{"id":3499,"date":"2018-12-11T13:57:29","date_gmt":"2018-12-11T18:57:29","guid":{"rendered":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/chapter\/simplify-radical-expressions\/"},"modified":"2018-12-11T13:57:29","modified_gmt":"2018-12-11T18:57:29","slug":"simplify-radical-expressions","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/chapter\/simplify-radical-expressions\/","title":{"raw":"Simplify Radical Expressions","rendered":"Simplify Radical Expressions"},"content":{"raw":"\n[latexpage]<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\"><h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>By the end of this section, you will be able to: <ul><li>Use the Product Property to simplify radical expressions<\/li><li>Use the Quotient Property to simplify radical expressions<\/li><\/ul><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149339678\" class=\"be-prepared\"><p id=\"fs-id1169148957002\">Before you get started, take this readiness quiz.<\/p><ol id=\"fs-id1169149104245\" type=\"1\"><li>Simplify: \\(\\frac{{x}^{9}}{{x}^{4}}.\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/3fa6a6c5-9a36-4dee-aea1-0166229f52fb#fs-id1167835337754\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><li>Simplify: \\(\\frac{{y}^{3}}{{y}^{11}}.\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/3fa6a6c5-9a36-4dee-aea1-0166229f52fb#fs-id1167835337754\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><li>Simplify: \\({\\left({n}^{2}\\right)}^{6}.\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/3fa6a6c5-9a36-4dee-aea1-0166229f52fb#fs-id1167834222370\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><\/ol><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169148963820\"><h3 data-type=\"title\">Use the Product Property to Simplify Radical Expressions<\/h3><p id=\"fs-id1169144892545\">We will simplify radical expressions in a way similar to how we simplified fractions. A fraction is simplified if there are no common factors in the numerator and denominator. To simplify a fraction, we look for any common factors in the numerator and denominator.<\/p><p id=\"fs-id1169146659132\">A <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">radical expression<\/span>, \\(\\sqrt[n]{a},\\) is considered simplified if it has no factors of \\({m}^{n}.\\) So, to simplify a radical expression, we look for any factors in the radicand that are powers of the index.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149306058\"><div data-type=\"title\">Simplified Radical Expression<\/div><p id=\"fs-id1169149139126\">For real numbers <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">m<\/em>, and \\(n\\ge 2,\\)<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149113017\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\sqrt[n]{a}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{is considered simplified if}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{has no factors of}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{m}^{n}\\)<\/div><\/div><p id=\"fs-id1169146659358\">For example, \\(\\sqrt{5}\\) is considered simplified because there are no perfect square factors in 5. But \\(\\sqrt{12}\\) is not simplified because 12 has a perfect square factor of 4.<\/p><p id=\"fs-id1169148888345\">Similarly, \\(\\sqrt[3]{4}\\) is simplified because there are no perfect cube factors in 4. But \\(\\sqrt[3]{24}\\) is not simplified because 24 has a perfect cube factor of 8.<\/p><p id=\"fs-id1169146718461\">To simplify radical expressions, we will also use some properties of roots. The properties we will use to simplify radical expressions are similar to the properties of exponents. We know that \\({\\left(ab\\right)}^{n}={a}^{n}{b}^{n}.\\) The corresponding of <span data-type=\"term\">Product Property of Roots<\/span> says that \\(\\sqrt[n]{ab}=\\sqrt[n]{a}\u00b7\\sqrt[n]{b}.\\)<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149309979\"><div data-type=\"title\">Product Property of <em data-effect=\"italics\">n<\/em><sup>th<\/sup> Roots<\/div><p id=\"fs-id1169148969444\">If \\(\\sqrt[n]{a}\\) and \\(\\sqrt[n]{b}\\) are real numbers, and \\(n\\ge 2\\) is an integer, then<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169148974440\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\sqrt[n]{ab}=\\sqrt[n]{a}\u00b7\\sqrt[n]{b}\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\sqrt[n]{a}\u00b7\\sqrt[n]{b}=\\sqrt[n]{ab}\\)<\/div><\/div><p>We use the Product Property of Roots to remove all perfect square factors from a square root.<\/p><div data-type=\"example\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"title\">Simplify Square Roots Using the Product Property of Roots<\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148987987\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146743861\"><p id=\"fs-id1169149094774\">Simplify: \\(\\sqrt{98}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144451493\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169148951830\" data-alt=\"The first step in the process is to find the largest factor in the radicand that is a perfect power of the index and rewrite the radicand as a product of two factors, using that factor. We see that 49 is the largest factor of 98 that has a power of 2. In other words 49 is the largest perfect square factor of 98. We can write 98 equals 49 times 2. Always write the perfect square factor first. The square root of 98 can then be written as the square root of the quantity 49 times 2 in parentheses.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_02_001a_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The first step in the process is to find the largest factor in the radicand that is a perfect power of the index and rewrite the radicand as a product of two factors, using that factor. We see that 49 is the largest factor of 98 that has a power of 2. In other words 49 is the largest perfect square factor of 98. We can write 98 equals 49 times 2. Always write the perfect square factor first. The square root of 98 can then be written as the square root of the quantity 49 times 2 in parentheses.\"><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169146814248\" data-alt=\"The second step in the process is to use the product rule to rewrite the radical as the product of two radicals. The square root of the quantity 49 times 2 in parentheses can be written as the square root of 49 times the square root of 2.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_02_001b_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The second step in the process is to use the product rule to rewrite the radical as the product of two radicals. The square root of the quantity 49 times 2 in parentheses can be written as the square root of 49 times the square root of 2.\"><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149039524\" data-alt=\"The third step is to simplify the root of the perfect power. The square root of 49 times the square root of 2 can be written as 7 times the square root of 2.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_02_001c_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The third step is to simplify the root of the perfect power. The square root of 49 times the square root of 2 can be written as 7 times the square root of 2.\"><\/span><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149272141\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144892500\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149039032\"><p id=\"fs-id1169144561319\">Simplify: \\(\\sqrt{48}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149220980\"><p id=\"fs-id1169149093318\">\\(4\\sqrt{3}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144376816\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146616435\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147085751\"><p id=\"fs-id1169148967695\">Simplify: \\(\\sqrt{45}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149093265\"><p id=\"fs-id1169144548342\">\\(3\\sqrt{5}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169147085464\">Notice in the previous example that the simplified form of \\(\\sqrt{98}\\) is \\(7\\sqrt{2},\\) which is the product of an integer and a square root. We always write the integer in front of the square root.<\/p><p id=\"fs-id1169149279222\">Be careful to write your integer so that it is not confused with the index. The expression \\(7\\sqrt{2}\\) is very different from \\(\\sqrt[7]{2}.\\)<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169146814577\" class=\"howto\"><div data-type=\"title\">Simplify a radical expression using the Product Property.<\/div><ol id=\"fs-id1169144377232\" type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Find the largest factor in the radicand that is a perfect power of the index. Rewrite the radicand as a product of two factors, using that factor.<\/li><li>Use the product rule to rewrite the radical as the product of two radicals.<\/li><li>Simplify the root of the perfect power.<\/li><\/ol><\/div><p id=\"fs-id1169144567330\">We will apply this method in the next example. It may be helpful to have a table of perfect squares, cubes, and fourth powers.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169146668109\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149038805\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149023758\"><p id=\"fs-id1169144604203\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{500}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{16}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{243}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144550410\"><p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{500}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand as a product}\\hfill \\\\ \\text{using the largest perfect square factor.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{100\u00b75}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radical as the product of two}\\hfill \\\\ \\text{radicals}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{100}\u00b7\\sqrt{5}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}10\\sqrt{5}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{16}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand as a product using}\\hfill \\\\ \\text{the greatest perfect cube factor.}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{2}^{3}=8\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{8\u00b72}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radical as the product of two}\\hfill \\\\ \\text{radicals.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{8}\u00b7\\sqrt[3]{{2}^{}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[3]{{2}^{}}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{243}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand as a product using}\\hfill \\\\ \\text{the greatest perfect fourth power factor.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{81\u00b7{3}^{}}\\hfill \\\\ {3}^{4}=81\\hfill &amp; &amp; &amp; \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radical as the product of two}\\hfill \\\\ \\text{radicals}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{81}\u00b7\\sqrt[4]{{3}^{}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[4]{{3}^{}}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149122165\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149002406\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144603628\"><p id=\"fs-id1169149303846\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{288}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{81}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{64}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148974228\"><p id=\"fs-id1169148993140\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(12\\sqrt{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(3\\sqrt[3]{3}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(2\\sqrt[4]{4}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148863026\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149220313\"><div data-type=\"problem\"><p id=\"fs-id1169149214555\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{432}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{625}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{729}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149149731\"><p id=\"fs-id1169149349729\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(12\\sqrt{3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(5\\sqrt[3]{5}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(3\\sqrt[4]{9}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169149117492\">The next example is much like the previous examples, but with variables. Don\u2019t forget to use the absolute value signs when taking an even root of an expression with a variable in the radical.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169149103064\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149303790\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146660325\"><p id=\"fs-id1169149144002\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{{x}^{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{{x}^{4}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{{x}^{7}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148837213\"><p id=\"fs-id1169148867027\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{{x}^{3}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand as a product using}\\hfill \\\\ \\text{the largest perfect square factor.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{{x}^{2}\u00b7x}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radical as the product of two}\\hfill \\\\ \\text{radicals.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{{x}^{2}}\u00b7\\sqrt{x}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}|x|\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt{x}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{{x}^{4}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand as a product}\\hfill \\\\ \\text{using the largest perfect cube factor.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{{x}^{3}\u00b7x}.\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radical as the product of two}\\hfill \\\\ \\text{radicals.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{{x}^{3}}\u00b7\\sqrt[3]{x}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}x\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[3]{x}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{{x}^{7}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand as a product}\\hfill \\\\ \\text{using the greatest perfect fourth power}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{{x}^{4}\u00b7{x}^{3}}\\hfill \\\\ \\text{factor.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radical as the product of two}\\hfill \\\\ \\text{radicals.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{{x}^{4}}\u00b7\\sqrt[4]{{x}^{3}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}|x|\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[4]{{x}^{3}}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149342679\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146741174\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149024078\"><p id=\"fs-id1169148983681\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{{b}^{5}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[4]{{y}^{6}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[3]{{z}^{5}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148933474\"><p id=\"fs-id1169146741558\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({b}^{2}\\sqrt{b}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(|y|\\sqrt[4]{{y}^{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(z\\sqrt[3]{{z}^{2}}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148821266\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149017065\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149307174\"><p>Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{{p}^{9}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[5]{{y}^{8}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[6]{{q}^{13}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144562770\"><p id=\"fs-id1169144381835\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({p}^{4}\\sqrt{p}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(p\\sqrt[5]{{p}^{3}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({q}^{2}\\sqrt[6]{q}\\)<\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169149025025\">We follow the same procedure when there is a coefficient in the radicand. In the next example, both the constant and the variable have perfect square factors.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148929880\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149327544\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144419450\"><p id=\"fs-id1169149104791\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{72{n}^{7}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{24{x}^{7}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{80{y}^{14}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147029152\"><p id=\"fs-id1169148823174\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{72{n}^{7}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand as a product}\\hfill \\\\ \\text{using the largest perfect square factor.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{36{n}^{6}\u00b72n}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radical as the product of two}\\hfill \\\\ \\text{radicals.