=\"italics\">p<\/em>, <em data-effect=\"italics\">q<\/em>, <em data-effect=\"italics\">r<\/em>, and <em data-effect=\"italics\">s<\/em> are polynomials where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0055f78a0c1058b0fc9ea68346c58fe6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#113;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;&#114;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;&#115;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> then<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ce58c54d47c7621ec962a75cce4f0a79_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#56;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#112;&#125;&#123;&#113;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#114;&#125;&#123;&#115;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#112;&#125;&#123;&#113;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#115;&#125;&#123;&#114;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">How to divide rational expressions.<\/strong>\n<ol type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Rewrite the division as the product of the first rational expression and the reciprocal of the second.<\/li>\n<li>Factor the numerators and denominators completely.<\/li>\n<li>Multiply the numerators and denominators together.<\/li>\n<li>Simplify by dividing out common factors.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">How to determine the domain of a rational function.<\/strong>\n<ol id=\"fs-id1167833056103\" type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Set the denominator equal to zero.<\/li>\n<li>Solve the equation.<\/li>\n<li>The domain is all real numbers excluding the values found in Step 2.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167836548283\">\n<div class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167836548287\">\n<h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4>\n<p id=\"fs-id1167836548294\"><strong data-effect=\"bold\">Determine the Values for Which a Rational Expression is Undefined<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167836548301\">In the following exercises, determine the values for which the rational expression is undefined.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1a9b532e286a20323b5146e2bccdb491_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#122;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d38c1fc1fbc2e4a7b633f1ff27dbd1fc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#112;&#45;&#49;&#125;&#123;&#54;&#112;&#45;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e91fcf8da83c67b28b514887c30a9c01_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#110;&#45;&#51;&#125;&#123;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#110;&#45;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829785065\">\n<p id=\"fs-id1167829785067\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e381c273c9f7ca5b93029ee2e8bab16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#122;&#61;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ecb0ec345b667d0a2818384bddf9c0e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#112;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c66d1680858544d898070ea6e6089513_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#45;&#52;&#44;&#110;&#61;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829683714\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829716228\">\n<p id=\"fs-id1167829716231\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5936bdf065c30d2efbf1f1c48d20bda_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#48;&#109;&#125;&#123;&#49;&#49;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1572f8d4462f9c79b30ddfa054f3469_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#121;&#43;&#49;&#51;&#125;&#123;&#52;&#121;&#45;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-22849f1fd3224656bc111eea82f684ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#98;&#45;&#56;&#125;&#123;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829590416\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829590418\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3499a6ffc4f0a70819bdda0593989353_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#121;&#125;&#123;&#51;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c522528c2ce0eb118628a0ac335fd3f7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#120;&#45;&#50;&#125;&#123;&#50;&#120;&#43;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2f36cd6899a4044745e8d338557c714a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#117;&#45;&#49;&#125;&#123;&#123;&#117;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#117;&#45;&#50;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833311270\">\n<p id=\"fs-id1167833311272\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e8ef70615fdaee8588017ac1fdd2da0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;&#61;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd2171ab5e610de7079ae5a4090bee64_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#61;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ffb5331ed73c65b5bbf3d83cb95809c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#117;&#61;&#45;&#52;&#44;&#117;&#61;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833055333\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833055335\">\n<p id=\"fs-id1167833055337\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-42ab652dfba7f2ed266057fd01880413_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#112;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#57;&#113;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"28\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2783e3728533f488a9c446cf1c156a6c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&#97;&#45;&#52;&#125;&#123;&#51;&#97;&#43;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-548095086daa1e4b12d085c0aa0c6ce4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167836624536\"><strong data-effect=\"bold\">Simplify Rational Expressions<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167836624542\">In the following exercises, simplify each rational expression.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836624546\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836624548\">\n<p id=\"fs-id1167836624550\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f1cf4868fd348fd16694289411f430d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#52;&#125;&#123;&#53;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836484854\">\n<p id=\"fs-id1167836484856\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e0151b434578c78a09b0cbb9194484e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829715823\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829715825\">\n<p id=\"fs-id1167829715827\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f9f4cd3ce3cc297872c40b0bcd95bd82_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#54;&#125;&#123;&#54;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832936464\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832936466\">\n<p id=\"fs-id1167832936469\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca32f1ffe1dccd9ba7147c7e2db8a846_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#110;&#125;&#123;&#49;&#50;&#109;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836529047\">\n<p