{"id":4706,"date":"2019-09-05T12:08:30","date_gmt":"2019-09-05T12:08:30","guid":{"rendered":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/chapter\/binomial-theorem\/"},"modified":"2020-05-18T21:36:34","modified_gmt":"2020-05-18T21:36:34","slug":"binomial-theorem","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/chapter\/binomial-theorem\/","title":{"raw":"Binomial Theorem","rendered":"Binomial Theorem"},"content":{"raw":"[latexpage]\r\n<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\">\r\n<h3>Learning Objectives<\/h3>\r\nBy the end of this section, you will be able to:\r\n<ul>\r\n \t<li>Use Pascal\u2019s Triangle to expand a binomial<\/li>\r\n \t<li>Evaluate a binomial coefficient<\/li>\r\n \t<li>Use the Binomial Theorem to expand a binomial<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834064807\" class=\"be-prepared\" data-type=\"note\">\r\n<p id=\"fs-id1167835344602\">Before you get started, take this readiness quiz.<\/p>\r\n\r\n<ol id=\"fs-id1167835326566\" type=\"1\">\r\n \t<li>Simplify: \\(\\frac{7\u00b76\u00b75\u00b74}{4\u00b73\u00b72\u00b71}.\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span> If you missed this problem, review <a class=\"autogenerated-content\" href=\"\/contents\/425620d9-51dd-45e5-8a21-953998a4a77f#fs-id1167836390100\">(Figure)<\/a>.<\/li>\r\n \t<li>Expand: \\({\\left(3x+5\\right)}^{2}.\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span> If you missed this problem, review <a class=\"autogenerated-content\" href=\"\/contents\/0b9be1db-21c4-4bd0-8f8e-d809f6ff7c8c#fs-id1167836392219\">(Figure)<\/a>.<\/li>\r\n \t<li>Expand: \\({\\left(x-y\\right)}^{2}.\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span> If you missed this problem, review <a class=\"autogenerated-content\" href=\"\/contents\/0b9be1db-21c4-4bd0-8f8e-d809f6ff7c8c#fs-id1167836392219\">(Figure)<\/a>.<\/li>\r\n<\/ol>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834346959\" class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\">\r\n<h3 data-type=\"title\">Use Pascal\u2019s Triangle to Expand a Binomial<\/h3>\r\nIn our previous work, we have squared binomials either by using FOIL or by using the Binomial Squares Pattern. We can also say that we expanded \\({\\left(a+b\\right)}^{2}.\\)\r\n<div id=\"fs-id1167831934023\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\({\\left(a+b\\right)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}\\)<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167835329284\">To expand \\({\\left(a+b\\right)}^{3},\\) we recognize that this is \\({\\left(a+b\\right)}^{2}\\left(a+b\\right)\\) and multiply.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167835334969\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{c}\\hfill {\\left(a+b\\right)}^{3}\\hfill \\\\ \\hfill {\\left(a+b\\right)}^{2}\\left(a+b\\right)\\hfill \\\\ \\hfill \\left({a}^{2}+2ab+{b}^{2}\\right)\\left(a+b\\right)\\hfill \\\\ \\hfill {a}^{3}+2{a}^{2}b+a{b}^{2}+{a}^{2}b+2a{b}^{2}+{b}^{3}\\hfill \\\\ \\hfill {a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^{3}\\hfill \\\\ \\hfill {\\left(a+b\\right)}^{3}={a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^{3}\\hfill \\end{array}\\)<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167835309507\">To find a method that is less tedious that will work for higher expansions like \\({\\left(a+b\\right)}^{7},\\) we again look for patterns in some expansions.<\/p>\r\n\r\n<table id=\"fs-id1167835344744\" class=\"unnumbered\" summary=\"No Summary\" data-label=\"\">\r\n<thead>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/th>\r\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Number of terms<\/th>\r\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">First term<\/th>\r\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Last term<\/th>\r\n<\/tr>\r\n<\/thead>\r\n<tbody>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(a+b\\right)}^{1}=a+b\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">2<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{1}\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({b}^{1}\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(a+b\\right)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">3<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{2}\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({b}^{2}\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(a+b\\right)}^{3}={a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^{3}\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">4<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{3}\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({b}^{3}\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(a+b\\right)}^{4}={a}^{4}+4{a}^{3}b+6{a}^{2}{b}^{2}+4a{b}^{3}+{b}^{4}\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">5<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{4}\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({b}^{4}\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(a+b\\right)}^{5}={a}^{5}+5{a}^{4}b+10{a}^{3}{b}^{2}+10{a}^{2}{b}^{3}+5a{b}^{4}+{b}^{5}\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">6<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{5}\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({b}^{5}\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({\\left(a+b\\right)}^{n}\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><em data-effect=\"italics\">n<\/em><\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({a}^{n}\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">\\({b}^{n}\\)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<p id=\"fs-id1167834229329\">Notice the first and last terms show only one variable. Recall that \\({a}^{0}=1,\\) so we could rewrite the first and last terms to include both variables. For example, we could expand \\({\\left(a+b\\right)}^{3}\\) to show each term with both variables.