{"id":3491,"date":"2018-12-11T13:57:27","date_gmt":"2018-12-11T18:57:27","guid":{"rendered":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/chapter\/simplify-expressions-with-roots\/"},"modified":"2018-12-11T13:57:27","modified_gmt":"2018-12-11T18:57:27","slug":"simplify-expressions-with-roots","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/chapter\/simplify-expressions-with-roots\/","title":{"raw":"Simplify Expressions with Roots","rendered":"Simplify Expressions with Roots"},"content":{"raw":"\n[latexpage]<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\"><h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>By the end of this section, you will be able to: <ul><li>Simplify expressions with roots<\/li><li>Estimate and approximate roots<\/li><li>Simplify variable expressions with roots<\/li><\/ul><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148963271\" class=\"be-prepared\"><p id=\"fs-id1169147087020\">Before you get started, take this readiness quiz.<\/p><ol id=\"fs-id1169148995669\" type=\"1\"><li>Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\left(-9\\right)}^{2}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\text{\u2212}{9}^{2}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({\\left(-9\\right)}^{3}.\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/37489cba-b108-41fd-88b1-ab568fcea766#fs-id1167836699133\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><li>Round \\(3.846\\) to the nearest hundredth.<div data-type=\"newline\"><br><\/div> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/99b2296a-9957-4380-aff4-248abadc862b#fs-id1167836309901\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><li>Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({x}^{3}\u00b7{x}^{3}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({y}^{2}\u00b7{y}^{2}\u00b7{y}^{2}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({z}^{3}\u00b7{z}^{3}\u00b7{z}^{3}\u00b7{z}^{3}.\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/3fa6a6c5-9a36-4dee-aea1-0166229f52fb#fs-id1167835512989\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><\/ol><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169148889441\"><h3 data-type=\"title\">Simplify Expressions with Roots<\/h3><p id=\"fs-id1169149115571\">In <a href=\"\/contents\/1c2686fd-6e5c-417e-8340-38c9eb5e1019\" class=\"target-chapter\">Foundations<\/a>, we briefly looked at square roots. Remember that when a real number <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is multiplied by itself, we write \\({n}^{2}\\) and read it \u2018<em data-effect=\"italics\">n<\/em> squared\u2019. This number is called the <span data-type=\"term\">square<\/span> of <em data-effect=\"italics\">n<\/em>, and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is called the <span data-type=\"term\">square root<\/span>. For example,<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149042493\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{c}\\hfill {13}^{2}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is read \u201c13 squared\u201d}\\hfill \\\\ \\hfill \\text{169 is called the}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{square}}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{of 13, since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{13}^{2}=169\\hfill \\\\ \\hfill \\text{13 is a}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{square root}}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{of 169}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149109321\"><div data-type=\"title\">Square and Square Root of a number<\/div><p id=\"fs-id1169144556679\"><strong data-effect=\"bold\">Square<\/strong><\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149290184\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\text{If}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{n}^{2}=m,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{then}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}m\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is the}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\mathbf{\\text{square}}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{of}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n.\\)<\/div><p id=\"fs-id1169148995187\"><strong data-effect=\"bold\">Square Root<\/strong><\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169148973660\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\text{If}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{n}^{2}=m,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{then}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is a}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\mathbf{\\text{square root}}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{of}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}m.\\)<\/div><\/div><p id=\"fs-id1169149312945\">Notice (\u221213)<sup>2<\/sup> = 169 also, so \u221213 is also a square root of 169. Therefore, both 13 and \u221213 are square roots of 169.<\/p><p id=\"fs-id1169146814000\">So, every positive number has two square roots\u2014one positive and one negative. What if we only wanted the positive square root of a positive number? We use a <em data-effect=\"italics\">radical sign<\/em>, and write, \\(\\sqrt{m},\\) which denotes the positive square root of <em data-effect=\"italics\">m<\/em>. The positive square root is also called the <span data-type=\"term\">principal square root<\/span>.<\/p><p id=\"fs-id1169148925956\">We also use the radical sign for the square root of zero. Because \\({0}^{2}=0,\\) \\(\\sqrt{0}=0.\\) Notice that zero has only one square root.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149351748\"><div data-type=\"title\">Square Root Notation<\/div><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169148880476\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{}\\\\ \\\\ \\hfill \\sqrt{m}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is read \u201cthe square root of}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}m\\text{\u201d.}\\hfill \\\\ \\hfill \\text{If}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{n}^{2}=m,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{then}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n=\\sqrt{m},\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{for}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\ge 0.\\hfill \\end{array}\\)<\/div><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169144381900\" data-alt=\"The image shows the variable m inside a square root symbol. The symbol is a line that goes up along the left side and then flat above the variable. The symbol is labeled \u201cradical sign\u201d. The variable m is labeled \u201cradicand\u201d.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_001_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The image shows the variable m inside a square root symbol. The symbol is a line that goes up along the left side and then flat above the variable. The symbol is labeled \u201cradical sign\u201d. The variable m is labeled \u201cradicand\u201d.\"><\/span><\/div><p id=\"fs-id1169146659217\">We know that every positive number has two square roots and the radical sign indicates the positive one. We write \\(\\sqrt{169}=13.\\) If we want to find the negative square root of a number, we place a negative in front of the radical sign. For example, \\(\\text{\u2212}\\sqrt{169}=-13.\\)<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148970082\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149017497\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148898986\"><p id=\"fs-id1169149286630\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{144}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\text{\u2212}\\sqrt{289}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148964697\"><p id=\"fs-id1169148995497\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{14em}{0ex}}\\sqrt{144}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{12}^{2}=144.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{14em}{0ex}}12\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\text{\u2212}\\sqrt{289}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{17}^{2}=289\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{and the negative is in}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\\\ \\text{front of the radical sign.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}-17\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144548028\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149123052\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144419342\"><p id=\"fs-id1169149033364\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\text{\u2212}\\sqrt{64}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt{225}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148940095\"><p id=\"fs-id1169148858790\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-8\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span> 15<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169146631228\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146657194\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149116107\"><p id=\"fs-id1169149295006\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{100}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\text{\u2212}\\sqrt{121}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148824214\"><p id=\"fs-id1169146645410\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 10 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(-11\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169149123590\">Can we simplify \\(\\sqrt{-49}?\\) Is there a number whose square is \\(-49?\\)<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149004881\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\right)}^{2}=-49\\)<\/div><p id=\"fs-id1169148861223\">Any positive number squared is positive. Any negative number squared is positive. There is no real number equal to \\(\\sqrt{-49}.\\) The square root of a negative number is not a real number.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148910743\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149023762\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148820580\"><p id=\"fs-id1169148859897\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{-196}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\text{\u2212}\\sqrt{64}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144560004\"><p id=\"fs-id1169148836684\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{-196}\\hfill \\\\ \\text{There is no real number whose square is}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}-196.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{-196}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is not a real number.}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{12em}{0ex}}\\text{\u2212}\\sqrt{64}\\hfill \\\\ \\text{The negative is in front of the radical.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{12em}{0ex}}-8\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144378467\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148828227\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146638717\"><p id=\"fs-id1169148929622\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{-169}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\text{\u2212}\\sqrt{81}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144491036\"><p id=\"fs-id1169146823304\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> not a real number <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(-9\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148995892\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144381413\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146594041\"><p id=\"fs-id1169146662378\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\text{\u2212}\\sqrt{49}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt{-121}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149007532\"><p id=\"fs-id1169148859611\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-7\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span> not a real number<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169148859228\">So far we have only talked about squares and square roots. Let\u2019s now extend our work to include higher powers and higher roots.<\/p><p id=\"fs-id1169149014185\">Let\u2019s review some vocabulary first.<\/p><p id=\"fs-id1169148861279\">\\(\\begin{array}{cccccc}\\text{We write:}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\text{We say:}\\hfill \\\\ \\hfill {n}^{2}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{squared}\\hfill \\\\ \\hfill {n}^{3}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{cubed}\\hfill \\\\ \\hfill {n}^{4}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{to the fourth power}\\hfill \\\\ \\hfill {n}^{5}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{to the fifth power}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1169148823401\">The terms \u2018squared\u2019 and \u2018cubed\u2019 come from the formulas for area of a square and volume of a cube.<\/p><p id=\"fs-id1169149038030\">It will be helpful to have a table of the powers of the integers from \u22125 to 5. See <a href=\"#CNX_IntAlg_Figure_08_01_002\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/p><div class=\"bc-figure figure\" id=\"CNX_IntAlg_Figure_08_01_002\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169148837862\" data-alt=\"The figure contains two tables. The first table has 9 rows and 5 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d, \u201cSquare\u201d, \u201cCube\u201d, \u201cFourth power\u201d, and \u201cFifth power\u201d. The second row contains the expressions n, n squared, n cubed, n to the fourth power, and n to the fifth power. The third row contains the number 1 in each column. The fourth row contains the numbers 2, 4, 8, 16, 32. The fifth row contains the numbers 3, 9, 27, 81, 243. The sixth row contains the numbers 4, 16, 64, 256, 1024. The seventh row contains the numbers 5, 25, 125 625, 3125. The eighth row contains the expressions x, x squared, x cubed, x to the fourth power, and x to the fifth power. The last row contains the expressions x squared, x to the fourth power, x to the sixth power, x to the eighth power, and x to the tenth power. The second table has 7 rows and 5 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d, \u201cSquare\u201d, \u201cCube\u201d, \u201cFourth power\u201d, and \u201cFifth power\u201d. The second row contains the expressions n, n squared, n cubed, n to the fourth power, and n to the fifth power. The third row contains the numbers negative 1, 1 negative 1, 1, negative 1. The fourth row contains the numbers negative 2, 4, negative 8, 16, negative 32. The fifth row contains the numbers negative 3, 9, negative 27, 81, negative 243. The sixth row contains the numbers negative 4, 16, negative 64, 256, negative 1024. The last row contains the numbers negative 5, 25, negative 125, 625, negative 3125.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_002_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The figure contains two tables. The first table has 9 rows and 5 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d, \u201cSquare\u201d, \u201cCube\u201d, \u201cFourth power\u201d, and \u201cFifth power\u201d. The second row contains the expressions n, n squared, n cubed, n to the fourth power, and n to the fifth power. The third row contains the number 1 in each column. The fourth row contains the numbers 2, 4, 8, 16, 32. The fifth row contains the numbers 3, 9, 27, 81, 243. The sixth row contains the numbers 4, 16, 64, 256, 1024. The seventh row contains the numbers 5, 25, 125 625, 3125. The eighth row contains the expressions x, x squared, x cubed, x to the fourth power, and x to the fifth power. The last row contains the expressions x squared, x to the fourth power, x to the sixth power, x to the eighth power, and x to the tenth power. The second table has 7 rows and 5 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d, \u201cSquare\u201d, \u201cCube\u201d, \u201cFourth power\u201d, and \u201cFifth power\u201d. The second row contains the expressions n, n squared, n cubed, n to the fourth power, and n to the fifth power. The third row contains the numbers negative 1, 1 negative 1, 1, negative 1. The fourth row contains the numbers negative 2, 4, negative 8, 16, negative 32. The fifth row contains the numbers negative 3, 9, negative 27, 81, negative 243. The sixth row contains the numbers negative 4, 16, negative 64, 256, negative 1024. The last row contains the numbers negative 5, 25, negative 125, 625, negative 3125.\"><\/span><\/div><p id=\"fs-id1169148994337\">Notice the signs in the table. All powers of positive numbers are positive, of course. But when we have a negative number, the <em data-effect=\"italics\">even<\/em> powers are positive and the <em data-effect=\"italics\">odd<\/em> powers are negative. We\u2019ll copy the row with the powers of \u22122 to help you see this.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169148848695\" data-alt=\"The image contains a table with 2 rows and 5 columns. The first row contains the expressions n, n squared, n cubed, n to the fourth power, and n to the fifth power. The second row contains the numbers negative 2, 4, negative 8, 16, negative 32. Arrows point to the second and fourth columns with the label \u201cEven power Positive result\u201d. Arrows point to the first third and fifth columns with the label \u201cOdd power Negative result\u201d.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_003_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The image contains a table with 2 rows and 5 columns. The first row contains the expressions n, n squared, n cubed, n to the fourth power, and n to the fifth power. The second row contains the numbers negative 2, 4, negative 8, 16, negative 32. Arrows point to the second and fourth columns with the label \u201cEven power Positive result\u201d. Arrows point to the first third and fifth columns with the label \u201cOdd power Negative result\u201d.\"><\/span><p id=\"fs-id1169149155980\">We will now extend the square root definition to higher roots.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149108455\"><div data-type=\"title\"><em data-effect=\"italics\">n<\/em><sup>th<\/sup> Root of a Number<\/div><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169148926602\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{}\\\\ \\\\ \\hfill \\text{If}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{b}^{n}=a,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{then}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}b\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is an}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{n}^{th}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{root of}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a.\\hfill \\\\ \\hfill \\text{The principal}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{n}^{th}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{root of}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is written}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[n]{a}.\\hfill \\\\ \\hfill n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is called the}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\mathbf{\\text{index}}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{of the radical.}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><p id=\"fs-id1169149368114\">Just like we use the word \u2018cubed\u2019 for <em data-effect=\"italics\">b<\/em><sup>3<\/sup>, we use the term \u2018cube root\u2019 for \\(\\sqrt[3]{a}.\\)<\/p><p id=\"fs-id1169149310383\">We can refer to <a href=\"#CNX_IntAlg_Figure_08_01_002\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> to help find higher roots.<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169146874884\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{ccc}\\hfill {4}^{3}&amp; =\\hfill &amp; 64\\hfill \\\\ \\hfill {3}^{4}&amp; =\\hfill &amp; 81\\hfill \\\\ \\hfill {\\left(-2\\right)}^{5}&amp; =\\hfill &amp; -32\\hfill \\end{array}\\phantom{\\rule{6em}{0ex}}\\begin{array}{ccc}\\hfill \\sqrt[3]{64}&amp; =\\hfill &amp; 4\\hfill \\\\ \\hfill \\sqrt[4]{81}&amp; =\\hfill &amp; 3\\hfill \\\\ \\hfill \\sqrt[5]{-32}&amp; =\\hfill &amp; -2\\hfill \\end{array}\\)<\/div><p id=\"fs-id1169148827466\">Could we have an even root of a negative number? We know that the square root of a negative number is not a real number. The same is true for any even root. <em data-effect=\"italics\">Even<\/em> roots of negative numbers are not real numbers. <em data-effect=\"italics\">Odd<\/em> roots of negative numbers are real numbers.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169147027485\"><div data-type=\"title\">Properties of \\(\\sqrt[n]{a}\\)<\/div><p id=\"fs-id1169149326612\">When <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is an even number and<\/p><ul id=\"fs-id1169149002308\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>\\(a\\ge 0,\\) then \\(\\sqrt[n]{a}\\) is a real number.<\/li><li>\\(a&lt;0,\\) then \\(\\sqrt[n]{a}\\) is not a real number.<\/li><\/ul><p id=\"fs-id1169148898687\">When <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is an odd number, \\(\\sqrt[n]{a}\\) is a real number for all values of <em data-effect=\"italics\">a<\/em>.<\/p><\/div><p id=\"fs-id1169149096279\">We will apply these properties in the next two examples.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148871714\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148865844\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146654571\"><p id=\"fs-id1169148924022\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt[3]{64}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[4]{81}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[5]{32}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146648492\"><p id=\"fs-id1169149329984\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\sqrt[3]{64}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{4}^{3}=64.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}4\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{81}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(3\\right)}^{4}=81.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}3\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[5]{32}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(2\\right)}^{5}=32.