{"id":4336,"date":"2018-12-11T14:03:22","date_gmt":"2018-12-11T19:03:22","guid":{"rendered":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/chapter\/use-the-properties-of-logarithms\/"},"modified":"2019-01-17T14:16:43","modified_gmt":"2019-01-17T19:16:43","slug":"use-the-properties-of-logarithms","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/chapter\/use-the-properties-of-logarithms\/","title":{"raw":"Use the Properties of Logarithms","rendered":"Use the Properties of Logarithms"},"content":{"raw":"[latexpage]\r\n<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\">\r\n<h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>\r\nBy the end of this section, you will be able to:\r\n<ul>\r\n \t<li>Use the properties of logarithms<\/li>\r\n \t<li>Use the Change of Base Formula<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836326175\" class=\"be-prepared\">\r\n\r\nBefore you get started, take this readiness quiz.\r\n<ol id=\"fs-id1167829908076\" type=\"1\">\r\n \t<li>Evaluate: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({a}^{0}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({a}^{1}.\\)\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\nIf you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/3fa6a6c5-9a36-4dee-aea1-0166229f52fb#fs-id1167834095326\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\r\n \t<li>Write with a rational exponent: \\(\\sqrt[3]{{x}^{2}y}.\\)\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\nIf you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/eb676a52-0094-4ffb-95d3-c8eb0596e397#fs-id1169145489074\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\r\n \t<li>Round to three decimal places: 2.5646415.\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\nIf you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/99b2296a-9957-4380-aff4-248abadc862b#fs-id1167836309901\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\r\n<\/ol>\r\n<\/div>\r\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167833024608\">\r\n<h3 data-type=\"title\">Use the Properties of Logarithms<\/h3>\r\nNow that we have learned about exponential and logarithmic functions, we can introduce some of the properties of logarithms. These will be very helpful as we continue to solve both exponential and logarithmic equations.\r\n\r\nThe first two properties derive from the definition of logarithms. Since \\({a}^{0}=1,\\) we can convert this to logarithmic form and get \\({\\text{log}}_{a}1=0.\\) Also, since \\({a}^{1}=a,\\) we get \\({\\text{log}}_{a}a=1.\\)\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829930461\">\r\n<div data-type=\"title\">Properties of Logarithms<\/div>\r\n<div data-type=\"equation\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\text{log}}_{a}1=0\\phantom{\\rule{5em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}a=1\\)<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1168756304338\">In the next example we could evaluate the logarithm by converting to exponential form, as we have done previously, but recognizing and then applying the properties saves time.<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167836560798\" class=\"textbox textbox--examples\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833349747\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836361275\">\r\n<p id=\"fs-id1167829692393\">Evaluate using the properties of logarithms: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\text{log}}_{8}1\\) and <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\text{log}}_{6}6.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836513768\">\r\n\r\n<span class=\"token\">\u24d0<\/span>\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{8}1\\hfill &amp; &amp; \\\\ \\text{Use the property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}1=0.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}0\\hfill &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{8}1=0\\hfill \\end{array}\\)\r\n<p id=\"fs-id1167824740619\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n\\(\\begin{array}{cccccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{6}6\\hfill &amp; &amp; \\\\ \\text{Use the property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}a=1.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}1\\hfill &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{6}6=1\\hfill \\end{array}\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829619136\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829650482\">\r\n<div data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167836476842\">Evaluate using the properties of logarithms: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\text{log}}_{13}1\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\text{log}}_{9}9.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167833018437\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 0 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829801865\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836328553\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829598110\">\r\n<p id=\"fs-id1167836629226\">Evaluate using the properties of logarithms: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\text{log}}_{5}1\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\text{log}}_{7}7.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836492892\">\r\n<p id=\"fs-id1167829812205\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 0 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167833057310\">The next two properties can also be verified by converting them from exponential form to logarithmic form, or the reverse.<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167836689468\">The exponential equation \\({a}^{{\\text{log}}_{a}x}=x\\) converts to the logarithmic equation \\({\\text{log}}_{a}x={\\text{log}}_{a}x,\\) which is a true statement for positive values for <em data-effect=\"italics\">x<\/em> only.<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167833046845\">The logarithmic equation \\({\\text{log}}_{a}{a}^{x}=x\\) converts to the exponential equation \\({a}^{x}={a}^{x},\\) which is also a true statement.<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167836568022\">These two properties are called inverse properties because, when we have the same base, raising to a power \u201cundoes\u201d the log and taking the log \u201cundoes\u201d raising to a power. These two properties show the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">composition<\/span> of functions. Both ended up with the identity function which shows again that the exponential and logarithmic functions are inverse functions.<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836509660\">\r\n<div data-type=\"title\">Inverse Properties of Logarithms<\/div>\r\nFor \\(a&gt;0,\\)\\(x&gt;0\\) and \\(a\\ne 1,\\)\r\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167833066282\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({a}^{{\\text{log}}_{a}x}=x\\phantom{\\rule{5em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}{a}^{x}=x\\)<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1165927653240\">In the next example, apply the inverse properties of logarithms.<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"example\" class=\"textbox textbox--examples\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826206089\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829599012\">\r\n\r\nEvaluate using the properties of logarithms: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({4}^{{\\text{log}}_{4}9}\\) and <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\text{log}}_{3}{3}^{5}.\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836509070\">\r\n\r\n<span class=\"token\">\u24d0<\/span>\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{4}^{{\\text{log}}_{4}9}\\hfill \\\\ \\text{Use the property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}^{{\\text{log}}_{a}x}=x.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}9\\hfill &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{4}^{{\\text{log}}_{4}9}=9\\hfill \\end{array}\\)\r\n<p id=\"fs-id1167836554106\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{3}{3}^{5}\\hfill \\\\ \\text{Use the property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{a}^{{\\text{log}}_{a}x}=x.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{3em}{0ex}}5\\hfill &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{3}{3}^{5}=5\\hfill \\end{array}\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833054414\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836334869\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826211779\">\r\n\r\nEvaluate using the properties of logarithms: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({5}^{{\\text{log}}_{5}15}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\text{log}}_{7}{7}^{4}.\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167824736333\">\r\n\r\n<span class=\"token\">\u24d0<\/span> 15 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 4\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167830123711\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836544574\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167830077192\">\r\n<p id=\"fs-id1167836312297\">Evaluate using the properties of logarithms: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({2}^{{\\text{log}}_{2}8}\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\text{log}}_{2}{2}^{15}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833021611\">\r\n<p id=\"fs-id1167836615550\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 8 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 15<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167836360532\">There are three more properties of logarithms that will be useful in our work. We know exponential functions and logarithmic function are very interrelated. Our definition of logarithm shows us that a logarithm is the exponent of the equivalent exponential. The properties of exponents have related properties for exponents.<\/p>\r\nIn the Product Property of Exponents, \\({a}^{m}\u00b7{a}^{n}={a}^{m+n},\\) we see that to multiply the same base, we add the exponents. The <span data-type=\"term\">Product Property of Logarithms<\/span>, \\({\\text{log}}_{a}M\u00b7N={\\text{log}}_{a}M+{\\text{log}}_{a}N\\) tells us to take the log of a product, we add the log of the factors.\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829694016\">\r\n<div data-type=\"title\">Product Property of Logarithms<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167829907689\">If \\(M&gt;0,N&gt;0\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{a}&gt;0\\) and \\(\\text{a}\\ne 1,\\) then,<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836560117\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\text{log}}_{a}\\left(M\u00b7N\\right)={\\text{log}}_{a}M+{\\text{log}}_{a}N\\)<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167833085159\">The logarithm of a product is the sum of the logarithms.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\nWe use this property to write the log of a product as a sum of the logs of each factor.\r\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167824643239\" class=\"textbox textbox--examples\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826132687\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836701067\">\r\n<p id=\"fs-id1167836447737\">Use the Product Property of Logarithms to write each logarithm as a sum of logarithms. Simplify, if possible: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\text{log}}_{3}7x\\) and <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\({\\text{log}}_{4}64xy.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836532493\">\r\n<p id=\"fs-id1167829633946\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{3}7x\\hfill \\\\ \\text{Use the Product Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}\\left(M\u00b7N\\right)={\\text{log}}_{a}M+{\\text{log}}_{a}N.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{3}7+{\\text{log}}_{3}x\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{3}7x={\\text{log}}_{3}7+{\\text{log}}_{3}x\\hfill \\end{array}\\)\r\n\r\n<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{4}64xy\\hfill \\\\ \\text{Use the Product Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}\\left(M\u00b7N\\right)={\\text{log}}_{a}M+{\\text{log}}_{a}N.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{4}64+{\\text{log}}_{4}x+{\\text{log}}_{4}y\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify by evaluating}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{4}64.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}3+{\\mathrm{log}}_{4}x+{\\mathrm{log}}_{4}y\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{4}64xy=3+{\\text{log}}_{4}x+{\\text{log}}_{4}y\\hfill \\end{array}\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836533952\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829905701\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829979367\">\r\n\r\nUse the Product Property of Logarithms to write each logarithm as a sum of logarithms. Simplify, if possible.\r\n\r\n<span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\text{log}}_{3}3x\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\text{log}}_{2}8xy\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167833274773\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(1+{\\text{log}}_{3}x\\)<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(3+{\\text{log}}_{2}x+{\\text{log}}_{2}y\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836701291\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836287646\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836520189\">\r\n\r\nUse the Product Property of Logarithms to write each logarithm as a sum of logarithms. Simplify, if possible.\r\n<p id=\"fs-id1167824735147\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\text{log}}_{9}9x\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\text{log}}_{3}27xy\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836492299\">\r\n\r\n<span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(1+{\\text{log}}_{9}x\\)\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(3+{\\text{log}}_{3}x+{\\text{log}}_{3}y\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\nSimilarly, in the Quotient Property of Exponents, \\(\\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}={a}^{m-n},\\) we see that to divide the same base, we subtract the exponents. The <span data-type=\"term\">Quotient Property of Logarithms<\/span>, \\({\\text{log}}_{a}\\frac{M}{N}={\\text{log}}_{a}M-{\\text{log}}_{a}N\\) tells us to take the log of a quotient, we subtract the log of the numerator and denominator.\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833008215\">\r\n<div data-type=\"title\">Quotient Property of Logarithms<\/div>\r\nIf \\(M&gt;0,N&gt;0\\text{,}\\text{a}&gt;0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\) and \\(\\text{a}\\ne 1,\\) then,\r\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836512572\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\text{log}}_{a}\\frac{M}{N}={\\text{log}}_{a}M-{\\text{log}}_{a}N\\)<\/div>\r\nThe logarithm of a quotient is the difference of the logarithms.\r\n\r\n<\/div>\r\nNote that \\({\\text{log}}_{a}M-{\\text{log}}_{a}N\\ne {\\text{log}}_{a}\\left(M-N\\right).\\)\r\n<p id=\"fs-id1167833142370\">We use this property to write the log of a quotient as a difference of the logs of each factor.<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"example\" class=\"textbox textbox--examples\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836662447\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829694727\">\r\n\r\nUse the Quotient Property of Logarithms to write each logarithm as a difference of logarithms. Simplify, if possible.\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n<span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\text{log}}_{5}\\frac{5}{7}\\) and <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\text{log}\\frac{x}{100}\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836524021\">\r\n<p id=\"fs-id1167836625233\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{5}\\frac{5}{7}\\hfill \\\\ \\text{Use the Quotient Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}\\frac{M}{N}={\\text{log}}_{a}M-{\\text{log}}_{a}N.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{5}5-{\\text{log}}_{5}7\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}1-{\\text{log}}_{5}7\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{5}\\frac{5}{7}=1-{\\text{log}}_{5}7\\hfill \\end{array}\\)\r\n\r\n<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\text{log}\\frac{x}{100}\\hfill \\\\ \\text{Use the Quotient Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}\\frac{M}{N}={\\text{log}}_{a}M-{\\text{log}}_{a}N.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\text{log}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x-\\text{log}100\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\text{log}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x-2\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\text{log}\\frac{x}{100}=\\text{log}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x-2\\hfill \\end{array}\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167824841895\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167824732926\">\r\n<div data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167836312715\">Use the Quotient Property of Logarithms to write each logarithm as a difference of logarithms. Simplify, if possible.<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167836502108\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\text{log}}_{4}\\frac{3}{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{log}\\frac{x}{1000}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829595168\">\r\n<p id=\"fs-id1167836367768\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\text{log}}_{4}3-1\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{log}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x-3\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167825885618\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\">\r\n<div data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167825702912\">Use the Quotient Property of Logarithms to write each logarithm as a difference of logarithms. Simplify, if possible.<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167833370053\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\text{log}}_{2}\\frac{5}{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{log}\\frac{10}{y}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167836400007\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\text{log}}_{2}5-2\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(1-\\text{log}y\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\nThe third property of logarithms is related to the Power Property of Exponents, \\({\\left({a}^{m}\\right)}^{n}={a}^{m\u00b7n},\\) we see that to raise a power to a power, we multiply the exponents. The <span data-type=\"term\">Power Property of Logarithms<\/span>, \\({\\text{log}}_{a}{M}^{p}=p\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M\\) tells us to take the log of a number raised to a power, we multiply the power times the log of the number.