<\/p>\r\n<span id=\"fs-id1167835352706\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows the pattern a plus b to the power of 3 equals a to a power of 3 times b to a power of 0 plus 3 times a to a power of 2 times b to a power of 1 plus 3 a to a power of 0 times b to a power of 3.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_012_img.jpg\" alt=\"This figure shows the pattern a plus b to the power of 3 equals a to a power of 3 times b to a power of 0 plus 3 times a to a power of 2 times b to a power of 1 plus 3 a to a power of 0 times b to a power of 3.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span>\r\n<p id=\"fs-id1167835310355\">Generally, we don\u2019t show the zero exponents, just as we usually write <em data-effect=\"italics\">x<\/em> rather than 1<em data-effect=\"italics\">x<\/em>.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167835335671\" data-type=\"note\">\r\n<div data-type=\"title\">Patterns in the expansion of \\({\\left(a+b\\right)}^{n}\\)<\/div>\r\n<ul id=\"fs-id1167835420707\" data-bullet-style=\"bullet\">\r\n \t<li>The number of terms is \\(n+1.\\)<\/li>\r\n \t<li>The first term is \\({a}^{n}\\) and the last term is \\({b}^{n}.\\)<\/li>\r\n \t<li>The exponents on <em data-effect=\"italics\">a<\/em> decrease by one on each term going left to right.<\/li>\r\n \t<li>The exponents on <em data-effect=\"italics\">b<\/em> increase by one on each term going left to right.<\/li>\r\n \t<li>The sum of the exponents on any term is <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167831882320\">Let\u2019s look at an example to highlight the last three patterns.<\/p>\r\n<span id=\"fs-id1167835230438\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows the pattern a plus b to the power of 5 equals a plus 5 times a times b plus 10 times a times b plus 5 times a times b plus b.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_001_img.jpg\" alt=\"This figure shows the pattern a plus b to the power of 5 equals a plus 5 times a times b plus 10 times a times b plus 5 times a times b plus b.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span>\r\n<p id=\"fs-id1167835349635\">From the patterns we identified, we see the variables in the expansion of \\({\\left(a+b\\right)}^{n},\\) would be<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167835301706\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\({\\left(a+b\\right)}^{n}={a}^{n}+___{a}^{n-1}{b}^{1}+___{a}^{n-2}{b}^{2}+...+___{a}^{1}{b}^{n-1}+{b}^{n}.\\)<\/div>\r\nTo find the coefficients of the terms, we write our expansions again focusing on the coefficients. We rewrite the coefficients to the right forming an array of coefficients.\r\n\r\n<span id=\"fs-id1167835331679\" data-type=\"media\" data-alt=\"A plus b to the power of 0 equals 1. The top level of Pascal\u2019s Triangle is 1. A plus b to the power of 1 equals 1 a plus 1 b. The second level of Pascal\u2019s Triangle is 1, 1. A plus b to the power of 2 equals 1 a to the power of 2 plus 2 a b plus 1 b to the power of 2. The third level of Pascal\u2019s Triangle is 1, 2, 1. A plus b to the power of 3 equals 1 a to the power of 3 plus 3 a to the power of 2 b plus 3 a b to the power of 2 plus 1 b to the power of 3. The fourth level of Pascal\u2019s Triangle is 1,3,3,1. A plus b to the power of 4 equals 1 a to the power of 4 plus 4 a to the power of 3 b plus 6 a to the power of 2 b to the power of 2 plus 4 a b to the power of 3 plus 1 b to the power of 4. The fifth level of Pascal\u2019s Triangle is 1, 4, 6, 4, 1. A plus b to the power of 5 equals 1 a to the power of 5 plus 5 a to the power of 4 b plus 10 a to the power of 3 b to the power of 2 plus 10 a to the power of 2 b to the power of 3. The sixth row of the Pascal\u2019s Triangle is 1, 5, 10, 10, 5, 1.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_002_img.jpg\" alt=\"A plus b to the power of 0 equals 1. The top level of Pascal\u2019s Triangle is 1. A plus b to the power of 1 equals 1 a plus 1 b. The second level of Pascal\u2019s Triangle is 1, 1. A plus b to the power of 2 equals 1 a to the power of 2 plus 2 a b plus 1 b to the power of 2. The third level of Pascal\u2019s Triangle is 1, 2, 1. A plus b to the power of 3 equals 1 a to the power of 3 plus 3 a to the power of 2 b plus 3 a b to the power of 2 plus 1 b to the power of 3. The fourth level of Pascal\u2019s Triangle is 1,3,3,1. A plus b to the power of 4 equals 1 a to the power of 4 plus 4 a to the power of 3 b plus 6 a to the power of 2 b to the power of 2 plus 4 a b to the power of 3 plus 1 b to the power of 4. The fifth level of Pascal\u2019s Triangle is 1, 4, 6, 4, 1. A plus b to the power of 5 equals 1 a to the power of 5 plus 5 a to the power of 4 b plus 10 a to the power of 3 b to the power of 2 plus 10 a to the power of 2 b to the power of 3. The sixth row of the Pascal\u2019s Triangle is 1, 5, 10, 10, 5, 1.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span>\r\n\r\nThe array to the right is called <span data-type=\"term\">Pascal\u2019s Triangle<\/span>. Notice each number in the array is the sum of the two closest numbers in the row above. We can find the next row by starting and ending with one and then adding two adjacent numbers.