{"id":3504,"date":"2018-12-11T13:57:31","date_gmt":"2018-12-11T18:57:31","guid":{"rendered":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/chapter\/simplify-rational-exponents\/"},"modified":"2018-12-11T13:57:31","modified_gmt":"2018-12-11T18:57:31","slug":"simplify-rational-exponents","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/chapter\/simplify-rational-exponents\/","title":{"raw":"Simplify Rational Exponents","rendered":"Simplify Rational Exponents"},"content":{"raw":"\n[latexpage]<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\"><h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>By the end of this section, you will be able to: <ul><li>Simplify expressions with \\({a}^{\\frac{1}{n}}\\)<\/li><li>Simplify expressions with \\({a}^{\\frac{m}{n}}\\)<\/li><li>Use the properties of exponents to simplify expressions with rational exponents<\/li><\/ul><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169145497099\" class=\"be-prepared\"><p id=\"fs-id1169148197682\">Before you get started, take this readiness quiz.<\/p><ol id=\"fs-id1169147758938\" type=\"1\"><li>Add: \\(\\frac{7}{15}+\\frac{5}{12}.\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/425620d9-51dd-45e5-8a21-953998a4a77f#fs-id1167836518722\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><li>Simplify: \\({\\left(4{x}^{2}{y}^{5}\\right)}^{3}.\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/3fa6a6c5-9a36-4dee-aea1-0166229f52fb#fs-id1167835304261\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><li>Simplify: \\({5}^{-3}.\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/3fa6a6c5-9a36-4dee-aea1-0166229f52fb#fs-id1167834095326\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li><\/ol><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169143577659\"><h3 data-type=\"title\">Simplify Expressions with \\({a}^{\\frac{1}{n}}\\)<\/h3><p id=\"fs-id1169147863161\">Rational exponents are another way of writing expressions with radicals. When we use rational exponents, we can apply the properties of exponents to simplify expressions.<\/p><p id=\"fs-id1169147747026\">The <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Power Property for Exponents<\/span> says that \\({\\left({a}^{m}\\right)}^{n}={a}^{m\u00b7n}\\) when <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are whole numbers. Let\u2019s assume we are now not limited to whole numbers.<\/p><p id=\"fs-id1169147851499\">Suppose we want to find a number <em data-effect=\"italics\">p<\/em> such that \\({\\left({8}^{p}\\right)}^{3}=8.\\) We will use the Power Property of Exponents to find the value of <em data-effect=\"italics\">p<\/em>.<\/p><p id=\"fs-id1169147805824\">\\(\\begin{array}{cccccccc}&amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill {\\left({8}^{p}\\right)}^{3}&amp; =\\hfill &amp; 8\\hfill \\\\ \\text{Multiply the exponents on the left.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill {8}^{3p}&amp; =\\hfill &amp; 8\\hfill \\\\ \\text{Write the exponent 1 on the right.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill {8}^{3p}&amp; =\\hfill &amp; {8}^{1}\\hfill \\\\ \\text{Since the bases are the same, the exponents must be equal.}\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill 3p&amp; =\\hfill &amp; 1\\hfill \\\\ \\text{Solve for}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}p.\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill p&amp; =\\hfill &amp; \\frac{1}{3}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1169143579540\">So \\({\\left({8}^{\\frac{1}{3}}\\right)}^{3}=8.\\) But we know also \\({\\left(\\sqrt[3]{8}\\right)}^{3}=8.\\) Then it must be that \\({8}^{\\frac{1}{3}}=\\sqrt[3]{8}.\\)<\/p><p id=\"fs-id1169145578848\">This same logic can be used for any positive integer exponent <em data-effect=\"italics\">n<\/em> to show that \\({a}^{\\frac{1}{n}}=\\sqrt[n]{a}.\\)<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169145737967\"><div data-type=\"title\">Rational Exponent \\({a}^{\\frac{1}{n}}\\)<\/div><p id=\"fs-id1169147845391\">If \\(\\sqrt[n]{a}\\) is a real number and \\(n\\ge 2,\\) then<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169143575370\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({a}^{\\frac{1}{n}}=\\sqrt[n]{a}\\)<\/div><\/div><p id=\"fs-id1169148106329\">The denominator of the rational exponent is the index of the radical.<\/p><p id=\"fs-id1169147986577\">There will be times when working with expressions will be easier if you use rational exponents and times when it will be easier if you use radicals. In the first few examples, you\u2019ll practice converting expressions between these two notations.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148251198\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145971142\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145573011\"><p id=\"fs-id1169147730800\">Write as a radical expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({x}^{\\frac{1}{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({y}^{\\frac{1}{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({z}^{\\frac{1}{4}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147741398\"><p id=\"fs-id1169145658803\">We want to write each expression in the form \\(\\sqrt[n]{a}.\\)<\/p><p id=\"fs-id1169145495607\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}{x}^{\\frac{1}{2}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{The denominator of the rational exponent is 2, so}\\hfill \\\\ \\text{the index of the radical is 2. We do not show the}\\hfill \\\\ \\text{index when it is 2.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\sqrt{x}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{7em}{0ex}}{y}^{\\frac{1}{3}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{The denominator of the exponent is 3, so the}\\hfill \\\\ \\text{index is 3.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{7em}{0ex}}\\sqrt[3]{y}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{7em}{0ex}}{z}^{\\frac{1}{4}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{The denominator of the exponent is 4, so the}\\hfill \\\\ \\text{index is 4.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{7em}{0ex}}\\sqrt[4]{z}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148096682\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147878205\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169141171474\"><p id=\"fs-id1169148226150\">Write as a radical expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({t}^{\\frac{1}{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({m}^{\\frac{1}{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({r}^{\\frac{1}{4}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147855072\"><p id=\"fs-id1169147725720\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{t}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{m}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{r}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169147861340\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145489130\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147868283\"><p id=\"fs-id1169145658822\">Write as a radial expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({b}^{\\frac{1}{6}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({z}^{\\frac{1}{5}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({p}^{\\frac{1}{4}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147876105\"><p id=\"fs-id1169148098414\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[6]{b}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[5]{z}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{p}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169145577484\">In the next example, we will write each radical using a rational exponent. It is important to use parentheses around the entire expression in the radicand since the entire expression is raised to the rational power.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169145489074\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145506049\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143575456\"><p id=\"fs-id1169145696717\">Write with a rational exponent: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{5y}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[3]{4x}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(3\\sqrt[4]{5z}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148099865\"><p id=\"fs-id1169147869165\">We want to write each radical in the form \\({a}^{\\frac{1}{n}}.\\)<\/p><p id=\"fs-id1169148210105\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt{5y}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{No index is shown, so it is 2.}\\hfill \\\\ \\text{The denominator of the exponent will be 2.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{\\left(5y\\right)}^{\\frac{1}{2}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Put parentheses around the entire}\\hfill \\\\ \\text{expression}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}5y.\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}\\sqrt[3]{4x}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{The index is 3, so the denominator of the}\\hfill \\\\ \\text{exponent is 3. Include parentheses}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\left(4x\\right).\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\begin{array}{}\\\\ \\\\ \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}{\\left(4x\\right)}^{\\frac{1}{3}}\\hfill \\end{array}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\sqrt[4]{5z}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{The index is 4, so the denominator of the}\\hfill \\\\ \\text{exponent is 4. Put parentheses only around}\\hfill \\\\ \\text{the}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}5z\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{since 3 is not under the radical sign.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\begin{array}{}\\\\ \\\\ \\\\ \\\\ \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}3{\\left(5z\\right)}^{\\frac{1}{4}}\\hfill \\end{array}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169147758035\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147743120\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147859287\"><p id=\"fs-id1169147796881\">Write with a rational exponent: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{10m}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[5]{3n}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(3\\sqrt[4]{6y}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145536388\"><p id=\"fs-id1169148105435\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(10m\\right)}^{\\frac{1}{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(3n\\right)}^{\\frac{1}{5}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(3{\\left(6y\\right)}^{\\frac{1}{4}}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169145645644\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147821115\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145732275\"><p id=\"fs-id1169147836304\">Write with a rational exponent: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt[7]{3k}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\sqrt[4]{5j}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(8\\sqrt[3]{2a}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147866428\"><p id=\"fs-id1169148060106\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(3k\\right)}^{\\frac{1}{7}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(5j\\right)}^{\\frac{1}{4}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(8{\\left(2a\\right)}^{\\frac{1}{3}}\\)<\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169147853533\">In the next example, you may find it easier to simplify the expressions if you rewrite them as radicals first.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169147727373\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147837574\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147867764\"><p id=\"fs-id1169147840513\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({25}^{\\frac{1}{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({64}^{\\frac{1}{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({256}^{\\frac{1}{4}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147855754\"><p id=\"fs-id1169147732159\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{11em}{0ex}}{25}^{\\frac{1}{2}}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite as a square root.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{11em}{0ex}}\\sqrt{25}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{11em}{0ex}}5\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{8.5em}{0ex}}{64}^{\\frac{1}{3}}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite as a cube root.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{8.5em}{0ex}}\\sqrt[3]{64}\\hfill \\\\ \\text{Recognize 64 is a perfect cube.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{8.5em}{0ex}}\\sqrt[3]{{4}^{3}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{8.5em}{0ex}}4\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{256}^{\\frac{1}{4}}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite as a fourth root.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{256}\\hfill \\\\ \\text{Recognize 256 is a perfect fourth power.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\sqrt[4]{{4}^{4}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}4\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169147746776\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145507732\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148234805\"><p id=\"fs-id1169148069249\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({36}^{\\frac{1}{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({8}^{\\frac{1}{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({16}^{\\frac{1}{4}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147809110\"><p id=\"fs-id1169147807318\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 6 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 2 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 2<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169145520540\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143580466\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147700685\"><p id=\"fs-id1169147709613\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({100}^{\\frac{1}{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({27}^{\\frac{1}{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({81}^{\\frac{1}{4}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169141300174\"><p id=\"fs-id1169145685325\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 10 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 3 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 3<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169148125067\">Be careful of the placement of the negative signs in the next example. We will need to use the property \\({a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}\\) in one case.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169145550892\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147967540\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147848662\"><p id=\"fs-id1169147808442\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\left(-16\\right)}^{\\frac{1}{4}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\text{\u2212}{16}^{\\frac{1}{4}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({\\left(16\\right)}^{-\\frac{1}{4}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169143582366\"><p id=\"fs-id1169147853857\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{9em}{0ex}}{\\left(-16\\right)}^{\\frac{1}{4}}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite as a fourth root.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{9em}{0ex}}\\sqrt[4]{-16}\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{9em}{0ex}}\\sqrt[4]{{\\left(-2\\right)}^{4}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{9em}{0ex}}\\text{No real solution.}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5.5em}{0ex}}\\text{\u2212}{16}^{\\frac{1}{4}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{The exponent only applies to the 16.}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite as a fouth root.