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}2\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149335638\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149011354\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148843404\"><p id=\"fs-id1169148929680\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt[3]{27}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[4]{256}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[5]{243}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146658975\"><p id=\"fs-id1169149157689\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 3 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 4 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 3<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169146612668\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149349807\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144562221\"><p id=\"fs-id1169148885380\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt[3]{1000}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[4]{16}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[5]{243}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148911516\"><p id=\"fs-id1169149089547\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 10 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 2 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 3<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1165927757740\">In this example be alert for the negative signs as well as even and odd powers.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148948239\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144730809\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149204958\"><p id=\"fs-id1169144560227\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt[3]{-125}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[4]{16}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[5]{-243}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149065347\"><p id=\"fs-id1169146662763\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{13em}{0ex}}\\sqrt[3]{-125}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(-5\\right)}^{3}=-125.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{13em}{0ex}}-5\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\sqrt[4]{-16}\\hfill \\\\ \\text{Think,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(?\\right)}^{4}=-16.\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{No real number raised}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\\\ \\text{to the fourth power is negative.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\text{Not a real number.}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{13em}{0ex}}\\sqrt[5]{-243}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(-3\\right)}^{5}=-243.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{13em}{0ex}}-3\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149287171\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147087459\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144873604\"><p id=\"fs-id1169149349661\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt[3]{-27}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[4]{-256}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[5]{-32}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144379098\"><p id=\"fs-id1169148990626\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-3\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span> not real <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(-2\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169146731399\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149294103\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146621198\"><p id=\"fs-id1169149169243\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt[3]{-216}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[4]{-81}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[5]{-1024}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149014769\"><p id=\"fs-id1169149155167\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-6\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span> not real <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(-4\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169148831408\"><h3 data-type=\"title\">Estimate and Approximate Roots<\/h3><p id=\"fs-id1169149288530\">When we see a number with a radical sign, we often don\u2019t think about its numerical value. While we probably know that the \\(\\sqrt{4}=2,\\) what is the value of \\(\\sqrt[]{21}\\) or \\(\\sqrt[3]{50}?\\) In some situations a quick estimate is meaningful and in others it is convenient to have a decimal approximation.<\/p><p id=\"fs-id1169149092400\">To get a numerical estimate of a square root, we look for <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">perfect square<\/span> numbers closest to the radicand. To find an estimate of \\(\\sqrt{11},\\) we see 11 is between perfect square numbers 9 and 16, <em data-effect=\"italics\">closer<\/em> to 9. Its square root then will be between 3 and 4, but closer to 3.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169147066070\" data-alt=\"The figure contains two tables. The first table has 5 rows and 2 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d and \u201cSquare Root\u201d. The second row has the numbers 4 and 2. The third row is 9 and 3. The fourth row is 16 and 4. The last row is 25 and 5. A callout containing the number 11 is directed between the 9 and 16 in the first column. Another callout containing the number square root of 11 is directed between the 3 and 4 of the second column. Below the table are the inequalities 9 is less than 11 is less than 16 and 3 is less than square root of 11 is less than 4. The second table has 5 rows and 2 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d and \u201cCube Root\u201d. The second row has the numbers 8 and 2. The third row is 27 and 3. The fourth row is 64 and 4. The last row is 125 and 5. A callout containing the number 91 is directed between the 64 and 125 in the first column. Another callout containing the number cube root of 91 is directed between the 4 and 5 of the second column. Below the table are the inequalities 64 is less than 91 is less than 125 and 4 is less than cube root of 91 is less than 5.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_004_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The figure contains two tables. The first table has 5 rows and 2 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d and \u201cSquare Root\u201d. The second row has the numbers 4 and 2. The third row is 9 and 3. The fourth row is 16 and 4. The last row is 25 and 5. A callout containing the number 11 is directed between the 9 and 16 in the first column. Another callout containing the number square root of 11 is directed between the 3 and 4 of the second column. Below the table are the inequalities 9 is less than 11 is less than 16 and 3 is less than square root of 11 is less than 4. The second table has 5 rows and 2 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d and \u201cCube Root\u201d. The second row has the numbers 8 and 2. The third row is 27 and 3. The fourth row is 64 and 4. The last row is 125 and 5. A callout containing the number 91 is directed between the 64 and 125 in the first column. Another callout containing the number cube root of 91 is directed between the 4 and 5 of the second column. Below the table are the inequalities 64 is less than 91 is less than 125 and 4 is less than cube root of 91 is less than 5.\"><\/span><p id=\"fs-id1169148932974\">Similarly, to estimate \\(\\sqrt[3]{91},\\) we see 91 is between perfect cube numbers 64 and 125. The cube root then will be between 4 and 5.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148951142\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149034568\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149031465\"><p id=\"fs-id1169149037560\">Estimate each root between two consecutive whole numbers: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{105}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{43}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149109449\"><p id=\"fs-id1169149029219\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> Think of the perfect square numbers closest to 105. Make a small table of these perfect squares and their squares roots.<\/p><table id=\"fs-id1169149097063\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"The table has 5 rows and 2 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d and \u201cSquare Root\u201d. The second row has the numbers 81and 9. The third row is 100 and 10. The fourth row is 121 and 11. The last row is 144 and 12. A callout containing the number 105 is directed between the 100 and 121 in the first column. Another callout containing the number square root of 105 is directed between the 10 and 11 of the second column. Below the table are the inequalities 100 is less than 105 is less than 121 and 10 is less than square root of 105 is less than 11.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149014939\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_005a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169148870813\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_005b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Locate 105 between two consecutive perfect squares.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169144379992\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_005c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\sqrt{105}\\) is between their square roots.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149101962\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_005d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p id=\"fs-id1169148993521\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> Similarly we locate 43 between two perfect cube numbers.<\/p><table id=\"fs-id1169148970427\" class=\"unnumbered unstyled can-break\" summary=\"The table has 5 rows and 2 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d and \u201cCube Root\u201d. The second row has the numbers 8 and 2. The third row is 27 and 3. The fourth row is 64 and 4. The last row is 125 and 5. A callout containing the number 43 is directed between the 27 and 64 in the first column. Another callout containing the number cube root of 43 is directed between the 3 and 4 of the second column. Below the table are the inequalities 27 is less than 43 is less than 64 and 3 is less than cube root of 43 is less than 4.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149115401\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_006a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149005295\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_006b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Locate 43 between two consecutive perfect cubes.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149108611\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_006c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\sqrt[3]{43}\\) is between their cube roots.<\/td><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169148992327\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_006d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148871624\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146630117\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148915764\"><p id=\"fs-id1169149105146\">Estimate each root between two consecutive whole numbers:<\/p><p id=\"fs-id1169149144160\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{38}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{93}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148898667\"><p id=\"fs-id1169149117873\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(6&lt;\\sqrt{38}&lt;7\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(4&lt;\\sqrt[3]{93}&lt;5\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148827751\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149308048\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146731317\"><p id=\"fs-id1169144746808\">Estimate each root between two consecutive whole numbers:<\/p><p id=\"fs-id1169149221820\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{84}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{152}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148925483\"><p id=\"fs-id1169144730081\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(9&lt;\\sqrt{84}&lt;10\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(5&lt;\\sqrt[3]{152}&lt;6\\)<\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169148871159\">There are mathematical methods to approximate square roots, but nowadays most people use a calculator to find square roots. To find a square root you will use the \\(\\sqrt{x}\\) key on your calculator. To find a cube root, or any root with higher index, you will use the \\(\\sqrt[y]{x}\\) key.<\/p><p id=\"fs-id1169146646664\">When you use these keys, you get an approximate value. It is an approximation, accurate to the number of digits shown on your calculator\u2019s display. The symbol for an approximation is \\(\\approx \\) and it is read \u2018approximately\u2019.<\/p><p id=\"fs-id1169144382250\">Suppose your calculator has a 10 digit display. You would see that<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149014395\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{c}\\hfill \\sqrt{5}\\approx 2.236067978\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{rounded to two decimal places is}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt{5}\\approx 2.24\\hfill \\\\ \\hfill \\sqrt[4]{93}\\approx 3.105422799\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{rounded to two decimal places is}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[4]{93}\\approx 3.11\\hfill \\end{array}\\)<\/div><p id=\"fs-id1169149303690\">How do we know these values are approximations and not the exact values? Look at what happens when we square them:<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149121409\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{ccc}\\hfill {\\left(2.236067978\\right)}^{2}&amp; =\\hfill &amp; 5.000000002\\hfill \\\\ \\hfill {\\left(2.24\\right)}^{2}&amp; =\\hfill &amp; 5.0176\\hfill \\end{array}\\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\begin{array}{ccc}\\hfill {\\left(3.105422799\\right)}^{4}&amp; =\\hfill &amp; 92.999999991\\hfill \\\\ \\hfill {\\left(3.11\\right)}^{4}&amp; =\\hfill &amp; 93.54951841\\hfill \\end{array}\\)<\/div><p id=\"fs-id1169148926161\">Their squares are close to 5, but are not exactly equal to 5. The fourth powers are close to 93, but not equal to 93.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148911981\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146742131\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149294811\"><p id=\"fs-id1169149344377\">Round to two decimal places: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{17}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{49}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{51}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149360529\"><p id=\"fs-id1169149305330\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{17}\\hfill \\\\ \\text{Use the calculator square root key.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}4.123105626\\text{\u2026}\\hfill \\\\ \\text{Round to two decimal places.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}4.12\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{17}\\approx 4.12\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{6.5em}{0ex}}\\sqrt[3]{49}\\hfill \\\\ \\text{Use the calculator}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[y]{x}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{key}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{6.5em}{0ex}}3.659305710\\text{\u2026}\\hfill \\\\ \\text{Round to two decimal places.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{6.5em}{0ex}}3.66\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{6.5em}{0ex}}\\sqrt[3]{49}\\approx 3.66\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{6.5em}{0ex}}\\sqrt[4]{51}\\hfill \\\\ \\text{Use the calculator}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[y]{x}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{key}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{6.5em}{0ex}}2.6723451177\\text{\u2026}\\hfill \\\\ \\text{Round to two decimal places.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{6.5em}{0ex}}2.67\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{6.5em}{0ex}}\\sqrt[4]{51}\\approx 2.67\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169146617326\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149040412\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144874512\"><p id=\"fs-id1169146731256\">Round to two decimal places:<\/p><p id=\"fs-id1169144645848\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{11}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{71}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{127}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149348031\"><p id=\"fs-id1169149097346\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\approx 3.32\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\approx 4.14\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\approx 3.36\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149025553\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149025556\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149094149\"><p id=\"fs-id1169149094151\">Round to two decimal places:<\/p><p id=\"fs-id1169149094154\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{13}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{84}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{98}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149024174\"><p id=\"fs-id1169149012853\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\approx 3.61\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\approx 4.38\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\approx 3.15\\)<\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169146667082\"><h3 data-type=\"title\">Simplify Variable Expressions with Roots<\/h3><p id=\"fs-id1169146667088\">The odd root of a number can be either positive or negative. For example,<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169146667091\" data-alt=\"Three equivalent expressions are written: the cube root of 4 cubed, the cube root of 64, and 4. There are arrows pointing to the 4 that is cubed in the first expression and the 4 in the last expression labeling them as \u201csame\u201d. Three more equivalent expressions are also written: the cube root of the quantity negative 4 in parentheses cubed, the cube root of negative 64, and negative 4. The negative 4 in the first expression and the negative 4 in the last expression are labeled as being the \u201csame\u201d.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_007_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Three equivalent expressions are written: the cube root of 4 cubed, the cube root of 64, and 4. There are arrows pointing to the 4 that is cubed in the first expression and the 4 in the last expression labeling them as \u201csame\u201d. Three more equivalent expressions are also written: the cube root of the quantity negative 4 in parentheses cubed, the cube root of negative 64, and negative 4. The negative 4 in the first expression and the negative 4 in the last expression are labeled as being the \u201csame\u201d.\"><\/span><p id=\"fs-id1169149326743\">But what about an even root? We want the principal root, so \\(\\sqrt[4]{625}=5.\\)<\/p><p id=\"fs-id1169147086818\">But notice,<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169147086829\" data-alt=\"Three equivalent expressions are written: the fourth root of the quantity 5 to the fourth power in parentheses, the fourth root of 625, and 5. There are arrows pointing to the 5 in the first expression and the 5 in the last expression labeling them as \u201csame\u201d. Three more equivalent expressions are also written: the fourth root of the quantity negative 5 in parentheses to the fourth power in parentheses, the fourth root of 625, and 5. The negative 5 in the first expression and the 5 in the last expression are labeled as being the \u201cdifferent\u201d.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_008_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Three equivalent expressions are written: the fourth root of the quantity 5 to the fourth power in parentheses, the fourth root of 625, and 5. There are arrows pointing to the 5 in the first expression and the 5 in the last expression labeling them as \u201csame\u201d. Three more equivalent expressions are also written: the fourth root of the quantity negative 5 in parentheses to the fourth power in parentheses, the fourth root of 625, and 5. The negative 5 in the first expression and the 5 in the last expression are labeled as being the \u201cdifferent\u201d.\"><\/span><p id=\"fs-id1169149219442\">How can we make sure the fourth root of \u22125 raised to the fourth power is 5? We can use the absolute value. \\(|-5|=5.\\) So we say that when <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is even \\(\\sqrt[n]{{a}^{n}}=|a|.\\) This guarantees the principal root is positive.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144686005\"><div data-type=\"title\">Simplifying Odd and Even Roots<\/div><p id=\"fs-id1169144686010\">For any integer \\(n\\ge 2,\\)<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149012874\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{cccc}\\text{when the index}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is odd}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[n]{{a}^{n}}=a\\hfill \\\\ \\text{when the index}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is even}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[n]{{a}^{n}}=|a|\\hfill \\end{array}\\)<\/div><p id=\"fs-id1169146616749\">We must use the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">absolute value<\/span> signs when we take an even root of an expression with a variable in the radical.<\/p><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169146616758\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146616760\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146616762\"><p id=\"fs-id1169146616764\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{{x}^{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{{n}^{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{{p}^{4}}\\) <span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\(\\sqrt[5]{{y}^{5}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149369228\"><p id=\"fs-id1169149369230\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> We use the absolute value to be sure to get the positive root.<\/p><p id=\"fs-id1169149369236\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\sqrt{{x}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Since the index}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is even,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[n]{{a}^{n}}=|a|.