\r\n\r\n<span id=\"fs-id1167834190649\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_003_img.jpg\" alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span>\r\n<p id=\"fs-id1167835233515\">This triangle gives the coefficients of the terms when we expand binomials.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167835281872\" data-type=\"note\">\r\n<div data-type=\"title\">Pascal\u2019s Triangle<\/div>\r\n<span id=\"fs-id1167835414816\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_018_img.jpg\" alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span>\r\n\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167835257249\">In the next example, we will use this triangle and the patterns we recognized to expand the binomial.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<strong>This has been added by Will:\r\n------------------------------------\r\n<\/strong>\r\n\r\nThe following using \\array:\r\n\r\n\\(\\begin{array}{c}{\\left(a+b\\right)}^{n}={a}^{n}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{a}^{n-1}{b}^{1}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{a}^{n-2}{b}^{2}+...+\\rule{.5cm}{0.15mm}{a}^{1}{b}^{n-1}+{b}^{n}\\hfill \\\\ {\\left(x+y\\right)}^{6}={x}^{6}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{x}^{5}{y}^{1}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{x}^{4}{y}^{2}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{x}^{3}{y}^{3}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{x}^{2}{y}^{4}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{x}^{1}{y}^{5}+{y}^{6}\\hfill \\end{array}\\)\r\n\r\nThe following using \\aligned, with the equations aligned at the equal sign:\r\n\r\n\\(\\begin{aligned}{\\left(a+b\\right)}^{n}&amp;={a}^{n}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{a}^{n-1}{b}^{1}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{a}^{n-2}{b}^{2}+\\dotso+\\rule{.5cm}{0.15mm}{a}^{1}{b}^{n-1}+{b}^{n}\\hfill \\\\ {\\left(x+y\\right)}^{6}&amp;={x}^{6}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{x}^{5}{y}^{1}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{x}^{4}{y}^{2}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{x}^{3}{y}^{3}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{x}^{2}{y}^{4}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{x}^{1}{y}^{5}+{y}^{6}\\hfill \\end{aligned}\\)\r\n\r\nIt's more useful in the following. This is the original using \\array from earlier in this section:\r\n\r\n\\(\\begin{array}{c}\\hfill {\\left(a+b\\right)}^{3}\\hfill \\\\ \\hfill {\\left(a+b\\right)}^{2}\\left(a+b\\right)\\hfill \\\\ \\hfill \\left({a}^{2}+2ab+{b}^{2}\\right)\\left(a+b\\right)\\hfill \\\\ \\hfill {a}^{3}+2{a}^{2}b+a{b}^{2}+{a}^{2}b+2a{b}^{2}+{b}^{3}\\hfill \\\\ \\hfill {a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^{3}\\hfill \\\\ \\hfill {\\left(a+b\\right)}^{3}={a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^{3}\\hfill \\end{array}\\)\r\n\r\nAnd this is a more clear formatting using \\aligned:\r\n\r\n\\(\\begin{aligned}{\\left(a+b\\right)}^{3} &amp;= {\\left(a+b\\right)}^{2}\\left(a+b\\right) \\\\ &amp;=\\left({a}^{2}+2ab+{b}^{2}\\right)\\left(a+b\\right) \\\\\u00a0 &amp;={a}^{3}+2{a}^{2}b+a{b}^{2}+{a}^{2}b+2a{b}^{2}+{b}^{3} \\\\ &amp;= {a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^{3} \\\\ &amp;= {a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^{3}\\hfill \\end{aligned}\\)\r\n\r\n<strong>--------------------------------<\/strong>\r\n<div id=\"fs-id1167834346959\" class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\">\r\n<div id=\"fs-id1167835346097\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\r\n<div id=\"fs-id1167835354716\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835240569\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835373694\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(x+y\\right)}^{6}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835370990\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835350877\">We know the variables for this expansion will follow the pattern we identified. The nonzero exponents of <em data-effect=\"italics\">x<\/em> will start at six and decrease to one. The nonzero exponents of <em data-effect=\"italics\">y<\/em> will start at one and increase to six. The sum of the exponents in each term will be six. In our pattern, \\(a=x\\) and \\(b=y.\\)<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167835288344\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{c}{\\left(a+b\\right)}^{n}={a}^{n}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{a}^{n-1}{b}^{1}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{a}^{n-2}{b}^{2}+...+\\rule{.5cm}{0.15mm}{a}^{1}{b}^{n-1}+{b}^{n}\\hfill \\\\ {\\left(x+y\\right)}^{6}={x}^{6}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{x}^{5}{y}^{1}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{x}^{4}{y}^{2}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{x}^{3}{y}^{3}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{x}^{2}{y}^{4}+\\rule{.5cm}{0.15mm}{x}^{1}{y}^{5}+{y}^{6}\\hfill \\end{array}\\)<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div data-type=\"equation\" data-label=\"\"><\/div>\r\n<div data-type=\"equation\" data-label=\"\"><\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835354716\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835370990\" data-type=\"solution\">\r\n\r\n<span id=\"fs-id1167835349236\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows a plus b to the power of n equals a to the power of n plus a to the power if n minus 1 b to the power of 1 plus a to the power of n minus 2 b to the power if 2 plus ellipsis plus a to the power of 1 b to the power of n minus 1 plus b to the power of n. The next figure shows x plus y to the power of 6 equals x to the power of 6 plus x to the power of 5 y to the power of 1 plus x to the power of 4 y to the power of 2 plus x to the power of 3 y to the power of 3 plus x to the power of 2 y to the power of 4 plus x to the power of 1 y to the power of 5 plus y to the power of 6.