id=\"fs-id1167836529049\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cde3d4ce1fa4d3054e01f7b714c52646_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#51;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829628026\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829628028\">\n<p id=\"fs-id1167829628030\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6dfc220a11c632fc01013536d7831d2b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#54;&#123;&#118;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#50;&#55;&#118;&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833181223\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833181226\">\n<p id=\"fs-id1167833181228\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-35ee6b82dbebc314a197ef35ab7d0123_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#110;&#45;&#57;&#54;&#125;&#123;&#51;&#110;&#45;&#51;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836624844\">\n<p id=\"fs-id1167836624847\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-44def33f7275fe3dbc5caccd0de620c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#125;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"7\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833368989\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833368991\">\n<p id=\"fs-id1167833368994\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-68e4508ef76d6631c75ed5907142ca1c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#50;&#112;&#45;&#50;&#52;&#48;&#125;&#123;&#53;&#112;&#45;&#49;&#48;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829739733\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829739735\">\n<p id=\"fs-id1167829739737\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd7f6b0e8864cb19c4f77badb55521c1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#52;&#120;&#45;&#53;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#120;&#43;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836433907\">\n<p id=\"fs-id1167836433909\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-915efe8a399634c2fde8f539a3f45240_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#43;&#53;&#125;&#123;&#120;&#45;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836552380\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-223af04fcbe96ba5c4baa90456c48a6c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#121;&#45;&#52;&#125;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#54;&#121;&#43;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829833361\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829833364\">\n<p id=\"fs-id1167829833366\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4ecaa39a60354f298e60445a074699b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#54;&#97;&#45;&#49;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836663015\">\n<p id=\"fs-id1167836663018\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80b20fd36cc35b88fd9516dc7ae3092f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#43;&#50;&#125;&#123;&#97;&#43;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836628275\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836628277\">\n<p id=\"fs-id1167836628279\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-092b3b1f088b3fc5e504b758c69ee684_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#121;&#45;&#51;&#125;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829833237\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829833239\">\n<p id=\"fs-id1167829833241\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c3c9eacebee9808d8702eba4fc4f457_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#51;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#52;&#112;&#43;&#49;&#50;&#125;&#123;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#112;&#45;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833059035\">\n<p id=\"fs-id1167833059037\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c07f33f273d0d26f2cb3c6fd8b4cc28c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#52;&#125;&#123;&#112;&#45;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833158120\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833158122\">\n<p id=\"fs-id1167833158124\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c0fb3431dcbd2a8367e6593bb826f90_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#53;&#120;&#43;&#53;&#48;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836450372\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836450375\">\n<p id=\"fs-id1167836450377\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe699e29b9e4f67c33614117d3fdaf0d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#50;&#98;&#125;&#123;&#50;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#54;&#98;&#45;&#56;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829620931\">\n<p id=\"fs-id1167829620933\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b57aa22040598c155b70b3f482ace86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#98;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#98;&#45;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#98;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#98;&#45;&#56;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\">\n<div data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167836667019\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c405b2e21f07b337465e2bfb032f31bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#45;&#53;&#123;&#99;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#48;&#99;&#125;&#123;&#45;&#49;&#48;&#123;&#99;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#48;&#99;&#43;&#49;&#48;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"100\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833339818\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833339820\">\n<p id=\"fs-id1167833339822\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3095707c854f8e3e74ed9af97141289c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#48;&#109;&#110;&#43;&#55;&#53;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#52;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#48;&#48;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"111\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836619448\">\n<p id=\"fs-id1167836619450\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-71c6e70d50a93f41f59c6c453dae2777_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#43;&#53;&#110;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#52;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#45;&#53;&#110;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829720689\">\n<div data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167829720694\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ecd81471dd951a5be28adddc0e09ba7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#48;&#114;&#115;&#45;&#51;&#53;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#57;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836546957\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836546959\">\n<p