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}|x|\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1169149029892\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> This is an odd indexed root so there is no need for an absolute value sign.<\/p><p id=\"fs-id1169149029899\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5.5em}{0ex}}\\sqrt[3]{{m}^{3}}\\hfill \\\\ \\text{Since the index}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is odd,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[n]{{a}^{n}}=a.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5.5em}{0ex}}m\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1169149292320\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p><p id=\"fs-id1169149292326\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\sqrt[4]{{p}^{4}}\\hfill \\\\ \\text{Since the index}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is even}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[n]{{a}^{n}}=|a|.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}|p|\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1169149152602\"><span class=\"token\">\u24d3<\/span><\/p><p id=\"fs-id1169149152608\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5.5em}{0ex}}\\sqrt[5]{{y}^{5}}\\hfill \\\\ \\text{Since the index}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is odd,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[n]{{a}^{n}}=a.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5.5em}{0ex}}y\\hfill \\end{array}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149196142\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149196145\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149196147\"><p id=\"fs-id1169149196149\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{{b}^{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{{w}^{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{{m}^{4}}\\) <span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\(\\sqrt[5]{{q}^{5}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149340920\"><p id=\"fs-id1169149340922\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(|b|\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span><em data-effect=\"italics\">w<\/em><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(|m|\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span><em data-effect=\"italics\">q<\/em><\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148956591\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148956594\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148956596\"><p id=\"fs-id1169148956598\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{{y}^{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{{p}^{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{{z}^{4}}\\) <span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\(\\sqrt[5]{{q}^{5}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146742833\"><p id=\"fs-id1169146742835\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(|y|\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span><em data-effect=\"italics\">p<\/em><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(|z|\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span><em data-effect=\"italics\">q<\/em><\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169148962626\">What about square roots of higher powers of variables? The Power Property of Exponents says \\({\\left({a}^{m}\\right)}^{n}={a}^{m\u00b7n}.\\) So if we square <em data-effect=\"italics\">a<sup>m<\/sup><\/em>, the exponent will become 2<em data-effect=\"italics\">m<\/em>.<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149029618\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left({a}^{m}\\right)}^{2}={a}^{2m}\\)<\/div><p id=\"fs-id1169149357766\">Looking now at the square root,<\/p><p id=\"fs-id1169149357769\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{{a}^{2m}}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left({a}^{m}\\right)}^{2}={a}^{2m}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{{\\left({a}^{m}\\right)}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is even}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[n]{{a}^{n}}=|a|.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}|{a}^{m}|\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\text{So}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt{{a}^{2m}}=|{a}^{m}|.\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1169139949093\">We apply this concept in the next example.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169139949096\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169139949098\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169139949100\"><p id=\"fs-id1169139949102\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{{x}^{6}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt{{y}^{16}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148943362\"><p id=\"fs-id1169148943364\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\sqrt{{x}^{6}}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left({x}^{3}\\right)}^{2}={x}^{6}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\sqrt{{\\left({x}^{3}\\right)}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Since the index}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is even}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt{{a}^{n}}=|a|.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}|{x}^{3}|\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{{y}^{16}}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left({y}^{8}\\right)}^{2}={y}^{16}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{{\\left({y}^{8}\\right)}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Since the index}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is even}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[n]{{a}^{n}}=|a|.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{y}^{8}\\hfill \\\\ \\text{In this case the absolute value sign is}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\\\ \\text{not needed as}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{y}^{8}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is positive.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169146940146\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146940149\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146940151\"><p id=\"fs-id1169146940153\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{{y}^{18}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt{{z}^{12}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149009068\"><p id=\"fs-id1169149009070\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(|{y}^{9}|\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({z}^{6}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149093716\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149093719\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149093722\"><p id=\"fs-id1169149093724\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{{m}^{4}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt{{b}^{10}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148934956\"><p id=\"fs-id1169148934958\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({m}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(|{b}^{5}|\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169148934872\">The next example uses the same idea for highter roots.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148934875\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148934877\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148934879\"><p id=\"fs-id1169148934881\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt[3]{{y}^{18}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[4]{{z}^{8}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149341523\"><p id=\"fs-id1169149341525\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{10em}{0ex}}\\sqrt[3]{{y}^{18}}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left({y}^{6}\\right)}^{3}={y}^{18}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{10em}{0ex}}\\sqrt[3]{{\\left({y}^{6}\\right)}^{3}}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is odd,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[n]{{a}^{n}}=a.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{10em}{0ex}}{y}^{6}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{{z}^{8}}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left({z}^{2}\\right)}^{4}={z}^{8}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{{\\left({z}^{2}\\right)}^{4}}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{z}^{2}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is positive, we do not need an}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{z}^{2}\\hfill \\\\ \\text{absolute value sign.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149218822\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149218825\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149218827\"><p id=\"fs-id1169149218829\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt[4]{{u}^{12}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{{v}^{15}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144378982\"><p id=\"fs-id1169144378984\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(|{u}^{3}|\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({v}^{5}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169146595864\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146595868\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146595870\"><p id=\"fs-id1169146595872\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt[5]{{c}^{20}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[6]{{d}^{24}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169139949172\"><p id=\"fs-id1169139949174\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({c}^{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({d}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169149196760\">In the next example, we now have a coefficient in front of the variable. The concept \\(\\sqrt{{a}^{2m}}=|{a}^{m}|\\) works in much the same way.<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169146733274\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\sqrt{16{r}^{22}}=4|{r}^{11}|\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{because}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(4{r}^{11}\\right)}^{2}=16{r}^{22}.\\)<\/div><p id=\"fs-id1169140418442\">But notice \\(\\sqrt{25{u}^{8}}=5{u}^{4}\\) and no absolute value sign is needed as <em data-effect=\"italics\">u<\/em><sup>4<\/sup> is always positive.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169140418474\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169140418476\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169140418478\"><p id=\"fs-id1169140418480\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{16{n}^{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\text{\u2212}\\sqrt{81{c}^{2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149189579\"><p id=\"fs-id1169144687824\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{6.5em}{0ex}}\\sqrt{16{n}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(4n\\right)}^{2}=16{n}^{2}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{6.5em}{0ex}}\\sqrt{{\\left(4n\\right)}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Since the index}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is even}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[n]{{a}^{n}}=|a|.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{6.5em}{0ex}}4|n|\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{6em}{0ex}}\\text{\u2212}\\sqrt{81{c}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(9c\\right)}^{2}=81{c}^{2}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{6em}{0ex}}\\text{\u2212}\\sqrt{{\\left(9c\\right)}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Since the index}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is even}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[n]{{a}^{n}}=|a|.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{6em}{0ex}}-9|c|\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169147109120\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147109124\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147109126\"><p id=\"fs-id1169147109128\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{64{x}^{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\text{\u2212}\\sqrt{100{p}^{2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149223105\"><p id=\"fs-id1169149223107\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(8|x|\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(-10|p|\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149093316\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149093320\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149093322\"><p id=\"fs-id1169149093324\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{169{y}^{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\text{\u2212}\\sqrt{121{y}^{2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146594186\"><p id=\"fs-id1169146594188\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(13|y|\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(-11|y|\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169149297120\">This example just takes the idea farther as it has roots of higher index.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169149297123\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149297125\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149297127\"><p id=\"fs-id1169149297129\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt[3]{64{p}^{6}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[4]{16{q}^{12}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144768364\"><p id=\"fs-id1169146916918\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{11em}{0ex}}\\sqrt[3]{64{p}^{6}}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}64{p}^{6}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{as}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(4{p}^{2}\\right)}^{3}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{11em}{0ex}}\\sqrt[3]{{\\left(4{p}^{2}\\right)}^{3}}\\hfill \\\\ \\text{Take the cube root.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{11em}{0ex}}4{p}^{2}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4.5em}{0ex}}\\sqrt[4]{16{q}^{12}}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite the radicand as a fourth power.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4.5em}{0ex}}\\sqrt[4]{{\\left(2{q}^{3}\\right)}^{4}}\\hfill \\\\ \\text{Take the fourth root.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4.5em}{0ex}}2|{q}^{3}|\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149182952\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149182956\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149182958\"><p id=\"fs-id1169149182960\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt[3]{27{x}^{27}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[4]{81{q}^{28}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149014470\"><p id=\"fs-id1169149014472\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(3{x}^{9}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(3|{q}^{7}|\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169147089697\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147089701\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147089704\"><p id=\"fs-id1169147089706\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt[3]{125{q}^{9}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[5]{243{q}^{25}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149033002\"><p id=\"fs-id1169149033004\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(5{p}^{3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(3{q}^{5}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169149037031\">The next examples have two variables.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169149037034\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149037036\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149037038\"><p id=\"fs-id1169149037040\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{36{x}^{2}{y}^{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt{121{a}^{6}{b}^{8}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[3]{64{p}^{63}{q}^{9}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149285788\"><p id=\"fs-id1169149285790\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{8em}{0ex}}\\sqrt{36{x}^{2}{y}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(6xy\\right)}^{2}=36{x}^{2}{y}^{2}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{8em}{0ex}}\\sqrt{{\\left(6xy\\right)}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Take the square root.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{8em}{0ex}}6|xy|\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\sqrt{121{a}^{6}{b}^{8}}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(11{a}^{3}{b}^{4}\\right)}^{2}=121{a}^{6}{b}^{8}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\sqrt{{\\left(11{a}^{3}{b}^{4}\\right)}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Take the square root.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}11|{a}^{3}|{b}^{4}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\sqrt[3]{64{p}^{63}{q}^{9}}\\hfill \\\\ \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(4{p}^{21}{q}^{3}\\right)}^{3}=64{p}^{63}{q}^{9}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\sqrt[3]{{\\left(4{p}^{21}{q}^{3}\\right)}^{3}}\\hfill \\\\ \\text{Take the cube root.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}4{p}^{21}{q}^{3}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144603703\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147109510\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147109512\"><p id=\"fs-id1169147109514\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{100{a}^{2}{b}^{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt{144{p}^{12}{q}^{20}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[3]{8{x}^{30}{y}^{12}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148952480\"><p id=\"fs-id1169148952482\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(10|ab|\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(12{p}^{6}{q}^{10}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(2{x}^{10}{y}^{4}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169146817356\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146817361\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146817363\"><p id=\"fs-id1169146817365\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{225{m}^{2}{n}^{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt{169{x}^{10}{y}^{14}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[3]{27{w}^{36}{z}^{15}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149168572\"><p id=\"fs-id1169149168575\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(15|mn|\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(13|{x}^{5}{y}^{7}|\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(3{w}^{12}{z}^{5}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144730841\" class=\"media-2\"><p id=\"fs-id1169144730844\">Access this online resource for additional instruction and practice with simplifying expressions with roots.<\/p><ul id=\"fs-id1169144730849\" data-display=\"block\"><li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37SimVarAbVal\">Simplifying Variables Exponents with Roots using Absolute Values<\/a><\/li><\/ul><\/div><\/div><div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169144730862\"><h3 data-type=\"title\">Key Concepts<\/h3><ul id=\"fs-id1169144730870\" data-bullet-style=\"bullet\"><li><strong data-effect=\"bold\">Square Root Notation<\/strong><ul id=\"fs-id1169149168597\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>\\(\\sqrt{m}\\) is read \u2018the square root of <em data-effect=\"italics\">m<\/em>\u2019<\/li><li>If <em data-effect=\"italics\">n<\/em><sup>2<\/sup> = <em data-effect=\"italics\">m<\/em>, then \\(n=\\sqrt{m},\\) for \\(n\\ge 0.\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div> <span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169148870699\" data-alt=\"The image shows the variable m inside a square root symbol. The symbol is a line that goes up along the left side and then flat above the variable. The symbol is labeled \u201cradical sign\u201d. The variable m is labeled \u201cradicand\u201d.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_009_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The image shows the variable m inside a square root symbol. The symbol is a line that goes up along the left side and then flat above the variable. The symbol is labeled \u201cradical sign\u201d. The variable m is labeled \u201cradicand\u201d.\"><\/span><\/li><li>The square root of <em data-effect=\"italics\">m<\/em>, \\(\\sqrt{m},\\) is a positive number whose square is <em data-effect=\"italics\">m<\/em>.<\/li><\/ul><\/li><li><strong data-effect=\"bold\"><em data-effect=\"italics\">n<\/em><sup>th<\/sup> Root of a Number<\/strong><ul id=\"fs-id1169149012396\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>If \\({b}^{n}=a,\\) then <em data-effect=\"italics\">b<\/em> is an <em data-effect=\"italics\">n<sup>th<\/sup><\/em> root of <em data-effect=\"italics\">a<\/em>.<\/li><li>The principal <em data-effect=\"italics\">n<sup>th<\/sup><\/em> root of <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is written \\(\\sqrt[n]{a}.\\)<\/li><li><em data-effect=\"italics\">n<\/em> is called the <em data-effect=\"italics\">index<\/em> of the radical.<\/li><\/ul><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Properties of \\(\\sqrt[n]{a}\\)<\/strong><ul id=\"fs-id1169144544254\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>When <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is an even number and <ul id=\"fs-id1169144544267\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>\\(a\\ge 0,\\) then \\(\\sqrt[n]{a}\\) is a real number<\/li><li>\\(a&lt;0,\\) then \\(\\sqrt[n]{a}\\) is not a real number<\/li><\/ul><\/li><li>When <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is an odd number, \\(\\sqrt[n]{a}\\) is a real number for all values of <em data-effect=\"italics\">a<\/em>.<\/li><\/ul><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Simplifying Odd and Even Roots<\/strong><ul id=\"fs-id1169146741563\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>For any integer \\(n\\ge 2,\\) <ul id=\"fs-id1169146741583\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>when <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is odd \\(\\sqrt[n]{{a}^{n}}=a\\)<\/li><li>when <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is even \\(\\sqrt[n]{{a}^{n}}=|a|\\)<\/li><\/ul><\/li><li>We must use the absolute value signs when we take an even root of an expression with a variable in the radical.