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{36{n}^{6}}\u00b7\\sqrt{2n}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}6|{n}^{3}|\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt{2n}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{24{x}^{7}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand as a product}\\hfill \\\\ \\text{using perfect cube factors.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{8{x}^{6}\u00b73x}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radical as the product of two}\\hfill \\\\ \\text{radicals.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{8{x}^{6}}\u00b7\\sqrt[3]{{3}^{}x}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite the first radicand as}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(2{x}^{2}\\right)}^{3}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{{\\left({2}^{}{x}^{2}\\right)}^{3}}\u00b7\\sqrt[3]{{3}^{}x}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}2{x}^{2}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[3]{{3}^{}x}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{80{y}^{14}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand as a product}\\hfill \\\\ \\text{using perfect fourth power factors.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{16{y}^{12}\u00b7{5}^{}{y}^{2}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radical as the product of two}\\hfill \\\\ \\text{radicals.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{16{y}^{12}}\u00b7\\sqrt[4]{5{y}^{2}{}^{}}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite the first radicand as}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(2{y}^{3}\\right)}^{4}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{{\\left({2}^{}{y}^{3}\\right)}^{4}}\u00b7\\sqrt[4]{5{y}^{2}{}^{}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}2|{y}^{3}|\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[4]{{5}^{}{y}^{2}}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149152417\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148938825\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148990528\"><p id=\"fs-id1169146741983\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{32{y}^{5}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{54{p}^{10}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{64{q}^{10}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148932877\"><p id=\"fs-id1169146653286\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(4{y}^{2}\\sqrt{2y}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(3{p}^{3}\\sqrt[3]{2p}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(2{q}^{2}\\sqrt[4]{4{q}^{2}}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148973462\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146632550\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149097489\"><p id=\"fs-id1169148899437\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{75{a}^{9}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{128{m}^{11}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{162{n}^{7}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149013180\"><p id=\"fs-id1169146643866\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(5{a}^{4}\\sqrt{3a}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(4{m}^{3}\\sqrt[3]{2{m}^{2}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(3|n|\\sqrt[4]{2{n}^{3}}\\)<\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169149097363\">In the next example, we continue to use the same methods even though there are more than one variable under the radical.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169149037701\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148927015\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148899607\"><p id=\"fs-id1169144383224\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{63{u}^{3}{v}^{5}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{40{x}^{4}{y}^{5}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{48{x}^{4}{y}^{7}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149139197\"><p id=\"fs-id1169146632415\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{63{u}^{3}{v}^{5}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand as a product}\\hfill \\\\ \\text{using the largest perfect square factor.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{9{u}^{2}{v}^{4}\u00b77uv}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radical as the product of two}\\hfill \\\\ \\text{radicals.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{9{u}^{2}{v}^{4}}\u00b7\\sqrt{7uv}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite the first radicand as}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(3u{v}^{2}\\right)}^{2}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{{\\left(3u{v}^{2}\\right)}^{2}}\u00b7\\sqrt{7uv}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}3|u|{v}^{2}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt{7uv}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{40{x}^{4}{y}^{5}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand as a product}\\hfill \\\\ \\text{using the largest perfect cube factor.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{8{x}^{3}{y}^{3}\u00b75x{y}^{2}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radical as the product of two}\\hfill \\\\ \\text{radicals.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{8{x}^{3}{y}^{3}}\u00b7\\sqrt[3]{5x{y}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite the first radicand as}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(2xy\\right)}^{3}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{{\\left(2xy\\right)}^{3}}\u00b7\\sqrt[3]{5x{y}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}2xy\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[3]{5x{y}^{2}}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{48{x}^{4}{y}^{7}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand as a product}\\hfill \\\\ \\text{using the largest perfect fourth power}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{16{x}^{4}{y}^{4}\u00b73{y}^{3}}\\hfill \\\\ \\text{factor.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radical as the product of two}\\hfill \\\\ \\text{radicals.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{16{x}^{4}{y}^{4}}\u00b7\\sqrt[4]{3{y}^{3}}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite the first radicand as}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(2xy\\right)}^{4}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{{\\left(2xy\\right)}^{4}}\u00b7\\sqrt[4]{3{y}^{3}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}2|xy|\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[4]{3{y}^{3}}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148987018\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149009644\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148910805\"><p id=\"fs-id1169149189332\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{98{a}^{7}{b}^{5}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{56{x}^{5}{y}^{4}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{32{x}^{5}{y}^{8}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\"><p id=\"fs-id1169149196731\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(7|{a}^{3}|{b}^{2}{\\sqrt{2ab}}^{}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(2xy\\sqrt[3]{7{x}^{2}y}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(2|x|{y}^{2}\\sqrt[4]{2x}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149095889\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149361597\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149044525\"><p id=\"fs-id1169149123838\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{180{m}^{9}{n}^{11}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{72{x}^{6}{y}^{5}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{80{x}^{7}{y}^{4}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147085705\"><p id=\"fs-id1169147085707\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(6{m}^{4}|{n}^{5}|\\sqrt{5mn}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(2{x}^{2}y\\sqrt[3]{9{y}^{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(2|xy|\\sqrt[4]{5{x}^{3}}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169146628796\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146628799\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146628801\"><p id=\"fs-id1169147028200\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt[3]{-27}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[4]{-16}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149235591\"><p id=\"fs-id1169149235593\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{7.5em}{0ex}}\\sqrt[3]{-27}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand as a product using}\\hfill \\\\ \\text{perfect cube factors.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{7.5em}{0ex}}\\sqrt[3]{{\\left(-3\\right)}^{3}}\\hfill \\\\ \\text{Take the cube root.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{7.5em}{0ex}}-3\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{-16}\\hfill \\\\ \\text{There is no real number}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}n\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{where}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{n}^{4}=-16.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\text{Not a real number.}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149023629\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149023632\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149023635\"><p id=\"fs-id1169149023637\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt[3]{-64}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[4]{-81}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144603947\"><p id=\"fs-id1169149287950\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-4\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{no real number}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144564250\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149344085\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149344087\"><p>Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt[3]{-625}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[4]{-324}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149033852\"><p id=\"fs-id1169149033854\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-5\\sqrt[3]{5}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span> no real number<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169148969900\">We have seen how to use the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">order of operations<\/span> to simplify some expressions with radicals. In the next example, we have the sum of an integer and a square root. We simplify the square root but cannot add the resulting expression to the integer since one term contains a radical and the other does not. The next example also includes a fraction with a radical in the numerator. Remember that in order to simplify a fraction you need a common factor in the numerator and denominator.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148958911\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148870851\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148870853\"><p id=\"fs-id1169148870855\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(3+\\sqrt{32}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\frac{4-\\sqrt{48}}{2}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149114758\"><p id=\"fs-id1169149114760\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}3+\\sqrt{32}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand as a product using}\\hfill \\\\ \\text{the largest perfect square factor.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}3+\\sqrt{16\u00b72}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radical as the product of two}\\hfill \\\\ \\text{radicals.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}3+\\sqrt{16}\u00b7\\sqrt{2}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}3+4\\sqrt{2}\\hfill \\end{array}\\)<p id=\"fs-id1169149369325\">The terms cannot be added as one has a radical and the other does not. Trying to add an integer and a radical is like trying to add an integer and a variable. They are not like terms!<\/p><p id=\"fs-id1169149369331\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{4-\\sqrt{48}}{2}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand as a product}\\hfill \\\\ \\text{using the largest perfect square factor.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{4-\\sqrt{16\u00b73}}{2}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radical as the product of two}\\hfill \\\\ \\text{radicals.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{4-\\sqrt{16}\u00b7\\sqrt{3}}{2}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{4-4\\sqrt{3}}{2}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Factor the common factor from the}\\hfill \\\\ \\text{numerator.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{4\\left(1-\\sqrt{3}\\right)}{2}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Remove the common factor, 2, from the}\\hfill \\\\ \\text{numerator and denominator.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{\\overline{)2}\u00b72\\left(1-\\sqrt{3}\\right)}{\\overline{)2}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}2\\left(1-\\sqrt{3}\\right)\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149235574\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149235577\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149235579\"><p id=\"fs-id1169144812778\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(5+\\sqrt{75}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\frac{10-\\sqrt{75}}{5}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147085661\"><p id=\"fs-id1169147085663\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(5+5\\sqrt{3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(2-\\sqrt{3}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144875937\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146670164\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146670166\"><p id=\"fs-id1169146670168\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(2+\\sqrt{98}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\frac{6-\\sqrt{45}}{3}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146628781\"><p id=\"fs-id1169146628783\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(2+7\\sqrt{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(2-\\sqrt{5}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169149339065\"><h3 data-type=\"title\">Use the Quotient Property to Simplify Radical Expressions<\/h3><p id=\"fs-id1169146940067\">Whenever you have to simplify a radical expression, the first step you should take is to determine whether the radicand is a perfect power of the index. If not, check the numerator and denominator for any common factors, and remove them. You may find a fraction in which both the numerator and the denominator are perfect powers of the index.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169146940073\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\"><div data-type=\"problem\"><p id=\"fs-id1169146940080\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{\\frac{45}{80}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{\\frac{16}{54}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{\\frac{5}{80}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144568175\"><p id=\"fs-id1169144568177\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{\\frac{45}{80}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Simplify inside the radical first.}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite showing the common factors of}\\hfill \\\\ \\text{the numerator and denominator.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{\\frac{5\u00b79}{5\u00b716}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Simplify the fraction by removing}\\hfill \\\\ \\text{common factors.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{\\frac{9}{16}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify. Note}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(\\frac{3}{4}\\right)}^{2}=\\frac{9}{16}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{3}{4}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{\\frac{16}{54}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Simplify inside the radical first.}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite showing the common factors of}\\hfill \\\\ \\text{the numerator and denominator.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{\\frac{2\u00b78}{2\u00b727}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Simplify the fraction by removing}\\hfill \\\\ \\text{common factors.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{\\frac{8}{27}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify. Note}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(\\frac{2}{3}\\right)}^{3}=\\frac{8}{27}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{2}{3}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{\\frac{5}{80}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Simplify inside the radical first.}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite showing the common factors of}\\hfill \\\\ \\text{the numerator and denominator.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{\\frac{5\u00b71}{5\u00b716}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Simplify the fraction by removing}\\hfill \\\\ \\text{common factors.