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_004_img.jpg\" alt=\"This figure shows a plus b to the power of n equals a to the power of n plus a to the power if n minus 1 b to the power of 1 plus a to the power of n minus 2 b to the power if 2 plus ellipsis plus a to the power of 1 b to the power of n minus 1 plus b to the power of n. The next figure shows x plus y to the power of 6 equals x to the power of 6 plus x to the power of 5 y to the power of 1 plus x to the power of 4 y to the power of 2 plus x to the power of 3 y to the power of 3 plus x to the power of 2 y to the power of 4 plus x to the power of 1 y to the power of 5 plus y to the power of 6.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div id=\"fs-id1167835310471\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835274654\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835350893\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(x+y\\right)}^{5}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167832227189\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835595669\">\\({x}^{5}+5{x}^{4}y+10{x}^{3}{y}^{2}+10{x}^{2}{y}^{3}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+5x{y}^{4}+{y}^{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835332238\" class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div id=\"fs-id1167834587856\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835336201\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167832075990\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(p+q\\right)}^{7}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835339575\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834062049\">\\({p}^{7}+7{p}^{6}q+21{p}^{5}{q}^{2}+35{p}^{4}{q}^{3}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+35{p}^{3}{q}^{4}+21{p}^{2}{q}^{5}+7p{q}^{6}+{q}^{7}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167835367953\">In the next example we want to expand a binomial with one variable and one constant. We need to identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> to carefully apply the pattern.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167826875115\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\r\n<div id=\"fs-id1167834449175\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834185829\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834192221\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(x+3\\right)}^{5}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834557095\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835338030\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p>\r\n<span id=\"fs-id1167835595646\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern x plus 3 to the power of 5.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_005_img.jpg\" alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern x plus 3 to the power of 5.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span>\r\n<p id=\"fs-id1167835343435\">In our pattern, \\(a=x\\) and \\(b=3.\\)<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167834099596\">We know the variables for this expansion will follow the pattern we identified. The sum of the exponents in each term will be five.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834495476\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{c}{\\left(a+b\\right)}^{n}={a}^{n}+___{a}^{n-1}{b}^{1}+___{a}^{n-2}{b}^{2}+...+___{a}^{1}{b}^{n-1}+{b}^{n}\\\\ {\\left(x+3\\right)}^{5}={x}^{5}+___{x}^{4}\u00b7{3}^{1}+___{x}^{3}\u00b7{3}^{2}+___{x}^{2}\u00b7{3}^{3}+___{x}^{1}\u00b7{3}^{4}+{3}^{5}\\end{array}\\)<\/div>\r\n<span id=\"fs-id1167835380485\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. This figure shows X plus 3 to the power of 5 equals 1 x to the power of 5 g 3 x to the power of 4 plus 10 g 9 x to the power of 3 plus 10 g 27 x to the power of 2 plus 5 g 81 x to the power of 1 plus 1 g 243. Then, x plus 3 to the power of 5 equals x to the power of 5 plus 15 x to the power of 4 plus 90 x to the power of 3 plus 270 x to the power of 2 plus 405 plus 243.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_006_img.jpg\" alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. This figure shows X plus 3 to the power of 5 equals 1 x to the power of 5 g 3 x to the power of 4 plus 10 g 9 x to the power of 3 plus 10 g 27 x to the power of 2 plus 5 g 81 x to the power of 1 plus 1 g 243. Then, x plus 3 to the power of 5 equals x to the power of 5 plus 15 x to the power of 4 plus 90 x to the power of 3 plus 270 x to the power of 2 plus 405 plus 243.