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5.5em}{0ex}}\\text{\u2212}\\sqrt[4]{16}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite 16 as}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{2}^{4}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5.5em}{0ex}}\\text{\u2212}\\sqrt[4]{{2}^{4}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5.5em}{0ex}}-2\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4.5em}{0ex}}{\\left(16\\right)}^{-\\frac{1}{4}}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite using the property}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4.5em}{0ex}}\\frac{1}{{\\left(16\\right)}^{\\frac{1}{4}}}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite as a fourth root.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4.5em}{0ex}}\\frac{1}{\\sqrt[4]{16}}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite 16 as}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{2}^{4}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4.5em}{0ex}}\\frac{1}{\\sqrt[4]{{2}^{4}}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4.5em}{0ex}}\\frac{1}{2}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148048763\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169141300454\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147765143\"><p id=\"fs-id1169143638318\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\left(-64\\right)}^{-\\frac{1}{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\text{\u2212}{64}^{\\frac{1}{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({\\left(64\\right)}^{-\\frac{1}{2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147855904\"><p id=\"fs-id1169147834333\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> No real solution <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(-8\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{1}{8}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169142479955\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169141042844\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147853434\"><p id=\"fs-id1169147745450\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\left(-256\\right)}^{\\frac{1}{4}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\text{\u2212}{256}^{\\frac{1}{4}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({\\left(256\\right)}^{-\\frac{1}{4}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148070839\"><p id=\"fs-id1169147839114\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> No real solution <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(-4\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{1}{4}\\)<\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169147983064\"><h3 data-type=\"title\">Simplify Expressions with \\({a}^{\\frac{m}{n}}\\)<\/h3><p id=\"fs-id1169147981946\">We can look at \\({a}^{\\frac{m}{n}}\\) in two ways. Remember the Power Property tells us to multiply the exponents and so \\({\\left({a}^{\\frac{1}{n}}\\right)}^{m}\\) and \\({\\left({a}^{m}\\right)}^{{}^{\\frac{1}{n}}}\\) both equal \\({a}^{\\frac{m}{n}}.\\) If we write these expressions in radical form, we get<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169141300734\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({a}^{\\frac{m}{n}}={\\left({a}^{\\frac{1}{n}}\\right)}^{m}={\\left(\\sqrt[n]{a}\\right)}^{m}\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}{a}^{\\frac{m}{n}}={\\left({a}^{m}\\right)}^{{}^{\\frac{1}{n}}}=\\sqrt[n]{{a}^{m}}\\)<\/div><p id=\"fs-id1169145672655\">This leads us to the following definition.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148101057\"><div data-type=\"title\">Rational Exponent \\({a}^{\\frac{m}{n}}\\)<\/div><p id=\"fs-id1169147776114\">For any positive integers <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em>,<\/p><div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169147776041\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({a}^{\\frac{m}{n}}={\\left(\\sqrt[n]{a}\\right)}^{m}\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}{a}^{\\frac{m}{n}}=\\sqrt[n]{{a}^{m}}\\)<\/div><\/div><p id=\"fs-id1169147947061\">Which form do we use to simplify an expression? We usually take the root first\u2014that way we keep the numbers in the radicand smaller, before raising it to the power indicated.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169147873518\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147708847\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147708849\"><p id=\"fs-id1169148070149\">Write with a rational exponent: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{{y}^{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left(\\sqrt[3]{2x}\\right)}^{4}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt{{\\left(\\frac{3a}{4b}\\right)}^{3}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169141297266\"><p id=\"fs-id1169141300545\">We want to use \\({a}^{\\frac{m}{n}}=\\sqrt[n]{{a}^{m}}\\) to write each radical in the form \\({a}^{\\frac{m}{n}}.\\)<\/p><p id=\"fs-id1169147810313\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1171792681472\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"The square root of the quantitu y cubed in parentheses. y raised to the power of the quantity 3 divided by 2 in parentheses.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169147909966\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_03_001_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1171790265720\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"The quantity cube root of the quantity 2 x in parentheses in parentheses to the fourth power. The quantity 2 x in parentheses to the power of the quantity 4 divided by 3 in parentheses.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169145576055\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_03_002_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><p><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div><table id=\"fs-id1171790888448\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"The square root of the quantity 3 a divided by the quantity 4 b in parenthesis in parentheses cubed. The quantity 3 a divided by the quantity 4 b in parentheses in parentheses to the power of the quantity 3 divided by 2 in parentheses.\" data-label=\"\"><tbody><tr valign=\"top\"><td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169143601786\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_03_003_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\"><\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169147739218\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145641636\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148100103\"><p id=\"fs-id1169148100106\">Write with a rational exponent: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt{{x}^{5}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left(\\sqrt[4]{3y}\\right)}^{3}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt{{\\left(\\frac{2m}{3n}\\right)}^{5}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147832448\"><p id=\"fs-id1169147832450\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({x}^{\\frac{5}{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(3y\\right)}^{\\frac{3}{4}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(\\frac{2m}{3n}\\right)}^{\\frac{5}{2}}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169147857875\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145604559\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148233934\"><p id=\"fs-id1169148233936\">Write with a rational exponent: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\sqrt[5]{{a}^{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left(\\sqrt[3]{5ab}\\right)}^{5}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\sqrt{{\\left(\\frac{7xy}{z}\\right)}^{3}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145730284\"><p id=\"fs-id1169145579305\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({a}^{\\frac{2}{5}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(5ab\\right)}^{\\frac{5}{3}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(\\frac{7xy}{z}\\right)}^{\\frac{3}{2}}\\)<\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169145982909\">Remember that \\({a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}.\\) The negative sign in the exponent does not change the sign of the expression.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169147947260\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145520580\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145520582\"><p id=\"fs-id1169145520584\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({125}^{\\frac{2}{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({16}^{-\\frac{3}{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({32}^{-\\frac{2}{5}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147855675\"><p id=\"fs-id1169142437107\">We will rewrite the expression as a radical first using the defintion, \\({a}^{\\frac{m}{n}}={\\left(\\sqrt[n]{a}\\right)}^{m}.\\) This form lets us take the root first and so we keep the numbers in the radicand smaller than if we used the other form.<\/p><p id=\"fs-id1169147848864\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{125}^{\\frac{2}{3}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{The power of the radical is the numerator of the exponent, 2.}\\hfill \\\\ \\text{The index of the radical is the denominator of the}\\hfill \\\\ \\text{exponent, 3.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{\\left(\\sqrt[3]{125}\\right)}^{2}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{\\left(5\\right)}^{2}\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}25\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span> We will rewrite each expression first using \\({a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}\\) and then change to radical form.<div data-type=\"newline\"><br><\/div> \\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{16}^{-\\frac{3}{2}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Rewrite using}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{1}{{16}^{\\frac{3}{2}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Change to radical form. The power of the radical is the}\\hfill \\\\ \\text{numerator of the exponent, 3. The index is the denominator}\\hfill \\\\ \\text{of the exponent, 2.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{1}{{\\left(\\sqrt{16}\\right)}^{3}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{1}{{4}^{3}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{1}{64}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div> <span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div> \\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{15em}{0ex}}{32}^{-\\frac{2}{5}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Rewrite using}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{15em}{0ex}}\\frac{1}{{32}^{\\frac{2}{5}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Change to radical form.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{15em}{0ex}}\\frac{1}{{\\left(\\sqrt[5]{32}\\right)}^{2}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Rewrite the radicand as a power.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{15em}{0ex}}\\frac{1}{{\\left(\\sqrt[5]{{2}^{5}}\\right)}^{2}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{15em}{0ex}}\\frac{1}{{2}^{2}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{15em}{0ex}}\\frac{1}{4}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169142658471\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169142658474\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145663613\"><p id=\"fs-id1169145663616\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({27}^{\\frac{2}{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({81}^{-\\frac{3}{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({16}^{-\\frac{3}{4}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145668358\"><p id=\"fs-id1169145668360\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 9 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\frac{1}{729}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{1}{8}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169147767194\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147767197\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147767199\"><p id=\"fs-id1169147767201\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({4}^{\\frac{3}{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({27}^{-\\frac{2}{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({625}^{-\\frac{3}{4}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145715778\"><p id=\"fs-id1169145715781\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 8 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\frac{1}{9}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{1}{125}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169145982849\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145982851\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169141042891\"><p id=\"fs-id1169141042893\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\text{\u2212}{25}^{\\frac{3}{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\text{\u2212}{25}^{-\\frac{3}{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({\\left(-25\\right)}^{\\frac{3}{2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147841052\"><p id=\"fs-id1169147742136\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{14em}{0ex}}\\text{\u2212}{25}^{\\frac{3}{2}}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite in radical form.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{14em}{0ex}}\\text{\u2212}{\\left(\\sqrt{25}\\right)}^{3}\\hfill \\\\ \\text{Simplify the radical.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{14em}{0ex}}\\text{\u2212}{\\left(5\\right)}^{3}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{14em}{0ex}}-125\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{13em}{0ex}}\\text{\u2212}{25}^{-\\frac{3}{2}}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite using}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}}.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{13em}{0ex}}\\text{\u2212}\\left(\\frac{1}{{25}^{\\frac{3}{2}}}\\right)\\hfill \\\\ \\text{Rewrite in radical form.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{13em}{0ex}}\\text{\u2212}\\left(\\frac{1}{{\\left(\\sqrt{25}\\right)}^{3}}\\right)\\hfill \\\\ \\text{Simplify the radical.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{13em}{0ex}}\\text{\u2212}\\left(\\frac{1}{{\\left(5\\right)}^{3}}\\right)\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{13em}{0ex}}-\\frac{1}{125}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{\\left(-25\\right)}^{\\frac{3}{2}}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite in radical form.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{\\left(\\sqrt{-25}\\right)}^{3}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{There is no real number whose square root}\\hfill \\\\ \\text{is}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}-25.\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\text{Not a real number.}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169147950748\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145597498\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145597500\"><p id=\"fs-id1169145597503\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({-16}^{\\frac{3}{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({-16}^{-\\frac{3}{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({\\left(-16\\right)}^{-\\frac{3}{2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147866314\"><p id=\"fs-id1169147866316\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-64\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(-\\frac{1}{64}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span> not a real number<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169145660354\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145660357\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145660359\"><p id=\"fs-id1169141299540\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({-81}^{\\frac{3}{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({-81}^{-\\frac{3}{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\({\\left(-81\\right)}^{-\\frac{3}{2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169137863213\"><p id=\"fs-id1169137863215\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-729\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(-\\frac{1}{729}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span> not a real number<\/p><\/div><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169145604529\"><h3 data-type=\"title\">Use the Properties of Exponents to Simplify Expressions with Rational Exponents<\/h3><p id=\"fs-id1169145604534\">The same properties of exponents that we have already used also apply to rational exponents. We will list the Properties of Exponenets here to have them for reference as we simplify expressions.