\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836542306\">\r\n<div data-type=\"title\">Power Property of Logarithms<\/div>\r\nIf \\(M&gt;0,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{a}&gt;0,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{a}\\ne 1\\) and \\(p\\) is any real number then,\r\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836556087\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\text{log}}_{a}{M}^{p}=p\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M\\)<\/div>\r\nThe log of a number raised to a power as the product product of the power times the log of the number.\r\n\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167824740500\">We use this property to write the log of a number raised to a power as the product of the power times the log of the number. We essentially take the exponent and throw it in front of the logarithm.<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167824767082\" class=\"textbox textbox--examples\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167824774192\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836512226\">\r\n<p id=\"fs-id1167829596067\">Use the Power Property of Logarithms to write each logarithm as a product of logarithms. Simplify, if possible.<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n<span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\({\\text{log}}_{5}{4}^{3}\\) and <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\text{log}{x}^{10}\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836620851\">\r\n<p id=\"fs-id1167836731574\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{5}{4}^{3}\\hfill \\\\ \\text{Use the Power Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}{M}^{p}=p\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}3{\\text{log}}_{5}4\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{5}{4}^{3}=3{\\text{log}}_{5}4\\hfill \\end{array}\\)\r\n<p id=\"fs-id1167824766970\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\text{log}{x}^{10}\\hfill \\\\ \\text{Use the Power Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}{M}^{p}=p\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}10\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{log}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\text{log}{x}^{10}=10\\text{log}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x\\hfill \\end{array}\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826169922\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836693312\">\r\n\r\nUse the Power Property of Logarithms to write each logarithm as a product of logarithms. Simplify, if possible.\r\n\r\n<span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\text{log}}_{7}{5}^{4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{log}{x}^{100}\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836289254\">\r\n<p id=\"fs-id1167836688151\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(4{\\text{log}}_{7}5\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(100\u00b7\\text{log}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167824578584\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833279808\">\r\n\r\nUse the Power Property of Logarithms to write each logarithm as a product of logarithms. Simplify, if possible.\r\n\r\n<span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\text{log}}_{2}{3}^{7}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{log}{x}^{20}\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\">\r\n\r\n<span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(7{\\text{log}}_{2}3\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(20\u00b7\\text{log}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167833386842\">We summarize the Properties of Logarithms here for easy reference. While the natural logarithms are a special case of these properties, it is often helpful to also show the natural logarithm version of each property.<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836699046\">\r\n<div data-type=\"title\">Properties of Logarithms<\/div>\r\nIf \\(M&gt;0,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{a}&gt;0,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{a}\\ne 1\\) and \\(p\\) is any real number then,\r\n<table class=\"unnumbered\" summary=\".\" data-label=\"\">\r\n<thead>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<th data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">Property<\/th>\r\n<th data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">Base \\(a\\)<\/th>\r\n<th data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">Base \\(e\\)<\/th>\r\n<\/tr>\r\n<\/thead>\r\n<tbody>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td><\/td>\r\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">\\({\\text{log}}_{a}1=0\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">\\(\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}1=0\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td><\/td>\r\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">\\({\\text{log}}_{a}a=1\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">\\(\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}e=1\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><strong data-effect=\"bold\">Inverse Properties<\/strong><\/td>\r\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">\\(\\begin{array}{c}{a}^{{\\text{log}}_{a}x}=x\\hfill \\\\ {\\text{log}}_{a}{a}^{x}=x\\hfill \\end{array}\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">\\(\\begin{array}{c}{e}^{\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x}=x\\hfill \\\\ \\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{e}^{x}=x\\hfill \\end{array}\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><strong data-effect=\"bold\">Product Property of Logarithms<\/strong><\/td>\r\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">\\({\\text{log}}_{a}\\left(M\u00b7N\\right)={\\text{log}}_{a}M+{\\text{log}}_{a}N\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">\\(\\text{ln}\\left(M\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00b7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}N\\right)=\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}M+\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}N\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><strong data-effect=\"bold\">Quotient Property of Logarithms<\/strong><\/td>\r\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">\\({\\text{log}}_{a}\\frac{M}{N}={\\text{log}}_{a}M-{\\text{log}}_{a}N\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">\\(\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\frac{M}{N}=\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}M-\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}N\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><strong data-effect=\"bold\">Power Property of Logarithms<\/strong><\/td>\r\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">\\({\\text{log}}_{a}{M}^{p}=p\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">\\(\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{M}^{p}=p\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}M\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167836694331\">Now that we have the properties we can use them to \u201cexpand\u201d a logarithmic expression. This means to write the logarithm as a sum or difference and without any powers.<\/p>\r\nWe generally apply the Product and Quotient Properties before we apply the Power Property.\r\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167824822972\" class=\"textbox textbox--examples\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829716031\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836609282\">\r\n<p id=\"fs-id1167836530646\">Use the Properties of Logarithms to expand the logarithm \\({\\text{log}}_{4}\\left(2{x}^{3}{y}^{2}\\right)\\). Simplify, if possible.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836448201\">\r\n<p id=\"fs-id1167833058231\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{4}\\left(2{x}^{3}{y}^{2}\\right)\\hfill \\\\ \\text{Use the Product Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M\u00b7N={\\text{log}}_{a}M+{\\text{log}}_{a}N.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{4}2+{\\text{log}}_{4}{x}^{3}+{\\text{log}}_{4}{y}^{2}\\hfill \\\\ \\text{Use the Power Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}{M}^{p}=p\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{on the last two terms.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{4}2+3{\\text{log}}_{4}x+2{\\text{log}}_{4}y\\hfill \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{1}{2}+3{\\text{log}}_{4}x+2{\\text{log}}_{4}y\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{4}\\left(2{x}^{3}{y}^{2}\\right)=\\frac{1}{2}+3{\\text{log}}_{4}x+2{\\text{log}}_{4}y\\hfill \\end{array}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829715157\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836532369\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836620332\">\r\n\r\nUse the Properties of Logarithms to expand the logarithm \\({\\text{log}}_{2}\\left(5{x}^{4}{y}^{2}\\right)\\). Simplify, if possible.\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167833047214\">\\({\\text{log}}_{2}5+4{\\text{log}}_{2}x+2{\\text{log}}_{2}y\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836546251\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836549935\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836541870\">\r\n<p id=\"fs-id1167836531894\">Use the Properties of Logarithms to expand the logarithm \\({\\text{log}}_{3}\\left(7{x}^{5}{y}^{3}\\right)\\). Simplify, if possible.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167825836585\">\r\n\r\n\\({\\text{log}}_{3}7+5{\\text{log}}_{3}x+3{\\text{log}}_{3}y\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\nWhen we have a radical in the logarithmic expression, it is helpful to first write its radicand as a rational exponent.\r\n<div data-type=\"example\" class=\"textbox textbox--examples\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836296138\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836602246\">\r\n\r\nUse the Properties of Logarithms to expand the logarithm \\({\\text{log}}_{2}\\sqrt[4]{\\frac{{x}^{3}}{3{y}^{2}z}}\\). Simplify, if possible.\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833019889\">\r\n<p id=\"fs-id1167836628705\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{2}\\sqrt[4]{\\frac{{x}^{3}}{3{y}^{2}z}}\\hfill \\\\ \\text{Rewrite the radical with a rational exponent.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{2}{\\left(\\frac{{x}^{3}}{3{y}^{2}z}\\right)}^{\\frac{1}{4}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Use the Power Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}{M}^{p}=p\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{1}{4}{\\text{log}}_{2}\\left(\\frac{{x}^{3}}{3{y}^{2}z}\\right)\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Use the Quotient Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M\u00b7N={\\text{log}}_{a}M-{\\text{log}}_{a}N.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{1}{4}\\left({\\text{log}}_{2}\\left({x}^{3}\\right)-{\\text{log}}_{2}\\left(3{y}^{2}z\\right)\\right)\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the Product Property,}\\hfill \\\\ {\\text{log}}_{a}M\u00b7N={\\text{log}}_{a}M+{\\text{log}}_{a}N,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{in the second term.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{1}{4}\\left({\\text{log}}_{2}\\left({x}^{3}\\right)-\\left({\\text{log}}_{2}3+{\\text{log}}_{2}{y}^{2}+{\\text{log}}_{2}z\\right)\\right)\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the Power Property,}\\hfill \\\\ {\\text{log}}_{a}{M}^{p}=p\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{inside the parentheses.}\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{1}{4}\\left(3{\\text{log}}_{2}x-\\left({\\text{log}}_{2}3+2{\\text{log}}_{2}y+{\\text{log}}_{2}z\\right)\\right)\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify by distributing.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\frac{1}{4}\\left(3{\\text{log}}_{2}x-{\\text{log}}_{2}3-2{\\text{log}}_{2}y-{\\text{log}}_{2}z\\right)\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; {\\text{log}}_{2}\\sqrt[4]{\\frac{{x}^{3}}{3{y}^{2}z}}=\\frac{1}{4}\\left(3{\\text{log}}_{2}x-{\\text{log}}_{2}3-2{\\text{log}}_{2}y-{\\text{log}}_{2}z\\right)\\hfill \\end{array}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836627250\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836433725\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833326358\">\r\n<p id=\"fs-id1167836533759\">Use the Properties of Logarithms to expand the logarithm \\({\\text{log}}_{4}\\sqrt[5]{\\frac{{x}^{4}}{2{y}^{3}{z}^{2}}}\\). Simplify, if possible.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833239698\">\r\n<p id=\"fs-id1167836525864\">\\(\\frac{1}{5}\\left(4{\\text{log}}_{4}x-\\frac{1}{2}-3{\\text{log}}_{4}y-2{\\text{log}}_{4}z\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836355899\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836312554\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826129138\">\r\n<p id=\"fs-id1167824732203\">Use the Properties of Logarithms to expand the logarithm \\({\\text{log}}_{3}\\sqrt[3]{\\frac{{x}^{2}}{5{y}^{}z}}\\). Simplify, if possible.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836456199\">\r\n<p id=\"fs-id1167836728314\">\\(\\frac{1}{3}\\left(2{\\text{log}}_{3}x-{\\text{log}}_{3}5-{\\text{log}}_{3}y-{\\text{log}}_{3}z\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167824763483\">The opposite of expanding a logarithm is to condense a sum or difference of logarithms that have the same base into a single logarithm. We again use the properties of logarithms to help us, but in reverse.<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167829586351\">To condense logarithmic expressions with the same base into one logarithm, we start by using the Power Property to get the coefficients of the log terms to be one and then the Product and Quotient Properties as needed.<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167833056354\" class=\"textbox textbox--examples\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836326277\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836320366\">\r\n<p id=\"fs-id1167836352825\">Use the Properties of Logarithms to condense the logarithm \\({\\text{log}}_{4}3+{\\text{log}}_{4}x-{\\text{log}}_{4}y\\). Simplify, if possible.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829930936\">\r\n<p id=\"fs-id1167836531920\">\\(\\begin{array}{cccc}\\text{The log expressions all have the same base, 4.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{6em}{0ex}}{\\text{log}}_{4}3+{\\text{log}}_{4}x-{\\text{log}}_{4}y\\hfill \\\\ \\text{The first two terms are added, so we use the Product Property,}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\\\ {\\text{log}}_{a}M+{\\text{log}}_{a}N={\\text{log}}_{a}M\u00b7N.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{6em}{0ex}}{\\text{log}}_{4}3x-{\\text{log}}_{4}y\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Since the logs are subtracted, we use the Quotient Property,}\\hfill \\\\ {\\text{log}}_{a}M-{\\text{log}}_{a}N={\\text{log}}_{a}\\frac{M}{N}.\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{6em}{0ex}}{\\text{log}}_{4}\\frac{3x}{y}\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{6em}{0ex}}{\\text{log}}_{4}3+{\\text{log}}_{4}x-{\\text{log}}_{4}y={\\text{log}}_{4}\\frac{3x}{y}\\hfill \\end{array}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836377864\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836355817\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836314651\">\r\n<p id=\"fs-id1167824585085\">Use the Properties of Logarithms to condense the logarithm \\({\\text{log}}_{2}5+{\\text{log}}_{2}x-{\\text{log}}_{2}y\\). Simplify, if possible.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833328722\">\r\n<p id=\"fs-id1167836444994\">\\({\\text{log}}_{2}\\frac{5x}{y}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829745271\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836774254\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833058029\">\r\n<p id=\"fs-id1167836515619\">Use the Properties of Logarithms to condense the logarithm \\({\\text{log}}_{3}6-{\\text{log}}_{3}x-{\\text{log}}_{3}y\\). Simplify, if possible.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833412682\">\r\n<p id=\"fs-id1167833048528\">\\({\\text{log}}_{3}\\frac{6}{xy}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167833058729\" class=\"textbox textbox--examples\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833186641\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836787861\">\r\n<p id=\"fs-id1167833053515\">Use the Properties of Logarithms to condense the logarithm \\(2{\\text{log}}_{3}x+4{\\text{log}}_{3}\\left(x+1\\right)\\). Simplify, if possible.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836492430\">\r\n<p id=\"fs-id1167836692632\">\\(\\begin{array}{cccc}\\text{The log expressions have the same base, 3.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}2{\\text{log}}_{3}x+4{\\text{log}}_{3}\\left(x+1\\right)\\hfill \\\\ \\text{Use the Power Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M+{\\text{log}}_{a}N={\\text{log}}_{a}M\u00b7N.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{3}{x}^{2}+{\\text{log}}_{3}{\\left(x+1\\right)}^{4}\\hfill \\\\ \\begin{array}{c}\\text{The terms are added, so we use the Product}\\hfill \\\\ \\text{Property,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M+{\\text{log}}_{a}N={\\text{log}}_{a}M\u00b7N.\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{3}{x}^{2}{\\left(x+1\\right)}^{4}\\hfill \\\\ &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}2{\\text{log}}_{3}x+4{\\text{log}}_{3}\\left(x+1\\right)={\\text{log}}_{3}{x}^{2}{\\left(x+1\\right)}^{4}\\hfill \\end{array}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829791345\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836620107\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836418916\">\r\n<p id=\"fs-id1167836375583\">Use the Properties of Logarithms to condense the logarithm \\(3{\\text{log}}_{2}x+2{\\text{log}}_{2}\\left(x-1\\right)\\). Simplify, if possible.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833256623\">\r\n<p id=\"fs-id1167836514427\">\\({\\text{log}}_{2}{x}^{3}{\\left(x-1\\right)}^{2}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829738397\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836547580\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836789186\">\r\n<p id=\"fs-id1167829788182\">Use the Properties of Logarithms to condense the logarithm \\(2\\text{log}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x+2\\text{log}\\left(x+1\\right)\\). Simplify, if possible.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829695264\">\r\n<p id=\"fs-id1167829695266\">\\(\\text{log}{x}^{2}{\\left(x+1\\right)}^{2}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167825660092\">\r\n<h3 data-type=\"title\">Use the Change-of-Base Formula<\/h3>\r\n<p id=\"fs-id1167829984062\">To evaluate a logarithm with any other base, we can use the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Change-of-Base Formula<\/span>. We will show how this is derived.<\/p>\r\n\\(\\begin{array}{cccccc}\\text{Suppose we want to evaluate}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M\\hfill &amp; &amp; \\\\ \\text{Let}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}y={\\text{log}}_{a}M.