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835362654\" class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div id=\"fs-id1167834064235\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835355964\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835329511\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(x+2\\right)}^{4}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831934028\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835319200\">\\({x}^{4}+8{x}^{3}+24{x}^{2}+32x+16\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835325064\" class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div id=\"fs-id1167835353654\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834195996\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835364514\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(x+1\\right)}^{6}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167832054098\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835417124\">\\({x}^{6}+6{x}^{5}+15{x}^{4}+20{x}^{3}+15{x}^{2}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+6x+1\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834222081\">In the next example, the binomial is a difference and the first term has a constant times the variable. Once we identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern, we must once again carefully apply the pattern.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834064692\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\r\n<div id=\"fs-id1167835342730\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831921014\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835332853\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(3x-2\\right)}^{4}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834192233\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167832031142\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p>\r\n<span id=\"fs-id1167834179970\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 3 x minus 2 to the power of 4.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_007_img.jpg\" alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 3 x minus 2 to the power of 4.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span>\r\n<p id=\"fs-id1167835333507\">In our pattern, \\(a=3x\\) and \\(b=-2.\\)<\/p>\r\n<span id=\"fs-id1167834156982\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_008_img.jpg\" alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span>\r\n<div id=\"fs-id1167835333046\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{c}{\\left(a+b\\right)}^{n}={a}^{n}+___{a}^{n-1}{b}^{1}+___{a}^{n-2}{b}^{2}+...+___{a}^{1}{b}^{n-1}+{b}^{n}\\hfill \\\\ {\\left(3x-2\\right)}^{4}=1\u00b7{\\left(}^{3}+4{\\left(3x\\right)}^{3}{\\left(-2\\right)}^{1}+6{\\left(3x\\right)}^{2}{\\left(-2\\right)}^{2}+4{\\left(3x\\right)}^{1}{\\left(-2\\right)}^{3}+1\u00b7{\\left(-2\\right)}^{4}\\hfill \\\\ {\\left(3x-2\\right)}^{4}=81{x}^{4}+4\\left(27{x}^{3}\\right)\\left(-2\\right)+6\\left(9{x}^{2}\\right)\\left(4\\right)+4\\left(3x\\right)\\left(-8\\right)+1\u00b716\\hfill \\\\ {\\left(3x-2\\right)}^{4}=81{x}^{4}-216{x}^{3}+216{x}^{2}-96x+16\\hfill \\end{array}\\)<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835339503\" class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div id=\"fs-id1167831922206\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835305325\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167832128907\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(2x-3\\right)}^{4}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835381343\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835262328\">\\(16{x}^{4}-96{x}^{3}+216{x}^{2}-216x+81\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834195261\" class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div id=\"fs-id1167835336537\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834190543\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831908479\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand \\({\\left(2x-1\\right)}^{6}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167832056861\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834430755\">\\(64{x}^{6}-192{x}^{5}+240{x}^{4}-160{x}^{3}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+60{x}^{2}-12x+1\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834446378\" class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\">\r\n<h3 data-type=\"title\">Evaluate a Binomial Coefficient<\/h3>\r\n<p id=\"fs-id1167835361505\">While Pascal\u2019s Triangle is one method to expand a binomial, we will also look at another method. Before we get to that, we need to introduce some more <span class=\"no-emphasis\" data-type=\"term\">factorial notation<\/span>. This notation is not only used to expand binomials, but also in the study and use of probability.<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167834196639\">To find the coefficients of the terms of expanded binomials, we will need to be able to evaluate the notation \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)\\) which is called a <span class=\"no-emphasis\" data-type=\"term\">binomial coefficient<\/span>. We read \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)\\) as \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> choose <em data-effect=\"italics\">r<\/em>\u201d or \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> taken <em data-effect=\"italics\">r<\/em> at a time\u201d.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834192529\" data-type=\"note\">\r\n<div data-type=\"title\">Binomial Coefficient \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167835369321\">A binomial coefficient \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right),\\) where <em data-effect=\"italics\">r<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers with \\(0\\le r\\le n,\\) is defined as<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167835239179\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)=\\frac{n!}{r!\\left(n-r\\right)!