<\/p><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169143660970\"><div data-type=\"title\">Properties of Exponents<\/div><p id=\"fs-id1169143660976\">If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> are real numbers and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are rational numbers, then<\/p><p id=\"fs-id1169147978342\">\\(\\begin{array}{cccccc}\\mathbf{\\text{Product Property}}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{a}^{m}\u00b7{a}^{n}&amp; =\\hfill &amp; {a}^{m+n}\\hfill \\\\ \\mathbf{\\text{Power Property}}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{\\left({a}^{m}\\right)}^{n}&amp; =\\hfill &amp; {a}^{m\u00b7n}\\hfill \\\\ \\mathbf{\\text{Product to a Power}}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{\\left(ab\\right)}^{m}&amp; =\\hfill &amp; {a}^{m}{b}^{m}\\hfill \\\\ \\mathbf{\\text{Quotient Property}}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}&amp; =\\hfill &amp; {a}^{m-n},\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a\\ne 0\\hfill \\\\ \\mathbf{\\text{Zero Exponent Definition}}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{a}^{0}&amp; =\\hfill &amp; 1,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a\\ne 0\\hfill \\\\ \\mathbf{\\text{Quotient to a Power Property}}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{m}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{{a}^{m}}{{b}^{m}},\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}b\\ne 0\\hfill \\\\ \\mathbf{\\text{Negative Exponent Property}}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{a}^{\\text{\u2212}n}&amp; =\\hfill &amp; \\frac{1}{{a}^{n}},\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a\\ne 0\\hfill \\end{array}\\)<\/p><\/div><p id=\"fs-id1169148101036\">We will apply these properties in the next example.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169147740829\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147740831\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147740833\"><p id=\"fs-id1169147740836\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({x}^{\\frac{1}{2}}\u00b7{x}^{\\frac{5}{6}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left({z}^{9}\\right)}^{\\frac{2}{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{{x}^{\\frac{1}{3}}}{{x}^{\\frac{5}{3}}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147770595\"><p id=\"fs-id1169147770597\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> The Product Property tells us that when we multiply the same base, we add the exponents.<\/p><p id=\"fs-id1169147770605\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}{x}^{\\frac{1}{2}}\u00b7{x}^{\\frac{5}{6}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{The bases are the same, so we add the}\\hfill \\\\ \\text{exponents.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}{x}^{\\frac{1}{2}+\\frac{5}{6}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Add the fractions.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}{x}^{\\frac{8}{6}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify the exponent.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{5em}{0ex}}{x}^{\\frac{4}{3}}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1169141338416\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> The Power Property tells us that when we raise a power to a power, we multiply the exponents.<\/p><p id=\"fs-id1169141338424\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4.5em}{0ex}}{\\left({z}^{9}\\right)}^{\\frac{2}{3}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{To raise a power to a power, we multiply}\\hfill \\\\ \\text{the exponents.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4.5em}{0ex}}{z}^{9\u00b7\\frac{2}{3}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4.5em}{0ex}}{z}^{6}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><p id=\"fs-id1169145599655\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span> The Quotient Property tells us that when we divide with the same base, we subtract the exponents.<\/p><p id=\"fs-id1169145599663\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{{x}^{\\frac{1}{3}}}{{x}^{\\frac{5}{3}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{{x}^{\\frac{1}{3}}}{{x}^{\\frac{5}{3}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{To divide with the same base, we subtract}\\hfill \\\\ \\text{the exponents.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{1}{{x}^{\\frac{5}{3}-\\frac{1}{3}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{1}{{x}^{\\frac{4}{3}}}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169147819545\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147819548\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147819551\"><p id=\"fs-id1169147745306\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({x}^{\\frac{1}{6}}\u00b7{x}^{\\frac{4}{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left({x}^{6}\\right)}^{\\frac{4}{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{{x}^{\\frac{2}{3}}}{{x}^{\\frac{5}{3}}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148086078\"><p id=\"fs-id1169148086080\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({x}^{\\frac{3}{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({x}^{8}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{x}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169147767953\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147767956\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147767958\"><p id=\"fs-id1169147767961\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({y}^{\\frac{3}{4}}\u00b7{y}^{\\frac{5}{8}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left({m}^{9}\\right)}^{\\frac{2}{9}}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{{d}^{\\frac{1}{5}}}{{d}^{\\frac{6}{5}}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145586253\"><p id=\"fs-id1169145586255\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({y}^{\\frac{11}{8}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({m}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{d}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169142278455\">Sometimes we need to use more than one property. In the next example, we will use both the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Product to a Power Property<\/span> and then the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Power Property<\/span>.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169147828309\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147828311\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147828313\"><p id=\"fs-id1169145586291\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\left(27{u}^{\\frac{1}{2}}\\right)}^{\\frac{2}{3}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left({m}^{\\frac{2}{3}}{n}^{\\frac{1}{2}}\\right)}^{\\frac{3}{2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145574142\"><p id=\"fs-id1169145574144\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{\\left(27{u}^{\\frac{1}{2}}\\right)}^{\\frac{2}{3}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{First we use the Product to a Power}\\hfill \\\\ \\text{Property.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{\\left(27\\right)}^{\\frac{2}{3}}{\\left({u}^{\\frac{1}{2}}\\right)}^{\\frac{2}{3}}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite 27 as a power of 3.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{\\left({3}^{3}\\right)}^{\\frac{2}{3}}{\\left({u}^{\\frac{1}{2}}\\right)}^{\\frac{2}{3}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{To raise a power to a power, we multiply}\\hfill \\\\ \\text{the exponents.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\left({3}^{2}\\right)\\left({u}^{\\frac{1}{3}}\\right)\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}9{u}^{\\frac{1}{3}}\\hfill \\end{array}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{\\left({m}^{\\frac{2}{3}}{n}^{\\frac{1}{2}}\\right)}^{\\frac{3}{2}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{First we use the Product to a Power}\\hfill \\\\ \\text{Property.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{\\left({m}^{\\frac{2}{3}}\\right)}^{\\frac{3}{2}}{\\left({n}^{\\frac{1}{2}}\\right)}^{\\frac{3}{2}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{To raise a power to a power, we multiply}\\hfill \\\\ \\text{the exponents.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}m{n}^{\\frac{3}{4}}\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169145586239\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145586243\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145586245\"><p id=\"fs-id1169145586247\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\left(32{x}^{\\frac{1}{3}}\\right)}^{\\frac{3}{5}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left({x}^{\\frac{3}{4}}{y}^{\\frac{1}{2}}\\right)}^{\\frac{2}{3}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147949125\"><p id=\"fs-id1169147949127\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(8{x}^{\\frac{1}{5}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({x}^{\\frac{1}{2}}{y}^{\\frac{1}{3}}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169143578271\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143578274\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143578276\"><p id=\"fs-id1169143578278\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\left(81{n}^{\\frac{2}{5}}\\right)}^{\\frac{3}{2}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left({a}^{\\frac{3}{2}}{b}^{\\frac{1}{2}}\\right)}^{\\frac{4}{3}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169142267952\"><p id=\"fs-id1169142267954\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(729{n}^{\\frac{3}{5}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({a}^{2}{b}^{\\frac{2}{3}}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169143303322\">We will use both the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Product Property<\/span> and the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Quotient Property<\/span> in the next example.<\/p><div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169143303335\" class=\"textbox textbox--examples\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147799999\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147800001\"><p id=\"fs-id1169147800003\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\frac{{x}^{\\frac{3}{4}}\u00b7{x}^{-\\frac{1}{4}}}{{x}^{-\\frac{6}{4}}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left(\\frac{16\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{x}^{\\frac{4}{3}}{y}^{-\\frac{5}{6}}}{{x}^{-\\frac{2}{3}}{y}^{\\frac{1}{6}}}\\right)}^{\\frac{1}{2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169141409059\"><p id=\"fs-id1169141409062\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div>\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{{x}^{\\frac{3}{4}}\u00b7{x}^{-\\frac{1}{4}}}{{x}^{-\\frac{6}{4}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the Product Property in the numerator,}\\hfill \\\\ \\text{add the exponents.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{{x}^{\\frac{2}{4}}}{{x}^{-\\frac{6}{4}}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the Quotient Property, subtract the}\\hfill \\\\ \\text{exponents.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{x}^{\\frac{8}{4}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{x}^{2}\\hfill \\end{array}\\)<p id=\"fs-id1169145597475\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> Follow the order of operations to simplify inside the parenthese first.<\/p><p id=\"fs-id1169145597482\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{\\left(\\frac{16\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{x}^{\\frac{4}{3}}{y}^{-\\frac{5}{6}}}{{x}^{-\\frac{2}{3}}{y}^{\\frac{1}{6}}}\\right)}^{\\frac{1}{2}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the Quotient Property, subtract the}\\hfill \\\\ \\text{exponents.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{\\left(\\frac{16{x}^{\\frac{6}{3}}}{{y}^{\\frac{6}{6}}}\\right)}^{\\frac{1}{2}}\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}{\\left(\\frac{16{x}^{2}}{y}\\right)}^{\\frac{1}{2}}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the Product to a Power Property,}\\hfill \\\\ \\text{multiply the exponents.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{4x}{{y}^{\\frac{1}{2}}}\\hfill \\end{array}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169143533506\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145670495\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145670498\"><p id=\"fs-id1169145670500\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\frac{{m}^{\\frac{2}{3}}\u00b7{m}^{-\\frac{1}{3}}}{{m}^{-\\frac{5}{3}}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left(\\frac{25{m}^{\\frac{1}{6}}{n}^{\\frac{11}{6}}}{{m}^{\\frac{2}{3}}{n}^{-\\frac{1}{6}}}\\right)}^{\\frac{1}{2}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147845472\"><p id=\"fs-id1169147845474\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({m}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{5n}{{m}^{\\frac{1}{4}}}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169143760921\" class=\"try\"><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143760925\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143760928\"><p id=\"fs-id1169143760930\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\frac{{u}^{\\frac{4}{5}}\u00b7{u}^{-\\frac{2}{5}}}{{u}^{-\\frac{13}{5}}}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\left(\\frac{27{x}^{\\frac{4}{5}}{y}^{\\frac{1}{6}}}{{x}^{\\frac{1}{5}}{y}^{-\\frac{5}{6}}}\\right)}^{\\frac{1}{3}}.\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145596907\"><p id=\"fs-id1169145596909\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({u}^{3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(3{x}^{\\frac{1}{5}}{y}^{\\frac{1}{3}}\\)<\/p><\/div><\/div><\/div><div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169141299469\" class=\"media-2\"><p id=\"fs-id1169141299474\">Access these online resources for additional instruction and practice with simplifying rational exponents.<\/p><ul id=\"fs-id1169141299478\" data-display=\"block\"><li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37RatExpont1\">Review-Rational Exponents<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37RatExpont2\">Using Laws of Exponents on Radicals: Properties of Rational Exponents<\/a><\/li><\/ul><\/div><\/div><div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169141299498\"><h3 data-type=\"title\">Key Concepts<\/h3><ul id=\"fs-id1169145535736\" data-bullet-style=\"bullet\"><li><strong data-effect=\"bold\">Rational Exponent \\({a}^{\\frac{1}{n}}\\)<\/strong><ul id=\"fs-id1169145535757\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>If \\(\\sqrt[n]{a}\\) is a real number and \\(n\\ge 2,\\) then \\({a}^{\\frac{1}{n}}=\\sqrt[n]{a}.\\)<\/li><\/ul><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Rational Exponent \\({a}^{\\frac{m}{n}}\\)<\/strong><ul id=\"fs-id1169142278492\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>For any positive integers <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em>,<div data-type=\"newline\"><br><\/div> \\({a}^{\\frac{m}{n}}={\\left(\\sqrt[n]{a}\\right)}^{m}\\) and \\({a}^{\\frac{m}{n}}=\\sqrt[n]{{a}^{m}}\\)<\/li><\/ul><\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Properties of Exponents<\/strong><ul id=\"fs-id1169143311135\" data-bullet-style=\"bullet\"><li>If <em data-effect=\"italics\">a, b<\/em> are real numbers and <em data-effect=\"italics\">m, n<\/em> are rational numbers, then <ul id=\"fs-id1169143311154\" data-bullet-style=\"bullet\"><li><strong data-effect=\"bold\">Product Property<\/strong>\\({a}^{m}\u00b7{a}^{n}={a}^{m+n}\\)<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Power Property<\/strong>\\({\\left({a}^{m}\\right)}^{n}={a}^{m\u00b7n}\\)<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Product to a Power<\/strong>\\({\\left(ab\\right)}^{m}={a}^{m}{b}^{m}\\)<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Quotient Property<\/strong>\\(\\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}={a}^{m-n},\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a\\ne 0\\)<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Zero Exponent Definition<\/strong>\\({a}^{0}=1,\\)\\(a\\ne 0\\)<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Quotient to a Power Property<\/strong>\\({\\left(\\frac{a}{b}\\right)}^{m}=\\frac{{a}^{m}}{{b}^{m}},\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}b\\ne 0\\)<\/li><li><strong data-effect=\"bold\">Negative Exponent Property<\/strong>\\({a}^{\\text{\u2212}n}=\\frac{1}{{a}^{n}},a\\ne 0\\)<\/li><\/ul><\/li><\/ul><\/li><\/ul><\/div><div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169143576413\"><div class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1169143576417\"><h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4><p id=\"fs-id1169143576424\"><strong data-effect=\"bold\">Simplify expressions with \\({a}^{\\frac{1}{n}}\\)<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1169143576442\">In the following exercises, write as a radical expression.