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{\\frac{1}{16}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify. Note}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\left(\\frac{1}{2}\\right)}^{4}=\\frac{1}{16}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{1}{2}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149293465\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149293759\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149293761\"><p id=\"fs-id1169149293763\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{\\frac{75}{48}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{\\frac{54}{250}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{\\frac{32}{162}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149102281\"><p id=\"fs-id1169149102283\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{5}{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{3}{5}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{2}{3}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149101393\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149101396\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149101398\"><p id=\"fs-id1169149101400\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{\\frac{98}{162}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{\\frac{24}{375}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{\\frac{4}{324}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144897248\"><p id=\"fs-id1169144897250\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{7}{9}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{2}{5}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{3}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169149339020\">In the last example, our first step was to simplify the fraction under the radical by removing common factors. In the next example we will use the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Quotient Property<\/span> to simplify under the radical. We divide the like bases by subtracting their exponents,<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149339028\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}={a}^{m-n},\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}a\\ne 0\\)<\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169149293937\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146594155\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146594157\"><p id=\"fs-id1169146594160\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{\\frac{{m}^{6}}{{m}^{4}}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{\\frac{{a}^{8}}{{a}^{5}}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{\\frac{{a}^{10}}{{a}^{2}}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148966171\"><p id=\"fs-id1169148966173\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{\\frac{{m}^{6}}{{m}^{4}}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Simplify the fraction inside the radical first.}\\hfill \\\\ \\text{Divide the like bases by subtracting the}\\hfill \\\\ \\text{exponents.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{{m}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}|m|\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{\\frac{{a}^{8}}{{a}^{5}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the Quotient Property of exponents to}\\hfill \\\\ \\text{simplify the fraction under the radical first.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{{a}^{3}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}a\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{\\frac{{a}^{10}}{{a}^{2}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the Quotient Property of exponents to}\\hfill \\\\ \\text{simplify the fraction under the radical first.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{{a}^{8}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand using perfect}\\hfill \\\\ \\text{fourth power factors.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{{\\left({a}^{2}\\right)}^{4}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{a}^{2}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149190851\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149190855\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149190857\"><p id=\"fs-id1169149190859\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{\\frac{{a}^{8}}{{a}^{6}}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[4]{\\frac{{x}^{7}}{{x}^{3}}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{\\frac{{y}^{17}}{{y}^{5}}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149346106\"><p id=\"fs-id1169149346108\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(|a|\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(|x|\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({y}^{3}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149096756\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144375923\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144375926\"><p id=\"fs-id1169144375928\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{\\frac{{x}^{14}}{{x}^{10}}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{\\frac{{m}^{13}}{{m}^{7}}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[5]{\\frac{{n}^{12}}{{n}^{2}}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148985227\"><p id=\"fs-id1169148985229\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({x}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({m}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({n}^{2}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p>Remember the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Quotient to a Power Property<\/span>? It said we could raise a fraction to a power by raising the numerator and denominator to the power separately.<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149006696\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{m}=\\frac{{a}^{m}}{{b}^{m}},b\\ne 0\\)<\/div><p id=\"fs-id1169144768027\">We can use a similar property to simplify a root of a fraction. After removing all common factors from the numerator and denominator, if the fraction is not a perfect power of the index, we simplify the numerator and denominator separately.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144768032\"><div data-type=\"title\">Quotient Property of Radical Expressions<\/div><p id=\"fs-id1169144768037\">If \\(\\sqrt[n]{a}\\) and \\(\\sqrt[n]{b}\\) are real numbers,\\(b\\ne 0,\\) and for any integer \\(n\\ge 2\\) then,<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149223582\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\sqrt[n]{\\frac{a}{b}}=\\frac{\\sqrt[n]{a}}{\\sqrt[n]{b}}\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\frac{\\sqrt[n]{a}}{\\sqrt[n]{b}}=\\sqrt[n]{\\frac{a}{b}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169144556369\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"title\">How to Simplify the Quotient of Radical Expressions<\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144556371\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144556374\"><p id=\"fs-id1169144556376\">Simplify: \\(\\sqrt{\\frac{27{m}^{3}}{196}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149229591\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149229593\" data-alt=\"The first step in the process is to simplify the fraction in the radicand, if possible. In this example the quantity 27 m cubed in parentheses divided by 196 cannot be simplified.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_02_002a_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The first step in the process is to simplify the fraction in the radicand, if possible. In this example the quantity 27 m cubed in parentheses divided by 196 cannot be simplified.\"><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149229603\" data-alt=\"The second step in the process is to use the quotient property to rewrite the radical as the quotient of two radicals. We rewrite the square root of the quantity 27 m cubed divided by 196 in parentheses as the quotient of the square root of the quantity 27 m cubed in parentheses and the square root of 196.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_02_002b_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The second step in the process is to use the quotient property to rewrite the radical as the quotient of two radicals. We rewrite the square root of the quantity 27 m cubed divided by 196 in parentheses as the quotient of the square root of the quantity 27 m cubed in parentheses and the square root of 196.\"><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149229614\" data-alt=\"The third step is to simplify the radicals in the numerator and the denominator. 9 m squared and 196 are perfect squares. We rewrite the expression as the quantity square root of quantity 9 m squared in parentheses times square root of the quantity 3 m in parentheses in parentheses divided by square root of 196. The simplified version is the quantity 3 m times square root of the quantity 3 m in parentheses in parentheses divided by 14.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_02_002c_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The third step is to simplify the radicals in the numerator and the denominator. 9 m squared and 196 are perfect squares. We rewrite the expression as the quantity square root of quantity 9 m squared in parentheses times square root of the quantity 3 m in parentheses in parentheses divided by square root of 196. The simplified version is the quantity 3 m times square root of the quantity 3 m in parentheses in parentheses divided by 14.\"><\/span><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144564205\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144564209\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144564211\"><p id=\"fs-id1169144564213\">Simplify: \\(\\sqrt{\\frac{24{p}^{3}}{49}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144564236\"><p id=\"fs-id1169144564238\">\\(\\frac{2|p|\\sqrt{6p}}{7}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144365372\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144365375\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144365377\"><p id=\"fs-id1169144365379\">Simplify: \\(\\sqrt{\\frac{48{x}^{5}}{100}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146636777\"><p id=\"fs-id1169146636780\">\\(\\frac{2{x}^{2}\\sqrt{3x}}{5}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149223081\" class=\"howto\"><div data-type=\"title\">Simplify a square root using the Quotient Property.<\/div><ol id=\"fs-id1169149223088\" type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Simplify the fraction in the radicand, if possible.<\/li><li>Use the Quotient Property to rewrite the radical as the quotient of two radicals.<\/li><li>Simplify the radicals in the numerator and the denominator.<\/li><\/ol><\/div><div data-type=\"example\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149223109\"><p id=\"fs-id1169149223111\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{\\frac{45{x}^{5}}{{y}^{4}}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{\\frac{24{x}^{7}}{{y}^{3}}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{\\frac{48{x}^{10}}{{y}^{8}}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149220103\"><p id=\"fs-id1169149220105\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\sqrt{\\frac{45{x}^{5}}{{y}^{4}}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{We cannot simplify the fraction in the}\\hfill \\\\ \\text{radicand. Rewrite using the Quotient}\\hfill \\\\ \\text{Property.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\frac{\\sqrt{45{x}^{5}}}{\\sqrt{{y}^{4}}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Simplify the radicals in the numerator and}\\hfill \\\\ \\text{the denominator.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\frac{\\sqrt{9{x}^{4}}\u00b7\\sqrt{5x}}{{y}^{2}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\frac{3{x}^{2}\\sqrt{5x}}{{y}^{2}}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\sqrt[3]{\\frac{24{x}^{7}}{{y}^{3}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{The fraction in the radicand cannot be}\\hfill \\\\ \\text{simplified. Use the Quotient Property to}\\hfill \\\\ \\text{write as two radicals.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\frac{\\sqrt[3]{24{x}^{7}}}{\\sqrt[3]{{y}^{3}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite each radicand as a product}\\hfill \\\\ \\text{using perfect cube factors.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\frac{\\sqrt[3]{8{x}^{6}\u00b73x}}{\\sqrt[3]{{y}^{3}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the numerator as the product of}\\hfill \\\\ \\text{two radicals.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\frac{\\sqrt[3]{{\\left(2{x}^{2}\\right)}^{3}}\u00b7\\sqrt[3]{3x}}{\\sqrt[3]{{y}^{3}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\frac{2{x}^{2}\\sqrt[3]{3x}}{y}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{\\frac{48{x}^{10}}{{y}^{8}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{The fraction in the radicand cannot be}\\hfill \\\\ \\text{simplified.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{\\sqrt[4]{48{x}^{10}}}{\\sqrt[4]{{y}^{8}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the Quotient Property to write as two}\\hfill \\\\ \\text{radicals. Rewrite each radicand as a}\\hfill \\\\ \\text{product using perfect fourth power factors.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{\\sqrt[4]{16{x}^{8}\u00b73{x}^{2}}}{\\sqrt[4]{{y}^{8}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the numerator as the product of}\\hfill \\\\ \\text{two radicals.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{\\sqrt[4]{{\\left(2{x}^{2}\\right)}^{4}}\u00b7\\sqrt[4]{3{x}^{2}}}{\\sqrt[4]{{\\left({y}^{2}\\right)}^{4}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{2{x}^{2}\\sqrt[4]{3{x}^{2}}}{{y}^{2}}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144365004\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144365008\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144365010\"><p id=\"fs-id1169144365012\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{\\frac{80{m}^{3}}{{n}^{6}}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{\\frac{108{c}^{10}}{{d}^{6}}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{\\frac{80{x}^{10}}{{y}^{4}}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148964015\"><p id=\"fs-id1169148964017\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{4|m|\\sqrt{5m}}{|{n}^{3}|}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{3{c}^{3}\\sqrt[3]{4c}}{{d}^{2}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{2{x}^{2}\\sqrt[4]{5{x}^{2}}}{|y|}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144874317\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144874320\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144874322\"><p id=\"fs-id1169144874324\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{\\frac{54{u}^{7}}{{v}^{8}}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{\\frac{40{r}^{3}}{{s}^{6}}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{\\frac{162{m}^{14}}{{n}^{12}}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148973234\"><p id=\"fs-id1169148973236\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{3{u}^{3}\\sqrt{6u}}{{v}^{4}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{2r\\sqrt[3]{5}}{{s}^{2}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{3|{m}^{3}|\\sqrt[4]{2{m}^{2}}}{|{n}^{3}|}\\)<\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169144874559\">Be sure to simplify the fraction in the radicand first, if possible.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169144874562\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144874564\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144874566\"><p id=\"fs-id1169144874569\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{\\frac{18{p}^{5}{q}^{7}}{32p{q}^{2}}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{\\frac{16{x}^{5}{y}^{7}}{54{x}^{2}{y}^{2}}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{\\frac{5{a}^{8}{b}^{6}}{80{a}^{3}{b}^{2}}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149006378\"><p id=\"fs-id1169149006380\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{\\frac{18{p}^{5}{q}^{7}}{32p{q}^{2}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Simplify the fraction in the radicand, if}\\hfill \\\\ \\text{possible.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{\\frac{9{p}^{4}{q}^{5}}{16}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Rewrite using the Quotient Property.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{\\sqrt{9{p}^{4}{q}^{5}}}{\\sqrt{16}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Simplify the radicals in the numerator and}\\hfill \\\\ \\text{the denominator.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{\\sqrt{9{p}^{4}{q}^{4}}\u00b7\\sqrt{q}}{4}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{3{p}^{2}{q}^{2}\\sqrt{q}}{4}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{\\frac{16{x}^{5}{y}^{7}}{54{x}^{2}{y}^{2}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Simplify the fraction in the radicand, if}\\hfill \\\\ \\text{possible.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{\\frac{8{x}^{3}{y}^{5}}{27}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Rewrite using the Quotient Property.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{\\sqrt[3]{8{x}^{3}{y}^{5}}}{\\sqrt[3]{27}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Simplify the radicals in the numerator and}\\hfill \\\\ \\text{the denominator.