<\/li><\/ul><\/li><\/ul><\/div><div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169149285846\"><div class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1169149285850\"><h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4><p id=\"fs-id1169149285857\"><strong data-effect=\"bold\">Simplify Expressions with Roots<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1169149285863\">In the following exercises, simplify.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149285867\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149285869\"><p id=\"fs-id1169149285871\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{64}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}\\sqrt{81}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147028220\"><p id=\"fs-id1169147028222\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 8 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(-9\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149350013\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149350015\"><p id=\"fs-id1169149350017\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{169}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}\\sqrt{100}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144873656\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144873659\"><p id=\"fs-id1169144873661\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{196}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}\\sqrt{1}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144873689\"><p id=\"fs-id1169144724392\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 14 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(-1\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144724411\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144724413\"><p id=\"fs-id1169144724415\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{144}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}\\sqrt{121}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149315580\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149315582\"><p id=\"fs-id1169149315584\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{4}{9}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}\\sqrt{0.01}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149220093\"><p id=\"fs-id1169149220096\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{2}{3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(-0.1\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149293424\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149293427\"><p id=\"fs-id1169149293429\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{64}{121}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}\\sqrt{0.16}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144556381\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144556383\"><p id=\"fs-id1169144556385\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{-121}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}\\sqrt{289}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146738199\"><p id=\"fs-id1169146738201\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> not real number <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(-17\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146738220\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146738222\"><p id=\"fs-id1169146738224\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\text{\u2212}\\sqrt{400}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt{-36}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149168395\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149214510\"><p id=\"fs-id1169149214512\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\text{\u2212}\\sqrt{225}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt{-9}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149214542\"><p id=\"fs-id1169149214544\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-15\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span> not real number<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169138987530\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169138987532\"><p id=\"fs-id1169138987534\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{-49}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}\\sqrt{256}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144768977\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144768979\"><p id=\"fs-id1169144768981\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{216}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[4]{256}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148956903\"><p id=\"fs-id1169148956905\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 6 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 4<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148956920\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148956922\"><p id=\"fs-id1169148956924\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{27}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[4]{16}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[5]{243}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144729911\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144729914\"><p id=\"fs-id1169144729916\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{512}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[4]{81}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[5]{1}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149092695\"><p id=\"fs-id1169149092697\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 8 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 3 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149092717\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149092719\"><p id=\"fs-id1169149092721\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{125}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[4]{1296}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[5]{1024}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148871280\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148871283\"><p id=\"fs-id1169148871285\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{-8}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[4]{-81}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[5]{-32}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144563594\"><p id=\"fs-id1169144563596\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-2\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{not real}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(-2\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146596586\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146596588\"><p id=\"fs-id1169146596590\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{-64}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[4]{-16}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[5]{-243}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146609516\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146609518\"><p id=\"fs-id1169147089616\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{-125}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[4]{-1296}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[5]{-1024}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149023628\"><p id=\"fs-id1169149023630\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-5\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{not real}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(-4\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149023665\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149023667\"><p id=\"fs-id1169149023669\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{-512}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[4]{-81}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[5]{-1}\\)<\/div><\/div><p id=\"fs-id1169149087421\"><strong data-effect=\"bold\">Estimate and Approximate Roots<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1169149087428\">In the following exercises, estimate each root between two consecutive whole numbers.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149087431\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149087433\"><p id=\"fs-id1169149289896\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{70}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{71}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149289926\"><p id=\"fs-id1169149289928\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(8&lt;\\sqrt{70}&lt;9\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(4&lt;\\sqrt[3]{71}&lt;5\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144375943\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144375945\"><p id=\"fs-id1169144375948\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{55}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{119}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149105079\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149105081\"><p id=\"fs-id1169149105083\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{200}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{137}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149064865\"><p id=\"fs-id1169149064867\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(14&lt;\\sqrt{200}&lt;15\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(5&lt;\\sqrt[3]{137}&lt;6\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149218153\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149218155\"><p id=\"fs-id1169149218157\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{172}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{200}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169144768435\">In the following exercises, approximate each root and round to two decimal places.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144768438\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144768440\"><p id=\"fs-id1169144768442\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{19}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{89}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{97}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144873913\"><p id=\"fs-id1169144873915\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(4.36\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\approx 4.46\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\approx 3.14\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149230439\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149230442\"><p id=\"fs-id1169149230444\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{21}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{93}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{101}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144566160\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144566162\"><p id=\"fs-id1169144566164\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{53}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{147}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{452}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144812761\"><p id=\"fs-id1169144812763\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(7.28\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\approx 5.28\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\approx 4.61\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144381486\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144381488\"><p id=\"fs-id1169144381490\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{47}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{163}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{527}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169148828190\"><strong data-effect=\"bold\">Simplify Variable Expressions with Roots<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1169149297729\">In the following exercises, simplify using absolute values as necessary.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149297732\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149297735\"><p id=\"fs-id1169149297737\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[5]{{u}^{5}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[8]{{v}^{8}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147085654\"><p id=\"fs-id1169147085656\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><em data-effect=\"italics\">u<\/em><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(|v|\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147085685\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147085688\"><p id=\"fs-id1169147085690\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{{a}^{3}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[9]{{b}^{9}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149152493\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149152495\"><p id=\"fs-id1169149152498\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[4]{{y}^{4}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[7]{{m}^{7}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149006656\"><p id=\"fs-id1169149006658\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(|y|\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(m\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149006686\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149006688\"><p id=\"fs-id1169149006690\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[8]{{k}^{8}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[6]{{p}^{6}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147107120\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147107122\"><p id=\"fs-id1169147107124\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{{x}^{6}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt{{y}^{16}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144603814\"><p id=\"fs-id1169144603816\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(|{x}^{3}|\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({y}^{8}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144603853\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148959256\"><p id=\"fs-id1169148959258\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{{a}^{14}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt{{w}^{24}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149101384\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149101386\"><p id=\"fs-id1169149101388\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{{x}^{24}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt{{y}^{22}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144359114\"><p id=\"fs-id1169144359116\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({x}^{12}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(|{y}^{11}|\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146940074\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146940076\"><p id=\"fs-id1169146940078\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{{a}^{12}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt{{b}^{26}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149095521\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144565154\"><p id=\"fs-id1169144565156\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{{x}^{9}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[4]{{y}^{12}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144565195\"><p id=\"fs-id1169144565198\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({x}^{3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(|{y}^{3}|\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146616398\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146616400\"><p id=\"fs-id1169146616403\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[5]{{a}^{10}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{{b}^{27}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149330601\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149330603\"><p id=\"fs-id1169149330605\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[4]{{m}^{8}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[5]{{n}^{20}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149113848\"><p id=\"fs-id1169149113850\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({m}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({n}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149113880\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149113883\"><p id=\"fs-id1169149113885\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[6]{{r}^{12}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{{s}^{30}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149287935\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149287937\"><p id=\"fs-id1169149287939\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{49{x}^{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}\\sqrt{81{x}^{18}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144380551\"><p id=\"fs-id1169144380553\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(7|x|\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(-9|{x}^{9}|\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146607081\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146607083\"><p id=\"fs-id1169146607085\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{100{y}^{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}\\sqrt{100{m}^{32}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149149957\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149339021\"><p id=\"fs-id1169149339023\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{121{m}^{20}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}\\sqrt{64{a}^{2}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149339064\"><p id=\"fs-id1169149339066\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(11{m}^{10}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(-8|a|\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149183024\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149183027\"><p id=\"fs-id1169149183029\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{81{x}^{36}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}\\sqrt{25{x}^{2}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149229605\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149229607\"><p id=\"fs-id1169149229609\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[4]{16{x}^{8}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[6]{64{y}^{12}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149295593\"><p id=\"fs-id1169149295595\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(2{x}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(2{y}^{2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149281073\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149281075\"><p id=\"fs-id1169149281077\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{-8{c}^{9}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{125{d}^{15}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146607486\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146607488\"><p id=\"fs-id1169146607490\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{216{a}^{6}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[5]{32{b}^{20}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149368338\"><p id=\"fs-id1169149368341\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(6{a}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(2{b}^{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149344089\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149344092\"><p id=\"fs-id1169149344094\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[7]{128{r}^{14}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[4]{81{s}^{24}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149154106\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149154108\"><p id=\"fs-id1169149154110\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{144{x}^{2}{y}^{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt{169{w}^{8}{y}^{10}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[3]{8{a}^{51}{b}^{6}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149369350\"><p id=\"fs-id1169149369352\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(12|xy|\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(13{w}^{4}|{y}^{5}|\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(2{a}^{17}{b}^{2}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146609287\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146609289\"><p id=\"fs-id1169146609291\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{196{a}^{2}{b}^{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt{81{p}^{24}{q}^{6}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[3]{27{p}^{45}{q}^{9}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169139949054\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169139949056\"><p id=\"fs-id1169139949058\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{121{a}^{2}{b}^{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt{9{c}^{8}{d}^{12}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[3]{64{x}^{15}{y}^{66}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146636772\"><p id=\"fs-id1169146636774\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(11|ab|\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(3{c}^{4}{d}^{6}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(4{x}^{5}{y}^{22}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146609351\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146609353\"><p id=\"fs-id1169146609355\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{225{x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt{36{r}^{6}{s}^{20}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[3]{125{y}^{18}{z}^{27}}\\)<\/div><\/div><\/div><div class=\"writing\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1169144568013\"><h4 data-type=\"title\">Writing Exercises<\/h4><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144568020\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144568022\"><p id=\"fs-id1169144568025\">Why is there no real number equal to \\(\\sqrt{-64}?\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144568037\"><p id=\"fs-id1169144568040\">Answers will vary.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144568045\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144568047\"><p id=\"fs-id1169144568049\">What is the difference between \\({9}^{2}\\) and \\(\\sqrt{9}?