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143576446\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143576448\"><p id=\"fs-id1169143576450\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({x}^{\\frac{1}{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({y}^{\\frac{1}{3}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({z}^{\\frac{1}{4}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145542095\"><p id=\"fs-id1169145542097\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{x}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[3]{y}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{z}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143305832\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143305834\"><p id=\"fs-id1169143305837\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({r}^{\\frac{1}{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({s}^{\\frac{1}{3}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({t}^{\\frac{1}{4}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147864239\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147864241\"><p id=\"fs-id1169147864243\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({u}^{\\frac{1}{5}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({v}^{\\frac{1}{9}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({w}^{\\frac{1}{20}}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147864300\"><p id=\"fs-id1169147864302\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[5]{u}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[9]{v}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[20]{w}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169142246805\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169142246807\"><p id=\"fs-id1169142246809\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({g}^{\\frac{1}{7}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({h}^{\\frac{1}{5}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({j}^{\\frac{1}{25}}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169145492537\">In the following exercises, write with a rational exponent.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145492540\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145492542\"><p id=\"fs-id1169145492544\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[7]{x}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[9]{y}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[5]{f}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145492587\"><p id=\"fs-id1169145492590\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{1}{{x}^{7}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{1}{{y}^{9}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({f}^{\\frac{1}{5}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148250580\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148250582\"><p id=\"fs-id1169148250585\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[8]{r}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[10]{s}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{t}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147862174\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147862176\"><p id=\"fs-id1169147862179\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{7c}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[7]{12d}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(2\\sqrt[4]{6b}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169143760020\"><p id=\"fs-id1169143760022\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(7c\\right)}^{\\frac{1}{4}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(12d\\right)}^{\\frac{1}{7}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(2{\\left(6b\\right)}^{\\frac{1}{4}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143760110\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143760112\"><p id=\"fs-id1169145785735\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[4]{5x}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[8]{9y}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(7\\sqrt[5]{3z}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143516656\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143516658\"><p id=\"fs-id1169143516660\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{21p}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt[4]{8q}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(4\\sqrt[6]{36r}\\)<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169143516713\"><p id=\"fs-id1169143516716\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(21p\\right)}^{\\frac{1}{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(8q\\right)}^{\\frac{1}{4}}\\)<\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(4{\\left(36r\\right)}^{\\frac{1}{6}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169141172333\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169141172336\"><p id=\"fs-id1169141172338\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{25a}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\sqrt{3b}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[8]{40c}\\)<\/p><\/div><\/div><p id=\"fs-id1169145720583\">In the following exercises, simplify.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145720586\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145720589\"><p id=\"fs-id1169145720591\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({81}^{\\frac{1}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({125}^{\\frac{1}{3}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({64}^{\\frac{1}{2}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145720650\"><p id=\"fs-id1169145720652\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 9 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 5 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 8<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145720672\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145720674\"><p id=\"fs-id1169145720676\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({625}^{\\frac{1}{4}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({243}^{\\frac{1}{5}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({32}^{\\frac{1}{5}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147793698\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147793700\"><p id=\"fs-id1169147793702\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({16}^{\\frac{1}{4}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({16}^{\\frac{1}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({625}^{\\frac{1}{4}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147776646\"><p id=\"fs-id1169147776648\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 2 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 4 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 5<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147776668\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147776670\"><p id=\"fs-id1169147776672\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({64}^{\\frac{1}{3}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({32}^{\\frac{1}{5}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({81}^{\\frac{1}{4}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143582271\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143582274\"><p id=\"fs-id1169143582276\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(-216\\right)}^{\\frac{1}{3}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}{216}^{\\frac{1}{3}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(216\\right)}^{-\\frac{1}{3}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169143582352\"><p id=\"fs-id1169143582354\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-6\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(-6\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{6}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145643459\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145643461\"><p id=\"fs-id1169145643463\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(-1000\\right)}^{\\frac{1}{3}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}{1000}^{\\frac{1}{3}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(1000\\right)}^{-\\frac{1}{3}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143662158\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143662160\"><p id=\"fs-id1169143662163\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(-81\\right)}^{\\frac{1}{4}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}{81}^{\\frac{1}{4}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(81\\right)}^{-\\frac{1}{4}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145599524\"><p id=\"fs-id1169145599526\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> not real <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(-3\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{1}{3}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145599558\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145599561\"><p id=\"fs-id1169145599563\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(-49\\right)}^{\\frac{1}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}{49}^{\\frac{1}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(49\\right)}^{-\\frac{1}{2}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169137793829\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169137793831\"><p id=\"fs-id1169137793834\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(-36\\right)}^{\\frac{1}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}{36}^{\\frac{1}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(36\\right)}^{-\\frac{1}{2}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145716904\"><p id=\"fs-id1169145716906\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> not real <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(-6\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{1}{6}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145716939\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145716941\"><p id=\"fs-id1169145716943\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(-16\\right)}^{\\frac{1}{4}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}{16}^{\\frac{1}{4}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({16}^{-\\frac{1}{4}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145534788\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145534790\"><p id=\"fs-id1169145534793\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(-100\\right)}^{\\frac{1}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}{100}^{\\frac{1}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(100\\right)}^{-\\frac{1}{2}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145534871\"><p id=\"fs-id1169145534873\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> not real <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(-10\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\frac{1}{10}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143487052\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143487055\"><p id=\"fs-id1169143487057\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(-32\\right)}^{\\frac{1}{5}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(243\\right)}^{-\\frac{1}{5}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\text{\u2212}{125}^{\\frac{1}{3}}\\)<\/div><\/div><p id=\"fs-id1169147786931\"><strong data-effect=\"bold\">Simplify Expressions with \\({a}^{\\frac{m}{n}}\\)<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1169147786949\">In the following exercises, write with a rational exponent.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147786952\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147786954\"><p id=\"fs-id1169147786956\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{{m}^{5}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(\\sqrt[3]{3y}\\right)}^{7}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[5]{{\\left(\\frac{4x}{5y}\\right)}^{3}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147787037\"><p id=\"fs-id1169147787039\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({m}^{\\frac{5}{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(3y\\right)}^{\\frac{7}{3}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(\\frac{4x}{5y}\\right)}^{\\frac{3}{5}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145597891\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145597893\"><p id=\"fs-id1169145597895\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[4]{{r}^{7}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(\\sqrt[5]{2pq}\\right)}^{3}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{{\\left(\\frac{12m}{7n}\\right)}^{3}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143759999\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143760001\"><p id=\"fs-id1169143760003\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[5]{{u}^{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(\\sqrt[3]{6x}\\right)}^{5}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{{\\left(\\frac{18a}{5b}\\right)}^{7}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145744542\"><p id=\"fs-id1169145744544\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({u}^{\\frac{2}{5}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(6x\\right)}^{\\frac{5}{3}}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(\\frac{18a}{5b}\\right)}^{\\frac{7}{4}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169137723475\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169137723478\"><p id=\"fs-id1169137723480\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt[3]{a}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(\\sqrt[4]{21v}\\right)}^{3}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\sqrt[4]{{\\left(\\frac{2xy}{5z}\\right)}^{2}}\\)<\/div><\/div><p id=\"fs-id1169143533412\">In the following exercises, simplify.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143533415\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143533417\"><p id=\"fs-id1169143533419\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({64}^{\\frac{5}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({81}^{\\frac{-3}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(-27\\right)}^{\\frac{2}{3}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169143458556\"><p id=\"fs-id1169143458558\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 32,768 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\frac{1}{729}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 9<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143458588\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143458590\"><p id=\"fs-id1169143458592\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({25}^{\\frac{3}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({9}^{-\\frac{3}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(-64\\right)}^{\\frac{2}{3}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145599988\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145599990\"><p id=\"fs-id1169145599992\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({32}^{\\frac{2}{5}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({27}^{-\\frac{2}{3}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(-25\\right)}^{\\frac{1}{2}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145600062\"><p id=\"fs-id1169145600064\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 4 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\frac{1}{9}\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> not real<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145600092\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145600094\"><p id=\"fs-id1169145600096\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({100}^{\\frac{3}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({49}^{-\\frac{5}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(-100\\right)}^{\\frac{3}{2}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169141322490\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169141322492\"><p id=\"fs-id1169141322495\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\text{\u2212}{9}^{\\frac{3}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}{9}^{-\\frac{3}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(-9\\right)}^{\\frac{3}{2}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145498859\"><p id=\"fs-id1169145498861\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(-27\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(-\\frac{1}{27}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span> not real<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145498898\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145498900\"><p id=\"fs-id1169145498902\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\text{\u2212}{64}^{\\frac{3}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{\u2212}{64}^{-\\frac{3}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\({\\left(-64\\right)}^{\\frac{3}{2}}\\)<\/div><\/div><p id=\"fs-id1169145600168\"><strong data-effect=\"bold\">Use the Laws of Exponents to Simplify Expressions with Rational Exponents<\/strong><\/p><p id=\"fs-id1169145600174\">In the following exercises, simplify. Assume all variables are positive.