id=\"fs-id1167836546961\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f6657be64fe87407eb3e3e6ad32c76f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#45;&#53;&#125;&#123;&#53;&#45;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836629503\">\n<p id=\"fs-id1167836629505\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b34c01098c83fa602de54e9d74d63a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836629513\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836629516\">\n<p id=\"fs-id1167836629518\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d34e4615daeb5156e204a8c82523198_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#45;&#100;&#125;&#123;&#100;&#45;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829721073\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829721075\">\n<p id=\"fs-id1167829721077\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8eed1ce8453c199e4cdce38c7b06e35c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#48;&#45;&#53;&#121;&#125;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836551746\">\n<p id=\"fs-id1167836551748\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-012e145327f43742e7e3527dbc5cc7a5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#121;&#43;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836728500\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836728502\">\n<p id=\"fs-id1167836728504\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-20dbb0dc6b9efc3752e7e9371b1694bf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#118;&#45;&#51;&#50;&#125;&#123;&#54;&#52;&#45;&#123;&#118;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836731038\">\n<p id=\"fs-id1167833366668\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-300f0912007b64895479894ef6294fcc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#50;&#49;&#54;&#125;&#123;&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833366695\">\n<p id=\"fs-id1167833366698\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f44b3a9c1ab4610d1273772b426d33b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#54;&#119;&#43;&#51;&#54;&#125;&#123;&#119;&#45;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836532527\">\n<div data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167836620768\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bee66faabe221254b74e6ee35886e7d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#118;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#49;&#50;&#53;&#125;&#123;&#123;&#118;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836296391\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836296393\">\n<p id=\"fs-id1167833381670\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-678bf2e855b2f9365c456615c578ea07_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#57;&#122;&#43;&#50;&#48;&#125;&#123;&#49;&#54;&#45;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836629533\">\n<p id=\"fs-id1167836629536\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c23bca66d986cc8da13693b74665df68_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#122;&#45;&#53;&#125;&#123;&#52;&#43;&#122;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836629560\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836629562\">\n<p id=\"fs-id1167836629564\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dcf6dbefe450ed452a5fc7d7b9e89d4d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#53;&#122;&#45;&#51;&#54;&#125;&#123;&#56;&#49;&#45;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167829785105\"><strong data-effect=\"bold\">Multiply Rational Expressions<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167829785111\">In the following exercises, multiply the rational expressions.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829785114\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829747998\">\n<p id=\"fs-id1167829748000\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-582f19146eb8d60ee2743c54caf4a7c1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#50;&#125;&#123;&#49;&#54;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829748021\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e39cd14695f0db8ddb8f66dcab88854_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836554625\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836554627\">\n<p id=\"fs-id1167836554629\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b2b6e71a0d94c1d613066343dbff13df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#50;&#125;&#123;&#53;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#54;&#125;&#123;&#50;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833339572\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833339575\">\n<p id=\"fs-id1167833339577\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b6fc13e466a087b8cf96f39822f1216_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#125;&#123;&#49;&#50;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#50;&#48;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829718996\">\n<p id=\"fs-id1167829789437\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6487b106c50f31561eb25d2a37ef49f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#123;&#56;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829789457\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829789459\">\n<p id=\"fs-id1167829789461\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cee75b98e23539d4adbbbdb238a5c0bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#50;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#98;&#125;&#123;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#57;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829746882\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829746884\">\n<p id=\"fs-id1167829746887\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-71fad7f19cc4d76c510897750292065d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#53;&#112;&#45;&#51;&#54;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#54;&#125;&#123;&#49;&#48;&#112;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833009519\">\n<p id=\"fs-id1167833009521\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a203d2ea81b5a0d5ef12b907058eb612_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#112;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#45;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#50;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#45;&#57;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833181694\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833181696\">\n<p id=\"fs-id1167833181699\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4213551a8f2498eaec77aa029c20ae8b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#113;&#45;&#54;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#57;&#125;&#123;&#57;&#113;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836625757\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836625759\">\n<p id=\"fs-id1167836625761\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c1be9e41f82382b3c498fd8cdb26c273_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#48;&#121;&#125;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#48;&#121;&#43;&#50;&#53;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#121;&#43;&#53;&#125;&#123;&#54;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829594912\">\n<p