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{\\sqrt[3]{8{x}^{3}{y}^{3}}\u00b7\\sqrt[3]{{y}^{2}}}{\\sqrt[3]{27}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{2xy\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[3]{{y}^{2}}}{3}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{\\frac{5{a}^{8}{b}^{6}}{80{a}^{3}{b}^{2}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Simplify the fraction in the radicand, if}\\hfill \\\\ \\text{possible.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{\\frac{{a}^{5}{b}^{4}}{16}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Rewrite using the Quotient Property.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{\\sqrt[4]{{a}^{5}{b}^{4}}}{\\sqrt[4]{16}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Simplify the radicals in the numerator and}\\hfill \\\\ \\text{the denominator.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{\\sqrt[4]{{a}^{4}{b}^{4}}\u00b7\\sqrt[4]{a}}{\\sqrt[4]{16}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{|ab|\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[4]{a}}{2}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149204900\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149204903\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149204905\"><p id=\"fs-id1169149204907\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{\\frac{50{x}^{5}{y}^{3}}{72{x}^{4}y}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{\\frac{16{x}^{5}{y}^{7}}{54{x}^{2}{y}^{2}}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{\\frac{5{a}^{8}{b}^{6}}{80{a}^{3}{b}^{2}}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149183849\"><p id=\"fs-id1169149183851\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{5|y|\\sqrt{x}}{6}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{2xy\\sqrt[3]{{y}^{2}}}{3}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{|ab|\\sqrt[4]{a}}{2}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148995563\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148995567\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148995569\"><p id=\"fs-id1169148995571\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{\\frac{48{m}^{7}{n}^{2}}{100{m}^{5}{n}^{8}}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{\\frac{54{x}^{7}{y}^{5}}{250{x}^{2}{y}^{2}}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt[4]{\\frac{32{a}^{9}{b}^{7}}{162{a}^{3}{b}^{3}}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149316684\"><p id=\"fs-id1169149316686\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{2|m|\\sqrt{3}}{5|{n}^{3}|}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{3xy\\sqrt[3]{{x}^{2}}}{5}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{2|ab|\\sqrt[4]{{a}^{2}}}{3}\\)<\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169148957324\">In the next example, there is nothing to simplify in the denominators. Since the index on the radicals is the same, we can use the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Quotient Property<\/span> again, to combine them into one radical. We will then look to see if we can simplify the expression.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148957334\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148957336\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148957339\"><p id=\"fs-id1169148957341\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\frac{\\sqrt{48{a}^{7}}}{\\sqrt{3a}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\frac{\\sqrt[3]{-108}}{\\sqrt[3]{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{\\sqrt[4]{96{x}^{7}}}{\\sqrt[4]{3{x}^{2}}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144366766\"><p id=\"fs-id1169144366768\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\frac{\\sqrt{48{a}^{7}}}{\\sqrt{3a}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{The denominator cannot be simplified, so}\\hfill \\\\ \\text{use the Quotient Property to write as one}\\hfill \\\\ \\text{radical.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\sqrt{\\frac{48{a}^{7}}{3a}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify the fraction under the radical.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\sqrt{16{a}^{6}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}4|{a}^{3}|\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{\\sqrt[3]{-108}}{\\sqrt[3]{2}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{The denominator cannot be simplified, so}\\hfill \\\\ \\text{use the Quotient Property to write as one}\\hfill \\\\ \\text{radical.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{\\frac{-108}{2}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify the fraction under the radical.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{-54}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand as a product using}\\hfill \\\\ \\text{perfect cube factors.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{{\\left(-3\\right)}^{3}\u00b72}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radical as the product of two}\\hfill \\\\ \\text{radicals.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[3]{{\\left(-3\\right)}^{3}}\u00b7\\sqrt[3]{2}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}-3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[3]{2}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{\\sqrt[4]{96{x}^{7}}}{\\sqrt[4]{3{x}^{2}}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{The denominator cannot be simplified, so}\\hfill \\\\ \\text{use the Quotient Property to write as one}\\hfill \\\\ \\text{radical.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{\\frac{96{x}^{7}}{3{x}^{2}}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify the fraction under the radical.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{32{x}^{5}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radicand as a product using}\\hfill \\\\ \\text{perfect fourth power factors.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{16{x}^{4}}\u00b7\\sqrt[4]{2x}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Rewrite the radical as the product of two}\\hfill \\\\ \\text{radicals.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{{\\left(2x\\right)}^{4}}\u00b7\\sqrt[4]{2x}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}2|x|\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[4]{2x}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169146623147\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146623151\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146623153\"><p id=\"fs-id1169146623155\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\frac{\\sqrt{98{z}^{5}}}{\\sqrt{2z}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\frac{\\sqrt[3]{-500}}{\\sqrt[3]{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{\\sqrt[4]{486{m}^{11}}}{\\sqrt[4]{3{m}^{5}}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146653598\"><p id=\"fs-id1169146653600\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(7{z}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(-5\\sqrt[3]{2}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(3|m|\\sqrt[4]{2{m}^{2}}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169138992837\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169138992840\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169138992842\"><p id=\"fs-id1169138992844\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\frac{\\sqrt{128{m}^{9}}}{\\sqrt{2m}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\frac{\\sqrt[3]{-192}}{\\sqrt[3]{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{\\sqrt[4]{324{n}^{7}}}{\\sqrt[4]{2{n}^{3}}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144538695\"><p id=\"fs-id1169144538697\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(8{m}^{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(-4\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(3|n|\\sqrt[4]{2}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169146628876\" class=\"media-2\"><p id=\"fs-id1169144873378\">Access these online resources for additional instruction and practice with simplifying radical expressions.<\/p><ul id=\"fs-id1169144873382\" data-display=\"block\"><li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37SimRtwithVar1\">Simplifying Square Root and Cube Root with Variables<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37SimRtwithVar2\">Express a Radical in Simplified Form-Square and Cube Roots with Variables and Exponents<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37SimRtwithVar3\">Simplifying Cube Roots<\/a><\/li><\/ul><\/div><\/div><div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169144873408\"><h3 data-type=\"title\">Key Concepts<\/h3><ul id=\"fs-id1169144873416\" data-bullet-style=\"bullet\"><li><strong data-effect=\"bold\">Simplified Radical Expression<\/strong><ul id=\"fs-id1169144873424\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>For real numbers <em data-effect=\"italics\">a<\/em>, <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and \\(n\\ge 2\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div> \\(\\sqrt[n]{a}\\) is considered simplified if <em data-effect=\"italics\">a<\/em> has no factors of \\({m}^{n}\\)<\/li><\/ul><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Product Property of n<sup>th<\/sup> Roots<\/strong><ul id=\"fs-id1169144374498\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>For any real numbers, \\(\\sqrt[n]{a}\\) and \\(\\sqrt[n]{b},\\) and for any integer \\(n\\ge 2\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div> \\(\\sqrt[n]{ab}=\\sqrt[n]{a}\u00b7\\sqrt[n]{b}\\) and \\(\\sqrt[n]{a}\u00b7\\sqrt[n]{b}=\\sqrt[n]{ab}\\)<\/li><\/ul><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">How to simplify a radical expression using the Product Property<\/strong><ol id=\"fs-id1169144566233\" type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Find the largest factor in the radicand that is a perfect power of the index.<div data-type=\"newline\"><br><\/div>Rewrite the radicand as a product of two factors, using that factor.<\/li><li>Use the product rule to rewrite the radical as the product of two radicals.<\/li><li>Simplify the root of the perfect power.<\/li><\/ol><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Quotient Property of Radical Expressions<\/strong><ul id=\"fs-id1169144566256\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>If \\(\\sqrt[n]{a}\\) and \\(\\sqrt[n]{b}\\) are real numbers, \\(b\\ne 0,\\) and for any integer \\(n\\ge 2\\) then,<div data-type=\"newline\"><br><\/div> \\(\\sqrt[n]{\\frac{a}{b}}=\\frac{\\sqrt[n]{a}}{\\sqrt[n]{b}}\\) and \\(\\frac{\\sqrt[n]{a}}{\\sqrt[n]{b}}=\\sqrt[n]{\\frac{a}{b}}\\)<\/li><\/ul><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">How to simplify a radical expression using the Quotient Property.<\/strong><ol id=\"fs-id1169146816993\" type=\"1\" class=\"stepwise\"><li>Simplify the fraction in the radicand, if possible.<\/li><li>Use the Quotient Property to rewrite the radical as the quotient of two radicals.<\/li><li>Simplify the radicals in the numerator and the denominator.<\/li><\/ol><\/li><\/ul><\/div><div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169146616577\"><div class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1169146616581\"><h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4><p id=\"fs-id1169146616588\"><strong data-effect=\"bold\">Use the Product Property to Simplify Radical Expressions<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1169146616594\">In the following exercises, use the Product Property to simplify radical expressions.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146616598\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146616600\"><p id=\"fs-id1169146616602\">\\(\\sqrt{27}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146616612\"><p id=\"fs-id1169146616614\">\\(3\\sqrt{3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146616625\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146616628\"><p id=\"fs-id1169149290705\">\\(\\sqrt{80}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149290729\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149290731\"><p id=\"fs-id1169149290733\">\\(\\sqrt{125}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149290743\"><p id=\"fs-id1169149290745\">\\(5\\sqrt{5}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149290756\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149290759\"><p id=\"fs-id1169149290761\">\\(\\sqrt{96}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144884864\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144884866\"><p id=\"fs-id1169144884868\">\\(\\sqrt{147}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144884878\"><p id=\"fs-id1169144884880\">\\(7\\sqrt{3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144884892\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144884894\"><p id=\"fs-id1169144884896\">\\(\\sqrt{450}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149348865\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149348867\"><p id=\"fs-id1169149348869\">\\(\\sqrt{800}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149348879\"><p id=\"fs-id1169149348881\">\\(20\\sqrt{2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149348893\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149348895\"><p id=\"fs-id1169149348897\">\\(\\sqrt{675}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144451633\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144451635\"><p id=\"fs-id1169144451638\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[4]{32}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[5]{64}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144451669\"><p id=\"fs-id1169144451671\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(2\\sqrt[4]{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(2\\sqrt[5]{2}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144795774\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144795776\"><p id=\"fs-id1169144795778\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{625}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[6]{128}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149093160\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149093162\"><p id=\"fs-id1169149093164\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[5]{64}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{256}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149000813\"><p id=\"fs-id1169149000816\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(2\\sqrt[5]{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(4\\sqrt[3]{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149000850\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149000853\"><p id=\"fs-id1169148947621\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[4]{3125}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{81}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169149357633\">In the following exercises, simplify using absolute value signs as needed.