<\/p><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145600178\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145600180\"><p id=\"fs-id1169145600182\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({c}^{\\frac{1}{4}}\u00b7{c}^{\\frac{5}{8}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left({p}^{12}\\right)}^{\\frac{3}{4}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{{r}^{\\frac{4}{5}}}{{r}^{\\frac{9}{5}}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148198197\"><p id=\"fs-id1169148198199\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({c}^{\\frac{7}{8}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({p}^{9}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{r}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169148198247\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148198250\"><p id=\"fs-id1169148198252\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({6}^{\\frac{5}{2}}\u00b7{6}^{\\frac{1}{2}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left({b}^{15}\\right)}^{\\frac{3}{5}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{{w}^{\\frac{2}{7}}}{{w}^{\\frac{9}{7}}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145744831\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145744833\"><p id=\"fs-id1169145744835\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({y}^{\\frac{1}{2}}\u00b7{y}^{\\frac{3}{4}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left({x}^{12}\\right)}^{\\frac{2}{3}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{{m}^{\\frac{5}{8}}}{{m}^{\\frac{13}{8}}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147731075\"><p id=\"fs-id1169147731077\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({y}^{\\frac{5}{4}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({x}^{8}\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{1}{m}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147731126\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147731128\"><p id=\"fs-id1169147731130\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({q}^{\\frac{2}{3}}\u00b7{q}^{\\frac{5}{6}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left({h}^{6}\\right)}^{\\frac{4}{3}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\frac{{n}^{\\frac{3}{5}}}{{n}^{\\frac{8}{5}}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143426492\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143426494\"><p id=\"fs-id1169143426496\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(27{q}^{\\frac{3}{2}}\\right)}^{\\frac{4}{3}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left({a}^{\\frac{1}{3}}{b}^{\\frac{2}{3}}\\right)}^{\\frac{3}{2}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145499642\"><p id=\"fs-id1169145499644\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(81{q}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({a}^{\\frac{1}{2}}b\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145499683\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145499685\"><p id=\"fs-id1169145499687\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(64{s}^{\\frac{3}{7}}\\right)}^{\\frac{1}{6}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left({m}^{\\frac{4}{3}}{n}^{\\frac{1}{2}}\\right)}^{\\frac{3}{4}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145924578\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145924581\"><p id=\"fs-id1169145924583\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(16\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{u}^{\\frac{1}{3}}\\right)}^{\\frac{3}{4}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{p}^{\\frac{1}{3}}{q}^{\\frac{1}{2}}\\right)}^{\\frac{3}{2}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169143746365\"><p id=\"fs-id1169143746367\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(8{u}^{\\frac{1}{4}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(8{p}^{\\frac{1}{2}}{q}^{\\frac{3}{4}}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143746420\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143746422\"><p id=\"fs-id1169143746424\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\left(625\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{n}^{\\frac{8}{3}}\\right)}^{\\frac{3}{4}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(9\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{x}^{\\frac{2}{5}}{y}^{\\frac{3}{5}}\\right)}^{\\frac{5}{2}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143658325\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143658327\"><p id=\"fs-id1169143658329\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{{r}^{\\frac{5}{2}}\u00b7{r}^{-\\frac{1}{2}}}{{r}^{-\\frac{3}{2}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(\\frac{36\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{s}^{\\frac{1}{5}}{t}^{-\\frac{3}{2}}}{{s}^{-\\frac{9}{5}}{t}^{\\frac{1}{2}}}\\right)}^{\\frac{1}{2}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145535903\"><p id=\"fs-id1169145535905\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({r}^{\\frac{7}{2}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{6s}{t}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145535944\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145535946\"><p id=\"fs-id1169145535948\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{{a}^{\\frac{3}{4}}\u00b7{a}^{-\\frac{1}{4}}}{{a}^{-\\frac{10}{4}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(\\frac{27\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{b}^{\\frac{2}{3}}{c}^{-\\frac{5}{2}}}{{b}^{-\\frac{7}{3}}{c}^{\\frac{1}{2}}}\\right)}^{\\frac{1}{3}}\\)<\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169141297901\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169141297903\"><p id=\"fs-id1169141297905\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{{c}^{\\frac{5}{3}}\u00b7{c}^{-\\frac{1}{3}}}{{c}^{-\\frac{2}{3}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(\\frac{8\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{x}^{\\frac{5}{3}}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{y}^{-\\frac{1}{2}}}{27\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{x}^{-\\frac{4}{3}}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{y}^{\\frac{5}{2}}}\\right)}^{\\frac{1}{3}}\\)<\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145579090\"><p id=\"fs-id1169145579092\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({c}^{2}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\frac{2x}{3y}\\)<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145579129\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145579131\"><p id=\"fs-id1169145579133\"><\/p><div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\frac{{m}^{\\frac{7}{4}}\u00b7{m}^{-\\frac{5}{4}}}{{m}^{-\\frac{2}{4}}}\\)<div data-type=\"newline\"><br><\/div><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\left(\\frac{16\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{m}^{\\frac{1}{5}}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{n}^{\\frac{3}{2}}}{81\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{m}^{\\frac{9}{5}}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{n}^{-\\frac{1}{2}}}\\right)}^{\\frac{1}{4}}\\)<\/div><\/div><\/div><div class=\"writing\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1169137750503\"><h4 data-type=\"title\">Writing Exercises<\/h4><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169137750510\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169137750512\"><p id=\"fs-id1169137750514\">Show two different algebraic methods to simplify \\({4}^{\\frac{3}{2}}.\\) Explain all your steps.<\/p><\/div><div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169141528205\"><p id=\"fs-id1169141528207\">Answers will vary.<\/p><\/div><\/div><div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169141528213\"><div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169141528215\"><p id=\"fs-id1169141528217\">Explain why the expression \\({\\left(-16\\right)}^{\\frac{3}{2}}\\) cannot be evaluated.<\/p><\/div><\/div><\/div><div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1169141528252\"><h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4><p id=\"fs-id1169141528258\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169141528272\" data-alt=\"This table has 4 rows and 4 columns. The first row is a header row and it labels each column. The first column header is \u201cI can\u2026\u201d, the second is \u201cConfidently\u201d, the third is \u201cWith some help\u201d, and the fourth is \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. Under the first column are the phrases \u201csimplify expressions with a to the power of 1 divided by n.\u201d, \u201csimplify expression with a to the power of m divided by n\u201d, and \u201cuse the laws of exponents to simplify expression with rational exponents\u201d. The other columns are left blank so that the learner may indicate their mastery level for each topic.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_03_201_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This table has 4 rows and 4 columns. The first row is a header row and it labels each column. The first column header is \u201cI can\u2026\u201d, the second is \u201cConfidently\u201d, the third is \u201cWith some help\u201d, and the fourth is \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. Under the first column are the phrases \u201csimplify expressions with a to the power of 1 divided by n.\u201d, \u201csimplify expression with a to the power of m divided by n\u201d, and \u201cuse the laws of exponents to simplify expression with rational exponents\u201d. The other columns are left blank so that the learner may indicate their mastery level for each topic.\"><\/span><p id=\"fs-id1169141528282\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> What does this checklist tell you about your mastery of this section? What steps will you take to improve?<\/p><\/div><\/div>\n","rendered":"<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\">\n<h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>\n<p>By the end of this section, you will be able to: <\/p>\n<ul>\n<li>Simplify expressions with <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87703e837a52daa667553543cc1a4596_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"19\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/li>\n<li>Simplify expressions with <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f9c875f936d4feeb20b0213b0b02e7d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#109;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/li>\n<li>Use the properties of exponents to simplify expressions with rational exponents<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169145497099\" class=\"be-prepared\">\n<p id=\"fs-id1169148197682\">Before you get started, take this readiness quiz.<\/p>\n<ol id=\"fs-id1169147758938\" type=\"1\">\n<li>Add: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-79ed22e953121ef9f17c25253bc3cfe1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&#125;&#123;&#49;&#53;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#49;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/425620d9-51dd-45e5-8a21-953998a4a77f#fs-id1167836518722\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b811cb7679f4221abba8345eb2e9cbda_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/3fa6a6c5-9a36-4dee-aea1-0166229f52fb#fs-id1167835304261\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4e6189403ee9a33af207ffcf3c37597_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#53;&#125;&#94;&#123;&#45;&#51;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"31\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/3fa6a6c5-9a36-4dee-aea1-0166229f52fb#fs-id1167834095326\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169143577659\">\n<h3 data-type=\"title\">Simplify Expressions with <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87703e837a52daa667553543cc1a4596_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"19\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/h3>\n<p id=\"fs-id1169147863161\">Rational exponents are another way of writing expressions with radicals. When we use rational exponents, we can apply the properties of exponents to simplify expressions.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169147747026\">The <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Power Property for Exponents<\/span> says that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04b0b18650f1bde86de61d78ce3e60cc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&middot;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> when <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are whole numbers. Let\u2019s assume we are now not limited to whole numbers.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169147851499\">Suppose we want to find a number <em data-effect=\"italics\">p<\/em> such that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f95d626998322373ac1d962223d6e7c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#56;&#125;&#94;&#123;&#112;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#61;&#56;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> We will use the Power Property of Exponents to find the value of <em data-effect=\"italics\">p<\/em>.