id=\"fs-id1167829594914\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5460205a9c660666297475a5313f4a9f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#121;&#45;&#53;&#125;&#123;&#51;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#121;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833009467\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833009469\">\n<p id=\"fs-id1167833009471\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2280637149443b66f3c25f1df178d211_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#122;&#125;&#123;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#122;&#45;&#52;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#122;&#45;&#52;&#125;&#123;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836706074\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836706077\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-670aaf655acf5f326af97d2649189676_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#56;&#45;&#52;&#98;&#125;&#123;&#51;&#98;&#45;&#51;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#56;&#98;&#45;&#57;&#125;&#123;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836701550\">\n<p id=\"fs-id1167836701553\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e14bb8881f7a47664abbfd1e9cb44915_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#98;&#43;&#57;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#51;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#98;&#43;&#55;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836554392\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836554394\">\n<p id=\"fs-id1167833339322\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd7faf9787d8f11902ecbccc80cb2d21_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&#50;&#109;&#45;&#49;&#50;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#56;&#109;&#43;&#51;&#50;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#48;&#109;&#43;&#50;&#52;&#125;&#123;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"154\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833212921\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833212923\">\n<p id=\"fs-id1167833212926\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e2071bdb557fc8a19a54b4befdc8aac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#123;&#99;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#57;&#99;&#43;&#50;&#125;&#123;&#123;&#99;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#53;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#99;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#48;&#99;&#43;&#50;&#53;&#125;&#123;&#51;&#123;&#99;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#52;&#99;&#45;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"133\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826025479\">\n<p id=\"fs-id1167826025481\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e49077a9f02228b9fc32c3de8b74b788_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#99;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#99;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#99;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#99;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836557623\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836557625\">\n<p id=\"fs-id1167836557627\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-437f7a0703bd91b9c98ac7546d18f90b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#100;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#100;&#45;&#51;&#125;&#123;&#123;&#100;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#54;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#100;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#56;&#100;&#43;&#49;&#54;&#125;&#123;&#50;&#123;&#100;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#57;&#100;&#45;&#49;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"131\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836792734\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836792736\">\n<p id=\"fs-id1167836792738\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-667c334ed4ad4a268a38f77ab3d1b907_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#109;&#45;&#50;&#125;&#123;&#50;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#55;&#109;&#43;&#51;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#52;&#109;&#43;&#49;&#53;&#125;&#123;&#51;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#55;&#109;&#45;&#50;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167832989094\">\n<p id=\"fs-id1167832989096\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38255540cb19301881a99b7284952c62_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#43;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#43;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836548354\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836548356\">\n<p id=\"fs-id1167836548358\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1392ec0fb8e10d78df28eb83a16ea266_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#110;&#45;&#49;&#52;&#125;&#123;&#50;&#53;&#45;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#48;&#110;&#43;&#50;&#53;&#125;&#123;&#50;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#51;&#110;&#43;&#50;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"156\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167829719911\"><strong data-effect=\"bold\">Divide Rational Expressions<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167829719917\">In the following exercises, divide the rational expressions.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829719920\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829719923\">\n<p id=\"fs-id1167829719925\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d81fb7f4d3684801f73d8366e46ad86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#118;&#45;&#53;&#125;&#123;&#49;&#49;&#45;&#118;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#118;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#53;&#125;&#123;&#118;&#45;&#49;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833009075\">\n<p id=\"fs-id1167833009077\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4ee23ae747cfbd26d6562b191a2457f7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#43;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833009096\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836476699\">\n<p id=\"fs-id1167836476701\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f502bdbf1e44af81ca2918061bbab8f7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#48;&#43;&#119;&#125;&#123;&#119;&#45;&#56;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#48;&#48;&#45;&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#56;&#45;&#119;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829689466\">\n<p id=\"fs-id1167829689468\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af6a88cb7b446531b80adae126eedcd1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#54;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#52;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#54;&#115;&#125;&#123;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#54;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"116\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836455942\">\n<p