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}y&amp; =\\hfill &amp; {\\text{log}}_{a}M\\hfill \\\\ \\text{Rewrite the expression in exponential form.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{a}^{y}&amp; =\\hfill &amp; M\\hfill \\\\ \\text{Take the}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{b}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{of each side.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{b}{a}^{y}&amp; =\\hfill &amp; {\\text{log}}_{b}M\\hfill \\\\ \\text{Use the Power Property.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}y{\\text{log}}_{b}a&amp; =\\hfill &amp; {\\text{log}}_{b}M\\hfill \\\\ \\text{Solve for}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}y.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}y&amp; =\\hfill &amp; \\frac{{\\text{log}}_{b}M}{{\\text{log}}_{b}a}\\hfill \\\\ \\text{Substitute}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}y={\\text{log}}_{a}M.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M&amp; =\\hfill &amp; \\frac{{\\text{log}}_{b}M}{{\\text{log}}_{b}a}\\hfill \\end{array}\\)\r\n<p id=\"fs-id1167836356469\">The Change-of-Base Formula introduces a new base \\(b.\\) This can be any base <em data-effect=\"italics\">b<\/em> we want where \\(b&gt;0,b\\ne 1.\\) Because our calculators have keys for logarithms base 10 and base <em data-effect=\"italics\">e<\/em>, we will rewrite the Change-of-Base Formula with the new base as 10 or <em data-effect=\"italics\">e<\/em>.<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833274079\">\r\n<div data-type=\"title\">Change-of-Base Formula<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167829788705\">For any logarithmic bases \\(a,b\\) and \\(M&gt;0,\\)<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"equation\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{ccccccc}\\hfill {\\text{log}}_{a}M=\\frac{{\\text{log}}_{b}M}{{\\text{log}}_{b}a}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M=\\frac{\\text{log}M}{\\text{log}a}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M=\\frac{\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}M}{\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a}\\hfill \\\\ \\hfill \\text{new base}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}b\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\text{new base 10}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\text{new base}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}e\\hfill \\end{array}\\)<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1168756556563\">When we use a calculator to find the logarithm value, we usually round to three decimal places. This gives us an approximate value and so we use the approximately equal symbol \\(\\text{(\u2248)}\\).<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167836614208\" class=\"textbox textbox--examples\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836614210\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836608436\">\r\n<p id=\"fs-id1167836608438\">Rounding to three decimal places, approximate \\({\\text{log}}_{4}35.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836539229\">\r\n<table id=\"fs-id1167829741851\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"We examine log sub 4 of 35. First, we use the change of base formula log sub a of M equals log sub b of M over log sub b of a, where a is blue and M is red. Then we identify a and M and choose 10 for b. This gives log sub 4 of 35 equals log of 35 over log of 4 where 4 is blue and 35 is red. Enter the expression log of 35 over log of 4 in the calculator using the log button for base 10. Hence, log sub 4 of 35 is approximately 2.5646.\" data-label=\"\">\r\n<tbody>\r\n<tr>\r\n<td><\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836620865\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_10_04_001a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use the Change-of-Base Formula.<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836664272\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_10_04_001b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Identify <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">M<\/em>. Choose 10 for <em data-effect=\"italics\">b<\/em>.<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_10_04_001c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Enter the expression \\(\\frac{\\text{log}35}{\\text{log}4}\\) in the calculator\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\nusing the log button for base 10. Round to three decimal places.<\/td>\r\n<td data-valign=\"bottom\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836391639\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_10_04_001d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167824735515\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167824735518\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836595915\">\r\n<p id=\"fs-id1167836595917\">Rounding to three decimal places, approximate \\({\\text{log}}_{3}42.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836704928\">\r\n\r\n\\(3.402\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836574009\" class=\"try\">\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829739081\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829739083\">\r\n<p id=\"fs-id1167836529766\">Rounding to three decimal places, approximate \\({\\text{log}}_{5}46.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829833480\">\r\n<p id=\"fs-id1167829833482\">\\(2.379\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836627853\" class=\"media-2\">\r\n<p id=\"fs-id1167836547696\">Access these online resources for additional instruction and practice with using the properties of logarithms.<\/p>\r\n\r\n<ul id=\"fs-id1167833379361\" data-display=\"block\">\r\n \t<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37Logproperties\">Using Properties of Logarithms to Expand Logs<\/a><\/li>\r\n \t<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37Condenselogs\">Using Properties of Logarithms to Condense Logs<\/a><\/li>\r\n \t<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37Changeofbase\">Change of Base<\/a><\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167836540486\">\r\n<h3 data-type=\"title\">Key Concepts<\/h3>\r\n<ul id=\"fs-id1167836341093\" data-bullet-style=\"bullet\">\r\n \t<li><strong data-effect=\"bold\">Properties of Logarithms<\/strong>\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836699031\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\phantom{\\rule{3em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}1=0\\phantom{\\rule{5em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}a=1\\)<\/div><\/li>\r\n \t<li><strong data-effect=\"bold\">Inverse Properties of Logarithms<\/strong>\r\n<ul id=\"fs-id1167836690704\" data-bullet-style=\"open-circle\">\r\n \t<li>For \\(a&gt;0,\\)\\(x&gt;0\\) and \\(a\\ne 1\\)\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167829713372\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({a}^{{\\text{log}}_{a}x}=x\\phantom{\\rule{4.95em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}{a}^{x}=x\\)<\/div><\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/li>\r\n \t<li><strong data-effect=\"bold\">Product Property of Logarithms<\/strong>\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n<ul id=\"fs-id1167833138150\" data-bullet-style=\"open-circle\">\r\n \t<li>If \\(M&gt;0,N&gt;0\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{a}&gt;0\\) and \\(\\text{a}\\ne 1,\\) then,\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167833083092\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\phantom{\\rule{2.08em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M\u00b7N={\\text{log}}_{a}M+{\\text{log}}_{a}N\\)<\/div>\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\nThe logarithm of a product is the sum of the logarithms.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/li>\r\n \t<li><strong data-effect=\"bold\">Quotient Property of Logarithms<\/strong>\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n<ul id=\"fs-id1167836388045\" data-bullet-style=\"open-circle\">\r\n \t<li>If \\(M&gt;0,N&gt;0\\text{,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{a}&gt;0\\) and \\(\\text{a}\\ne 1,\\) then,\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167829906625\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\phantom{\\rule{3em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}\\frac{M}{N}={\\text{log}}_{a}M-{\\text{log}}_{a}N\\)<\/div>\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\nThe logarithm of a quotient is the difference of the logarithms.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/li>\r\n \t<li><strong data-effect=\"bold\">Power Property of Logarithms<\/strong>\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n<ul id=\"fs-id1167829741984\" data-bullet-style=\"open-circle\">\r\n \t<li>If \\(M&gt;0,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{a}&gt;0,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{a}\\ne 1\\) and \\(p\\) is any real number then,\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836389933\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\({\\text{log}}_{a}{M}^{p}=p\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M\\)<\/div>\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\nThe log of a number raised to a power is the product of the power times the log of the number.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/li>\r\n \t<li><strong data-effect=\"bold\">Properties of Logarithms Summary<\/strong>\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\nIf \\(M&gt;0,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{a}&gt;0,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{a}\\ne 1\\) and \\(p\\) is any real number then,\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n<table id=\"fs-id1167836321886\" class=\"unnumbered\" summary=\".\" data-label=\"\">\r\n<thead>\r\n<tr>\r\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Property<\/th>\r\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Base \\(a\\)<\/th>\r\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Base \\(e\\)<\/th>\r\n<\/tr>\r\n<\/thead>\r\n<tbody>\r\n<tr>\r\n<td><\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\text{log}}_{a}1=0\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\text{ln}1=0\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td><\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\text{log}}_{a}a=1\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}e=1\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><strong data-effect=\"bold\">Inverse Properties<\/strong><\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\begin{array}{}\\\\ \\\\ \\phantom{\\rule{1.25em}{0ex}}{a}^{{\\text{log}}_{a}x}=x\\hfill \\\\ \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}{a}^{x}=x\\hfill \\end{array}\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\begin{array}{}\\\\ \\\\ \\phantom{\\rule{1.2em}{0ex}}{e}^{\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x}=x\\hfill \\\\ \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{e}^{x}=x\\hfill \\end{array}\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><strong data-effect=\"bold\">Product Property of Logarithms<\/strong><\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\text{log}}_{a}\\left(M\u00b7N\\right)={\\text{log}}_{a}M+{\\text{log}}_{a}N\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\text{ln}\\left(M\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00b7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}N\\right)=\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}M+\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}N\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><strong data-effect=\"bold\">Quotient Property of Logarithms<\/strong><\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\phantom{\\rule{1.9em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}\\frac{M}{N}={\\text{log}}_{a}M-{\\text{log}}_{a}N\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\phantom{\\rule{2.4em}{0ex}}\\text{ln}\\frac{M}{N}=\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}M-\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}N\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><strong data-effect=\"bold\">Power Property of Logarithms<\/strong><\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\phantom{\\rule{1.55em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}{M}^{p}=p\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\(\\phantom{\\rule{1.76em}{0ex}}\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{M}^{p}=p\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}M\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<\/li>\r\n \t<li><strong data-effect=\"bold\">Change-of-Base Formula<\/strong>\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\nFor any logarithmic bases <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em>, and \\(M&gt;0,\\)\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n<div data-type=\"equation\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{ccccccc}\\hfill {\\text{log}}_{a}M=\\frac{{\\text{log}}_{b}M}{{\\text{log}}_{b}a}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M=\\frac{\\text{log}M}{\\text{log}a}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}{\\text{log}}_{a}M=\\frac{\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}M}{\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a}\\hfill \\\\ \\hfill \\text{new base}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}b\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\text{new base 10}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{2em}{0ex}}\\text{new base}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}e\\hfill \\end{array}\\)<\/div><\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/div>\r\n<div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167829579253\">\r\n<div class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167829579256\">\r\n<h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4>\r\n<p id=\"fs-id1167829580267\"><strong data-effect=\"bold\">Use the Properties of Logarithms<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167829614345\">In the following exercises, use the properties of logarithms to evaluate.<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836319287\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836319289\">\r\n<p id=\"fs-id1167836319291\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\text{log}}_{4}1\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\text{log}}_{8}8\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836570225\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836570227\">\r\n<p id=\"fs-id1167836390535\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({\\text{log}}_{12}1\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}e\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836613922\">\r\n<p id=\"fs-id1167836613924\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 0 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836551264\">\r\n<p id=\"fs-id1167836551266\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({3}^{{\\text{log}}_{3}6}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\text{log}}_{2}{2}^{7}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167832976425\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832976427\">\r\n<p id=\"fs-id1167832976429\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({5}^{{\\text{log}}_{5}10}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\text{log}}_{4}{4}^{10}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836701638\">\r\n<p id=\"fs-id1167836701640\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 10 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 10<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836698976\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167825919001\">\r\n<p id=\"fs-id1167825919003\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({8}^{{\\text{log}}_{8}7}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\text{log}}_{6}{6}^{-2}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167825703204\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167825703206\">\r\n<p id=\"fs-id1167825703208\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({6}^{{\\text{log}}_{6}15}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\({\\text{log}}_{8}{8}^{-4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167824739893\">\r\n<p id=\"fs-id1167824739895\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 15 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(-4\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836507093\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836507095\">\r\n<p id=\"fs-id1167836570695\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({10}^{\\text{log}\\sqrt{5}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{log}{10}^{-2}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167824731565\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167824731567\">\r\n<p id=\"fs-id1167824731569\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({10}^{\\text{log}\\sqrt{3}}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{log}{10}^{-1}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167826128120\">\r\n<p id=\"fs-id1167826128122\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\sqrt{3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(-1\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829787246\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829715382\">\r\n<p id=\"fs-id1167829715384\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({e}^{\\text{ln}4}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{e}^{2}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836546363\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836546365\">\r\n<p id=\"fs-id1167836546367\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\({e}^{\\text{ln}3}\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{e}^{7}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829690214\">\r\n<p id=\"fs-id1167829690217\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 3 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 7<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167829906149\">In the following exercises, use the Product Property of Logarithms to write each logarithm as a sum of logarithms. Simplify if possible.<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836288666\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836288668\">\r\n<p id=\"fs-id1167829740465\">\\({\\text{log}}_{4}6x\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832930333\">\r\n<p id=\"fs-id1167832930335\">\\({\\text{log}}_{5}8y\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167824735966\">\r\n<p id=\"fs-id1167824735969\">\\({\\text{log}}_{5}8+{\\text{log}}_{5}y\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836322858\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836322860\">\r\n<p id=\"fs-id1167833025743\">\\({\\text{log}}_{2}32xy\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836289339\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836289341\">\r\n<p id=\"fs-id1167836289343\">\\({\\text{log}}_{3}81xy\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836607356\">\r\n<p id=\"fs-id1167836607358\">\\(4+{\\text{log}}_{3}x+{\\text{log}}_{3}y\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836628610\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836628613\">\r\n<p id=\"fs-id1167836407090\">\\(\\text{log}100x\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829715346\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829715348\">\r\n<p id=\"fs-id1167829715350\">\\(\\text{log}1000y\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167826172030\">\\(3+\\text{log}y\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167824737588\">In the following exercises, use the Quotient Property of Logarithms to write each logarithm as a sum of logarithms. Simplify if possible.