\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146733197\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146733199\"><p id=\"fs-id1169146733201\">Explain what is meant by the <em data-effect=\"italics\">n<sup>th<\/sup><\/em> root of a number.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146733213\"><p id=\"fs-id1169146733215\">Answers will vary.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146733220\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146733222\"><p id=\"fs-id1169146733225\">Explain the difference of finding the <em data-effect=\"italics\">n<sup>th<\/sup><\/em> root of a number when the index is even compared to when the index is odd.<\/p><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1169149214661\"><h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4><p id=\"fs-id1169149214666\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149214682\" data-alt=\"This table has 4 rows and 4 columns. The first row is a header row and it labels each column. The first column header is \u201cI can\u2026\u201d, the second is \u201cConfidently\u201d, the third is \u201cWith some help\u201d, and the fourth is \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. Under the first column are the phrases \u201csimplify expressions with roots.\u201d, \u201cestimate and approximate roots\u201d, and \u201csimplify variable expressions with roots\u201d. The other columns are left blank so that the learner may indicate their mastery level for each topic.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_201_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This table has 4 rows and 4 columns. The first row is a header row and it labels each column. The first column header is \u201cI can\u2026\u201d, the second is \u201cConfidently\u201d, the third is \u201cWith some help\u201d, and the fourth is \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. Under the first column are the phrases \u201csimplify expressions with roots.\u201d, \u201cestimate and approximate roots\u201d, and \u201csimplify variable expressions with roots\u201d. The other columns are left blank so that the learner may indicate their mastery level for each topic.\"><\/span><p id=\"fs-id1169149214678\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> If most of your checks were:<\/p><p id=\"fs-id1169147086296\"><strong data-effect=\"bold\">\u2026confidently.<\/strong> Congratulations! You have achieved the objectives in this section. Reflect on the study skills you used so that you can continue to use them. What did you do to become confident of your ability to do these things? Be specific.<\/p><p id=\"fs-id1169147086305\"><strong data-effect=\"bold\">\u2026with some help.<\/strong> This must be addressed quickly because topics you do not master become potholes in your road to success. In math every topic builds upon previous work. It is important to make sure you have a strong foundation before you move on. Who can you ask for help? Your fellow classmates and instructor are good resources. Is there a place on campus where math tutors are available? Can your study skills be improved?<\/p><p id=\"fs-id1169147086316\"><strong data-effect=\"bold\">\u2026no - I don\u2019t get it!<\/strong> This is a warning sign and you must not ignore it. You should get help right away or you will quickly be overwhelmed. See your instructor as soon as you can to discuss your situation. Together you can come up with a plan to get you the help you need.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"glossary\" class=\"textbox shaded\"><h3 data-type=\"glossary-title\">Glossary<\/h3><dl id=\"fs-id1169147086331\"><dt>square of a number<\/dt><dd id=\"fs-id1169147086336\">If <em data-effect=\"italics\">n<\/em><sup>2<\/sup> = <em data-effect=\"italics\">m<\/em>, then <em data-effect=\"italics\">m<\/em> is the square of <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/dd><\/dl><dl id=\"fs-id1169149037500\"><dt>square root of a number<\/dt><dd id=\"fs-id1169149037505\">If <em data-effect=\"italics\">n<\/em><sup>2<\/sup> = <em data-effect=\"italics\">m,<\/em> then <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is a square root of <em data-effect=\"italics\">m<\/em>.<\/dd><\/dl><\/div>\n","rendered":"<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\">\n<h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>\n<p>By the end of this section, you will be able to: <\/p>\n<ul>\n<li>Simplify expressions with roots<\/li>\n<li>Estimate and approximate roots<\/li>\n<li>Simplify variable expressions with roots<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148963271\" class=\"be-prepared\">\n<p id=\"fs-id1169147087020\">Before you get started, take this readiness quiz.<\/p>\n<ol id=\"fs-id1169148995669\" type=\"1\">\n<li>Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6bcd30149d10993d9904c9b42353f85f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#57;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c0e0f7394a3d6f8aa0ec5cd1de5d01e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#123;&#57;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e10d7b6f5e10fd79e7dc29e000fa221_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#57;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/37489cba-b108-41fd-88b1-ab568fcea766#fs-id1167836699133\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>Round <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-025acab330a807b9bd27fb52fabb73ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#46;&#56;&#52;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> to the nearest hundredth.\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/99b2296a-9957-4380-aff4-248abadc862b#fs-id1167836309901\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-efb40224cc0724f2f7d6b29faba5d4d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&middot;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"35\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fab14766cf43342927411be9e5790407_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&middot;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&middot;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4731f99624b856bccea4cb2b152bc8d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&middot;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&middot;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&middot;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"71\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/3fa6a6c5-9a36-4dee-aea1-0166229f52fb#fs-id1167835512989\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169148889441\">\n<h3 data-type=\"title\">Simplify Expressions with Roots<\/h3>\n<p id=\"fs-id1169149115571\">In <a href=\"\/contents\/1c2686fd-6e5c-417e-8340-38c9eb5e1019\" class=\"target-chapter\">Foundations<\/a>, we briefly looked at square roots. Remember that when a real number <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is multiplied by itself, we write <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-444500c4e43e38956dd248f19f2f7129_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and read it \u2018<em data-effect=\"italics\">n<\/em> squared\u2019. This number is called the <span data-type=\"term\">square<\/span> of <em data-effect=\"italics\">n<\/em>, and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is called the <span data-type=\"term\">square root<\/span>. For example,<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149042493\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c3133d8085c1f8489cfcd03115e1086_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#49;&#51;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#32;&#114;&#101;&#97;&#100;&#32;&#96;&#96;&#49;&#51;&#32;&#115;&#113;&#117;&#97;&#114;&#101;&#100;&#39;&#39;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#49;&#54;&#57;&#32;&#105;&#115;&#32;&#99;&#97;&#108;&#108;&#101;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#113;&#117;&#97;&#114;&#101;&#125;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#111;&#102;&#32;&#49;&#51;&#44;&#32;&#115;&#105;&#110;&#99;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#51;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#49;&#54;&#57;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#49;&#51;&#32;&#105;&#115;&#32;&#97;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#113;&#117;&#97;&#114;&#101;&#32;&#114;&#111;&#111;&#116;&#125;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#111;&#102;&#32;&#49;&#54;&#57;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"62\" width=\"347\" style=\"vertical-align: -25px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149109321\">\n<div data-type=\"title\">Square and Square Root of a number<\/div>\n<p id=\"fs-id1169144556679\"><strong data-effect=\"bold\">Square<\/strong><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149290184\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4ac7b4ed8ede13b35cb9ae5d7ae1953a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#73;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#109;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#109;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#32;&#116;&#104;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#102;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#113;&#117;&#97;&#114;&#101;&#125;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#111;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#110;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"274\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1169148995187\"><strong data-effect=\"bold\">Square Root<\/strong><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169148973660\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9547b85a44c03a65e07b3a207b76aa6a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#73;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#109;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#110;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#32;&#97;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#102;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#113;&#117;&#97;&#114;&#101;&#32;&#114;&#111;&#111;&#116;&#125;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#111;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#109;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"296\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169149312945\">Notice (\u221213)<sup>2<\/sup> = 169 also, so \u221213 is also a square root of 169. Therefore, both 13 and \u221213 are square roots of 169.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169146814000\">So, every positive number has two square roots\u2014one positive and one negative. What if we only wanted the positive square root of a positive number? We use a <em data-effect=\"italics\">radical sign<\/em>, and write, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2447480eb926a3c6e489624b0a8579e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#109;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> which denotes the positive square root of <em data-effect=\"italics\">m<\/em>. The positive square root is also called the <span data-type=\"term\">principal square root<\/span>.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169148925956\">We also use the radical sign for the square root of zero. Because <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6444a3ad0fa39919f49d0c2cbc284d31_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#48;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6e1b3453375b8d478d6961a0d9c26ad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#48;&#125;&#61;&#48;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> Notice that zero has only one square root.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149351748\">\n<div data-type=\"title\">Square Root Notation<\/div>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169148880476\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf58dbd24560dfccc52377049c45789f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#125;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#109;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#32;&#114;&#101;&#97;&#100;&#32;&#96;&#96;&#116;&#104;&#101;&#32;&#115;&#113;&#117;&#97;&#114;&#101;&#32;&#114;&#111;&#111;&#116;&#32;&#111;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#109;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#39;&#39;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#73;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#109;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#110;&#61;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#109;&#125;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#102;&#111;&#114;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#110;&#92;&#103;&#101;&#32;&#48;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"270\" style=\"vertical-align: -37px;\" \/><\/div>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169144381900\" data-alt=\"The image shows the variable m inside a square root symbol. The symbol is a line that goes up along the left side and then flat above the variable. The symbol is labeled \u201cradical sign\u201d. The variable m is labeled \u201cradicand\u201d.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_001_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The image shows the variable m inside a square root symbol. The symbol is a line that goes up along the left side and then flat above the variable. The symbol is labeled \u201cradical sign\u201d. The variable m is labeled \u201cradicand\u201d.\" \/><\/span><\/div>\n<p id=\"fs-id1169146659217\">We know that every positive number has two square roots and the radical sign indicates the positive one. We write <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c89d63f459340346552b6a65bccbe0d5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#54;&#57;&#125;&#61;&#49;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> If we want to find the negative square root of a number, we place a negative in front of the radical sign. For example, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-09a173aed14ac844fafe02cbbcf26982_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#54;&#57;&#125;&#61;&#45;&#49;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"100\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148970082\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149017497\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148898986\">\n<p id=\"fs-id1169149286630\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb4b7e7ac9715b068342f7e4ccdd555c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula 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data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146657194\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149116107\">\n<p id=\"fs-id1169149295006\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f3c6d122aae4c2c9863506b028b98cc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#48;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a16413c9bd3701888b648976a6f86bc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#50;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> Is there a number whose square is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ae54e9bac1840e4405f42c3831370b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#52;&#57;&#63;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149004881\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9cc0386bd0b48118bb441236470e78e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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Any negative number squared is positive. There is no real number equal to <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d39a9428d46e6afc02655d0a63c943c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#45;&#52;&#57;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> The square root of a negative number is not a real number.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148910743\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149023762\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148820580\">\n<p id=\"fs-id1169148859897\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1154b34d2f8ec68cebe7a9283e374a45_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"709\" style=\"vertical-align: -14px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-690e3e4d550a60a93eb63eb7f28cc10b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"590\" style=\"vertical-align: -14px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144378467\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148828227\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146638717\">\n<p id=\"fs-id1169148929622\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c3b9ea68a1a2eb8f9f1cb89bf27632d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#45;&#49;&#54;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"55\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5822607ec20e4699914200940b3c2e3c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#56;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144491036\">\n<p id=\"fs-id1169146823304\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> not a real number <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9672181aec15f8334b80ada7de4e4fc0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#57;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148995892\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144381413\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146594041\">\n<p id=\"fs-id1169146662378\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7a97590a90666bc6ea04944c6a56c115_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#52;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-375a617361c7bbde5dc756972c2a53aa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#45;&#49;&#50;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149007532\">\n<p id=\"fs-id1169148859611\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00c6d30c5f7439a21caf981437f64be1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span> not a real number<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169148859228\">So far we have only talked about squares and square roots. Let\u2019s now extend our work to include higher powers and higher roots.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169149014185\">Let\u2019s review some vocabulary first.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169148861279\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ffb78f9d56946d8f4fc7490aa5199ba9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#87;&#101;&#32;&#119;&#114;&#105;&#116;&#101;&#58;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#87;&#101;&#32;&#115;&#97;&#121;&#58;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#110;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#113;&#117;&#97;&#114;&#101;&#100;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#110;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#117;&#98;&#101;&#100;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#110;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#111;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#102;&#111;&#117;&#114;&#116;&#104;&#32;&#112;&#111;&#119;&#101;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#110;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#111;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#102;&#105;&#102;&#116;&#104;&#32;&#112;&#111;&#119;&#101;&#114;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"104\" width=\"322\" style=\"vertical-align: -47px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1169148823401\">The terms \u2018squared\u2019 and \u2018cubed\u2019 come from the formulas for area of a square and volume of a cube.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169149038030\">It will be helpful to have a table of the powers of the integers from \u22125 to 5. See <a href=\"#CNX_IntAlg_Figure_08_01_002\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/p>\n<div class=\"bc-figure figure\" id=\"CNX_IntAlg_Figure_08_01_002\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169148837862\" data-alt=\"The figure contains two tables. The first table has 9 rows and 5 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d, \u201cSquare\u201d, \u201cCube\u201d, \u201cFourth power\u201d, and \u201cFifth power\u201d. The second row contains the expressions n, n squared, n cubed, n to the fourth power, and n to the fifth power. The third row contains the number 1 in each column. The fourth row contains the numbers 2, 4, 8, 16, 32. The fifth row contains the numbers 3, 9, 27, 81, 243. The sixth row contains the numbers 4, 16, 64, 256, 1024. The seventh row contains the numbers 5, 25, 125 625, 3125. The eighth row contains the expressions x, x squared, x cubed, x to the fourth power, and x to the fifth power. The last row contains the expressions x squared, x to the fourth power, x to the sixth power, x to the eighth power, and x to the tenth power. The second table has 7 rows and 5 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d, \u201cSquare\u201d, \u201cCube\u201d, \u201cFourth power\u201d, and \u201cFifth power\u201d. The second row contains the expressions n, n squared, n cubed, n to the fourth power, and n to the fifth power. The third row contains the numbers negative 1, 1 negative 1, 1, negative 1. The fourth row contains the numbers negative 2, 4, negative 8, 16, negative 32. The fifth row contains the numbers negative 3, 9, negative 27, 81, negative 243. The sixth row contains the numbers negative 4, 16, negative 64, 256, negative 1024. The last row contains the numbers negative 5, 25, negative 125, 625, negative 3125.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_002_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The figure contains two tables. The first table has 9 rows and 5 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d, \u201cSquare\u201d, \u201cCube\u201d, \u201cFourth power\u201d, and \u201cFifth power\u201d. The second row contains the expressions n, n squared, n cubed, n to the fourth power, and n to the fifth power. The third row contains the number 1 in each column. The fourth row contains the numbers 2, 4, 8, 16, 32. The fifth row contains the numbers 3, 9, 27, 81, 243. The sixth row contains the numbers 4, 16, 64, 256, 1024. The seventh row contains the numbers 5, 25, 125 625, 3125. The eighth row contains the expressions x, x squared, x cubed, x to the fourth power, and x to the fifth power. The last row contains the expressions x squared, x to the fourth power, x to the sixth power, x to the eighth power, and x to the tenth power. The second table has 7 rows and 5 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d, \u201cSquare\u201d, \u201cCube\u201d, \u201cFourth power\u201d, and \u201cFifth power\u201d. The second row contains the expressions n, n squared, n cubed, n to the fourth power, and n to the fifth power. The third row contains the numbers negative 1, 1 negative 1, 1, negative 1. The fourth row contains the numbers negative 2, 4, negative 8, 16, negative 32. The fifth row contains the numbers negative 3, 9, negative 27, 81, negative 243. The sixth row contains the numbers negative 4, 16, negative 64, 256, negative 1024. The last row contains the numbers negative 5, 25, negative 125, 625, negative 3125.