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149357636\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149357639\"><p id=\"fs-id1169149357641\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{{y}^{11}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{{r}^{5}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{{s}^{10}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149222669\"><p id=\"fs-id1169149222671\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(|{y}^{5}|\\sqrt[]{y}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(r\\sqrt[3]{{r}^{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({s}^{2}\\sqrt[4]{{s}^{2}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146731946\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146731948\"><p id=\"fs-id1169146731951\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{{m}^{13}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[5]{{u}^{7}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[6]{{v}^{11}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149104978\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149104980\"><p id=\"fs-id1169149104983\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{{n}^{21}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{{q}^{8}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[8]{{n}^{10}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144606312\"><p id=\"fs-id1169144606314\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({n}^{10}\\sqrt{n}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({q}^{2}\\sqrt[3]{{q}^{2}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(|n|\\sqrt[8]{{n}^{2}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149289435\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149289437\"><p id=\"fs-id1169149289439\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{{r}^{25}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[5]{{p}^{8}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{{m}^{5}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144812373\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144812375\"><p id=\"fs-id1169146658398\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{125{r}^{13}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{108{x}^{5}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{48{y}^{6}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149114011\"><p id=\"fs-id1169149114014\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(5{r}^{6}\\sqrt[]{5r}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(3x\\sqrt[3]{4{x}^{2}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(2|y|\\sqrt[4]{3{y}^{2}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146738145\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146738147\"><p id=\"fs-id1169146738149\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{80{s}^{15}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[5]{96{a}^{7}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[6]{128{b}^{7}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144555549\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144555551\"><p id=\"fs-id1169144555553\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{242{m}^{23}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\sqrt[4]{405m10}}^{}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[5]{160{n}^{8}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146583451\"><p id=\"fs-id1169146583453\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(11|{m}^{11}|\\sqrt[]{2m}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(3{m}^{2}\\sqrt[4]{5{m}^{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(2n\\sqrt[5]{5{n}^{3}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144893062\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144893064\"><p id=\"fs-id1169144893066\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{175{n}^{13}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[5]{512{p}^{5}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{324{q}^{7}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149116562\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149116564\"><p id=\"fs-id1169149116566\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{147{m}^{7}{n}^{11}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{48{x}^{6}{y}^{7}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{32{x}^{5}{y}^{4}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146813535\"><p id=\"fs-id1169146813537\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(7|{m}^{3}{n}^{5}|\\sqrt[]{3mn}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(2{x}^{2}{y}^{2}\\sqrt[3]{6y}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(2|xy|\\sqrt[4]{2x}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146936715\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146936717\"><p id=\"fs-id1169146936720\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{96{r}^{3}{s}^{3}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{80{x}^{7}{y}^{6}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{80{x}^{8}{y}^{9}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144812430\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144812432\"><p id=\"fs-id1169144812434\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{192{q}^{3}{r}^{7}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{54{m}^{9}{n}^{10}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{81{a}^{9}{b}^{8}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147121009\"><p id=\"fs-id1169147121011\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(8|q{r}^{3}|\\sqrt{3qr}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(3{m}^{3}{n}^{3}\\sqrt[3]{2n}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(3{a}^{2}{b}^{2}\\sqrt[4]{a}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144796097\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144796100\"><p id=\"fs-id1169144796102\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{150{m}^{9}{n}^{3}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{81{p}^{7}{q}^{8}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{162{c}^{11}{d}^{12}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144685125\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144685127\"><p id=\"fs-id1169144685130\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{-864}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[4]{-256}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144548491\"><p id=\"fs-id1169144548493\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-6\\sqrt[3]{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span> not real<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144548519\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144548521\"><p id=\"fs-id1169144548523\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[5]{-486}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[6]{-64}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144384731\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144384734\"><p id=\"fs-id1169144384736\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[5]{-32}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[8]{-1}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148828558\"><p id=\"fs-id1169148828560\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-2\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span> not real<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148828580\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148828582\"><p id=\"fs-id1169148828584\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{-8}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[4]{-16}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144538733\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144538735\"><p id=\"fs-id1169144538737\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(5+\\sqrt{12}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{10-\\sqrt{24}}{2}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147089785\"><p id=\"fs-id1169147089787\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(5+2\\sqrt{3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(5-\\sqrt{6}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147089824\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147089826\"><p id=\"fs-id1169147089828\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(8+\\sqrt{96}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{8-\\sqrt{80}}{4}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149285529\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149285531\"><p id=\"fs-id1169149285533\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(1+\\sqrt{45}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{3+\\sqrt{90}}{3}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149285574\"><p id=\"fs-id1169149285576\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(1+3\\sqrt{5}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(1+\\sqrt{10}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146597524\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146597527\"><p id=\"fs-id1169146597529\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(3+\\sqrt{125}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{15+\\sqrt{75}}{5}\\)<\/div><\/div><p id=\"fs-id1169149272561\"><strong data-effect=\"bold\">Use the Quotient Property to Simplify Radical Expressions<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1169149272568\">In the following exercises, use the Quotient Property to simplify square roots.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149272571\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149272573\"><p id=\"fs-id1169149272575\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{45}{80}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{\\frac{8}{27}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{\\frac{1}{81}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144795721\"><p id=\"fs-id1169144795723\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{3}{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{2}{3}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144893165\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144893167\"><p id=\"fs-id1169144893169\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{72}{98}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{\\frac{24}{81}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{\\frac{6}{96}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144876427\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144876429\"><p id=\"fs-id1169144876431\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{100}{36}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{\\frac{81}{375}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{\\frac{1}{256}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148958527\"><p id=\"fs-id1169148958529\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{5}{3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{3}{5}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148958573\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148958575\"><p id=\"fs-id1169148958577\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{121}{16}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{\\frac{16}{250}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{\\frac{32}{162}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149316742\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149316744\"><p id=\"fs-id1169149316746\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{{x}^{10}}{{x}^{6}}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{\\frac{{p}^{11}}{{p}^{2}}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{\\frac{{q}^{17}}{{q}^{13}}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149214218\"><p id=\"fs-id1169149214220\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({x}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({p}^{3}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(|q|\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149347604\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149347606\"><p id=\"fs-id1169149347608\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{{p}^{20}}{{p}^{10}}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[5]{\\frac{{d}^{12}}{{d}^{7}}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[8]{\\frac{{m}^{12}}{{m}^{4}}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149168328\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149168330\"><p id=\"fs-id1169149168332\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{{y}^{4}}{{y}^{8}}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[5]{\\frac{{u}^{21}}{{u}^{11}}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[6]{\\frac{{v}^{30}}{{v}^{12}}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146636688\"><p id=\"fs-id1169146636690\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{1}{{y}^{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({u}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(|{v}^{3}|\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146636745\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146636747\"><p id=\"fs-id1169146636749\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{{q}^{8}}{{q}^{14}}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{\\frac{{r}^{14}}{{r}^{5}}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{\\frac{{c}^{21}}{{c}^{9}}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144823975\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144823977\"><p id=\"fs-id1169144823979\">\\(\\sqrt{\\frac{96{x}^{7}}{121}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144824000\"><p id=\"fs-id1169144824002\">\\(\\frac{4|{x}^{3}|\\sqrt{6x}}{11}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144824034\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144824036\"><p id=\"fs-id1169144824038\">\\(\\sqrt{\\frac{108{y}^{4}}{49}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144603055\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144603057\"><p id=\"fs-id1169144603059\">\\(\\sqrt{\\frac{300{m}^{5}}{64}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144603079\"><p id=\"fs-id1169149326800\">\\(\\frac{10{m}^{2}\\sqrt{3m}}{8}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149326824\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149326826\"><p id=\"fs-id1169149326828\">\\(\\sqrt{\\frac{125{n}^{7}}{169}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146739169\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146739171\"><p id=\"fs-id1169146739173\">\\(\\sqrt{\\frac{98{r}^{5}}{100}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146739194\"><p id=\"fs-id1169146739196\">\\(\\frac{7{r}^{2}\\sqrt{2r}}{10}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146732458\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146732460\"><p id=\"fs-id1169146732463\">\\(\\sqrt{\\frac{180{s}^{10}}{144}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146732515\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146732517\"><p id=\"fs-id1169146732519\">\\(\\sqrt{\\frac{28{q}^{6}}{225}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146659562\"><p id=\"fs-id1169146659565\">\\(\\frac{2|{q}^{3}|\\sqrt{7}}{15}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146659593\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146659596\"><p id=\"fs-id1169146659598\">\\(\\sqrt{\\frac{150{r}^{3}}{256}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146609221\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146609224\"><p id=\"fs-id1169146609226\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{75{r}^{9}}{{s}^{8}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{\\frac{54{a}^{8}}{{b}^{3}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{\\frac{64{c}^{5}}{{d}^{4}}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147088998\"><p id=\"fs-id1169147089000\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{5{r}^{4}\\sqrt{3r}}{{s}^{4}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{3{a}^{2}\\sqrt[3]{2{a}^{2}}}{|b|}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{2|c|\\sqrt[4]{4c}}{|d|}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149154236\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149154238\"><p id=\"fs-id1169149154240\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{72{x}^{5}}{{y}^{6}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[5]{\\frac{96{r}^{11}}{{s}^{5}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[6]{\\frac{128{u}^{7}}{{v}^{12}}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169139900206\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169139900209\"><p id=\"fs-id1169139900211\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{28{p}^{7}}{{q}^{2}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{\\frac{81{s}^{8}}{{t}^{3}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{\\frac{64{p}^{15}}{{q}^{12}}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147089874\"><p id=\"fs-id1169147089876\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{2|{p}^{3}|\\sqrt{7p}}{|q|}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{3{s}^{2}\\sqrt[3]{3{s}^{2}}}{t}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{2|{p}^{3}|\\sqrt[4]{4{p}^{3}}}{|{q}^{3}|}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144378259\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144378261\"><p id=\"fs-id1169144378263\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{45{r}^{3}}{{s}^{10}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{\\frac{625{u}^{10}}{{v}^{3}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{\\frac{729{c}^{21}}{{d}^{8}}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146743271\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146743273\"><p id=\"fs-id1169146743275\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{32{x}^{5}{y}^{3}}{18{x}^{3}y}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{\\frac{5{x}^{6}{y}^{9}}{40{x}^{5}{y}^{3}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{\\frac{5{a}^{8}{b}^{6}}{80{a}^{3}{b}^{2}}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149042654\"><p id=\"fs-id1169149042656\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{4|xy|}{3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{{y}^{2}\\sqrt[3]{x}}{2}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{|ab|\\sqrt[4]{a}}{4}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149237808\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149237810\"><p id=\"fs-id1169149237812\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{75{r}^{6}{s}^{8}}{48r{s}^{4}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{\\frac{24{x}^{8}{y}^{4}}{81{x}^{2}y}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{\\frac{32{m}^{9}{n}^{2}}{162m{n}^{2}}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149352553\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149352555\"><p id=\"fs-id1169149352557\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{27{p}^{2}q}{108{p}^{4}{q}^{3}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{\\frac{16{c}^{5}{d}^{7}}{250{c}^{2}{d}^{2}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[6]{\\frac{2{m}^{9}{n}^{7}}{128{m}^{3}n}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149093397\"><p id=\"fs-id1169149093399\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{1}{2|pq|}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{2cd\\sqrt[5]{2{d}^{2}}}{5}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{|mn|\\sqrt[6]{2}}{2}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146733317\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146733320\"><p id=\"fs-id1169146733322\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{\\frac{50{r}^{5}{s}^{2}}{128{r}^{2}{s}^{6}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{\\frac{24{m}^{9}{n}^{7}}{375{m}^{4}{n}^{}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{\\frac{81{m}^{2}{n}^{8}}{256{m}^{1}{n}^{2}}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149104402\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149104404\"><p id=\"fs-id1169149104406\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{\\sqrt{45{p}^{9}}}{\\sqrt{5{q}^{2}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{\\sqrt[4]{64}}{\\sqrt[4]{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{\\sqrt[5]{128{x}^{8}}}{\\sqrt[5]{2{x}^{2}}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146596868\"><p id=\"fs-id1169146596870\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{3{p}^{4}\\sqrt{p}}{|q|}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(2\\sqrt[4]{2}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(2x\\sqrt[5]{2x}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149307989\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149307991\"><p id=\"fs-id1169149307993\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{\\sqrt{80{q}^{5}}}{\\sqrt{5q}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{\\sqrt[3]{-625}}{\\sqrt[3]{5}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{\\sqrt[4]{80{m}^{7}}}{\\sqrt[4]{5m}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149088501\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149088503\"><p id=\"fs-id1169149088505\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{\\sqrt{50{m}^{7}}}{\\sqrt{2m}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{\\frac{1250}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{\\frac{486{y}^{9}}{2{y}^{3}}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144874186\"><p id=\"fs-id1169144874188\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(5|{m}^{3}|\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(5\\sqrt[3]{5}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(3|y|\\sqrt[4]{3{y}^{2}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144420130\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144420132\"><p id=\"fs-id1169144420135\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{\\sqrt{72{n}^{11}}}{\\sqrt{2n}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{\\frac{162}{6}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{\\frac{160{r}^{10}}{5{r}^{3}}}\\)<\/div><\/div><\/div><div class=\"writing\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1169146658138\"><h4 data-type=\"title\">Writing Exercises<\/h4><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146658146\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146658148\"><p id=\"fs-id1169146658150\">Explain why \\(\\sqrt{{x}^{4}}={x}^{2}.