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169147805824\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d13a822e29774520bc4974fd899292b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#56;&#125;&#94;&#123;&#112;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#56;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#77;&#117;&#108;&#116;&#105;&#112;&#108;&#121;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#101;&#120;&#112;&#111;&#110;&#101;&#110;&#116;&#115;&#32;&#111;&#110;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#108;&#101;&#102;&#116;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#56;&#125;&#94;&#123;&#51;&#112;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#56;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#87;&#114;&#105;&#116;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#101;&#120;&#112;&#111;&#110;&#101;&#110;&#116;&#32;&#49;&#32;&#111;&#110;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#56;&#125;&#94;&#123;&#51;&#112;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#56;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#110;&#99;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#98;&#97;&#115;&#101;&#115;&#32;&#97;&#114;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#115;&#97;&#109;&#101;&#44;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#101;&#120;&#112;&#111;&#110;&#101;&#110;&#116;&#115;&#32;&#109;&#117;&#115;&#116;&#32;&#98;&#101;&#32;&#101;&#113;&#117;&#97;&#108;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#51;&#112;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#111;&#108;&#118;&#101;&#32;&#102;&#111;&#114;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#112;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#112;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"112\" width=\"641\" style=\"vertical-align: -51px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1169143579540\">So <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2fff79078fdbff62d7086ae8fc583304_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#56;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#61;&#56;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/> But we know also <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-625792c4caa7b45ab530e272a07f9278_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#56;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#61;&#56;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> Then it must be that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-603b4cdb312f0386f16b17bb53a7a9d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#56;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#125;&#61;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#56;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1169145578848\">This same logic can be used for any positive integer exponent <em data-effect=\"italics\">n<\/em> to show that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0f05ebbed67aa5e0fb1c892cd420dbb9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169145737967\">\n<div data-type=\"title\">Rational Exponent <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87703e837a52daa667553543cc1a4596_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"19\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1169147845391\">If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c6b7326bec5fc086e8335bb7e382f30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is a real number and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6621f68f0bec3dd9a4514cd18c43813_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#92;&#103;&#101;&#32;&#50;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> then<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169143575370\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a0d0936948f3caa34ee19c68c283e35_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169148106329\">The denominator of the rational exponent is the index of the radical.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169147986577\">There will be times when working with expressions will be easier if you use rational exponents and times when it will be easier if you use radicals. In the first few examples, you\u2019ll practice converting expressions between these two notations.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169148251198\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145971142\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145573011\">\n<p id=\"fs-id1169147730800\">Write as a radical expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cca8f89d994e2b1a45f0775fddb8995_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d57c0690225e501c898b1dea1f4770ad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-447892e489f9e2b1efd30cf9dbf1d2f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"24\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147741398\">\n<p id=\"fs-id1169145658803\">We want to write each expression in the form <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8926ea991916fb34abf938092c039c24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"27\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1169145495607\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-235e2975fc25131facea3607a42a2d8e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#104;&#101;&#32;&#100;&#101;&#110;&#111;&#109;&#105;&#110;&#97;&#116;&#111;&#114;&#32;&#111;&#102;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#114;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#97;&#108;&#32;&#101;&#120;&#112;&#111;&#110;&#101;&#110;&#116;&#32;&#105;&#115;&#32;&#50;&#44;&#32;&#115;&#111;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#32;&#105;&#110;&#100;&#101;&#120;&#32;&#111;&#102;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#114;&#97;&#100;&#105;&#99;&#97;&#108;&#32;&#105;&#115;&#32;&#50;&#46;&#32;&#87;&#101;&#32;&#100;&#111;&#32;&#110;&#111;&#116;&#32;&#115;&#104;&#111;&#119;&#32;&#116;&#104;&#101;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#110;&#100;&#101;&#120;&#32;&#119;&#104;&#101;&#110;&#32;&#105;&#116;&#32;&#105;&#115;&#32;&#50;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#120;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"558\" style=\"vertical-align: -36px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d8d272881eef66861251956a241b3c8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"64\" width=\"558\" style=\"vertical-align: -25px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14f4579437eee56684179063e006ab12_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"64\" width=\"558\" style=\"vertical-align: -25px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148096682\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147878205\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169141171474\">\n<p id=\"fs-id1169148226150\">Write as a radical expression: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3afc4ff45b4f4d5186ef669e7d1dacc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66f61ffb4fff531f6f40d52ceac0110e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#116;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07d3eb96b3dc91023488f7944dc51f3c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#109;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"30\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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It is important to use parentheses around the entire expression in the radicand since the entire expression is raised to the rational power.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169145489074\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145506049\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143575456\">\n<p id=\"fs-id1169145696717\">Write with a rational exponent: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d044b9949f6ed50d9f0ad76b67454a4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#53;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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message:\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#35;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#32;&#105;&#110;&#32;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#109;&#101;&#110;&#116;&#32;&#112;&#114;&#101;&#97;&#109;&#98;&#108;&#101;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#125;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#36;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#51;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;\r\n&#69;&#120;&#116;&#114;&#97;&#32;&#125;&#44;&#32;&#111;&#114;&#32;&#102;&#111;&#114;&#103;&#111;&#116;&#116;&#101;&#110;&#32;&#36;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#51;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#53;&#122;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#125;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#40;&#53;&#122;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\r\n&#69;&#120;&#116;&#114;&#97;&#32;&#125;&#44;&#32;&#111;&#114;&#32;&#102;&#111;&#114;&#103;&#111;&#116;&#116;&#101;&#110;&#32;&#36;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#40;&#53;&#122;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#125;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#40;&#53;&#122;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\r\n&#69;&#120;&#116;&#114;&#97;&#32;&#125;&#44;&#32;&#111;&#114;&#32;&#102;&#111;&#114;&#103;&#111;&#116;&#116;&#101;&#110;&#32;&#36;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#40;&#53;&#122;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#125;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#40;&#53;&#122;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\r\n&#69;&#120;&#116;&#114;&#97;&#32;&#125;&#44;&#32;&#111;&#114;&#32;&#102;&#111;&#114;&#103;&#111;&#116;&#116;&#101;&#110;&#32;&#36;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#40;&#53;&#122;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\r\n\n<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169147758035\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147743120\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147859287\">\n<p id=\"fs-id1169147796881\">Write with a rational exponent: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c19704be76795f55e3e6ca0097bb5a4b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#49;&#48;&#109;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"48\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-57fac1d46c8609bf08dae0c8ba341b3f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169147853533\">In the next example, you may find it easier to simplify the expressions if you rewrite them as radicals first.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169147727373\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147837574\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147867764\">\n<p id=\"fs-id1169147840513\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7f32a096354b8cb4ba014ae38b496a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#50;&#53;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2586131f3fff9c2a5694a8050acff390_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#54;&#52;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b49c57447174a0ec37b5c8cdee223089_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#50;&#53;&#54;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"41\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147855754\">\n<p id=\"fs-id1169147732159\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-20e067b522efea2e2138748787008903_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"66\" width=\"472\" style=\"vertical-align: -27px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bc7edca1d8a5038e991d79df592e2460_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"90\" width=\"472\" style=\"vertical-align: -39px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-618a9f8b9541fe2edda2a728acee5f1e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"90\" width=\"474\" style=\"vertical-align: -39px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169147746776\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145507732\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148234805\">\n<p id=\"fs-id1169148069249\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-caa635bd848e3c8898a6ca9550503fdd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#51;&#54;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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class=\"token\">\u24d0<\/span> 6 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 2 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 2<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169145520540\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143580466\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147700685\">\n<p id=\"fs-id1169147709613\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f069d6ba9aefe0715d16914cbc37a9c1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#49;&#48;&#48;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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class=\"token\">\u24d0<\/span> 10 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 3 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 3<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169148125067\">Be careful of the placement of the negative signs in the next example. We will need to use the property <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a95cdadc5fa1d5ca4a4b89625805083_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> in one case.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169145550892\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147967540\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147848662\">\n<p id=\"fs-id1169147808442\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"131\" width=\"458\" style=\"vertical-align: -61px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148048763\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169141300454\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147765143\">\n<p id=\"fs-id1169143638318\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9180d0c72122d2ee14e04fc175062587_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#54;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7591ae2ea328abe5b565d67a6f3dbade_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#123;&#54;&#52;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-679aa3e5b7aecf6274079099f871ccd0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#54;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147855904\">\n<p id=\"fs-id1169147834333\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> No real solution <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca32393b1b5af7c55a95d89cf9d610f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#56;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9de931d332a83dd3da0c1ba21347996c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"7\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169142479955\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169141042844\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147853434\">\n<p id=\"fs-id1169147745450\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0672c5c5705a56bc83c9e3cabe01db40_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#53;&#54;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c1933a01d80fb02652643b72cd2eb1e8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#123;&#50;&#53;&#54;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"35\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-29fbd01d09c723a23d4340460e19e5fb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#53;&#54;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169148070839\">\n<p id=\"fs-id1169147839114\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> No real solution <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00b9cce9021441b203ec0271d72e6ba2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83dc4a903812856a369855508d0b2637_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"7\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169147983064\">\n<h3 data-type=\"title\">Simplify Expressions with <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f9c875f936d4feeb20b0213b0b02e7d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#109;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/h3>\n<p id=\"fs-id1169147981946\">We can look at <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f9c875f936d4feeb20b0213b0b02e7d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#109;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> in two ways. Remember the Power Property tells us to multiply the exponents and so <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4fabd6f7b90653a595ebb63628ccb7f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-826aafe0759d6ac7b7d20856c4b0494c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#123;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> both equal <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94cf1ba81be89c2e720331f08c1b0d9f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#109;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"29\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> If we write these expressions in radical form, we get<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169141300734\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-896383e6fc49ed9a0a3adb7874eba039_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#109;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#61;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#109;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#123;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#125;&#61;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"407\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1169145672655\">This leads us to the following definition.