id=\"fs-id1167836455944\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5836e74ab3d150a19ddf47c15862c02b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#115;&#125;&#123;&#115;&#43;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836570313\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836570315\">\n<p id=\"fs-id1167836570317\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb27acbca3f9624d4320c135b80275ee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#57;&#125;&#123;&#49;&#53;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#50;&#55;&#125;&#123;&#53;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#53;&#114;&#43;&#52;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"111\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833240041\">\n<p id=\"fs-id1167833240043\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c73ec650565f92717ee34eb1da72b16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#123;&#51;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#112;&#113;&#43;&#51;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#49;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836341409\">\n<p id=\"fs-id1167836341411\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9f664ef9672d77400b8ed272f403f17d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#112;&#113;&#43;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#45;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#112;&#113;&#43;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"108\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836455985\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836455987\">\n<p id=\"fs-id1167836455989\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-58fad46270eef636b1fc761bf6f3f79c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#118;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#56;&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#123;&#50;&#123;&#118;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#52;&#118;&#119;&#43;&#56;&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#118;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836625349\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836625351\">\n<p id=\"fs-id1167836625353\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0cdac9f02672aebca0db7f7461751a34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#120;&#45;&#49;&#48;&#125;&#123;&#52;&#120;&#125;&divide;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#48;&#120;&#43;&#53;&#48;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836392104\">\n<p id=\"fs-id1167836392106\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-343105cb9bea2f301fda7a78e200e560_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#45;&#50;&#125;&#123;&#56;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836392126\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836392128\">\n<p id=\"fs-id1167836392130\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9f2d933ac949656db677b533525e944c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#48;&#121;&#122;&#45;&#52;&#56;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#50;&#121;&#45;&#49;&#125;&divide;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#50;&#121;&#122;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"200\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830014005\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830014007\">\n<p id=\"fs-id1167830014009\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c389c00afdd16eb28663de8ac997cf9f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#97;&#45;&#50;&#49;&#125;&#123;&#53;&#97;&#43;&#50;&#48;&#125;&#125;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#55;&#97;&#43;&#49;&#50;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#56;&#97;&#43;&#49;&#54;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"47\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -20px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836492093\">\n<p id=\"fs-id1167836492095\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ea667165dc1e739b4a5791fd9b530eb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#97;&#45;&#55;&#125;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836492114\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829834004\">\n<p id=\"fs-id1167829834006\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19e582e022093c3986d3fba4a37de5f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#98;&#45;&#56;&#125;&#123;&#49;&#50;&#98;&#43;&#49;&#56;&#125;&#125;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#98;&#45;&#56;&#125;&#123;&#50;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#55;&#98;&#45;&#49;&#53;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -19px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833223790\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833223792\">\n<p id=\"fs-id1167833223794\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-adfb8712c0903b7c6ed4b29d235a0e07_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#50;&#123;&#99;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#50;&#125;&#123;&#50;&#123;&#99;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#99;&#43;&#49;&#125;&#125;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#99;&#43;&#52;&#125;&#123;&#54;&#123;&#99;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#51;&#99;&#43;&#53;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833329649\">\n<p id=\"fs-id1167833329651\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4be4aacbd7e340b5574492eb46c7925e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#99;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833329674\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833329676\">\n<p id=\"fs-id1167833329679\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84831bd005ee4615c1bc1ce9f8e84ae8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#123;&#100;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#55;&#100;&#45;&#50;&#125;&#123;&#51;&#53;&#100;&#43;&#49;&#48;&#125;&#125;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#100;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#125;&#123;&#55;&#123;&#100;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#50;&#100;&#45;&#52;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -19px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167836509892\">For the following exercises, perform the indicated operations.