<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836292389\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836292391\">\r\n<p id=\"fs-id1167836292393\">\\({\\text{log}}_{3}\\frac{3}{8}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836601706\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833356538\">\r\n<p id=\"fs-id1167833356540\">\\({\\text{log}}_{6}\\frac{5}{6}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836299782\">\r\n<p id=\"fs-id1167836299784\">\\({\\text{log}}_{6}5-1\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836619872\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836619874\">\r\n<p id=\"fs-id1167836601285\">\\({\\text{log}}_{4}\\frac{16}{y}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829719382\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829719384\">\r\n<p id=\"fs-id1167829719386\">\\({\\text{log}}_{5}\\frac{125}{x}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836353181\">\r\n<p id=\"fs-id1167836683579\">\\(3-{\\text{log}}_{5}x\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167822977346\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167822977348\">\r\n<p id=\"fs-id1167822977350\">\\(\\text{log}\\frac{x}{10}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836567119\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829808689\">\r\n<p id=\"fs-id1167829808691\">\\(\\text{log}\\frac{10,000}{y}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167824764014\">\r\n<p id=\"fs-id1167824764016\">\\(4-\\text{log}y\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829921716\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829921719\">\r\n<p id=\"fs-id1167836579217\">\\(\\text{ln}\\frac{{e}^{3}}{3}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829749650\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167824699954\">\r\n<p id=\"fs-id1167824699956\">\\(\\text{ln}\\frac{{e}^{4}}{16}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167825924144\">\r\n<p id=\"fs-id1167825924147\">\\(4-\\text{ln}16\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167833256649\">In the following exercises, use the Power Property of Logarithms to expand each. Simplify if possible.<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833256652\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836560860\">\r\n<p id=\"fs-id1167836560862\">\\({\\text{log}}_{3}{x}^{2}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836526355\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836526357\">\r\n<p id=\"fs-id1167829745534\">\\({\\text{log}}_{2}{x}^{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833223994\">\r\n<p id=\"fs-id1167833223996\">\\(5{\\text{log}}_{2}x\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829690051\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829690053\">\r\n<p id=\"fs-id1167829690055\">\\(\\text{log}{x}^{-2}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833056098\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833056101\">\r\n\r\n\\(\\text{log}{x}^{-3}\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836792661\">\r\n<p id=\"fs-id1167836792663\">\\(-3\\text{log}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836318305\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836318307\">\r\n\r\n\\({\\text{log}}_{4}\\sqrt{x}\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833326970\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833326972\">\r\n<p id=\"fs-id1167833326975\">\\({\\text{log}}_{5}\\sqrt[3]{x}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836509464\">\r\n<p id=\"fs-id1167836509466\">\\(\\frac{1}{3}{\\text{log}}_{5}x\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833007506\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167824732934\">\r\n<p id=\"fs-id1167824732936\">\\(\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{x}^{\\sqrt{3}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833397286\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833397289\">\r\n<p id=\"fs-id1167824578708\">\\(\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{x}^{\\sqrt[3]{4}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836662797\">\r\n<p id=\"fs-id1167829650458\">\\(\\sqrt[3]{4}\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167833128401\">In the following exercises, use the Properties of Logarithms to expand the logarithm. Simplify if possible.<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836515173\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836515175\">\r\n<p id=\"fs-id1167836515177\">\\({\\text{log}}_{5}\\left(4{x}^{6}{y}^{4}\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836493549\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836493551\">\r\n\r\n\\({\\text{log}}_{2}\\left(3{x}^{5}{y}^{3}\\right)\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833018371\">\r\n<p id=\"fs-id1167833018374\">\\({\\text{log}}_{2}3+5{\\text{log}}_{2}x+3{\\text{log}}_{2}y\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826128106\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826128108\">\r\n<p id=\"fs-id1167833057395\">\\({\\text{log}}_{3}\\left(\\sqrt{2}{x}^{2}\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836294137\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836399850\">\r\n<p id=\"fs-id1167836399852\">\\({\\text{log}}_{5}\\left(\\sqrt[4]{21}{y}^{3}\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833128715\">\r\n<p id=\"fs-id1167833128717\">\\(\\frac{1}{4}{\\text{log}}_{5}21+3{\\text{log}}_{5}y\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836487027\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836487030\">\r\n<p id=\"fs-id1167836487032\">\\({\\text{log}}_{3}\\frac{x{y}^{2}}{{z}^{2}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836509057\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836509059\">\r\n<p id=\"fs-id1167824720407\">\\({\\text{log}}_{5}\\frac{4a{b}^{3}{c}^{4}}{{d}^{2}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836294462\">\r\n<p id=\"fs-id1167836294464\">\\({\\text{log}}_{5}4+{\\text{log}}_{5}a+3{\\text{log}}_{5}b\\)<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n\\(+\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}4{\\text{log}}_{5}c-2{\\text{log}}_{5}d\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836574114\">\r\n<p id=\"fs-id1167836574116\">\\({\\text{log}}_{4}\\frac{\\sqrt{x}}{16{y}^{4}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836732484\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836732486\">\r\n<p id=\"fs-id1167836732488\">\\({\\text{log}}_{3}\\frac{\\sqrt[3]{{x}^{2}}}{27{y}^{4}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836442187\">\r\n\r\n\\(\\frac{2}{3}{\\text{log}}_{3}x-3-4{\\text{log}}_{3}y\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829878909\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829878911\">\r\n<p id=\"fs-id1167829878913\">\\({\\text{log}}_{2}\\frac{\\sqrt{2x+{y}^{2}}}{{z}^{2}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836511329\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836621428\">\r\n<p id=\"fs-id1167836621430\">\\({\\text{log}}_{3}\\frac{\\sqrt{3x+2{y}^{2}}}{5{z}^{2}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836536940\">\r\n<p id=\"fs-id1167829696030\">\\(\\frac{1}{2}{\\text{log}}_{3}\\left(3x+2{y}^{2}\\right)-{\\text{log}}_{3}5-2{\\text{log}}_{3}z\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833271212\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829746995\">\r\n<p id=\"fs-id1167829746997\">\\({\\text{log}}_{2}\\sqrt[4]{\\frac{5{x}^{3}}{2{y}^{2}{z}^{4}}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167829861818\">\\({\\text{log}}_{5}\\sqrt[3]{\\frac{3{x}^{2}}{4{y}^{3}z}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\">\r\n\r\n\\(\\frac{1}{3}\\left({\\text{log}}_{5}3+2{\\text{log}}_{5}x-{\\text{log}}_{5}4\\)\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n\\(-\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}3{\\text{log}}_{5}y-{\\text{log}}_{5}z\\right)\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167833057861\">In the following exercises, use the Properties of Logarithms to condense the logarithm. Simplify if possible.<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167824704166\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167824704168\">\r\n<p id=\"fs-id1167824704170\">\\({\\text{log}}_{6}4+{\\text{log}}_{6}9\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833270269\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833270271\">\r\n<p id=\"fs-id1167833270273\">\\(\\text{log}4+\\text{log}25\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836621827\">\r\n\r\n2\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829750116\">\r\n<p id=\"fs-id1167829750118\">\\({\\text{log}}_{2}80-{\\text{log}}_{2}5\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167824731956\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167824731959\">\r\n<p id=\"fs-id1167836558245\">\\({\\text{log}}_{3}36-{\\text{log}}_{3}4\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167825703435\">\r\n<p id=\"fs-id1167825703437\">2<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167825703443\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167825703445\">\r\n<p id=\"fs-id1167836319211\">\\({\\text{log}}_{3}4+{\\text{log}}_{3}\\left(x+1\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\">\r\n\r\n\\({\\text{log}}_{2}5-{\\text{log}}_{2}\\left(x-1\\right)\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\">\r\n\r\n\\({\\text{log}}_{2}\\frac{5}{x-1}\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833310483\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833310485\">\r\n<p id=\"fs-id1167833310487\">\\({\\text{log}}_{7}3+{\\text{log}}_{7}x-{\\text{log}}_{7}y\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833023778\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833023781\">\r\n<p id=\"fs-id1167833023783\">\\({\\text{log}}_{5}2-{\\text{log}}_{5}x-{\\text{log}}_{5}y\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833378077\">\r\n<p id=\"fs-id1167836664695\">\\({\\text{log}}_{5}\\frac{2}{xy}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167830077242\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829596083\">\r\n<p id=\"fs-id1167829596085\">\\(4{\\text{log}}_{2}x+6{\\text{log}}_{2}y\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832980527\">\r\n<p id=\"fs-id1167832980529\">\\(6{\\text{log}}_{3}x+9{\\text{log}}_{3}y\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167829832304\">\\({\\text{log}}_{3}{x}^{6}{y}^{9}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829908654\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833054705\">\r\n<p id=\"fs-id1167833054707\">\\({\\text{log}}_{3}\\left({x}^{2}-1\\right)-2{\\text{log}}_{3}\\left(x-1\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836530742\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836530744\">\r\n<p id=\"fs-id1167836530746\">\\(\\text{log}\\left({x}^{2}+2x+1\\right)-2\\text{log}\\left(x+1\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836502132\">\r\n<p id=\"fs-id1167829749981\">0<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829749987\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829749989\">\r\n<p id=\"fs-id1167829749991\">\\(4\\text{log}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x-2\\text{log}y-3\\text{log}z\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833129223\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833129225\">\r\n<p id=\"fs-id1167833129227\">\\(3\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x+4\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}y-2\\text{ln}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}z\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829594427\">\r\n<p id=\"fs-id1167829594429\">\\(\\text{ln}\\frac{{x}^{3}{y}^{4}}{{z}^{2}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826132417\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836662844\">\r\n<p id=\"fs-id1167836662846\">\\(\\frac{1}{3}\\text{log}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x-3\\text{log}\\left(x+1\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833349777\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833349780\">\r\n<p id=\"fs-id1167833349782\">\\(2\\text{log}\\left(2x+3\\right)+\\frac{1}{2}\\text{log}\\left(x+1\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836531314\">\r\n\r\n\\(\\text{log}{\\left(2x+3\\right)}^{2}\u00b7\\sqrt{x+1}\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<strong data-effect=\"bold\">Use the Change-of-Base Formula<\/strong>\r\n\r\nIn the following exercises, use the Change-of-Base Formula, rounding to three decimal places, to approximate each logarithm.\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836440621\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836440623\">\r\n<p id=\"fs-id1167836440625\">\\({\\text{log}}_{3}42\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836666277\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836666279\">\r\n<p id=\"fs-id1167836666281\">\\({\\text{log}}_{5}46\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833207818\">\r\n<p id=\"fs-id1167833207820\">\\(2.379\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836553638\">\r\n<p id=\"fs-id1167836553640\">\\({\\text{log}}_{12}87\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836541801\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836541803\">\r\n<p id=\"fs-id1167836541806\">\\({\\text{log}}_{15}93\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829597751\">\r\n<p id=\"fs-id1167829597753\">\\(1.674\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836622300\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836622302\">\r\n<p id=\"fs-id1167836622305\">\\({\\text{log}}_{\\sqrt{2}}17\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829619908\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829619910\">\r\n<p id=\"fs-id1167836578895\">\\({\\text{log}}_{\\sqrt{3}}21\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829579779\">\r\n<p id=\"fs-id1167829579781\">\\(5.542\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div class=\"writing\" data-depth=\"2\">\r\n<h4 data-type=\"title\">Writing Exercises<\/h4>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833138475\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833138477\">\r\n<p id=\"fs-id1167833138480\">Write the Product Property in your own words. Does it apply to each of the following? \\({\\text{log}}_{a}5x,\\)\\({\\text{log}}_{a}\\left(5+x\\right).\\) Why or why not?<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167825884740\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167825884742\">\r\n<p id=\"fs-id1167829711788\">Write the Power Property in your own words. Does it apply to each of the following? \\({\\text{log}}_{a}{x}^{p},\\)\\({\\left({\\text{log}}_{a}x\\right)}^{r}.\\) Why or why not?<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836692306\">\r\n<p id=\"fs-id1167833059141\">Answers will vary.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833059146\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833059148\">\r\n<p id=\"fs-id1167833059150\">Use an example to show that<\/p>\r\n\r\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\r\n\\(\\text{log}\\left(a+b\\right)\\ne \\text{log}a+\\text{log}b?\\)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836507679\" class=\"material-set-2\">\r\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836507681\">\r\n<p id=\"fs-id1167836605123\">Explain how to find the value of \\({\\text{log}}_{7}15\\) using your calculator.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833007369\">\r\n<p id=\"fs-id1167833007371\">Answers will vary.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167829789208\">\r\n<h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4>\r\n<p id=\"fs-id1167829789214\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p>\r\n<span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836685091\" data-alt=\"This table has three rows and four columns. The first row, which serves as a header, reads I can\u2026, Confidently, With some help, and No\u2014I don\u2019t get it. The first column below the header row reads use the properties of logarithms and use the change of base formula. The rest of the cells are blank.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_10_04_201_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This table has three rows and four columns. The first row, which serves as a header, reads I can\u2026, Confidently, With some help, and No\u2014I don\u2019t get it. The first column below the header row reads use the properties of logarithms and use the change of base formula. The rest of the cells are blank.\" \/><\/span>\r\n<p id=\"fs-id1167836621079\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> On a scale of \\(1-10,\\) how would you rate your mastery of this section in light of your responses on the checklist? How can you improve this?<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>","rendered":"<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\">\n<h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>\n<p>By the end of this section, you will be able to:<\/p>\n<ul>\n<li>Use the properties of logarithms<\/li>\n<li>Use the Change of Base Formula<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836326175\" class=\"be-prepared\">\n<p>Before you get started, take this readiness quiz.<\/p>\n<ol id=\"fs-id1167829908076\" type=\"1\">\n<li>Evaluate: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8fd43f87b436f4fe4a10f792fc700a2a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f454a79175d671d725cc111566d43319_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/3fa6a6c5-9a36-4dee-aea1-0166229f52fb#fs-id1167834095326\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>Write with a rational exponent: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-726c75908aaa5f35bf8146fdd1e281f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#121;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"48\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/eb676a52-0094-4ffb-95d3-c8eb0596e397#fs-id1169145489074\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>Round to three decimal places: 2.5646415.\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>If you missed this problem, review <a href=\"\/contents\/99b2296a-9957-4380-aff4-248abadc862b#fs-id1167836309901\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167833024608\">\n<h3 data-type=\"title\">Use the Properties of Logarithms<\/h3>\n<p>Now that we have learned about exponential and logarithmic functions, we can introduce some of the properties of logarithms. These will be very helpful as we continue to solve both exponential and logarithmic equations.