\" \/><\/span><\/div>\n<p id=\"fs-id1169148994337\">Notice the signs in the table. All powers of positive numbers are positive, of course. But when we have a negative number, the <em data-effect=\"italics\">even<\/em> powers are positive and the <em data-effect=\"italics\">odd<\/em> powers are negative. We\u2019ll copy the row with the powers of \u22122 to help you see this.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169148848695\" data-alt=\"The image contains a table with 2 rows and 5 columns. The first row contains the expressions n, n squared, n cubed, n to the fourth power, and n to the fifth power. The second row contains the numbers negative 2, 4, negative 8, 16, negative 32. Arrows point to the second and fourth columns with the label \u201cEven power Positive result\u201d. Arrows point to the first third and fifth columns with the label \u201cOdd power Negative result\u201d.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_003_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The image contains a table with 2 rows and 5 columns. The first row contains the expressions n, n squared, n cubed, n to the fourth power, and n to the fifth power. The second row contains the numbers negative 2, 4, negative 8, 16, negative 32. Arrows point to the second and fourth columns with the label \u201cEven power Positive result\u201d. Arrows point to the first third and fifth columns with the label \u201cOdd power Negative result\u201d.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1169149155980\">We will now extend the square root definition to higher roots.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149108455\">\n<div data-type=\"title\"><em data-effect=\"italics\">n<\/em><sup>th<\/sup> Root of a Number<\/div>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169148926602\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bce73c1457e00d949ea81a709b17a46c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#125;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#73;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#97;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#98;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#32;&#97;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#104;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#114;&#111;&#111;&#116;&#32;&#111;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#97;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#104;&#101;&#32;&#112;&#114;&#105;&#110;&#99;&#105;&#112;&#97;&#108;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#116;&#104;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#114;&#111;&#111;&#116;&#32;&#111;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#97;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#32;&#119;&#114;&#105;&#116;&#116;&#101;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#110;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#32;&#99;&#97;&#108;&#108;&#101;&#100;&#32;&#116;&#104;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#102;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#110;&#100;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#111;&#102;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#114;&#97;&#100;&#105;&#99;&#97;&#108;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"60\" width=\"312\" style=\"vertical-align: -45px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169149368114\">Just like we use the word \u2018cubed\u2019 for <em data-effect=\"italics\">b<\/em><sup>3<\/sup>, we use the term \u2018cube root\u2019 for <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9b8fcd747ef7e614330ec91c1c0787d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#97;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"27\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1169149310383\">We can refer to <a href=\"#CNX_IntAlg_Figure_08_01_002\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> to help find higher roots.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169146874884\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae49f158b7d5f39bdd200b083c538371_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#52;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#54;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#56;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#45;&#51;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#54;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#54;&#52;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#56;&#49;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#53;&#93;&#123;&#45;&#51;&#50;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#45;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"359\" style=\"vertical-align: -27px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1169148827466\">Could we have an even root of a negative number? We know that the square root of a negative number is not a real number. The same is true for any even root. <em data-effect=\"italics\">Even<\/em> roots of negative numbers are not real numbers. <em data-effect=\"italics\">Odd<\/em> roots of negative numbers are real numbers.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169147027485\">\n<div data-type=\"title\">Properties of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c6b7326bec5fc086e8335bb7e382f30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1169149326612\">When <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is an even number and<\/p>\n<ul id=\"fs-id1169149002308\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f75133c2b77e2f59b82bc9d582b4e840_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#103;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> then <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c6b7326bec5fc086e8335bb7e382f30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is a real number.<\/li>\n<li><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36c26ea6de309fb94494920502960413_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#60;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> then <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c6b7326bec5fc086e8335bb7e382f30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is not a real number.<\/li>\n<\/ul>\n<p id=\"fs-id1169148898687\">When <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is an odd number, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c6b7326bec5fc086e8335bb7e382f30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is a real number for all values of <em data-effect=\"italics\">a<\/em>.<\/p>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169149096279\">We will apply these properties in the next two examples.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148871714\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148865844\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146654571\">\n<p id=\"fs-id1169148924022\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-206d8539b1c6adeef121d7010ed1c6fc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#54;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe9b91eb5b6fd4a4bcb7545fa44d8399_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#56;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7059889d78c7615fdfb2465801eb9153_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#53;&#93;&#123;&#51;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146648492\">\n<p id=\"fs-id1169149329984\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-97a8a8559d388402b59f729c96417688_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"278\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03963a450d5608d3b92725ac26326b74_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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negative signs as well as even and odd powers.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148948239\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144730809\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149204958\">\n<p id=\"fs-id1169144560227\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5767974107a2c199d59ce16c113b6869_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#45;&#49;&#50;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"55\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bc2376c6a5066482a165b4600065a55c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"64\" width=\"553\" style=\"vertical-align: -26px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7fa8f279efae2240c3f7180ced14704b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#53;&#93;&#123;&#45;&#50;&#52;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#110;&#99;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#61;&#45;&#50;&#52;&#51;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#45;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"493\" style=\"vertical-align: -16px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149287171\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147087459\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144873604\">\n<p id=\"fs-id1169149349661\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5bcdc974578f76a36b8f5554ea50a1e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#45;&#50;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3d7f314c676fa57d90fb40fb048af5b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#45;&#50;&#53;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"55\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7a15d8df382b390432fbc8e66ddb55a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#53;&#93;&#123;&#45;&#51;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144379098\">\n<p id=\"fs-id1169148990626\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-470cb162cf92c55d139f4f69216225e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span> not real <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-17c33e2329e29a62a80ad2b547b4753d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169146731399\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149294103\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146621198\">\n<p id=\"fs-id1169149169243\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77a307b2ffcc91787ff24e8a045d6944_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#45;&#50;&#49;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"55\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0eaa386750f44685e20d3af445e7d74_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#45;&#56;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d43414dc393df813fbd8167d4d687405_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#53;&#93;&#123;&#45;&#49;&#48;&#50;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149014769\">\n<p id=\"fs-id1169149155167\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4797c874a138ca175d7c2cd8b3ed9a98_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span> not real <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00b9cce9021441b203ec0271d72e6ba2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169148831408\">\n<h3 data-type=\"title\">Estimate and Approximate Roots<\/h3>\n<p id=\"fs-id1169149288530\">When we see a number with a radical sign, we often don\u2019t think about its numerical value. While we probably know that the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-978264354badcbc9000159bce3be8cc9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#52;&#125;&#61;&#50;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> what is the value of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b4e70cc33e57ada16f421cbe82312bc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#93;&#123;&#50;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> or <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee11d625c08012bbe22beb83f20954a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#53;&#48;&#125;&#63;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> In some situations a quick estimate is meaningful and in others it is convenient to have a decimal approximation.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169149092400\">To get a numerical estimate of a square root, we look for <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">perfect square<\/span> numbers closest to the radicand. To find an estimate of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62ef991bc3215dc1cc90e79aaa7a0b42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#49;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> we see 11 is between perfect square numbers 9 and 16, <em data-effect=\"italics\">closer<\/em> to 9. Its square root then will be between 3 and 4, but closer to 3.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169147066070\" data-alt=\"The figure contains two tables. The first table has 5 rows and 2 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d and \u201cSquare Root\u201d. The second row has the numbers 4 and 2. The third row is 9 and 3. The fourth row is 16 and 4. The last row is 25 and 5. A callout containing the number 11 is directed between the 9 and 16 in the first column. Another callout containing the number square root of 11 is directed between the 3 and 4 of the second column. Below the table are the inequalities 9 is less than 11 is less than 16 and 3 is less than square root of 11 is less than 4. The second table has 5 rows and 2 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d and \u201cCube Root\u201d. The second row has the numbers 8 and 2. The third row is 27 and 3. The fourth row is 64 and 4. The last row is 125 and 5. A callout containing the number 91 is directed between the 64 and 125 in the first column. Another callout containing the number cube root of 91 is directed between the 4 and 5 of the second column. Below the table are the inequalities 64 is less than 91 is less than 125 and 4 is less than cube root of 91 is less than 5.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_004_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The figure contains two tables. The first table has 5 rows and 2 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d and \u201cSquare Root\u201d. The second row has the numbers 4 and 2. The third row is 9 and 3. The fourth row is 16 and 4. The last row is 25 and 5. A callout containing the number 11 is directed between the 9 and 16 in the first column. Another callout containing the number square root of 11 is directed between the 3 and 4 of the second column. Below the table are the inequalities 9 is less than 11 is less than 16 and 3 is less than square root of 11 is less than 4. The second table has 5 rows and 2 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d and \u201cCube Root\u201d. The second row has the numbers 8 and 2. The third row is 27 and 3. The fourth row is 64 and 4. The last row is 125 and 5. A callout containing the number 91 is directed between the 64 and 125 in the first column. Another callout containing the number cube root of 91 is directed between the 4 and 5 of the second column. Below the table are the inequalities 64 is less than 91 is less than 125 and 4 is less than cube root of 91 is less than 5.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1169148932974\">Similarly, to estimate <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ffb4e6d51d3901a900818f17f8974d2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#57;&#49;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> we see 91 is between perfect cube numbers 64 and 125. The cube root then will be between 4 and 5.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148951142\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149034568\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149031465\">\n<p id=\"fs-id1169149037560\">Estimate each root between two consecutive whole numbers: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a3cfe68431f3d872dc27abae39559db_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#48;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-233a14ee1d23c09b4b2a851a9ab7d4b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#52;&#51;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149109449\">\n<p id=\"fs-id1169149029219\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> Think of the perfect square numbers closest to 105. Make a small table of these perfect squares and their squares roots.<\/p>\n<table id=\"fs-id1169149097063\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"The table has 5 rows and 2 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d and \u201cSquare Root\u201d. The second row has the numbers 81and 9. The third row is 100 and 10. The fourth row is 121 and 11. The last row is 144 and 12. A callout containing the number 105 is directed between the 100 and 121 in the first column. Another callout containing the number square root of 105 is directed between the 10 and 11 of the second column. Below the table are the inequalities 100 is less than 105 is less than 121 and 10 is less than square root of 105 is less than 11.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149014939\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_005a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169148870813\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_005b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Locate 105 between two consecutive perfect squares.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169144379992\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_005c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a3cfe68431f3d872dc27abae39559db_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#48;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> is between their square roots.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149101962\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_005d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1169148993521\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> Similarly we locate 43 between two perfect cube numbers.<\/p>\n<table id=\"fs-id1169148970427\" class=\"unnumbered unstyled can-break\" summary=\"The table has 5 rows and 2 columns. The first row is a header row with the headers \u201cNumber\u201d and \u201cCube Root\u201d. The second row has the numbers 8 and 2. The third row is 27 and 3. The fourth row is 64 and 4. The last row is 125 and 5. A callout containing the number 43 is directed between the 27 and 64 in the first column. Another callout containing the number cube root of 43 is directed between the 3 and 4 of the second column. Below the table are the inequalities 27 is less than 43 is less than 64 and 3 is less than cube root of 43 is less than 4.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149115401\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_006a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149005295\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_006b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Locate 43 between two consecutive perfect cubes.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149108611\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_006c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ea2a1a75ad206e1bf11b3db3d90f3db2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#52;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> is between their cube roots.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169148992327\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_006d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148871624\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146630117\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148915764\">\n<p id=\"fs-id1169149105146\">Estimate each root between two consecutive whole numbers:<\/p>\n<p id=\"fs-id1169149144160\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f91bfc6e14c44c3d4fe6b0d8ed08a4ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#51;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-800504f340bdfd3007b45a314f114c6a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#57;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148898667\">\n<p id=\"fs-id1169149117873\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-86734a9e43fa4ac31d10cf66bf78cfe5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#60;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#51;&#56;&#125;&#60;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"98\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18f31454b3f084dc4aef2e3250fdf02c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#60;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#57;&#51;&#125;&#60;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"98\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148827751\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149308048\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146731317\">\n<p id=\"fs-id1169144746808\">Estimate each root between two consecutive whole numbers:<\/p>\n<p id=\"fs-id1169149221820\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8aff887a76828d2fe10cd43f498c4774_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#56;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-659211a488610d86d245559dafca5121_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#49;&#53;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148925483\">\n<p id=\"fs-id1169144730081\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-db063b8cf25b0ab809c889a257610716_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#57;&#60;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#56;&#52;&#125;&#60;&#49;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1caf7a7af06013c345b4195a3aea6173_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#60;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#49;&#53;&#50;&#125;&#60;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"108\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169148871159\">There are mathematical methods to approximate square roots, but nowadays most people use a calculator to find square roots. To find a square root you will use the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b9f7bc96a9743d361c5f388ee3a20b06_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> key on your calculator. To find a cube root, or any root with higher index, you will use the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-20fb7e6bd15ecd2fe82c65707eaa5481_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#121;&#93;&#123;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> key.