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836509895\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836509897\">\n<p id=\"fs-id1167836509899\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a1075b5675245a2e017c0c63b7a39f35_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#48;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#56;&#48;&#109;&#125;&#123;&#51;&#109;&#45;&#57;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#52;&#109;&#45;&#50;&#49;&#125;&#123;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#57;&#109;&#43;&#50;&#48;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#48;&#109;&#125;&#123;&#50;&#109;&#45;&#49;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"213\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833310045\">\n<p id=\"fs-id1167833310048\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2a168b1a7a9a319e356f72da190d3de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#43;&#56;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#43;&#55;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#51;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#45;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836539626\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836539629\">\n<p id=\"fs-id1167836539631\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0c1685ef07039c2057d529bcaef196d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#50;&#110;&#125;&#123;&#51;&#110;&#43;&#50;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#110;&#45;&#51;&#48;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#48;&#56;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#52;&#110;&#125;&#123;&#110;&#43;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"190\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836624612\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836624614\">\n<p id=\"fs-id1167836624616\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88082488344ec40af2533128b4e05874_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#50;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#112;&#125;&#123;&#112;&#43;&#51;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#112;&#45;&#54;&#51;&#125;&#123;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#112;&#45;&#49;&#50;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#112;&#45;&#55;&#125;&#123;&#57;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#57;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"174\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829744094\">\n<p id=\"fs-id1167829744096\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-29ad56a22ef2d4a7a4078b8baaee45cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#112;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#45;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#51;&#112;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#43;&#57;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836375623\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836375626\">\n<p id=\"fs-id1167829688780\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6bfc25aececfe9837758b89de652c403_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#113;&#43;&#51;&#125;&#123;&#57;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#57;&#113;&#125;&divide;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#52;&#113;&#43;&#51;&#51;&#125;&#123;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#52;&#113;&#45;&#53;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#50;&#113;&#125;&#123;&#49;&#50;&#113;&#43;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"173\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167833059093\"><strong data-effect=\"bold\">Multiply and Divide Rational Functions<\/strong><\/p>\n<p>In the following exercises, find the domain of each function.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833059102\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d091269d9b99e2f759c9ef8d6245e26_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#53;&#120;&#43;&#53;&#48;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"170\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829689510\">\n<p id=\"fs-id1167829689513\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-064a55f67e65f434394e7204b46526c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ea674e9407436547f2d000186202c94_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829689537\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829689539\">\n<p id=\"fs-id1167829689541\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d6265a6f5b436b45914840ad1f2b638_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#120;&#45;&#49;&#50;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"164\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836732150\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836732152\">\n<p id=\"fs-id1167836732154\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b31f13bb9c6532d433c2a737656f4106_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#53;&#120;&#125;&#123;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#54;&#120;&#45;&#51;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"138\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833340031\">\n<p id=\"fs-id1167833340033\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-452dfa3e30d0e3e80e17898832f59cfd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c5bcfb43a253c6dd3261ebe96d5592ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#110;&#101;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833340058\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833340060\">\n<p id=\"fs-id1167833340062\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a45aa8d99b4d1a4da5b43abd8f0e6f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#50;&#120;&#125;&#123;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#54;&#120;&#45;&#56;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"138\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167829906144\">For the following exercises, find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a19d698605e6f0a4acb05b75c0c8025_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&middot;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-984a3dd11ed3c9a1f42d61a2defb75e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d629b05700538f1d987aa1572837c00_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> are given.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836576054\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836699994\">\n<p id=\"fs-id1167836699996\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3b235e0bea037976a89ccf6b8709051_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#50;&#120;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#55;&#120;&#45;&#49;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0da5ce59b02eed8e40d5df9d623b598_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#56;&#49;&#125;&#123;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#55;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"116\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836690844\">\n<p id=\"fs-id1167836690847\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df35f4284d569186d05afd83ad488c21_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836690867\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836690869\">\n<p id=\"fs-id1167836690871\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eb2b270dafe3f50d8b1d5eeb74065de6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#120;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#54;&#120;&#45;&#49;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41d14cd470365ac866be17ef3521112b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#54;&#52;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#56;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"102\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829713616\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829713618\">\n<p