<\/p>\n<p>The first two properties derive from the definition of logarithms. Since <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ecac77b1153dc3e35ca9a2c0afdcf6a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;&#61;&#49;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> we can convert this to logarithmic form and get <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af89de0785121c17f2a3f16991bb7738_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#49;&#61;&#48;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> Also, since <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9584eed6934183dd7486eaca07094778_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#61;&#97;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> we get <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ed5164d4fce9ebf5ac09d1685d553371_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#97;&#61;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829930461\">\n<div data-type=\"title\">Properties of Logarithms<\/div>\n<div data-type=\"equation\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2f417c08780a84eb42468705fbc90199_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#49;&#61;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#97;&#61;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"233\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1168756304338\">In the next example we could evaluate the logarithm by converting to exponential form, as we have done previously, but recognizing and then applying the properties saves time.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167836560798\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833349747\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836361275\">\n<p id=\"fs-id1167829692393\">Evaluate using the properties of logarithms: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f7413f7ac7aa6e32d0fffc664c83863d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#56;&#125;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48f6cdcd7f43e52b1e61bf93827d3d8f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#54;&#125;&#54;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836513768\">\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d37c65dd280f9279988e047d96203c1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#56;&#125;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#85;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#112;&#114;&#111;&#112;&#101;&#114;&#116;&#121;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#49;&#61;&#48;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#56;&#125;&#49;&#61;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"478\" style=\"vertical-align: -15px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167824740619\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b51bebbb88703a652d98b3b343febcf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"478\" style=\"vertical-align: -15px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829619136\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829650482\">\n<div data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167836476842\">Evaluate using the properties of logarithms: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5043ddcce773d7919c3d6298532bde3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#49;&#51;&#125;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3896fb87dc87e3b1a0f5c550635e6e2e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#53;&#125;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01af055c6d21633553d4d32685115707_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#55;&#125;&#55;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836492892\">\n<p id=\"fs-id1167829812205\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 0 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167833057310\">The next two properties can also be verified by converting them from exponential form to logarithmic form, or the reverse.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167836689468\">The exponential equation <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38f60be38a7fa9721fbc73d6a5bf067f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#120;&#125;&#61;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"77\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> converts to the logarithmic equation <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0200435eaa3839824f300cf335df9155_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#120;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#120;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> which is a true statement for positive values for <em data-effect=\"italics\">x<\/em> only.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167833046845\">The logarithmic equation <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cfe1e207e1550a7f1e0bd976ccdd3328_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#120;&#125;&#61;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> converts to the exponential equation <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04e008559d700d65027226e6e5c15dcb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#120;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#120;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> which is also a true statement.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167836568022\">These two properties are called inverse properties because, when we have the same base, raising to a power \u201cundoes\u201d the log and taking the log \u201cundoes\u201d raising to a power. These two properties show the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">composition<\/span> of functions. Both ended up with the identity function which shows again that the exponential and logarithmic functions are inverse functions.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836509660\">\n<div data-type=\"title\">Inverse Properties of Logarithms<\/div>\n<p>For <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aaf802bf2187ba09e2c109dce11ba56c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#62;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-37665e9aef746e6afdd95539e8c09bd5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#62;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3564ca580a6f6576ac947a39b5553d2e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#49;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167833066282\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-438a8c41548ba362fd44bc440d4dcc5e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#120;&#125;&#61;&#120;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#120;&#125;&#61;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"248\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1165927653240\">In the next example, apply the inverse properties of logarithms.<\/p>\n<div data-type=\"example\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826206089\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829599012\">\n<p>Evaluate using the properties of logarithms: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c7bfc356288d61ff28ffbd681e504a73_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#52;&#125;&#94;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> and <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1ae183c82d4e8810dbdff38d97771cb2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836509070\">\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a795fa070f2cb63230baffb2f0dd3921_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"61\" width=\"344\" style=\"vertical-align: -23px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167836554106\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2dcdce9e4117130800dc15ee8a35b95a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"63\" width=\"350\" style=\"vertical-align: -26px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833054414\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836334869\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826211779\">\n<p>Evaluate using the properties of logarithms: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6a0cfd4208ecffa0f892da2084f3b83c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#53;&#125;&#94;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#53;&#125;&#49;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bff6bfca11d6bbcf15f8e94baba606ca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"40\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-877c714fb6bfffbf2ab75dc31047fcc0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#49;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833021611\">\n<p id=\"fs-id1167836615550\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 8 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 15<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167836360532\">There are three more properties of logarithms that will be useful in our work. We know exponential functions and logarithmic function are very interrelated. Our definition of logarithm shows us that a logarithm is the exponent of the equivalent exponential. The properties of exponents have related properties for exponents.<\/p>\n<p>In the Product Property of Exponents, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-22c42a903c3831b41e9fd1a94e33556b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&middot;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#43;&#110;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> we see that to multiply the same base, we add the exponents. The <span data-type=\"term\">Product Property of Logarithms<\/span>, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bc02a220681368adfc2b49b2d6e09e76_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&middot;&#78;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"208\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> tells us to take the log of a product, we add the log of the factors.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829694016\">\n<div data-type=\"title\">Product Property of Logarithms<\/div>\n<p id=\"fs-id1167829907689\">If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4774b5290bbb1f28741f99ab7030e20b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#77;&#62;&#48;&#44;&#78;&#62;&#48;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#125;&#62;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"158\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba3d0433f29c9753331eab5bf6e10f39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#125;&#92;&#110;&#101;&#32;&#49;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> then,<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836560117\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afe53c9d88901ddc3dea457386d9d3ea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#77;&middot;&#78;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"225\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167833085159\">The logarithm of a product is the sum of the logarithms.<\/p>\n<\/div>\n<p>We use this property to write the log of a product as a sum of the logs of each factor.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167824643239\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826132687\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836701067\">\n<p id=\"fs-id1167836447737\">Use the Product Property of Logarithms to write each logarithm as a sum of logarithms. Simplify, if possible: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fa8f7a16fbada2dc9b1d149f5bd28d66_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#55;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd5a5e63b472d711f3576a1fc49b3fe5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#54;&#52;&#120;&#121;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836532493\">\n<p id=\"fs-id1167829633946\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0bca79a5d745aec4a50b9dbade39f102_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"105\" width=\"696\" style=\"vertical-align: -48px;\" \/><\/p>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-528f0345d115c60999f4ae8e7f707c1c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"149\" width=\"745\" style=\"vertical-align: -70px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836533952\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829905701\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829979367\">\n<p>Use the Product Property of Logarithms to write each logarithm as a sum of logarithms. Simplify, if possible.<\/p>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-187d417ee3c631c54c1513d05a5a868e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#51;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9aa591825e9a8b3c68302532792f18ac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#56;&#120;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167833274773\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-16a50b51456bcd314c0d60321ff96dad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e85eb0cc7eecdec7a759fb84d67aa8c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#120;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"132\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836701291\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836287646\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836520189\">\n<p>Use the Product Property of Logarithms to write each logarithm as a sum of logarithms. Simplify, if possible.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167824735147\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eb6fbed62cbe0c26303635a9e6ffa409_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#57;&#125;&#57;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1abde5ff96fc03b084dbaf617324d51c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#50;&#55;&#120;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836492299\">\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c251174ae03ad830eac39985b5842741_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#57;&#125;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6dd73a8ea37da23944bb2551383e6072_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#120;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"132\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>Similarly, in the Quotient Property of Exponents, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b6c58c32e588e470f8f095c5884feed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#125;&#123;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#45;&#110;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> we see that to divide the same base, we subtract the exponents. The <span data-type=\"term\">Quotient Property of Logarithms<\/span>, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fae8c3e021a57e512873328ebd69a647_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#77;&#125;&#123;&#78;&#125;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"191\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> tells us to take the log of a quotient, we subtract the log of the numerator and denominator.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833008215\">\n<div data-type=\"title\">Quotient Property of Logarithms<\/div>\n<p>If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-250417e69e4271c9b3c49fb7e2863a65_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#77;&#62;&#48;&#44;&#78;&#62;&#48;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#125;&#62;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"155\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba3d0433f29c9753331eab5bf6e10f39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#125;&#92;&#110;&#101;&#32;&#49;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> then,<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836512572\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fae8c3e021a57e512873328ebd69a647_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#77;&#125;&#123;&#78;&#125;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"191\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p>The logarithm of a quotient is the difference of the logarithms.<\/p>\n<\/div>\n<p>Note that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55de502ec2d0a84414cd05eb0c0ec935_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#78;&#92;&#110;&#101;&#32;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#77;&#45;&#78;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"254\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167833142370\">We use this property to write the log of a quotient as a difference of the logs of each factor.<\/p>\n<div data-type=\"example\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836662447\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829694727\">\n<p>Use the Quotient Property of Logarithms to write each logarithm as a difference of logarithms. Simplify, if possible.<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-144587c68edbfd7e3c526e1a877d36dc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#53;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> and <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1db2a9d501386f2ca6f9790b1694c958_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#125;&#123;&#49;&#48;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836524021\">\n<p id=\"fs-id1167836625233\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df3b708878133c7c6a8e14501305a2ea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"132\" width=\"629\" style=\"vertical-align: -61px;\" \/><\/p>\n<p><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e9aee34c53261351142059ffd061cfd5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#125;&#123;&#49;&#48;&#48;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#85;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#81;&#117;&#111;&#116;&#105;&#101;&#110;&#116;&#32;&#80;&#114;&#111;&#112;&#101;&#114;&#116;&#121;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#77;&#125;&#123;&#78;&#125;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#78;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;&#45;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#49;&#48;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#109;&#112;&#108;&#105;&#102;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;&#45;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#125;&#123;&#49;&#48;&#48;&#125;&#61;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;&#45;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"130\" width=\"631\" style=\"vertical-align: -62px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167824841895\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167824732926\">\n<div data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167836312715\">Use the Quotient Property of Logarithms to write each logarithm as a difference of logarithms. Simplify, if possible.