\\) Then explain why \\(\\sqrt{{x}^{16}}={x}^{8}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146658195\"><p id=\"fs-id1169146658197\">Answers will vary.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149289262\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149289264\"><p id=\"fs-id1169149289266\">Explain why \\(7+\\sqrt{9}\\) is not equal to \\(\\sqrt{7+9}.\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149289301\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149289303\"><p id=\"fs-id1169149289306\">Explain how you know that \\(\\sqrt[5]{{x}^{10}}={x}^{2}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144422284\"><p id=\"fs-id1169144422286\">Answers will vary.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144422291\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144422294\"><p id=\"fs-id1169144422296\">Explain why \\(\\sqrt[4]{-64}\\) is not a real number but \\(\\sqrt[3]{-64}\\) is.<\/p><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1169144422330\"><h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4><p id=\"fs-id1169144422335\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169144422351\" data-alt=\"This table has 3 rows and 4 columns. The first row is a header row and it labels each column. The first column header is \u201cI can\u2026\u201d, the second is \u201cConfidently\u201d, the third is \u201cWith some help\u201d, and the fourth is \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. Under the first column are the phrases \u201cuse the product property to simplify radical expressions\u201d and \u201cuse the quotient property to simplify radical expressions\u201d. The other columns are left blank so that the learner may indicate their mastery level for each topic.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_02_201_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This table has 3 rows and 4 columns. The first row is a header row and it labels each column. The first column header is \u201cI can\u2026\u201d, the second is \u201cConfidently\u201d, the third is \u201cWith some help\u201d, and the fourth is \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. Under the first column are the phrases \u201cuse the product property to simplify radical expressions\u201d and \u201cuse the quotient property to simplify radical expressions\u201d. The other columns are left blank so that the learner may indicate their mastery level for each topic.\"><\/span><p id=\"fs-id1169144422349\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> After reviewing this checklist, what will you do to become confident for all objectives?<\/p><\/div><\/div>\n","rendered":"<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\">\n<h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>\n<p>By the end of this section, you will be able to: <\/p>\n<ul>\n<li>Use the Product Property to simplify radical expressions<\/li>\n<li>Use the Quotient Property to simplify radical expressions<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149339678\" class=\"be-prepared\">\n<p id=\"fs-id1169148957002\">Before you get started, take this readiness quiz.<\/p>\n<ol id=\"fs-id1169149104245\" type=\"1\">\n<li>Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73bc7ab224c8f7055e4dc73309abfa00_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/3fa6a6c5-9a36-4dee-aea1-0166229f52fb#fs-id1167835337754\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef20454f331267cace9c704c4268ea01_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#49;&#49;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/3fa6a6c5-9a36-4dee-aea1-0166229f52fb#fs-id1167835337754\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b690ad771d2497663fdd096c35a6eb46_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/3fa6a6c5-9a36-4dee-aea1-0166229f52fb#fs-id1167834222370\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169148963820\">\n<h3 data-type=\"title\">Use the Product Property to Simplify Radical Expressions<\/h3>\n<p id=\"fs-id1169144892545\">We will simplify radical expressions in a way similar to how we simplified fractions. A fraction is simplified if there are no common factors in the numerator and denominator. To simplify a fraction, we look for any common factors in the numerator and denominator.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169146659132\">A <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">radical expression<\/span>, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb4105ce292f6014c1272bc8f3924571_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"27\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is considered simplified if it has no factors of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b017a363c73d0b88dbdb78f4bab7560f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"29\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> So, to simplify a radical expression, we look for any factors in the radicand that are powers of the index.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149306058\">\n<div data-type=\"title\">Simplified Radical Expression<\/div>\n<p id=\"fs-id1169149139126\">For real numbers <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">m<\/em>, and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6621f68f0bec3dd9a4514cd18c43813_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#92;&#103;&#101;&#32;&#50;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149113017\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc73a83764c256d80b1d9b0b307fb690_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#115;&#32;&#99;&#111;&#110;&#115;&#105;&#100;&#101;&#114;&#101;&#100;&#32;&#115;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#105;&#101;&#100;&#32;&#105;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#97;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#104;&#97;&#115;&#32;&#110;&#111;&#32;&#102;&#97;&#99;&#116;&#111;&#114;&#115;&#32;&#111;&#102;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"393\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169146659358\">For example, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ba329d3f2f86c0fb47d848202e0ee7d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> is considered simplified because there are no perfect square factors in 5. But <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b5cb2d621d6cd73693be299de6ce97a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> is not simplified because 12 has a perfect square factor of 4.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169148888345\">Similarly, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-813b7c998819b193f2e7bbc12f8bac64_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> is simplified because there are no perfect cube factors in 4. But <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-13f6b1540d23b4d7cd18d89ebfdf6e34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#50;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> is not simplified because 24 has a perfect cube factor of 8.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169146718461\">To simplify radical expressions, we will also use some properties of roots. The properties we will use to simplify radical expressions are similar to the properties of exponents. We know that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-705b01c578ca5c5a0d52c7f2f2dcfbbe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"102\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> The corresponding of <span data-type=\"term\">Product Property of Roots<\/span> says that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19a5f78306b0b06715d83d73568115a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#98;&#125;&#61;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&middot;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#98;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149309979\">\n<div data-type=\"title\">Product Property of <em data-effect=\"italics\">n<\/em><sup>th<\/sup> Roots<\/div>\n<p id=\"fs-id1169148969444\">If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c6b7326bec5fc086e8335bb7e382f30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-489e8ff9827ba6988dfa32390ed30650_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#98;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> are real numbers, and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5482ac64c45006c6548c713888a5d34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#92;&#103;&#101;&#32;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> is an integer, then<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169148974440\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dfd46874ab9bf21054b4b1a81d7ab799_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#98;&#125;&#61;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&middot;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#98;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&middot;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#98;&#125;&#61;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#98;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"279\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p>We use the Product Property of Roots to remove all perfect square factors from a square root.<\/p>\n<div data-type=\"example\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"title\">Simplify Square Roots Using the Product Property of Roots<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148987987\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146743861\">\n<p id=\"fs-id1169149094774\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7740509083bb639a5cc627124235c45e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#57;&#56;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144451493\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169148951830\" data-alt=\"The first step in the process is to find the largest factor in the radicand that is a perfect power of the index and rewrite the radicand as a product of two factors, using that factor. We see that 49 is the largest factor of 98 that has a power of 2. In other words 49 is the largest perfect square factor of 98. We can write 98 equals 49 times 2. Always write the perfect square factor first. The square root of 98 can then be written as the square root of the quantity 49 times 2 in parentheses.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_02_001a_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The first step in the process is to find the largest factor in the radicand that is a perfect power of the index and rewrite the radicand as a product of two factors, using that factor. We see that 49 is the largest factor of 98 that has a power of 2. In other words 49 is the largest perfect square factor of 98. We can write 98 equals 49 times 2. Always write the perfect square factor first. The square root of 98 can then be written as the square root of the quantity 49 times 2 in parentheses.\" \/><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169146814248\" data-alt=\"The second step in the process is to use the product rule to rewrite the radical as the product of two radicals. The square root of the quantity 49 times 2 in parentheses can be written as the square root of 49 times the square root of 2.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_02_001b_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The second step in the process is to use the product rule to rewrite the radical as the product of two radicals. The square root of the quantity 49 times 2 in parentheses can be written as the square root of 49 times the square root of 2.\" \/><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149039524\" data-alt=\"The third step is to simplify the root of the perfect power. The square root of 49 times the square root of 2 can be written as 7 times the square root of 2.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_02_001c_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The third step is to simplify the root of the perfect power. The square root of 49 times the square root of 2 can be written as 7 times the square root of 2.\" \/><\/span><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149272141\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144892500\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149039032\">\n<p id=\"fs-id1169144561319\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5f1c0009db3e8707fcd315f6bd4d519_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#52;&#56;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149220980\">\n<p id=\"fs-id1169149093318\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-53b1a8242d11842f2d674348e7043fe2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144376816\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146616435\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147085751\">\n<p id=\"fs-id1169148967695\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-de7b2bf3868d1c14bc8c66a7bc960242_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#52;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149093265\">\n<p id=\"fs-id1169144548342\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef46a6bc8cb8a8c094ebe79d974b6bd3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169147085464\">Notice in the previous example that the simplified form of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3047157a5c52371af686910c08b52d52_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#57;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba10ac1d741ca9f5124c380aedc4b84b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#50;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> which is the product of an integer and a square root. We always write the integer in front of the square root.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169149279222\">Be careful to write your integer so that it is not confused with the index. The expression <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0344386d8f776d5d4626d5e1f2db49ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> is very different from <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f978adbdce0bc65366699b17fd65be74_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#55;&#93;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"27\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169146814577\" class=\"howto\">\n<div data-type=\"title\">Simplify a radical expression using the Product Property.<\/div>\n<ol id=\"fs-id1169144377232\" type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Find the largest factor in the radicand that is a perfect power of the index. Rewrite the radicand as a product of two factors, using that factor.<\/li>\n<li>Use the product rule to rewrite the radical as the product of two radicals.<\/li>\n<li>Simplify the root of the perfect power.