id=\"fs-id1167829713620\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-491d808342c4869fd3d76b30e68c4e94_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#120;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#120;&#45;&#49;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e94851e10dc032dbc4224cce06f3d05e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#53;&#125;&#123;&#56;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833025227\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5635cf0f41376ac208a57df6952fcea3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#43;&#53;&#125;&#123;&#50;&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"117\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833025275\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833025277\">\n<p id=\"fs-id1167833025279\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee535e83808f01b072ed11c2fddf9818_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#56;&#120;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#57;&#120;&#43;&#50;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b2d4d8133a597f3ab205c360bd891de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#45;&#53;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"87\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167836697807\">For the following exercises, find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c0b221e9e07eaf1d1995ed2df80b9d32_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/> where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-984a3dd11ed3c9a1f42d61a2defb75e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d629b05700538f1d987aa1572837c00_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> are given.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833020060\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833020062\">\n<p id=\"fs-id1167833020064\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4265c6343c713bf6364e60eab2a1ca7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#55;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#51;&#120;&#45;&#50;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f63d34fc7059c4f867c2b509090c29a5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#56;&#120;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#51;&#120;&#43;&#52;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"134\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836391294\">\n<p id=\"fs-id1167836391296\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fcf4d66b881e51beaf0bbb32049e5558_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#55;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#120;&#45;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"117\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833082422\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833082424\">\n<p id=\"fs-id1167833082426\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64ed0c0fbe8f47cddb6f30f5535560c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#50;&#120;&#45;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc4f391db03636ed01a7283b2eb59e39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#50;&#56;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#49;&#120;&#43;&#50;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"134\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833339505\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833339508\">\n<p id=\"fs-id1167833339510\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2645cce9f45fdcab6c84571cc574d398_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#52;&#120;&#43;&#51;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-830f976ab7de20f1499911cd427b943e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#52;&#120;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#52;&#120;&#45;&#52;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"127\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829787176\">\n<p id=\"fs-id1167829787178\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-46dad5c33e3c5ae56a2b38686852e1bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#120;&#45;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833316754\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833316756\">\n<p id=\"fs-id1167833316758\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65d234a60ec9bb835f3d472ef37bc862_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#102;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#50;&#120;&#45;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3b4a5249189ba413e6caa33cd46f2a5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#103;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#54;&#120;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#49;&#120;&#43;&#49;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"134\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"writing\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167833407439\">\n<h4 data-type=\"title\">Writing Exercises<\/h4>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833407446\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833407448\">\n<p id=\"fs-id1167833407450\">Explain how you find the values of <em data-effect=\"italics\">x<\/em> for which the rational expression <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-219773a72f7af869388972c0a5e0adfa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#120;&#45;&#50;&#48;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> is undefined.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829784980\">\n<p id=\"fs-id1167829784982\">Answers will vary.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829784987\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829784990\">\n<p id=\"fs-id1167829784992\">Explain all the steps you take to simplify the rational expression <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-86879cb3e37c030476ab2a3fbb97f2fe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#52;&#112;&#45;&#50;&#49;&#125;&#123;&#57;&#45;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829785036\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829785039\">\n<p id=\"fs-id1167829785041\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> Multiply <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bef4c13e39e630e19491f450a0dd1345_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&#125;&#123;&#52;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#57;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> and explain all your steps.<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span> Multiply <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-554b6dc8ecba05cfd768b1c8ae5576ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#110;&#125;&#123;&#110;&#45;&#51;&#125;&middot;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#57;&#125;&#123;&#110;&#43;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/> and explain all your steps.<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span> Evaluate your answer to part <span class=\"token\">\u24d1<\/span> when <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2698a1aeddec133436df9fa55dd4c666_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>. Did you get the same answer you got in part <span class=\"token\">\u24d0<\/span>? Why or why not?