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169146646664\">When you use these keys, you get an approximate value. It is an approximation, accurate to the number of digits shown on your calculator\u2019s display. The symbol for an approximation is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c5427ea5fb7ebae9eb00565bcb39791_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"9\" width=\"12\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and it is read \u2018approximately\u2019.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169144382250\">Suppose your calculator has a 10 digit display. You would see that<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149014395\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-166ef812bc578c50c3411e58278c28ca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#53;&#125;&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#50;&#46;&#50;&#51;&#54;&#48;&#54;&#55;&#57;&#55;&#56;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#114;&#111;&#117;&#110;&#100;&#101;&#100;&#32;&#116;&#111;&#32;&#116;&#119;&#111;&#32;&#100;&#101;&#99;&#105;&#109;&#97;&#108;&#32;&#112;&#108;&#97;&#99;&#101;&#115;&#32;&#105;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#53;&#125;&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#50;&#46;&#50;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#57;&#51;&#125;&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#51;&#46;&#49;&#48;&#53;&#52;&#50;&#50;&#55;&#57;&#57;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#114;&#111;&#117;&#110;&#100;&#101;&#100;&#32;&#116;&#111;&#32;&#116;&#119;&#111;&#32;&#100;&#101;&#99;&#105;&#109;&#97;&#108;&#32;&#112;&#108;&#97;&#99;&#101;&#115;&#32;&#105;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#57;&#51;&#125;&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#51;&#46;&#49;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"497\" style=\"vertical-align: -15px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1169149303690\">How do we know these values are approximations and not the exact values? Look at what happens when we square them:<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149121409\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c97fe0148c6fa141f7713f3938f291b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#46;&#50;&#51;&#54;&#48;&#54;&#55;&#57;&#55;&#56;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#53;&#46;&#48;&#48;&#48;&#48;&#48;&#48;&#48;&#48;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#46;&#50;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#53;&#46;&#48;&#49;&#55;&#54;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#46;&#49;&#48;&#53;&#52;&#50;&#50;&#55;&#57;&#57;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#57;&#50;&#46;&#57;&#57;&#57;&#57;&#57;&#57;&#57;&#57;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#46;&#49;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#57;&#51;&#46;&#53;&#52;&#57;&#53;&#49;&#56;&#52;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"605\" style=\"vertical-align: -16px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1169148926161\">Their squares are close to 5, but are not exactly equal to 5. The fourth powers are close to 93, but not equal to 93.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148911981\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146742131\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149294811\">\n<p id=\"fs-id1169149344377\">Round to two decimal places: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cd14f5d843f634160162c2af6617f5d0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-260000d3c73d83447cfbc213342665ae_l3.png\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"484\" style=\"vertical-align: -36px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3185b008906f4c04fe84f7f91217de8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"487\" style=\"vertical-align: -36px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b8357c37cfe923623bfad6510d8c2b99_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#54;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#53;&#49;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#85;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#99;&#97;&#108;&#99;&#117;&#108;&#97;&#116;&#111;&#114;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#121;&#93;&#123;&#120;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#107;&#101;&#121;&#125;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#54;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#50;&#46;&#54;&#55;&#50;&#51;&#52;&#53;&#49;&#49;&#55;&#55;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#82;&#111;&#117;&#110;&#100;&#32;&#116;&#111;&#32;&#116;&#119;&#111;&#32;&#100;&#101;&#99;&#105;&#109;&#97;&#108;&#32;&#112;&#108;&#97;&#99;&#101;&#115;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#54;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#50;&#46;&#54;&#55;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#54;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#53;&#49;&#125;&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#50;&#46;&#54;&#55;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"496\" style=\"vertical-align: -36px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169146617326\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149040412\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144874512\">\n<p id=\"fs-id1169146731256\">Round to two decimal places:<\/p>\n<p id=\"fs-id1169144645848\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae895326687430992c6663c58c30e362_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fde7c260912c897467326d290ad7651e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#56;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cdbbba27e0040900c86364419cdb19c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#57;&#56;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149024174\">\n<p id=\"fs-id1169149012853\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e32aa7edd323de43f8efec2e1d5d5ee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#51;&#46;&#54;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-457e579824853cd205281024d5ecc415_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#52;&#46;&#51;&#56;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d8e473c94cb26a098393dc3f8fe6a4b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#51;&#46;&#49;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169146667082\">\n<h3 data-type=\"title\">Simplify Variable Expressions with Roots<\/h3>\n<p id=\"fs-id1169146667088\">The odd root of a number can be either positive or negative. For example,<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169146667091\" data-alt=\"Three equivalent expressions are written: the cube root of 4 cubed, the cube root of 64, and 4. There are arrows pointing to the 4 that is cubed in the first expression and the 4 in the last expression labeling them as \u201csame\u201d. Three more equivalent expressions are also written: the cube root of the quantity negative 4 in parentheses cubed, the cube root of negative 64, and negative 4. The negative 4 in the first expression and the negative 4 in the last expression are labeled as being the \u201csame\u201d.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_007_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Three equivalent expressions are written: the cube root of 4 cubed, the cube root of 64, and 4. There are arrows pointing to the 4 that is cubed in the first expression and the 4 in the last expression labeling them as \u201csame\u201d. Three more equivalent expressions are also written: the cube root of the quantity negative 4 in parentheses cubed, the cube root of negative 64, and negative 4. The negative 4 in the first expression and the negative 4 in the last expression are labeled as being the \u201csame\u201d.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1169149326743\">But what about an even root? We want the principal root, so <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67356c14722fd1a9012306c53cca42c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#54;&#50;&#53;&#125;&#61;&#53;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1169147086818\">But notice,<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169147086829\" data-alt=\"Three equivalent expressions are written: the fourth root of the quantity 5 to the fourth power in parentheses, the fourth root of 625, and 5. There are arrows pointing to the 5 in the first expression and the 5 in the last expression labeling them as \u201csame\u201d. Three more equivalent expressions are also written: the fourth root of the quantity negative 5 in parentheses to the fourth power in parentheses, the fourth root of 625, and 5. The negative 5 in the first expression and the 5 in the last expression are labeled as being the \u201cdifferent\u201d.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_008_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"Three equivalent expressions are written: the fourth root of the quantity 5 to the fourth power in parentheses, the fourth root of 625, and 5. There are arrows pointing to the 5 in the first expression and the 5 in the last expression labeling them as \u201csame\u201d. Three more equivalent expressions are also written: the fourth root of the quantity negative 5 in parentheses to the fourth power in parentheses, the fourth root of 625, and 5. The negative 5 in the first expression and the 5 in the last expression are labeled as being the \u201cdifferent\u201d.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1169149219442\">How can we make sure the fourth root of \u22125 raised to the fourth power is 5? We can use the absolute value. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87a3814c4da576fb50b0dce4763b902a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#124;&#45;&#53;&#124;&#61;&#53;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> So we say that when <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is even <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b2ce907047508da2a3ba62cba344177_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#124;&#97;&#124;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"78\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> This guarantees the principal root is positive.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144686005\">\n<div data-type=\"title\">Simplifying Odd and Even Roots<\/div>\n<p id=\"fs-id1169144686010\">For any integer <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6621f68f0bec3dd9a4514cd18c43813_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#92;&#103;&#101;&#32;&#50;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149012874\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a686f8097bd9606ccf193853e3a2fae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"385\" style=\"vertical-align: -15px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1169146616749\">We must use the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">absolute value<\/span> signs when we take an even root of an expression with a variable in the radical.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169146616758\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146616760\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146616762\">\n<p id=\"fs-id1169146616764\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2485b45e92893d7423874b476efc5a20_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" 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class=\"token\">\u24d3<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-60141729069214d2abf43c09be2cb122_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#53;&#93;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149369228\">\n<p id=\"fs-id1169149369230\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> We use the absolute value to be sure to get the positive root.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169149369236\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9236cb33ec497d56e2763320acc10db4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"451\" style=\"vertical-align: -16px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1169149029892\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> This is an odd indexed root so there is no need for an absolute value sign.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169149029899\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3822fdadab918133cd96b3a3e05db6d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"451\" style=\"vertical-align: -15px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1169149292320\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1169149292326\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3955982b7f113fdbb5a80a85f0e72a25_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"449\" style=\"vertical-align: -16px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1169149152602\"><span class=\"token\">\u24d3<\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1169149152608\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4cc5cea47629b096747684f218ae0f02_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"448\" style=\"vertical-align: -16px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149196142\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149196145\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149196147\">\n<p id=\"fs-id1169149196149\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62b84e678a40572621b6b7e78ccfdd97_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"30\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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The Power Property of Exponents says <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-798a5195a2e3a5595d38dc4f4f4e374c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&middot;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> So if we square <em data-effect=\"italics\">a<sup>m<\/sup><\/em>, the exponent will become 2<em data-effect=\"italics\">m<\/em>.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149029618\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92c9fabcef9643783dd7241e101ad2de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#109;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"94\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1169149357766\">Looking now at the square root,<\/p>\n<p id=\"fs-id1169149357769\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c912e692ef6450aca44fab0d80ab0d5f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"99\" width=\"443\" style=\"vertical-align: -44px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1169139949093\">We apply this concept in the next example.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169139949096\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169139949098\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169139949100\">\n<p id=\"fs-id1169139949102\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e40d5690b9db5fced850b5d783f07297_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"75\" width=\"468\" style=\"vertical-align: -32px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7f70e58110b66b7ae0726092b0286adc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"119\" width=\"465\" style=\"vertical-align: -54px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169146940146\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146940149\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146940151\">\n<p id=\"fs-id1169146940153\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-288d3a00e29019fe4bb9d583435cbd1f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#49;&#56;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59342f00fc85d10707a90d56e7dbe264_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"75\" width=\"471\" style=\"vertical-align: -32px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3aa4b5c929fee02d717d2de543fa60e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"96\" width=\"472\" style=\"vertical-align: -42px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149218822\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149218825\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149218827\">\n<p id=\"fs-id1169149218829\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf7d4985df2be6fc98174e19a1f9f63d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#123;&#117;&#125;&#94;&#123;&#49;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1d4207f1abc4bf1fb3f8d18ccc44c18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#54;&#93;&#123;&#123;&#100;&#125;&#94;&#123;&#50;&#52;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169139949172\">\n<p id=\"fs-id1169139949174\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-79f0e319d9923a902db4b0b6a6be247c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#99;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac4f1e610274cb1c6e3a6d9c0c7c8f85_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#100;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169149196760\">In the next example, we now have a coefficient in front of the variable. The concept <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c67cbd6f1889196119c9e38bfc78cfe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#109;&#125;&#125;&#61;&#124;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#124;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> works in much the same way.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169146733274\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e6be5fb5941968603e301edab1f2a86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f035a8d8d51711bf914d980350dccc7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#50;&#53;&#123;&#117;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#125;&#61;&#53;&#123;&#117;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> and no absolute value sign is needed as <em data-effect=\"italics\">u<\/em><sup>4<\/sup> is always positive.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169140418474\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169140418476\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169140418478\">\n<p id=\"fs-id1169140418480\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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id=\"fs-id1169144687824\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0b391f78c751c6943f08371161ef1b3b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f54aee1cd430fdf5dd2029d919520a13_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#51;&#124;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#124;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d792e8a3fe877e3a07cd056d79e2c4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#49;&#50;&#125;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"53\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144730841\" class=\"media-2\">\n<p id=\"fs-id1169144730844\">Access this online resource for additional instruction and practice with simplifying expressions with roots.<\/p>\n<ul id=\"fs-id1169144730849\" data-display=\"block\">\n<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37SimVarAbVal\">Simplifying Variables Exponents with Roots using Absolute Values<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169144730862\">\n<h3 data-type=\"title\">Key Concepts<\/h3>\n<ul id=\"fs-id1169144730870\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li><strong data-effect=\"bold\">Square Root Notation<\/strong>\n<ul id=\"fs-id1169149168597\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff6e04829c3778dcab4453317cfa77ce_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#109;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"30\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is read \u2018the square root of <em data-effect=\"italics\">m<\/em>\u2019<\/li>\n<li>If <em data-effect=\"italics\">n<\/em><sup>2<\/sup> = <em data-effect=\"italics\">m<\/em>, then <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30dea5cfbc072e5165a53a45049a7464_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#109;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> for <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-de0b3f268c78cbcbba48c42081539c2a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#92;&#103;&#101;&#32;&#48;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> <span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169148870699\" data-alt=\"The image shows the variable m inside a square root symbol. The symbol is a line that goes up along the left side and then flat above the variable. The symbol is labeled \u201cradical sign\u201d. The variable m is labeled \u201cradicand\u201d.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_009_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The image shows the variable m inside a square root symbol. The symbol is a line that goes up along the left side and then flat above the variable. The symbol is labeled \u201cradical sign\u201d. The variable m is labeled \u201cradicand\u201d.\" \/><\/span><\/li>\n<li>The square root of <em data-effect=\"italics\">m<\/em>, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2447480eb926a3c6e489624b0a8579e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#109;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is a positive number whose square is <em data-effect=\"italics\">m<\/em>.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\"><em data-effect=\"italics\">n<\/em><sup>th<\/sup> Root of a Number<\/strong>\n<ul id=\"fs-id1169149012396\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f6278d46de14949078e82254eccf0f0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#97;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> then <em data-effect=\"italics\">b<\/em> is an <em data-effect=\"italics\">n<sup>th<\/sup><\/em> root of <em data-effect=\"italics\">a<\/em>.<\/li>\n<li>The principal <em data-effect=\"italics\">n<sup>th<\/sup><\/em> root of <em data-effect=\"italics\">a<\/em> is written <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8926ea991916fb34abf938092c039c24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"27\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/li>\n<li><em data-effect=\"italics\">n<\/em> is called the <em data-effect=\"italics\">index<\/em> of the radical.