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167836502108\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-44cedf57b5e3e8eabc6aa7ceb5f43d9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f6e8df11b3f9b898c0dca4345e1c0c81_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#125;&#123;&#49;&#48;&#48;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829595168\">\n<p id=\"fs-id1167836367768\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-99716a3a2ad3a6f59d62e84a549eb304_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#51;&#45;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df3dad2fb99eec4e0ec67fecc0c1147a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;&#45;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167825885618\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\">\n<div data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167825702912\">Use the Quotient Property of Logarithms to write each logarithm as a difference of logarithms. Simplify, if possible.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167833370053\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26542e207b60371c0b00785e691f26a3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5dba3ce8a15d58bfd2fea977ee6d53f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#48;&#125;&#123;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167836400007\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f253033069eb7da9dcedb207a1d95bc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#53;&#45;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-260dab49a7e832eeb27dcb7b4b334b86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#45;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>The third property of logarithms is related to the Power Property of Exponents, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1ffe54a0a065c4f2fd6ee0a1d7df1a5e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#109;&middot;&#110;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> we see that to raise a power to a power, we multiply the exponents. The <span data-type=\"term\">Power Property of Logarithms<\/span>, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-72302936d85dea367085a0792d8c18c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#123;&#77;&#125;&#94;&#123;&#112;&#125;&#61;&#112;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"144\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> tells us to take the log of a number raised to a power, we multiply the power times the log of the number.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836542306\">\n<div data-type=\"title\">Power Property of Logarithms<\/div>\n<p>If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff2f2faf981f56175e112a1768ae96e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#77;&#62;&#48;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#125;&#62;&#48;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#125;&#92;&#110;&#101;&#32;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"156\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3bf85f1087e9fbed3a319341134ac1a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#112;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is any real number then,<\/p>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836556087\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-72302936d85dea367085a0792d8c18c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#123;&#77;&#125;&#94;&#123;&#112;&#125;&#61;&#112;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"144\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<p>The log of a number raised to a power as the product product of the power times the log of the number.<\/p>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167824740500\">We use this property to write the log of a number raised to a power as the product of the power times the log of the number. We essentially take the exponent and throw it in front of the logarithm.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167824767082\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167824774192\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836512226\">\n<p id=\"fs-id1167829596067\">Use the Power Property of Logarithms to write each logarithm as a product of logarithms. Simplify, if possible.<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10210f7574455d94f0b0e77d9f251a7c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#53;&#125;&#123;&#52;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5636811299824661b5d233afccdf1e5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836620851\">\n<p id=\"fs-id1167836731574\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-75261adbe43bbe1fc700f02a1b9eecac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"544\" style=\"vertical-align: -48px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167824766970\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c7f7a50a209fa7d3719dd788a719547_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"106\" width=\"550\" style=\"vertical-align: -47px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167826169922\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836693312\">\n<p>Use the Power Property of Logarithms to write each logarithm as a product of logarithms. Simplify, if possible.<\/p>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-efdf29e569d7f7f27ae9ddb6f125ca8f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#55;&#125;&#123;&#53;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b70567337993837044c2b7542dd0c347_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836289254\">\n<p id=\"fs-id1167836688151\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-63bca25620681f1e4cdfcd1196302b70_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#55;&#125;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-309fc1dd8e933ef13099414708f04ef1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#48;&#48;&middot;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"62\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167824578584\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833279808\">\n<p>Use the Power Property of Logarithms to write each logarithm as a product of logarithms. Simplify, if possible.<\/p>\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-75656d94cbdb6d5d2048628f47b9798e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2605d0ff6d4fa49fe84a6af807667ad2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\">\n<p><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94f7636e017d36a08d495b4f70d16b2d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"48\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65a0ee6c8994b9bfa1e3786da1f29abf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#48;&middot;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167833386842\">We summarize the Properties of Logarithms here for easy reference. While the natural logarithms are a special case of these properties, it is often helpful to also show the natural logarithm version of each property.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836699046\">\n<div data-type=\"title\">Properties of Logarithms<\/div>\n<p>If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff2f2faf981f56175e112a1768ae96e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#77;&#62;&#48;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#125;&#62;&#48;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#125;&#92;&#110;&#101;&#32;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"156\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3bf85f1087e9fbed3a319341134ac1a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#112;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is any real number then,<\/p>\n<table class=\"unnumbered\" summary=\".\" data-label=\"\">\n<thead>\n<tr valign=\"top\">\n<th data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">Property<\/th>\n<th data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">Base <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/th>\n<th data-valign=\"middle\" data-align=\"left\">Base <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3fc193f43cc29c1eef788f64ba43c1bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#101;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td><\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fef5420e00e1e327ad24d98cefa550cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#49;&#61;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc14d615d443ba1d7cc85acfe29f906b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#49;&#61;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td><\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c9e052e27a3cfad23461fe827bb56cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#97;&#61;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af11d25aa23e335eeddf7f301c037744_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#101;&#61;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><strong data-effect=\"bold\">Inverse Properties<\/strong><\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5e0c799a8697f215a551e796558b966_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#120;&#125;&#61;&#120;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#120;&#125;&#61;&#120;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -15px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5319a3059bad3619bbee20185d50951b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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Property of Logarithms<\/strong><\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afe53c9d88901ddc3dea457386d9d3ea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#77;&middot;&#78;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"225\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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\/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><strong data-effect=\"bold\">Quotient Property of Logarithms<\/strong><\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fae8c3e021a57e512873328ebd69a647_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#77;&#125;&#123;&#78;&#125;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"191\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" 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style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><strong data-effect=\"bold\">Power Property of Logarithms<\/strong><\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-72302936d85dea367085a0792d8c18c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#123;&#77;&#125;&#94;&#123;&#112;&#125;&#61;&#112;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"144\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"middle\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-13262add634ff109da2beac5321d0c7b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#77;&#125;&#94;&#123;&#112;&#125;&#61;&#112;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#77;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"119\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167836694331\">Now that we have the properties we can use them to \u201cexpand\u201d a logarithmic expression. This means to write the logarithm as a sum or difference and without any powers.<\/p>\n<p>We generally apply the Product and Quotient Properties before we apply the Power Property.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167824822972\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829716031\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836609282\">\n<p id=\"fs-id1167836530646\">Use the Properties of Logarithms to expand the logarithm <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-798e8bfe65de6ce3c9578e47d6ba90c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/>. Simplify, if possible.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836448201\">\n<p id=\"fs-id1167833058231\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-911d9298bd347e3d7abe25afa1007a8b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"155\" width=\"871\" style=\"vertical-align: -73px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829715157\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836532369\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836620332\">\n<p>Use the Properties of Logarithms to expand the logarithm <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-238b153a644091eeadc406ea5e494583_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/>. Simplify, if possible.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167833047214\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2a28cdab4651807ee75045a4609cf087_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#53;&#43;&#52;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#120;&#43;&#50;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"180\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836546251\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836549935\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836541870\">\n<p id=\"fs-id1167836531894\">Use the Properties of Logarithms to expand the logarithm <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4aabac311559b466796638cac175605f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#55;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/>. Simplify, if possible.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167825836585\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eea8a8880dfa6f65f82fb6521a1e9b5a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#55;&#43;&#53;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#120;&#43;&#51;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"180\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>When we have a radical in the logarithmic expression, it is helpful to first write its radicand as a rational exponent.<\/p>\n<div data-type=\"example\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836296138\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836602246\">\n<p>Use the Properties of Logarithms to expand the logarithm <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6833d05b00a4b323085910dfa258bef5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#52;&#93;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#123;&#51;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#122;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/>. Simplify, if possible.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833019889\">\n<p id=\"fs-id1167836628705\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e49cb7260e570bbadc33d76466fbd8a3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"532\" width=\"848\" style=\"vertical-align: -262px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836627250\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836433725\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833326358\">\n<p id=\"fs-id1167836533759\">Use the Properties of Logarithms to expand the logarithm <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-522b389e67325ed497a66f514d85e50a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#53;&#93;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#125;&#123;&#50;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by 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Simplify, if possible.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833239698\">\n<p id=\"fs-id1167836525864\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10607c2182b4235261ca1ae371eee550_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#53;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#120;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#45;&#51;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#121;&#45;&#50;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#122;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"248\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836355899\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836312554\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167826129138\">\n<p id=\"fs-id1167824732203\">Use the Properties of Logarithms to expand the logarithm <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-880c5cb17ca7362550520bfc336bd01d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#91;&#51;&#93;&#123;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#53;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#125;&#122;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/>. Simplify, if possible.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836456199\">\n<p id=\"fs-id1167836728314\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65778580302981c3c48c82d4d4c657ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#120;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#53;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#121;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#122;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167824763483\">The opposite of expanding a logarithm is to condense a sum or difference of logarithms that have the same base into a single logarithm. We again use the properties of logarithms to help us, but in reverse.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167829586351\">To condense logarithmic expressions with the same base into one logarithm, we start by using the Power Property to get the coefficients of the log terms to be one and then the Product and Quotient Properties as needed.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167833056354\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836326277\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836320366\">\n<p id=\"fs-id1167836352825\">Use the Properties of Logarithms to condense the logarithm <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21552264900fc00d74bcdd5d7387e4e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#51;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#120;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"162\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>. Simplify, if possible.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829930936\">\n<p id=\"fs-id1167836531920\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87444b211ea41f8be2447591d8d7bb89_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#104;&#101;&#32;&#108;&#111;&#103;&#32;&#101;&#120;&#112;&#114;&#101;&#115;&#115;&#105;&#111;&#110;&#115;&#32;&#97;&#108;&#108;&#32;&#104;&#97;&#118;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#115;&#97;&#109;&#101;&#32;&#98;&#97;&#115;&#101;&#44;&#32;&#52;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#54;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#51;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#120;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#121;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#104;&#101;&#32;&#102;&#105;&#114;&#115;&#116;&#32;&#116;&#119;&#111;&#32;&#116;&#101;&#114;&#109;&#115;&#32;&#97;&#114;&#101;&#32;&#97;&#100;&#100;&#101;&#100;&#44;&#32;&#115;&#111;&#32;&#119;&#101;&#32;&#117;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#80;&#114;&#111;&#100;&#117;&#99;&#116;&#32;&#80;&#114;&#111;&#112;&#101;&#114;&#116;&#121;&#44;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#78;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&middot;&#78;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#54;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#51;&#120;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#121;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#110;&#99;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#108;&#111;&#103;&#115;&#32;&#97;&#114;&#101;&#32;&#115;&#117;&#98;&#116;&#114;&#97;&#99;&#116;&#101;&#100;&#44;&#32;&#119;&#101;&#32;&#117;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#81;&#117;&#111;&#116;&#105;&#101;&#110;&#116;&#32;&#80;&#114;&#111;&#112;&#101;&#114;&#116;&#121;&#44;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#78;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#77;&#125;&#123;&#78;&#125;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#54;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#120;&#125;&#123;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#54;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#51;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#120;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#121;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#120;&#125;&#123;&#121;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"132\" width=\"881\" style=\"vertical-align: -63px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836377864\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836355817\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836314651\">\n<p id=\"fs-id1167824585085\">Use the Properties of Logarithms to condense the logarithm <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-51c618b0d13dd0a4b3b7a0e5b71f81b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#53;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#120;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"162\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>. Simplify, if possible.