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169144567330\">We will apply this method in the next example. It may be helpful to have a table of perfect squares, cubes, and fourth powers.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169146668109\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149038805\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149023758\">\n<p id=\"fs-id1169144604203\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-da93d061665db5b5ec3bffebbfd297b7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#53;&#48;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-efa15b140418ef318e6d0851fb3cd0a6_l3.png\" 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Don\u2019t forget to use the absolute value signs when taking an even root of an expression with a variable in the radical.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169149103064\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149303790\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146660325\">\n<p id=\"fs-id1169149144002\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92c46a31561ee51946a45895f7a8b9cf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6781b3bc2235a6d6ef2fc8f6425800d0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#98;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d312c24255375cc78388b77267041fc7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#124;&#121;&#124;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img 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In the next example, both the constant and the variable have perfect square factors.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148929880\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149327544\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144419450\">\n<p id=\"fs-id1169149104791\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f3ad32374b04567aef1925be539d05e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#55;&#50;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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id=\"fs-id1169148823174\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f82bac71f55449c6928c39148559a07_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149139197\">\n<p id=\"fs-id1169146632415\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be8673864380d7776ea3c01292569d7f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"82\" width=\"575\" style=\"vertical-align: -34px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-725ff92a4301e37b94fab5cd1115f932_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#53;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span> no real number<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169148969900\">We have seen how to use the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">order of operations<\/span> to simplify some expressions with radicals. In the next example, we have the sum of an integer and a square root. We simplify the square root but cannot add the resulting expression to the integer since one term contains a radical and the other does not. The next example also includes a fraction with a radical in the numerator. Remember that in order to simplify a fraction you need a common factor in the numerator and denominator.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148958911\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148870851\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148870853\">\n<p id=\"fs-id1169148870855\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1a6e2028786f0d9049dc83098672816_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#43;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#51;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"130\" width=\"544\" style=\"vertical-align: -59px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1169149369325\">The terms cannot be added as one has a radical and the other does not. Trying to add an integer and a radical is like trying to add an integer and a variable. They are not like terms!<\/p>\n<p id=\"fs-id1169149369331\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31a9797515494bb4f0f560627d9307dc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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whether the radicand is a perfect power of the index. If not, check the numerator and denominator for any common factors, and remove them. You may find a fraction in which both the numerator and the denominator are perfect powers of the index.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169146940073\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\">\n<div data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1169146940080\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f1c2b18ff9a28a9379024593eb7535c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#53;&#125;&#123;&#56;&#48;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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id=\"fs-id1169144568175\">\n<p id=\"fs-id1169144568177\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-152f28a4c176c2c74d0e7b8f40b1792b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"168\" width=\"487\" style=\"vertical-align: -80px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149293465\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149293759\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149293761\">\n<p id=\"fs-id1169149293763\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-040861072d2523eae86c89993e85ad33_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&#53;&#125;&#123;&#52;&#56;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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In the next example we will use the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Quotient Property<\/span> to simplify under the radical. We divide the like bases by subtracting their exponents,<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149339028\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-06bc9cea321db8b6428f80d0acb9207e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#45;&#110;&#125;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"153\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169149293937\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146594155\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146594157\">\n<p id=\"fs-id1169146594160\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77fa544a5f45e418f997f466f4a531e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#125;&#123;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c7d9ad468a9c6b0de5bd8386eb034670_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#52;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#125;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-23bba86158cb7817a23df9564b697565_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#49;&#51;&#125;&#125;&#123;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b9f2aad694d485da2d7c8703dca5fdc8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#53;&#93;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#49;&#50;&#125;&#125;&#123;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148985227\">\n<p id=\"fs-id1169148985229\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b40448f90dbf1bf9cce1035e2f3b1120_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-35ec9da8c64343dba23cb9268763540d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"23\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-444500c4e43e38956dd248f19f2f7129_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>Remember the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Quotient to a Power Property<\/span>? It said we could raise a fraction to a power by raising the numerator and denominator to the power separately.<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149006696\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb4d741eab395fb1060fe7db2c499cc4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#98;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#44;&#98;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"133\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1169144768027\">We can use a similar property to simplify a root of a fraction. After removing all common factors from the numerator and denominator, if the fraction is not a perfect power of the index, we simplify the numerator and denominator separately.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144768032\">\n<div data-type=\"title\">Quotient Property of Radical Expressions<\/div>\n<p id=\"fs-id1169144768037\">If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c6b7326bec5fc086e8335bb7e382f30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-489e8ff9827ba6988dfa32390ed30650_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#98;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> are real numbers,<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6a0135701625ac5da01c134efeaebdf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and for any integer <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5482ac64c45006c6548c713888a5d34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#92;&#103;&#101;&#32;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> then,<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169149223582\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-79cae890d0aa45e31e370a8a06f7c8ae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#98;&#125;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&#125;&#123;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#98;&#125;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&#125;&#123;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#98;&#125;&#125;&#61;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#98;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"30\" width=\"224\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169144556369\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"title\">How to Simplify the Quotient of Radical Expressions<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144556371\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144556374\">\n<p id=\"fs-id1169144556376\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-027af1b54da96e887a2c84138d5da32d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#55;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#123;&#49;&#57;&#54;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149229591\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149229593\" data-alt=\"The first step in the process is to simplify the fraction in the radicand, if possible. In this example the quantity 27 m cubed in parentheses divided by 196 cannot be simplified.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_02_002a_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The first step in the process is to simplify the fraction in the radicand, if possible. In this example the quantity 27 m cubed in parentheses divided by 196 cannot be simplified.\" \/><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149229603\" data-alt=\"The second step in the process is to use the quotient property to rewrite the radical as the quotient of two radicals. We rewrite the square root of the quantity 27 m cubed divided by 196 in parentheses as the quotient of the square root of the quantity 27 m cubed in parentheses and the square root of 196.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_02_002b_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The second step in the process is to use the quotient property to rewrite the radical as the quotient of two radicals. We rewrite the square root of the quantity 27 m cubed divided by 196 in parentheses as the quotient of the square root of the quantity 27 m cubed in parentheses and the square root of 196.\" \/><\/span><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169149229614\" data-alt=\"The third step is to simplify the radicals in the numerator and the denominator. 9 m squared and 196 are perfect squares. We rewrite the expression as the quantity square root of quantity 9 m squared in parentheses times square root of the quantity 3 m in parentheses in parentheses divided by square root of 196. The simplified version is the quantity 3 m times square root of the quantity 3 m in parentheses in parentheses divided by 14.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_02_002c_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"The third step is to simplify the radicals in the numerator and the denominator. 9 m squared and 196 are perfect squares. We rewrite the expression as the quantity square root of quantity 9 m squared in parentheses times square root of the quantity 3 m in parentheses in parentheses divided by square root of 196. The simplified version is the quantity 3 m times square root of the quantity 3 m in parentheses in parentheses divided by 14.\" \/><\/span><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144564205\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144564209\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144564211\">\n<p id=\"fs-id1169144564213\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca6403e53e07c6e59245e0d98432e135_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#52;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#123;&#52;&#57;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144564236\">\n<p id=\"fs-id1169144564238\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4ebeed33893a7137854f2eb48f3603f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#124;&#112;&#124;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#54;&#112;&#125;&#125;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169144365372\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144365375\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144365377\">\n<p id=\"fs-id1169144365379\">Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aaef3fb05d2beb198d92b64f9b83a42e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#56;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#48;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146636777\">\n<p id=\"fs-id1169146636780\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e9faa0215d36751066d8a029009b120b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#51;&#120;&#125;&#125;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"48\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169149223081\" class=\"howto\">\n<div data-type=\"title\">Simplify a square root using the Quotient Property.<\/div>\n<ol id=\"fs-id1169149223088\" type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Simplify the fraction in the radicand, if possible.<\/li>\n<li>Use the Quotient Property to rewrite the radical as the quotient of two radicals.<\/li>\n<li>Simplify the radicals in the numerator and the denominator.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149223109\">\n<p id=\"fs-id1169149223111\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c06b8d2edf0654cdd80369c9063f309_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3024ed4e3b723b7525d6f54fc99db881_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#124;&#97;&#98;&#124;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#125;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169148957324\">In the next example, there is nothing to simplify in the denominators. Since the index on the radicals is the same, we can use the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Quotient Property<\/span> again, to combine them into one radical. We will then look to see if we can simplify the expression.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148957334\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148957336\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148957339\">\n<p id=\"fs-id1169148957341\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-676a55c365f29d64e9c99c651527e619_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#52;&#56;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#125;&#125;&#123;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#51;&#97;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"31\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144538695\">\n<p id=\"fs-id1169144538697\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-40ee4398e070bdf7dc6320f3c37014b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#56;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"32\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00b9cce9021441b203ec0271d72e6ba2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37SimRtwithVar3\">Simplifying Cube Roots<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169144873408\">\n<h3 data-type=\"title\">Key Concepts<\/h3>\n<ul id=\"fs-id1169144873416\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li><strong data-effect=\"bold\">Simplified Radical Expression<\/strong>\n<ul id=\"fs-id1169144873424\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>For real numbers <em data-effect=\"italics\">a<\/em>, <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5482ac64c45006c6548c713888a5d34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#92;&#103;&#101;&#32;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c6b7326bec5fc086e8335bb7e382f30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is considered simplified if <em data-effect=\"italics\">a<\/em> has no factors of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb1ea6a9f7050c9a69897e9ec03dd47c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"24\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Product Property of n<sup>th<\/sup> Roots<\/strong>\n<ul id=\"fs-id1169144374498\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>For any real numbers, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c6b7326bec5fc086e8335bb7e382f30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb4e0adc626f07d31dbf54d02c6e8e21_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#98;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and for any integer <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5482ac64c45006c6548c713888a5d34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#92;&#103;&#101;&#32;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd7857faafe7529b5dcce696702bbf53_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#98;&#125;&#61;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&middot;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#98;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24067bfb7a65290e3a1f16ba270c335e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&middot;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#98;&#125;&#61;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#98;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">How to simplify a radical expression using the Product Property<\/strong>\n<ol id=\"fs-id1169144566233\" type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Find the largest factor in the radicand that is a perfect power of the index.