}\\)<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834459152\">We read \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)\\) as \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> choose <em data-effect=\"italics\">r<\/em>\u201d or \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> taken <em data-effect=\"italics\">r<\/em> at a time\u201d.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835269593\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\r\n<div id=\"fs-id1167834061966\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835324747\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834535323\">Evaluate: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\) <span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\left(\\begin{array}{c}7\\hfill \\\\ 7\\hfill \\end{array}\\right)\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\) <span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\(\\left(\\begin{array}{c}8\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right).\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835341027\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834063189\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> We will use the definition of a binomial coefficient, \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)=\\frac{n!}{r!\\left(n-r\\right)!}.\\)<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167835352294\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the definition,}\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)=\\frac{n!}{r!\\left(n-r\\right)!},\\text{where}\\hfill \\\\ n=5,r=1.\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{5!}{1!\\left(5-1\\right)!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{5!}{1!\\left(4\\right)!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Rewrite}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}5!\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{as}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}5\u00b74!\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{5\u00b74!}{1!\u00b74!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify, by removing common factors.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{5\u00b7\\overline{)4!}}{1\u00b7\\overline{)4!}}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}5\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)=5\\hfill \\end{array}\\)<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167832051714\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167831923391\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}7\\hfill \\\\ 7\\hfill \\end{array}\\right)\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the definition,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)=\\frac{n!}{r!\\left(n-r\\right)!},\\text{where}\\hfill \\\\ n=7,r=7.\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{7!}{7!\\left(7-7\\right)!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{7!}{7!\\left(0\\right)!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify. Remember}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}0!=1.\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}1\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}7\\hfill \\\\ 7\\hfill \\end{array}\\right)=1\\hfill \\end{array}\\)<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167835308327\"><span class=\"token\">\u24d2<\/span><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167831921739\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the definition,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)=\\frac{n!}{r!\\left(n-r\\right)!},\\text{where}\\hfill \\\\ n=4,r=0.\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{4!}{0!\\left(4-0\\right)!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\frac{4!}{0!\\left(4\\right)!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}1\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)=1\\hfill \\end{array}\\)<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167835376930\"><span class=\"token\">\u24d3<\/span><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167835359942\">\\(\\begin{array}{cccc}&amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}8\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right)\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\begin{array}{c}\\text{Use the definition,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)=\\frac{n!}{r!\\left(n-r\\right)!},\\text{where}\\hfill \\\\ n=8,r=5.\\hfill \\end{array}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}\\frac{8!}{5!\\left(8-5\\right)!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}\\frac{8!}{5!\\left(3\\right)!}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Rewrite}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}8!\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{as}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}8\u00b77\u00b76\u00b75!\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{and remove common factors.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}\\frac{8\u00b77\u00b7\\overline{)6}\u00b7\\overline{)5!}}{\\overline{)5!}\u00b7\\overline{)3}\u00b7\\overline{)2}\u00b71}\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ \\text{Simplify.}\\hfill &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}56\\hfill \\\\ \\\\ \\\\ &amp; &amp; &amp; \\hfill \\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}8\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right)=56\\hfill \\end{array}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834228451\" class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div id=\"fs-id1167835354049\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835354051\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834423481\">Evaluate each binomial coefficient:<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167834423484\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}6\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}8\\hfill \\\\ 8\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}7\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right).