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169148101057\">\n<div data-type=\"title\">Rational Exponent <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f9c875f936d4feeb20b0213b0b02e7d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#109;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1169147776114\">For any positive integers <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em>,<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1169147776041\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-23151bc0f596b830548053131acf707b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#109;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#109;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"254\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169147947061\">Which form do we use to simplify an expression? We usually take the root first\u2014that way we keep the numbers in the radicand smaller, before raising it to the power indicated.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169147873518\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147708847\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147708849\">\n<p id=\"fs-id1169148070149\">Write with a rational exponent: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7a48849da569a6fd15fba6f24983623a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-915902c035e3959ad49ec33236e370c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#50;&#120;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-85dec95181688a6af92abc4bda1e5c96_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#97;&#125;&#123;&#52;&#98;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169141297266\">\n<p id=\"fs-id1169141300545\">We want to use <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92a59fa5e344ddb471907ec777535f53_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#109;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> to write each radical in the form <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94cf1ba81be89c2e720331f08c1b0d9f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#109;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"29\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1169147810313\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1171792681472\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"The square root of the quantitu y cubed in parentheses. y raised to the power of the quantity 3 divided by 2 in parentheses.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169147909966\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_03_001_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1171790265720\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"The quantity cube root of the quantity 2 x in parentheses in parentheses to the fourth power. The quantity 2 x in parentheses to the power of the quantity 4 divided by 3 in parentheses.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169145576055\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_03_002_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<table id=\"fs-id1171790888448\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"The square root of the quantity 3 a divided by the quantity 4 b in parenthesis in parentheses cubed. The quantity 3 a divided by the quantity 4 b in parentheses in parentheses to the power of the quantity 3 divided by 2 in parentheses.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169143601786\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_03_003_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169147739218\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145641636\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148100103\">\n<p id=\"fs-id1169148100106\">Write with a rational exponent: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb9b33f52ab641077e61b7f2d6223743_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b1fc5685f65d97d71b14b73d549f319_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#51;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"55\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1eb94f7a54ca3ad1a91c3e9d7632c02_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#109;&#125;&#123;&#51;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -10px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147832448\">\n<p id=\"fs-id1169147832450\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff9074d39ae4ea090bd0c01d9e41efd2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad0c532f12adcade428b47a19141d2d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-962753c21442860e90ed86337949b58c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#109;&#125;&#123;&#51;&#110;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169147857875\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145604559\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148233934\">\n<p id=\"fs-id1169148233936\">Write with a rational exponent: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-60e37ef8c04ba952e99b64e79527935e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#53;&#93;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-450c934fe099f6f96f7ff322b5d7994e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#53;&#97;&#98;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-22013011c3c24990463e7c76e545c9ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&#120;&#121;&#125;&#123;&#122;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -15px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145730284\">\n<p id=\"fs-id1169145579305\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-894bb67127e4a51c8ebefbf28ab05538_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#53;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbf14b86f7c225700035066239f01fe9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#53;&#97;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc937432188b01cfcb944747d25dfb63_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&#120;&#121;&#125;&#123;&#122;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169145982909\">Remember that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3d7523c03608a8ff2d197de86751c0f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> The negative sign in the exponent does not change the sign of the expression.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169147947260\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145520580\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145520582\">\n<p id=\"fs-id1169145520584\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1875c9d581cb3995cfad8ddc8322ab23_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#49;&#50;&#53;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f97179528fdc317f2f376cc829da418_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#49;&#54;&#125;&#94;&#123;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-683a31b4055b0b49a0f6ecdba2184228_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#51;&#50;&#125;&#94;&#123;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#53;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147855675\">\n<p id=\"fs-id1169142437107\">We will rewrite the expression as a radical first using the defintion, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5608fa8a38aa81afe8bd1c1f6bb07245_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#109;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> This form lets us take the root first and so we keep the numbers in the radicand smaller than if we used the other form.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169147848864\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e2d999c4237b700120f8208400f3ac0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#50;&#53;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#104;&#101;&#32;&#112;&#111;&#119;&#101;&#114;&#32;&#111;&#102;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#114;&#97;&#100;&#105;&#99;&#97;&#108;&#32;&#105;&#115;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#110;&#117;&#109;&#101;&#114;&#97;&#116;&#111;&#114;&#32;&#111;&#102;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#101;&#120;&#112;&#111;&#110;&#101;&#110;&#116;&#44;&#32;&#50;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#104;&#101;&#32;&#105;&#110;&#100;&#101;&#120;&#32;&#111;&#102;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#114;&#97;&#100;&#105;&#99;&#97;&#108;&#32;&#105;&#115;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#100;&#101;&#110;&#111;&#109;&#105;&#110;&#97;&#116;&#111;&#114;&#32;&#111;&#102;&#32;&#116;&#104;&#101;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#101;&#120;&#112;&#111;&#110;&#101;&#110;&#116;&#44;&#32;&#51;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#49;&#50;&#53;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#50;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"129\" width=\"679\" style=\"vertical-align: -57px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span> We will rewrite each expression first using <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a95cdadc5fa1d5ca4a4b89625805083_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> and then change to radical form.<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-474e40121db236b2ea190f1eceb6d019_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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number<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169145660354\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145660357\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145660359\">\n<p id=\"fs-id1169141299540\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a940b001557321f34d6ad1da04d950a3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#45;&#56;&#49;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b62f6362e5d83e406355cd7e7cd88a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula 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Exponents to Simplify Expressions with Rational Exponents<\/h3>\n<p id=\"fs-id1169145604534\">The same properties of exponents that we have already used also apply to rational exponents. We will list the Properties of Exponenets here to have them for reference as we simplify expressions.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1169143660970\">\n<div data-type=\"title\">Properties of Exponents<\/div>\n<p id=\"fs-id1169143660976\">If <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> are real numbers and <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are rational numbers, then<\/p>\n<p id=\"fs-id1169147978342\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65a067796bf821c41facaf3538cb145e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"154\" width=\"538\" style=\"vertical-align: -72px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1169148101036\">We will apply these properties in the next example.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169147740829\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147740831\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147740833\">\n<p id=\"fs-id1169147740836\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-957e3f09c503f27605ddf1538bced383_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;&middot;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#54;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"39\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"249\" width=\"492\" style=\"vertical-align: -118px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1169141338416\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> The Power Property tells us that when we raise a power to a power, we multiply the exponents.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169141338424\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1501f62fd43b5c218061b810888449cf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"90\" width=\"504\" style=\"vertical-align: -39px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1169145599655\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span> The Quotient Property tells us that when we divide with the same base, we subtract the exponents.<\/p>\n<p id=\"fs-id1169145599663\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f6cbe1c47713d59b0c9adf43247f149f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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id=\"fs-id1169145586253\">\n<p id=\"fs-id1169145586255\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-da8d0a97316d3a60ab5e14f23aa6e2e2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#49;&#125;&#123;&#56;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-35ec9da8c64343dba23cb9268763540d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"23\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img 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In the next example, we will use both the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Product to a Power Property<\/span> and then the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Power Property<\/span>.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169147828309\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147828311\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147828313\">\n<p id=\"fs-id1169145586291\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8eccd0149314e17342586258f816b2f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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class=\"no-emphasis\">Quotient Property<\/span> in the next example.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1169143303335\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147799999\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147800001\">\n<p id=\"fs-id1169147800003\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-43b29f377df0f343462cf63d9f27e58d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;&middot;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;&#125;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" 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data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143760925\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143760928\">\n<p id=\"fs-id1169143760930\">Simplify: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ddf227e09f9b70f54359f20b273ac2a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#117;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#53;&#125;&#125;&middot;&#123;&#117;&#125;&#94;&#123;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#53;&#125;&#125;&#125;&#123;&#123;&#117;&#125;&#94;&#123;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#51;&#125;&#123;&#53;&#125;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -13px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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id=\"fs-id1169145596909\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5c074ad434d65d7f4781e472675b7c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#117;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0495c5eeb8f70177ea63ed439694003_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#53;&#125;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"47\" 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alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#109;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/strong>\n<ul id=\"fs-id1169142278492\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>For any positive integers <em data-effect=\"italics\">m<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em>,\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62360377a0c280d6b05c40df3183fde4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#109;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#97;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92a59fa5e344ddb471907ec777535f53_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#109;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#110;&#93;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Properties of Exponents<\/strong>\n<ul id=\"fs-id1169143311135\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>If <em data-effect=\"italics\">a, b<\/em> are real numbers and <em data-effect=\"italics\">m, n<\/em> are rational numbers, then\n<ul id=\"fs-id1169143311154\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li><strong data-effect=\"bold\">Product Property<\/strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d71a0d5ab133871b83639a6c9f68f8e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&middot;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#43;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"105\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Power Property<\/strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04b0b18650f1bde86de61d78ce3e60cc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&middot;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Product to a Power<\/strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f7ed42a6ae5889598c964652c0808f69_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Quotient Property<\/strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af7ae8b8df79ab0039907fa1d018b90b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#45;&#110;&#125;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Zero Exponent Definition<\/strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ecac77b1153dc3e35ca9a2c0afdcf6a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;&#61;&#49;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df2afd8a9cb6add6da009531338a6949_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Quotient to a Power Property<\/strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-531272a3add1953639d25b6e5ad6a8e4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8722;&#125;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#44;&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"112\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1169143576413\">\n<div class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1169143576417\">\n<h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4>\n<p id=\"fs-id1169143576424\"><strong data-effect=\"bold\">Simplify expressions with <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87703e837a52daa667553543cc1a4596_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"19\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1169143576442\">In the following exercises, write as a radical expression.