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Properties of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c6b7326bec5fc086e8335bb7e382f30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/strong>\n<ul id=\"fs-id1169144544254\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>When <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is an even number and\n<ul id=\"fs-id1169144544267\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f75133c2b77e2f59b82bc9d582b4e840_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#103;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> then <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c6b7326bec5fc086e8335bb7e382f30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is a real number<\/li>\n<li><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36c26ea6de309fb94494920502960413_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#60;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> then <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c6b7326bec5fc086e8335bb7e382f30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is not a real number<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>When <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is an odd number, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c6b7326bec5fc086e8335bb7e382f30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is a real number for all values of <em data-effect=\"italics\">a<\/em>.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Simplifying Odd and Even Roots<\/strong>\n<ul id=\"fs-id1169146741563\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>For any integer <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6621f68f0bec3dd9a4514cd18c43813_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#92;&#103;&#101;&#32;&#50;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>\n<ul id=\"fs-id1169146741583\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>when <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is odd <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d1f4efa9064b5619714f25c5297c4ac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#97;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/li>\n<li>when <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is even <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1798616bed5191428e037d288e60bdc2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#124;&#97;&#124;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>We must use the absolute value signs when we take an even root of an expression with a variable in the radical.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169149285846\">\n<div class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1169149285850\">\n<h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4>\n<p id=\"fs-id1169149285857\"><strong data-effect=\"bold\">Simplify Expressions with Roots<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1169149285863\">In the following exercises, simplify.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149285867\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149285869\">\n<p id=\"fs-id1169149285871\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d5fdaeda697f10142dbe9236e272283_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#54;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-123e5f08d44dfb4f30339c288454e219_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#56;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147028220\">\n<p id=\"fs-id1169147028222\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 8 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9672181aec15f8334b80ada7de4e4fc0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#57;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149350013\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149350015\">\n<p id=\"fs-id1169149350017\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd4c05e7550847a7adda1c07adcd62f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#54;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c0e99e0fb77048431e44e24f06f05afe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#48;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144873656\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144873659\">\n<p id=\"fs-id1169144873661\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-326c826152ee55e8686d89ebc6a491e8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#57;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e9cfcd0424796467ea03ab0d3dd5f0f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144873689\">\n<p id=\"fs-id1169144724392\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 14 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b34c01098c83fa602de54e9d74d63a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144724411\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144724413\">\n<p id=\"fs-id1169144724415\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb4b7e7ac9715b068342f7e4ccdd555c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#52;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1cdc30fd002524bb45c411f5ce2b5f5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#50;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149315580\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149315582\">\n<p id=\"fs-id1169149315584\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-741e27b01b5ef1cd80f9b51091dbfee4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#57;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"28\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e51349936d7474705305ad94773eca7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#48;&#46;&#48;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149220093\">\n<p id=\"fs-id1169149220096\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e89c4f69688b0dd6ab75a55841059de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"7\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65193683874a338a58c1e613cb1beafb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#48;&#46;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149293424\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149293427\">\n<p id=\"fs-id1169149293429\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2d0a270638e78f4e18a5ebe38a820f01_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#52;&#125;&#123;&#49;&#50;&#49;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af25814d6db3942887b64ce9eade3c28_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#48;&#46;&#49;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" 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class=\"token\">\u24d1<\/span> 4<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148956920\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148956922\">\n<p id=\"fs-id1169148956924\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a034c4aef4e5bf9fe610952f7ab4cd3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#50;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bc2376c6a5066482a165b4600065a55c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#49;&#54;&#125;\" 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class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92bab96dddb3a85acbe2c834f2206186_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#45;&#54;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c7687fd0928c89a07eeb730c18c1039_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#45;&#49;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e7a0aba2027796da64ab5676358198d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#53;&#93;&#123;&#45;&#50;&#52;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"55\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146609516\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146609518\">\n<p id=\"fs-id1169147089616\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5767974107a2c199d59ce16c113b6869_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d721d31489db78a6cecd84196de173e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#50;&#48;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-91a34f2593c101daa08a03c24921bcae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#49;&#51;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149064865\">\n<p id=\"fs-id1169149064867\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a471d0fdec4fa17765382c0c1b413986_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#52;&#60;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#50;&#48;&#48;&#125;&#60;&#49;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb38b66aba392cb7ec17451c78da0777_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#60;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#49;&#51;&#55;&#125;&#60;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"108\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149218153\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149218155\">\n<p id=\"fs-id1169149218157\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39b1ee445b48aed7d76291f5be38079c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#55;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2131c516fa93789e0947aa7f7e8af45b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#50;&#48;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169144768435\">In the following exercises, approximate each root and round to two decimal places.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144768438\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144768440\">\n<p id=\"fs-id1169144768442\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-adeb83899c57c75eca4704e21eeccc17_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4731b3de51b3a0cc63f746dcaf64be5_l3.png\" 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id=\"fs-id1169144381490\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f85c3a8abdcd1bf3006d91016951bc5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#52;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-79d9266004f7f3645056ab42c09d5568_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#49;&#54;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-788c2c743c4ad6ff833aa8b4d0825501_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#57;&#93;&#123;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"30\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149152493\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149152495\">\n<p id=\"fs-id1169149152498\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-512e9c2442d7a0aa76db134dc1fa1c61_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2d312ac72ba4b9d41f610dc71df1ae9a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#52;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d310f4687b3fd4a527eeb5706f2ba453_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#50;&#52;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149101384\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149101386\">\n<p id=\"fs-id1169149101388\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b47305458764ad61bb3b6198fcc0263_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#52;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-011b8d505435acb6131dc9a58d1adaf5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" 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-4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146940074\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146940076\">\n<p id=\"fs-id1169146940078\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-11f72a1e60bcff0d7accfd22f85fec00_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5bd2f6e540f272e48799b8a382c05dc1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0aade800cb3e98345bd41f2e2fc7a14_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"24\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149344089\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149344092\">\n<p id=\"fs-id1169149344094\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0c766a35e6a0708138f5f7e27692f10b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eea3fbf22b60d96e6f6af9ce17a2d9a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#52;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1e9f4429e1454389474644400e5ac957_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#54;&#57;&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d29a4d88c4927116f1bfcd02877bae68_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#56;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#53;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149369350\">\n<p id=\"fs-id1169149369352\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-75d096f3a5595bbf0abf61a653da962c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#50;&#124;&#120;&#121;&#124;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-972c10c63ed9b460223fbe5f111e59f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#51;&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#124;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#124;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c20777032c0e8460af20e32f7bf64253_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#55;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"48\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146609287\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146609289\">\n<p id=\"fs-id1169146609291\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4c13d3c9b5a2cec964412a8ad829276_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#57;&#54;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-72812e4949557cc5c978053a9a546fc5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#56;&#49;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#52;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-54540472a8b59911dfcb23ceb7eb6af3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#50;&#55;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#52;&#53;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169139949054\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169139949056\">\n<p id=\"fs-id1169139949058\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4208aefb9941c900953c0f4182be855_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#50;&#49;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2cca35cae315a8a7507b143e61c6facc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#57;&#123;&#99;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#123;&#100;&#125;&#94;&#123;&#49;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-285413f854d1987cf6e3f1366dbad77a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#54;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#53;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#54;&#54;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146636772\">\n<p id=\"fs-id1169146636774\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-751187b0a9012bdc98841ed6cf364480_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#49;&#124;&#97;&#98;&#124;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-efdf1d6796b09ae5554b1ac6d7d0fd42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#123;&#99;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#100;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"40\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-378e17d327f6aacd3e3089065872bd0f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146609351\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146609353\">\n<p id=\"fs-id1169146609355\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1e071e2551f99e434633ceae66029efe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#50;&#50;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-acb04c0f36d9f18a14fbf7767e05f31a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#51;&#54;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#50;&#48;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"71\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6eb483c0acad3aa133bc955fc8f10ace_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#49;&#50;&#53;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#49;&#56;&#125;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#50;&#55;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"92\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"writing\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1169144568013\">\n<h4 data-type=\"title\">Writing Exercises<\/h4>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144568020\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144568022\">\n<p id=\"fs-id1169144568025\">Why is there no real number equal to <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aafe2412d1eaab262173c75d7a4b9d35_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#45;&#54;&#52;&#125;&#63;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144568037\">\n<p id=\"fs-id1169144568040\">Answers will vary.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144568045\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144568047\">\n<p id=\"fs-id1169144568049\">What is the difference between <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74deaa134f7b1f68fcc620bbda92abe9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#57;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-78cdedc689fa6afd26cf727e7d94d6f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#57;&#125;&#63;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"31\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146733197\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146733199\">\n<p id=\"fs-id1169146733201\">Explain what is meant by the <em data-effect=\"italics\">n<sup>th<\/sup><\/em> root of a number.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146733213\">\n<p id=\"fs-id1169146733215\">Answers will vary.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146733220\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146733222\">\n<p id=\"fs-id1169146733225\">Explain the difference of finding the <em data-effect=\"italics\">n<sup>th<\/sup><\/em> root of a number when the index is even compared to when the index is odd.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1169149214661\">\n<h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4>\n<p id=\"fs-id1169149214666\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149214682\" data-alt=\"This table has 4 rows and 4 columns. The first row is a header row and it labels each column. The first column header is \u201cI can\u2026\u201d, the second is \u201cConfidently\u201d, the third is \u201cWith some help\u201d, and the fourth is \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. Under the first column are the phrases \u201csimplify expressions with roots.\u201d, \u201cestimate and approximate roots\u201d, and \u201csimplify variable expressions with roots\u201d. The other columns are left blank so that the learner may indicate their mastery level for each topic.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_01_201_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This table has 4 rows and 4 columns. The first row is a header row and it labels each column. The first column header is \u201cI can\u2026\u201d, the second is \u201cConfidently\u201d, the third is \u201cWith some help\u201d, and the fourth is \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. Under the first column are the phrases \u201csimplify expressions with roots.\u201d, \u201cestimate and approximate roots\u201d, and \u201csimplify variable expressions with roots\u201d. The other columns are left blank so that the learner may indicate their mastery level for each topic.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1169149214678\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> If most of your checks were:<\/p>\n<p id=\"fs-id1169147086296\"><strong data-effect=\"bold\">\u2026confidently.<\/strong> Congratulations! You have achieved the objectives in this section. Reflect on the study skills you used so that you can continue to use them. What did you do to become confident of your ability to do these things? Be specific.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169147086305\"><strong data-effect=\"bold\">\u2026with some help.<\/strong> This must be addressed quickly because topics you do not master become potholes in your road to success. In math every topic builds upon previous work. It is important to make sure you have a strong foundation before you move on. Who can you ask for help? Your fellow classmates and instructor are good resources. Is there a place on campus where math tutors are available? Can your study skills be improved?<\/p>\n<p id=\"fs-id1169147086316\"><strong data-effect=\"bold\">\u2026no &#8211; I don\u2019t get it!<\/strong> This is a warning sign and you must not ignore it. You should get help right away or you will quickly be overwhelmed. See your instructor as soon as you can to discuss your situation. Together you can come up with a plan to get you the help you need.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"glossary\" class=\"textbox shaded\">\n<h3 data-type=\"glossary-title\">Glossary<\/h3>\n<dl id=\"fs-id1169147086331\">\n<dt>square of a number<\/dt>\n<dd id=\"fs-id1169147086336\">If <em data-effect=\"italics\">n<\/em><sup>2<\/sup> = <em data-effect=\"italics\">m<\/em>, then <em data-effect=\"italics\">m<\/em> is the square of <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/dd>\n<\/dl>\n<dl id=\"fs-id1169149037500\">\n<dt>square root of a number<\/dt>\n<dd id=\"fs-id1169149037505\">If <em data-effect=\"italics\">n<\/em><sup>2<\/sup> = <em data-effect=\"italics\">m,<\/em> then <em data-effect=\"italics\">n<\/em> is a square root of <em data-effect=\"italics\">m<\/em>.<\/dd>\n<\/dl>\n<\/div>\n","protected":false},"author":103,"menu_order":2,"template":"","meta":{"pb_show_title":"on","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"class_list":["post-3491","chapter","type-chapter","status-publish","hentry"],"part":3472,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/3491","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/users\/103"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/3491\/revisions"}],"part":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/3472"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/3491\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3491"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=3491"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=3491"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=3491"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}