\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831911833\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831911835\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 6 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 35<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167832075978\" class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div id=\"fs-id1167832075981\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834063434\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834063436\">Evaluate each binomial coefficient:<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167835336627\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}2\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}11\\hfill \\\\ 11\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}9\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}6\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right).\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835236047\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835236049\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 2 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 6<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167830697865\">In the previous example, parts (a), (b), (c) demonstrate some special properties of binomial coefficients.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167835355381\" data-type=\"note\">\r\n<div data-type=\"title\">Properties of Binomial Coefficients<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1171791135347\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)=n\\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right)=1\\phantom{\\rule{4em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)=1\\)<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835230732\" class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\">\r\n<h3 data-type=\"title\">Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial<\/h3>\r\n<p id=\"fs-id1167835230737\">We are now ready to use the alternate method of expanding binomials. The <span data-type=\"term\">Binomial Theorem<\/span> uses the same pattern for the variables, but uses the binomial coefficient for the coefficient of each term.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167835323777\" data-type=\"note\">\r\n<div data-type=\"title\">Binomial Theorem<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167835323782\">For any real numbers <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em>, and positive integer <em data-effect=\"italics\">n<\/em>,<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167826996430\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\({\\left(a+b\\right)}^{n}=\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-1}{b}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-2}{b}^{2}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-r}{b}^{r}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right){b}^{n}\\)<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831880091\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\r\n<div id=\"fs-id1167835308162\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835308164\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835308166\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(p+q\\right)}^{4}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835379520\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835306013\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p>\r\n<span id=\"fs-id1167832056779\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern p plus q to the power of 4.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_009_img.jpg\" alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern p plus q to the power of 4.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span>\r\n<p id=\"fs-id1167831911004\">In our pattern, \\(a=p\\) and \\(b=q.\\)<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167826996798\">We use the Binomial Theorem.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167826996801\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\({\\left(a+b\\right)}^{n}=\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-1}{b}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-2}{b}^{2}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-r}{b}^{r}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right){b}^{n}\\)<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167835280488\">Substitute in the values \\(a=p,\\)\\(b=q\\) and \\(n=4.\\)<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167835421694\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\({\\left(p+q\\right)}^{4}=\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){p}^{4}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){p}^{4-1}{q}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){p}^{4-2}{q}^{2}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right){p}^{4-3}{q}^{3}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 4\\hfill \\end{array}\\right){q}^{4}\\)<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834432896\">Simplify the exponents.