<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836665075\">\n<p id=\"fs-id1167836665077\">Answers will vary.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836665082\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836665084\">\n<p id=\"fs-id1167836665086\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> Divide <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-050f985363b97e857559d7658538626a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#52;&#125;&#123;&#53;&#125;&divide;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> and explain all your steps.<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span> Divide <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83b8503460f6646781e89733db2af4a3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#125;&#123;&#120;&#125;&divide;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> and explain all your steps.<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span> Evaluate your answer to part <span class=\"token\">\u24d1<\/span> when <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-293cae06997efc99f11b7f0e51bfa8ea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#61;&#53;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> Did you get the same answer you got in part <span class=\"token\">\u24d0<\/span>? Why or why not?<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167829942518\">\n<h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4>\n<p id=\"fs-id1167829942528\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167829942545\" data-alt=\"This table has four columns and six rows. The first row is a header and it labels each column, \u201cI can\u2026\u201d, \u201cConfidently,\u201d \u201cWith some help,\u201d and \u201cNo-I don\u2019t get it!\u201d In row 2, the I can was determine the values for which a rational expression is undefined. In row 3, the I can was simplify rationale expressions. In row 4, the I can was multiply rational expressions. In row 5, the I can was divide rational expressions. In row 6, the I can was multiply and divide rational functions. There is the nothing in the other columns.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_07_01_201_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This table has four columns and six rows. The first row is a header and it labels each column, \u201cI can\u2026\u201d, \u201cConfidently,\u201d \u201cWith some help,\u201d and \u201cNo-I don\u2019t get it!\u201d In row 2, the I can was determine the values for which a rational expression is undefined. In row 3, the I can was simplify rationale expressions. In row 4, the I can was multiply rational expressions. In row 5, the I can was divide rational expressions. In row 6, the I can was multiply and divide rational functions. There is the nothing in the other columns.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167829942539\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> If most of your checks were:<\/p>\n<p id=\"fs-id1167833139411\"><strong data-effect=\"bold\">\u2026confidently.<\/strong> Congratulations! You have achieved your goals in this section! Reflect on the study skills you used so that you can continue to use them. What did you do to become confident of your ability to do these things? Be specific!<\/p>\n<p id=\"fs-id1167833139421\"><strong data-effect=\"bold\">\u2026with some help.<\/strong> This must be addressed quickly as topics you do not master become potholes in your road to success. Math is sequential &#8211; every topic builds upon previous work. It is important to make sure you have a strong foundation before you move on. Who can you ask for help? Your fellow classmates and instructor are good resources. Is there a place on campus where math tutors are available? Can your study skills be improved?<\/p>\n<p id=\"fs-id1167833139432\"><strong data-effect=\"bold\">\u2026no &#8211; I don\u2019t get it!<\/strong> This is critical and you must not ignore it. You need to get help immediately or you will quickly be overwhelmed. See your instructor as soon as possible to discuss your situation. Together you can come up with a plan to get you the help you need.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"glossary\" class=\"textbox shaded\">\n<h3 data-type=\"glossary-title\">Glossary<\/h3>\n<dl id=\"fs-id1167833139455\">\n<dt>rational expression<\/dt>\n<dd id=\"fs-id1167833139460\">A rational expression is an expression of the form <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2234e67f0d02bee8d24190a2ade2e6be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#112;&#125;&#123;&#113;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/> where <em data-effect=\"italics\">p<\/em> and <em data-effect=\"italics\">q<\/em> are polynomials and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e417a0769b70c865e6dde403ebb92108_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#113;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<dl id=\"fs-id1167836650203\">\n<dt>simplified rational expression<\/dt>\n<dd id=\"fs-id1167836650208\">A simplified rational expression has no common factors, other than 1, in its numerator and denominator.<\/dd>\n<\/dl>\n<dl id=\"fs-id1167836650214\">\n<dt>rational function<\/dt>\n<dd id=\"fs-id1167836650219\">A rational function is a function of the form <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21ca2968b7f427a9f3093d1bbf8e352b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#82;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#112;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#113;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"92\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/> where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b13ac312613ace7cb455ede30a19b5fa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#112;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-428f18d16b4058d1236554965e5de78f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#113;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> are polynomial functions and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-428f18d16b4058d1236554965e5de78f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#113;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is not zero.<\/dd>\n<\/dl>\n<\/div>\n","protected":false},"author":103,"menu_order":2,"template":"","meta":{"pb_show_title":"on","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"class_list":["post-3153","chapter","type-chapter","status-publish","hentry"],"part":3130,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/3153","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/users\/103"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/3153\/revisions"}],"part":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/3130"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/3153\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3153"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=3153"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=3153"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=3153"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}