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143576446\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143576448\">\n<p id=\"fs-id1169143576450\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cca8f89d994e2b1a45f0775fddb8995_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" 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class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b9f7bc96a9743d361c5f388ee3a20b06_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e2fa06f37d0eb6320bd8c60a5b0f441_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c7aec388d283ea5bf41dbd4a5dc799f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f31f7ed5461c6c9f02817bf8d4fe36ee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147864239\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147864241\">\n<p id=\"fs-id1169147864243\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-109a0ca7796f76a5ecf3bb7dc36e7eff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#117;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#53;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a26c03d32d3b495bdb2d125c56224d09_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#57;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1ab020530115114f5c445bdef661924f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#119;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#48;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"27\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169147864300\">\n<p id=\"fs-id1169147864302\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ff6303845ec9eba3aea72e451ba8aff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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height=\"18\" width=\"31\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169142246805\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169142246807\">\n<p id=\"fs-id1169142246809\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5849efe0f845124737b67c86f07de8e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#103;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#55;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1070c61cf0477a0d170ecfb0c89a59a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169148250582\">\n<p id=\"fs-id1169148250585\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19f6dcc9453c0d13f4e6fe7676a239be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#56;&#93;&#123;&#114;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc959677bf97a2e0224fd066d6046ec8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#49;&#48;&#93;&#123;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36a7c545faf443530eac9821de01aec9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#116;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169147862174\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169147862176\">\n<p id=\"fs-id1169147862179\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f9f8f34f0836d14ab4d2858fdb3293d1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#55;&#99;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" 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id=\"fs-id1169143760020\">\n<p id=\"fs-id1169143760022\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a02895e88b022c63dd087c95b749f8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#55;&#99;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6871c0dcea0ea9c0624dab6740b6d2f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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id=\"fs-id1169143760112\">\n<p id=\"fs-id1169145785735\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e361664ce71c43944ab05de732635a3d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#53;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7889a8cfe092d6bfd8eb3c34e0a62af4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#56;&#93;&#123;&#57;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img 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id=\"fs-id1169143516713\">\n<p id=\"fs-id1169143516716\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-566b815c55cfb55f8aae39429b63c471_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#49;&#112;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c48aa4db6dc326c4883954cd39f50fec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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id=\"fs-id1169141172336\">\n<p id=\"fs-id1169141172338\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d57b0a7e7def39e965cf7dfef2cfdf3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#50;&#53;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1068f017e933b6aabcf7dd845211236d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#51;&#98;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"31\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6da4d797400c646207110035a960d6a3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#49;&#54;&#125;&#94;&#123;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145534788\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145534790\">\n<p id=\"fs-id1169145534793\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dccdd4ff08cc3f78a6fa730465f328a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#53;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cdc005834c4eed65e666b7ef721d06a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"31\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4eeb387f49f25d2f87017ec929103b5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#53;&#93;&#123;&#50;&#112;&#113;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fa499d2c8d57e777ac0f3199070372da_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula 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height=\"18\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-990d6b48b89d6c5ff0cd7940e87223df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#54;&#120;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d2<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55f6d86a126995cbbeae70b2d20ae260_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169137723475\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169137723478\">\n<p id=\"fs-id1169137723480\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4424b0503a791762bcb8a58b84dfbfa3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 9<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143458588\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143458590\">\n<p id=\"fs-id1169143458592\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-295101198ebffa95e44f28c401b5afcb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#50;&#53;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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-4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145599988\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145599990\">\n<p id=\"fs-id1169145599992\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a948dc593ee6eee59c0bd9dfe27ac06b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#51;&#50;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#53;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ca0142eb8c82df54d279a5cb708c724_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula 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class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6cad8eec3d159e52efa483f5f56c5d60_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"7\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> not real<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145600092\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145600094\">\n<p id=\"fs-id1169145600096\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ed59e89a23857648f6c234cb7c39702_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0b496257de3d777dcc9346138c4372b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><span class=\"token\">\u24d2<\/span> not real<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145498898\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145498900\">\n<p id=\"fs-id1169145498902\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5a4e101a737e5b4b71ee03260f53078_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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Assume all variables are positive.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145600178\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145600180\">\n<p id=\"fs-id1169145600182\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88dcf5af7e6df633f00e1118b5124b08_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#99;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;&middot;&#123;&#99;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#56;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"34\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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\/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169145744831\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169145744833\">\n<p id=\"fs-id1169145744835\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-72aa471d5570d0eb3d2d61eb765c97dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;&middot;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#52;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-95f580ec764735d821693af4461cf705_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;&#125;&middot;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#54;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6148385e5036d8d6eaed3f855a48de79_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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\/><\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169143426492\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169143426494\">\n<p id=\"fs-id1169143426496\">\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-99c0a8172b12a735a41b6ed2ebf6d2c1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#55;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169145579090\">\n<p id=\"fs-id1169145579092\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48c3fb47d1938015d9e5007068f8f09f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#99;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cfed0766bb0ec0a6e2556a26513615c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#120;&#125;&#123;&#51;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by 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style=\"vertical-align: -13px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-99c165f4c8d5e967b68847df525d6d0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"writing\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1169137750503\">\n<h4 data-type=\"title\">Writing Exercises<\/h4>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169137750510\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169137750512\">\n<p id=\"fs-id1169137750514\">Show two different algebraic methods to simplify <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4ba592416ed8788d0df5c3571b463192_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#52;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> Explain all your steps.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1169141528205\">\n<p id=\"fs-id1169141528207\">Answers will vary.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1169141528213\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1169141528215\">\n<p id=\"fs-id1169141528217\">Explain why the expression <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-61847ac81f5960727d55ce1880d700e4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#49;&#54;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> cannot be evaluated.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1169141528252\">\n<h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4>\n<p id=\"fs-id1169141528258\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1169141528272\" data-alt=\"This table has 4 rows and 4 columns. The first row is a header row and it labels each column. The first column header is \u201cI can\u2026\u201d, the second is \u201cConfidently\u201d, the third is \u201cWith some help\u201d, and the fourth is \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. Under the first column are the phrases \u201csimplify expressions with a to the power of 1 divided by n.\u201d, \u201csimplify expression with a to the power of m divided by n\u201d, and \u201cuse the laws of exponents to simplify expression with rational exponents\u201d. The other columns are left blank so that the learner may indicate their mastery level for each topic.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_08_03_201_img_new.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This table has 4 rows and 4 columns. The first row is a header row and it labels each column. The first column header is \u201cI can\u2026\u201d, the second is \u201cConfidently\u201d, the third is \u201cWith some help\u201d, and the fourth is \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. Under the first column are the phrases \u201csimplify expressions with a to the power of 1 divided by n.\u201d, \u201csimplify expression with a to the power of m divided by n\u201d, and \u201cuse the laws of exponents to simplify expression with rational exponents\u201d. The other columns are left blank so that the learner may indicate their mastery level for each topic.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1169141528282\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> What does this checklist tell you about your mastery of this section? What steps will you take to improve?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"author":103,"menu_order":4,"template":"","meta":{"pb_show_title":"on","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"class_list":["post-3504","chapter","type-chapter","status-publish","hentry"],"part":3472,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/3504","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/users\/103"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/3504\/revisions"}],"part":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/3472"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/3504\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3504"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=3504"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=3504"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=3504"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}