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833328722\">\n<p id=\"fs-id1167836444994\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df78e1f191f7c9e2b8d07daa89b0b4e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#120;&#125;&#123;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167829745271\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836774254\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833058029\">\n<p id=\"fs-id1167836515619\">Use the Properties of Logarithms to condense the logarithm <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21ea5538404dbf457610e2faa49b6cca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#54;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#120;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"162\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>. Simplify, if possible.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833412682\">\n<p id=\"fs-id1167833048528\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2567d91d4db6759ef87fc755db05acaf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#125;&#123;&#120;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"48\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167833058729\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833186641\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836787861\">\n<p id=\"fs-id1167833053515\">Use the Properties of Logarithms to condense the logarithm <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9768e7854312348ca43b0edda3a3bd4c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#120;&#43;&#52;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"167\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>. Simplify, if possible.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836492430\">\n<p id=\"fs-id1167836692632\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1b5efb1a478383618a177b05491b037_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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Simplify, if possible.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829695264\">\n<p id=\"fs-id1167829695266\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-45ed27091355cef42c52e5dd24da71b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"102\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167825660092\">\n<h3 data-type=\"title\">Use the Change-of-Base Formula<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167829984062\">To evaluate a logarithm with any other base, we can use the <span data-type=\"term\" class=\"no-emphasis\">Change-of-Base Formula<\/span>. We will show how this is derived.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8582f4a1f1985da2f6e24c481f8a5922_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#117;&#112;&#112;&#111;&#115;&#101;&#32;&#119;&#101;&#32;&#119;&#97;&#110;&#116;&#32;&#116;&#111;&#32;&#101;&#118;&#97;&#108;&#117;&#97;&#116;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#76;&#101;&#116;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#121;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#121;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#82;&#101;&#119;&#114;&#105;&#116;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#101;&#120;&#112;&#114;&#101;&#115;&#115;&#105;&#111;&#110;&#32;&#105;&#110;&#32;&#101;&#120;&#112;&#111;&#110;&#101;&#110;&#116;&#105;&#97;&#108;&#32;&#102;&#111;&#114;&#109;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#121;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#77;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#97;&#107;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#98;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#111;&#102;&#32;&#101;&#97;&#99;&#104;&#32;&#115;&#105;&#100;&#101;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#98;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#121;&#125;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#98;&#125;&#77;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#85;&#115;&#101;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#80;&#111;&#119;&#101;&#114;&#32;&#80;&#114;&#111;&#112;&#101;&#114;&#116;&#121;&#46;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#121;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#98;&#125;&#97;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#98;&#125;&#77;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#111;&#108;&#118;&#101;&#32;&#102;&#111;&#114;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#121;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#121;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#98;&#125;&#77;&#125;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#98;&#125;&#97;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#117;&#98;&#115;&#116;&#105;&#116;&#117;&#116;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#121;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#98;&#125;&#77;&#125;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#98;&#125;&#97;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"162\" width=\"569\" style=\"vertical-align: -78px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167836356469\">The Change-of-Base Formula introduces a new base <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf59029b62b61185814b66fa6004b2f5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"12\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> This can be any base <em data-effect=\"italics\">b<\/em> we want where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8cdc8bf6743539110cb182c795e7f9b7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#62;&#48;&#44;&#98;&#92;&#110;&#101;&#32;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"92\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> Because our calculators have keys for logarithms base 10 and base <em data-effect=\"italics\">e<\/em>, we will rewrite the Change-of-Base Formula with the new base as 10 or <em data-effect=\"italics\">e<\/em>.<\/p>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167833274079\">\n<div data-type=\"title\">Change-of-Base Formula<\/div>\n<p id=\"fs-id1167829788705\">For any logarithmic bases <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bfaed44949cf9cfbeb3445de33aabd3b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#44;&#98;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"25\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b302f228ed6d61ff8ccf240d20fa921e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#77;&#62;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb0a3c3bb19129ee5ac039e35fda845d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#98;&#125;&#77;&#125;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#98;&#125;&#97;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#77;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#97;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#77;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#97;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#110;&#101;&#119;&#32;&#98;&#97;&#115;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#98;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#110;&#101;&#119;&#32;&#98;&#97;&#115;&#101;&#32;&#49;&#48;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#38;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#110;&#101;&#119;&#32;&#98;&#97;&#115;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#101;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"499\" style=\"vertical-align: -15px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1168756556563\">When we use a calculator to find the logarithm value, we usually round to three decimal places. This gives us an approximate value and so we use the approximately equal symbol <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f274400e66fd0e6fcb8c5a20e600d493_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#40;&#8776;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"12\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>.<\/p>\n<div data-type=\"example\" id=\"fs-id1167836614208\" class=\"textbox textbox--examples\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836614210\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836608436\">\n<p id=\"fs-id1167836608438\">Rounding to three decimal places, approximate <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-86a70bd7258352f4c4f24573df824231_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#51;&#53;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836539229\">\n<table id=\"fs-id1167829741851\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"We examine log sub 4 of 35. First, we use the change of base formula log sub a of M equals log sub b of M over log sub b of a, where a is blue and M is red. Then we identify a and M and choose 10 for b. This gives log sub 4 of 35 equals log of 35 over log of 4 where 4 is blue and 35 is red. Enter the expression log of 35 over log of 4 in the calculator using the log button for base 10. Hence, log sub 4 of 35 is approximately 2.5646.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836620865\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_10_04_001a_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Use the Change-of-Base Formula.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836664272\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_10_04_001b_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Identify <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">M<\/em>. Choose 10 for <em data-effect=\"italics\">b<\/em>.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_10_04_001c_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Enter the expression <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82348248ae8c5f35aa3e591f1d3cb69b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#51;&#53;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/> in the calculator<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>using the log button for base 10. Round to three decimal places.<\/td>\n<td data-valign=\"bottom\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836391639\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_10_04_001d_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\".\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167824735515\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167824735518\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836595915\">\n<p id=\"fs-id1167836595917\">Rounding to three decimal places, approximate <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c8dc168c9f0036282dea63a247bfd290_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#52;&#50;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836704928\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-40f3ad7a0d7ccc2a5132a43bffda544c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#46;&#52;&#48;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836574009\" class=\"try\">\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829739081\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829739083\">\n<p id=\"fs-id1167836529766\">Rounding to three decimal places, approximate <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d22a61c5d379a751822bda26ad36f20f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#53;&#125;&#52;&#54;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829833480\">\n<p id=\"fs-id1167829833482\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c02910eddfcf3fabfdeb01b14f7c5d69_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#46;&#51;&#55;&#57;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"41\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"note\" id=\"fs-id1167836627853\" class=\"media-2\">\n<p id=\"fs-id1167836547696\">Access these online resources for additional instruction and practice with using the properties of logarithms.<\/p>\n<ul id=\"fs-id1167833379361\" data-display=\"block\">\n<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37Logproperties\">Using Properties of Logarithms to Expand Logs<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37Condenselogs\">Using Properties of Logarithms to Condense Logs<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37Changeofbase\">Change of Base<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167836540486\">\n<h3 data-type=\"title\">Key Concepts<\/h3>\n<ul id=\"fs-id1167836341093\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li><strong data-effect=\"bold\">Properties of Logarithms<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836699031\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07adc260b0002de774cf71d6442d56ce_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#51;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#49;&#61;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#97;&#61;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"233\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Inverse Properties of Logarithms<\/strong>\n<ul id=\"fs-id1167836690704\" data-bullet-style=\"open-circle\">\n<li>For <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aaf802bf2187ba09e2c109dce11ba56c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#62;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-37665e9aef746e6afdd95539e8c09bd5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#62;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6adbea74ebaf16c6226c9386699ccfd3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#110;&#101;&#32;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167829713372\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5166703252e3eac5d91029f2cb6b176b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#120;&#125;&#61;&#120;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#52;&#46;&#57;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#120;&#125;&#61;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Product Property of Logarithms<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<ul id=\"fs-id1167833138150\" data-bullet-style=\"open-circle\">\n<li>If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4774b5290bbb1f28741f99ab7030e20b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#77;&#62;&#48;&#44;&#78;&#62;&#48;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#125;&#62;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"158\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#50;&#46;&#48;&#56;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&middot;&#78;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"208\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>The logarithm of a product is the sum of the logarithms.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Quotient Property of Logarithms<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<ul id=\"fs-id1167836388045\" data-bullet-style=\"open-circle\">\n<li>If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>The logarithm of a quotient is the difference of the logarithms.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Power Property of Logarithms<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<ul id=\"fs-id1167829741984\" data-bullet-style=\"open-circle\">\n<li>If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff2f2faf981f56175e112a1768ae96e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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data-type=\"equation\" id=\"fs-id1167836389933\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-72302936d85dea367085a0792d8c18c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#123;&#77;&#125;&#94;&#123;&#112;&#125;&#61;&#112;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"144\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>The log of a number raised to a power is the product of the power times the log of the number.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Properties of Logarithms Summary<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>If <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff2f2faf981f56175e112a1768ae96e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#77;&#62;&#48;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#125;&#62;&#48;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#125;&#92;&#110;&#101;&#32;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"156\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" 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data-align=\"left\">Base <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3fc193f43cc29c1eef788f64ba43c1bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#101;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fef5420e00e1e327ad24d98cefa550cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#49;&#61;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" 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data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7919ca6c2173ae0401fd3cc02aa784de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -33px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><strong data-effect=\"bold\">Product Property of Logarithms<\/strong><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afe53c9d88901ddc3dea457386d9d3ea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#77;&middot;&#78;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"225\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c01f93e8a3dbbe3178acd39ec3005502_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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\/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><strong data-effect=\"bold\">Quotient Property of Logarithms<\/strong><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6be60703c902ea9860b92bf8a474a5cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#57;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#77;&#125;&#123;&#78;&#125;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#78;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"191\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3568099aedc1441700ba970bf31dd4b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4ad194f9fdfc8fc2c4aea9673deb99d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#46;&#53;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#123;&#77;&#125;&#94;&#123;&#112;&#125;&#61;&#112;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#77;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"144\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" 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\/><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Change-of-Base Formula<\/strong>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p>For any logarithmic bases <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em>, and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b302f228ed6d61ff8ccf240d20fa921e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#77;&#62;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<div data-type=\"equation\" class=\"unnumbered\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb0a3c3bb19129ee5ac039e35fda845d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"499\" style=\"vertical-align: -15px;\" \/><\/div>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div class=\"textbox\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1167829579253\">\n<div class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167829579256\">\n<h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4>\n<p id=\"fs-id1167829580267\"><strong data-effect=\"bold\">Use the Properties of Logarithms<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167829614345\">In the following exercises, use the properties of logarithms to evaluate.