\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>Rewrite the radicand as a product of two factors, using that factor.<\/li>\n<li>Use the product rule to rewrite the radical as the product of two radicals.<\/li>\n<li>Simplify the root of the perfect power.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Quotient Property of Radical Expressions<\/strong>\n<ul id=\"fs-id1169144566256\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c6b7326bec5fc086e8335bb7e382f30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-489e8ff9827ba6988dfa32390ed30650_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#98;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> are real numbers, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6a0135701625ac5da01c134efeaebdf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and for any integer <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5482ac64c45006c6548c713888a5d34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#92;&#103;&#101;&#32;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> then,\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-993437a43b9b8fe9ee825a6bf5b41a7a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#98;&#125;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&#125;&#123;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#98;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"30\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0adc894935a48ac2937673ac0a02d09_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&#125;&#123;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#98;&#125;&#125;&#61;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#97;&#125;&#123;&#98;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"30\" width=\"80\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">How to simplify a radical expression using the Quotient Property.<\/strong>\n<ol id=\"fs-id1169146816993\" type=\"1\" class=\"stepwise\">\n<li>Simplify the fraction in the radicand, if possible.<\/li>\n<li>Use the Quotient Property to rewrite the radical as the quotient of two radicals.<\/li>\n<li>Simplify the radicals in the numerator and the denominator.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169146616577\">\n<div class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1169146616581\">\n<h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4>\n<p id=\"fs-id1169146616588\"><strong data-effect=\"bold\">Use the Product Property to Simplify Radical Expressions<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1169146616594\">In the following exercises, use the Product Property to simplify radical expressions.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146616598\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146616600\">\n<p id=\"fs-id1169146616602\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2a360f51ae982fb29f5e4206b8fd133_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#50;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146616612\">\n<p id=\"fs-id1169146616614\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ea061df92a4307f25647a6421a3a708_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146616625\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146616628\">\n<p id=\"fs-id1169149290705\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8245719f6677d6deec8098239687ab7c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#56;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149290729\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149290731\">\n<p id=\"fs-id1169149290733\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-904be03cc4596bd2b7eb61de366bd7af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#50;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149290743\">\n<p id=\"fs-id1169149290745\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d7a9343e2a2f74aa72f3278cbb70ff7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149290756\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149290759\">\n<p id=\"fs-id1169149290761\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-619e33f0d425102d677cf9d553fdb378_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#57;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144884864\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144884866\">\n<p id=\"fs-id1169144884868\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd72d8f0415a7de7de8e2098aa523a4c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#52;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144884878\">\n<p id=\"fs-id1169144884880\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fcf55e07a24fef9a8092f27a130ded57_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144884892\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144884894\">\n<p id=\"fs-id1169144884896\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7db8632715a7bad66865e3607d10fca4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#52;&#53;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149348865\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149348867\">\n<p id=\"fs-id1169149348869\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-85b3c5447a924986a71e55e0dfbf4ed8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#56;&#48;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169149348879\">\n<p id=\"fs-id1169149348881\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-06d59cff23b8dbedd41703f35733e78a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#48;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149348893\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149348895\">\n<p id=\"fs-id1169149348897\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc126a0a9ff55fd169cf1d890f7b822a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#54;&#55;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144451633\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144451635\">\n<p id=\"fs-id1169144451638\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e31a7a678468b6aafa121a0e3e313794_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#51;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21f1e75b740b359a7600cdc0a640a50a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#53;&#93;&#123;&#54;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144451669\">\n<p id=\"fs-id1169144451671\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-252d80705536968fefa5177666849d4c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f1050767476dd1da37509f8d6fb8cf35_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#53;&#93;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144795774\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144795776\">\n<p id=\"fs-id1169144795778\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f63e91fd18422eb46daf78068ab935e1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#54;&#50;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80473e9caa08e9c48e760bef947b962_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-786fe20557ed7bb18328f5320f99231f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#56;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169149357633\">In the following exercises, simplify using absolute value signs as needed.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149357636\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149357639\">\n<p id=\"fs-id1169149357641\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3729fc682fe989f83bed25e71e3e857d_l3.png\" 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class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d94e29d69c69ef16783d29989bcff979_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e0b22133fc489c6fe6f953fec9b215b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169146731946\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169146731948\">\n<p id=\"fs-id1169146731951\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c684d36bf5b97e8abea5e2040b97443_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#49;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c2f72fa863f0eb8d780ba199f3bf1b57_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-693ac9d99c9cff7d6ed5e12e45d7cb8d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#56;&#93;&#123;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144606312\">\n<p id=\"fs-id1169144606314\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c980177db603ecbe1c59601eead0c20a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" 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id=\"fs-id1169144812373\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144812375\">\n<p id=\"fs-id1169146658398\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-63a60fb0244a619ad616513afd9f4c43_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#50;&#53;&#123;&#114;&#125;&#94;&#123;&#49;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e7cd37ac8a18a25872222608e25bc30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-adfe3243e206551d51998ef34ceb931b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#51;&#50;&#52;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149116562\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149116564\">\n<p id=\"fs-id1169149116566\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04eb54576aa7a88ccdf96f01a6fb9e71_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-485f63fc93f15f9705ed09f5246a916d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#54;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"78\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a703f48005011f81e1c52cb264876683_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cea02678c0ff28fc808c0b13ab34d897_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#53;&#48;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64713d91c1e99e4b0f02bd27594c1c20_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#56;&#49;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4342c513f76483eba658a3ae3ddaaee8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#49;&#54;&#50;&#123;&#99;&#125;&#94;&#123;&#49;&#49;&#125;&#123;&#100;&#125;&#94;&#123;&#49;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"87\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144685125\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144685127\">\n<p id=\"fs-id1169144685130\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4793f69208ca9290c43df032eec44b87_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#54;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span> not real<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144548519\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144548521\">\n<p id=\"fs-id1169144548523\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9613500d05e6c48336463dcfa8bb86d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-90a5d4001c30a750c46d98f55a397fa2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#56;&#43;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#57;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39e660ca6df5e41f684c74201211d589_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#45;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#56;&#48;&#125;&#125;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"43\" 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class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#125;&#61;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> Then explain why <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-28b1ea2925890543ed55472784d78a00_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#54;&#125;&#125;&#61;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169146658195\">\n<p id=\"fs-id1169146658197\">Answers will vary.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149289262\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149289264\">\n<p id=\"fs-id1169149289266\">Explain why <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0dd07f51f1fa9ddf0fd88a132170de1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#43;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> is not equal to <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f7ecae3487d18094bef407229d588a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#55;&#43;&#57;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169149289301\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169149289303\">\n<p id=\"fs-id1169149289306\">Explain how you know that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f37f97ba81f93f4908f4afaab880a4f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#53;&#93;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#125;&#125;&#61;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169144422284\">\n<p id=\"fs-id1169144422286\">Answers will vary.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169144422291\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169144422294\">\n<p id=\"fs-id1169144422296\">Explain why <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c844cbe5671b50124386efc2350d5e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#45;&#54;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> is not a real number but <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92bab96dddb3a85acbe2c834f2206186_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#45;&#54;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> is.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1169144422330\">\n<h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4>\n<p id=\"fs-id1169144422335\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169144422351\" data-alt=\"This table has 3 rows and 4 columns. The first row is a header row and it labels each column. The first column header is \u201cI can\u2026\u201d, the second is \u201cConfidently\u201d, the third is \u201cWith some help\u201d, and the fourth is \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. Under the first column are the phrases \u201cuse the product property to simplify radical expressions\u201d and \u201cuse the quotient property to simplify radical expressions\u201d. The other columns are left blank so that the learner may indicate their mastery level for each topic.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_02_201_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This table has 3 rows and 4 columns. The first row is a header row and it labels each column. The first column header is \u201cI can\u2026\u201d, the second is \u201cConfidently\u201d, the third is \u201cWith some help\u201d, and the fourth is \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. Under the first column are the phrases \u201cuse the product property to simplify radical expressions\u201d and \u201cuse the quotient property to simplify radical expressions\u201d. The other columns are left blank so that the learner may indicate their mastery level for each topic.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1169144422349\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> After reviewing this checklist, what will you do to become confident for all objectives?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"author":103,"menu_order":3,"template":"","meta":{"pb_show_title":"on","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"class_list":["post-3499","chapter","type-chapter","status-publish","hentry"],"part":3472,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/3499","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/users\/103"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/3499\/revisions"}],"part":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/3472"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/3499\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3499"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=3499"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=3499"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=3499"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}