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836319287\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836319289\">\n<p id=\"fs-id1167836319291\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-258f26228b24d50089cd21ee63b0e04a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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\/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836613922\">\n<p id=\"fs-id1167836613924\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 0 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836551264\">\n<p id=\"fs-id1167836551266\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-17a622bf7512300df225970ec8e6c1c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"40\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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id=\"fs-id1167836698976\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167825919001\">\n<p id=\"fs-id1167825919003\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9bc20e7456a4e201293b959f31112de7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#56;&#125;&#94;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#56;&#125;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"40\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-57302928c3500e5693e68af26121de08_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829690214\">\n<p id=\"fs-id1167829690217\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 3 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 7<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167829906149\">In the following exercises, use the Product Property of Logarithms to write each logarithm as a sum of logarithms. Simplify if possible.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836288666\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836288668\">\n<p id=\"fs-id1167829740465\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2d5ade1794d2ca90769587045fe3dd7b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#54;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167832930333\">\n<p id=\"fs-id1167832930335\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9570983eea1539bf01a97e6b48fde37c_l3.png\" 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class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836322860\">\n<p id=\"fs-id1167833025743\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1244abedb36c80ef87de64c7bd6f9ee9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#51;&#50;&#120;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836289339\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836289341\">\n<p id=\"fs-id1167836289343\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5e6b688dd350a9c71c0dbfcb577d4da_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836628613\">\n<p id=\"fs-id1167836407090\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4680021051972d04fc4332ae81ac0a19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#49;&#48;&#48;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829715346\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829715348\">\n<p id=\"fs-id1167829715350\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38865bb4773d47d5c2660b5d55852e54_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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Simplify if possible.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836292389\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836292391\">\n<p id=\"fs-id1167836292393\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2eb71354896fce478ae39ac3b30f8f99_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836601706\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833356538\">\n<p id=\"fs-id1167833356540\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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-4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836619872\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836619874\">\n<p id=\"fs-id1167836601285\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3dd235fd6b0313197d3c5b13d476e67d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#54;&#125;&#123;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829719382\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829719384\">\n<p id=\"fs-id1167829719386\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167822977346\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167822977348\">\n<p id=\"fs-id1167822977350\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee78d3b7efc7a923e070b4b9e4f5334d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#120;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836567119\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829808689\">\n<p id=\"fs-id1167829808691\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829921716\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829921719\">\n<p id=\"fs-id1167836579217\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1b4efd3191307b4b7953fe52e951fc6e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#110;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#101;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#125;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"31\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829749650\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167824699954\">\n<p id=\"fs-id1167824699956\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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\/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167833256649\">In the following exercises, use the Power Property of Logarithms to expand each. Simplify if possible.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833256652\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836560860\">\n<p id=\"fs-id1167836560862\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-29df9b995b6d7ae85dd552ba26ac5ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836526355\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836526357\">\n<p id=\"fs-id1167829745534\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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\/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829690051\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829690053\">\n<p id=\"fs-id1167829690055\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bef5348326a4a9c0eb04116d1c6e62fb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#45;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833056098\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833056101\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96bd81507f189d3325db4966f5e330ad_l3.png\" 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id=\"fs-id1167836318305\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836318307\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48b994e8e6a2b2d61b21c0e13fbf92db_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#52;&#125;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833326970\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833326972\">\n<p id=\"fs-id1167833326975\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a73f0eb8d9f6f3e97e653ef4ccc40d1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula 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class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167824732934\">\n<p id=\"fs-id1167824732936\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-238a30ad0cee91a5e79fb70af0ab186b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#51;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833397286\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833397289\">\n<p id=\"fs-id1167824578708\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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Simplify if possible.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836515173\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836515175\">\n<p id=\"fs-id1167836515177\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-059149f7c78969374cfc2d491eff30f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#53;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836493549\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836493551\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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id=\"fs-id1167836509059\">\n<p id=\"fs-id1167824720407\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e37d3e11462feaf86a65d934298c50e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#53;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#99;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#125;&#123;&#123;&#100;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836294462\">\n<p id=\"fs-id1167836294464\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-90985a25cedd804cba81dacaa1958d77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula 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class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836621428\">\n<p id=\"fs-id1167836621430\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e66635acc7d77d2aabd74a48eefae67_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#51;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#51;&#120;&#43;&#50;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#125;&#123;&#53;&#123;&#122;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"31\" width=\"94\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836536940\">\n<p id=\"fs-id1167829696030\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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Simplify if possible.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167824704166\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167824704168\">\n<p id=\"fs-id1167824704170\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-28eb94714af5be3dfac637c84a1eb28c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#54;&#125;&#52;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#54;&#125;&#57;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"100\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833270269\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833270271\">\n<p id=\"fs-id1167833270273\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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\/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21850571eccf4cdf683b09b5179b8c42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#53;&#45;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"148\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2f400fd94a28af12076905404b26c7f5_l3.png\" 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alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#43;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&middot;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#120;&#43;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"149\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><strong data-effect=\"bold\">Use the Change-of-Base Formula<\/strong><\/p>\n<p>In the following exercises, use the Change-of-Base Formula, rounding to three decimal places, to approximate each logarithm.<\/p>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836440621\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836440623\">\n<p id=\"fs-id1167836440625\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b74a116f78ca5d2d9fddebff45efb70c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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id=\"fs-id1167836541801\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836541803\">\n<p id=\"fs-id1167836541806\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3364e4af3fd3d9533a065b240a0225ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#49;&#53;&#125;&#57;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"55\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167829597751\">\n<p id=\"fs-id1167829597753\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0aab4a65a2f1fdfcdb119b32b766049c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#46;&#54;&#55;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836622300\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836622302\">\n<p id=\"fs-id1167836622305\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-316d8e975f1ab9529c9d1ea004aff31c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#50;&#125;&#125;&#49;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167829619908\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167829619910\">\n<p id=\"fs-id1167836578895\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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data-type=\"title\">Writing Exercises<\/h4>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833138475\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833138477\">\n<p id=\"fs-id1167833138480\">Write the Product Property in your own words. Does it apply to each of the following? <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a476c28cd903f3386511a195b1e269c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#53;&#120;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0143f05f01cd3b19725729e75f886256_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#53;&#43;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> Why or why not?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167825884740\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167825884742\">\n<p id=\"fs-id1167829711788\">Write the Power Property in your own words. Does it apply to each of the following? <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2d0c49aa8761b489c1e1184071b75b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#112;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"53\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4627a076b2facf5ad37552a111c8d034_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#97;&#125;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#114;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> Why or why not?<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167836692306\">\n<p id=\"fs-id1167833059141\">Answers will vary.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167833059146\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167833059148\">\n<p id=\"fs-id1167833059150\">Use an example to show that<\/p>\n<div data-type=\"newline\"><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-81a518490e48248adb5f34aac39507c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#110;&#101;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#97;&#43;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#98;&#63;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" id=\"fs-id1167836507679\" class=\"material-set-2\">\n<div data-type=\"problem\" id=\"fs-id1167836507681\">\n<p id=\"fs-id1167836605123\">Explain how to find the value of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8aeb9ce12b3d647ef4b110047a7043f4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#108;&#111;&#103;&#125;&#125;&#95;&#123;&#55;&#125;&#49;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> using your calculator.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" id=\"fs-id1167833007369\">\n<p id=\"fs-id1167833007371\">Answers will vary.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\" id=\"fs-id1167829789208\">\n<h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4>\n<p id=\"fs-id1167829789214\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"fs-id1167836685091\" data-alt=\"This table has three rows and four columns. The first row, which serves as a header, reads I can\u2026, Confidently, With some help, and No\u2014I don\u2019t get it. The first column below the header row reads use the properties of logarithms and use the change of base formula. The rest of the cells are blank.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/uploads\/sites\/599\/2018\/12\/CNX_IntAlg_Figure_10_04_201_img.jpg\" data-media-type=\"image\/jpeg\" alt=\"This table has three rows and four columns. The first row, which serves as a header, reads I can\u2026, Confidently, With some help, and No\u2014I don\u2019t get it. The first column below the header row reads use the properties of logarithms and use the change of base formula. The rest of the cells are blank.\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167836621079\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> On a scale of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3e3c048222c38a09c036de10daa1700_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#45;&#49;&#48;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> how would you rate your mastery of this section in light of your responses on the checklist? How can you improve this?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"author":103,"menu_order":149,"template":"","meta":{"pb_show_title":"on","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"class_list":["post-4336","chapter","type-chapter","status-publish","hentry"],"part":14505,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/4336","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/users\/103"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/4336\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":14511,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/4336\/revisions\/14511"}],"part":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/14505"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/4336\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4336"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=4336"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=4336"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/algebraintermediate\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=4336"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}