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167835414024\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\({\\left(p+q\\right)}^{4}=\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){p}^{4}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){p}^{3}{q}^{}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){p}^{2}{q}^{2}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right){p}^{}{q}^{3}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 4\\hfill \\end{array}\\right){q}^{4}\\)<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167835305613\">Evaluate the coefficients. Remember, \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)=n,\\)\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right)=1,\\)\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)=1.\\)<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167835348520\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{c}{\\left(p+q\\right)}^{4}=1{p}^{4}+4{p}^{3}{q}^{1}+\\frac{4!}{2!\\left(2\\right)!}{p}^{2}{q}^{2}+\\frac{4!}{3!\\left(4-3\\right)!}{p}^{1}{q}^{3}+1{q}^{4}\\hfill \\\\ {\\left(p+q\\right)}^{4}={p}^{4}+4{p}^{3}{q}^{}+6{p}^{2}{q}^{2}+4{p}^{}{q}^{3}+{q}^{4}\\hfill \\end{array}\\)<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835258730\" class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834196231\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834196233\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(x+y\\right)}^{5}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835235156\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835235158\">\\({x}^{5}+5{x}^{4}y+10{x}^{3}{y}^{2}+10{x}^{2}{y}^{3}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+5x{y}^{4}+{y}^{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835234583\" class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div id=\"fs-id1167835234586\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835564728\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835564730\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(m+n\\right)}^{6}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835310773\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835310775\">\\({m}^{6}+6{m}^{5}n+15{m}^{4}{n}^{2}+20{m}^{3}{n}^{3}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+15{m}^{2}{n}^{4}+6m{n}^{5}+{n}^{6}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834183795\">Notice that when we expanded \\({\\left(p+q\\right)}^{4}\\) in the last example, using the Binomial Theorem, we got the same coefficients we would get from using <span class=\"no-emphasis\" data-type=\"term\">Pascal\u2019s Triangle<\/span>.<\/p>\r\n<span id=\"fs-id1167835241554\" data-type=\"media\" data-alt=\"The figure above is P plus q to the power of 4 equals 4 choose 0 times p to the power of 4 plus 4 choose 1 times p to the power of 3 q plus 4 choose 2 times p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 choose 3 times p q to the power of 3 plus 4 choose 4 times q to the power of 4. P plus q to the power of 4 equals p to the power of 4 p to the power of 3 q plus 6 p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 p q to the power of 3 plus q to the power of 4. This figure on the right shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_014_img.jpg\" alt=\"The figure above is P plus q to the power of 4 equals 4 choose 0 times p to the power of 4 plus 4 choose 1 times p to the power of 3 q plus 4 choose 2 times p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 choose 3 times p q to the power of 3 plus 4 choose 4 times q to the power of 4. P plus q to the power of 4 equals p to the power of 4 p to the power of 3 q plus 6 p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 p q to the power of 3 plus q to the power of 4. This figure on the right shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span>\r\n<p id=\"fs-id1167835322176\">The next example, the binomial is a difference. When the binomial is a difference, we must be careful in identifying the values we will use in the pattern.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167832066110\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\r\n<div id=\"fs-id1167832066113\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167832066115\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167832067124\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(x-2\\right)}^{5}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835349765\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835349768\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p>\r\n<span id=\"fs-id1167835330848\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows x minus 2 to the power of 5.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_010_img.jpg\" alt=\"This figure shows x minus 2 to the power of 5.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span>\r\n<p id=\"fs-id1167834556499\">In our pattern, \\(a=x\\) and \\(b=-2.\\)<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167835358208\">We use the Binomial Theorem.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167835358211\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\({\\left(a+b\\right)}^{n}=\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-1}{b}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-2}{b}^{2}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-r}{b}^{r}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right){b}^{n}\\)<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167835301541\">Substitute in the values \\(a=x,\\)\\(b=-2,\\) and \\(n=5.\\)<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167835422006\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\({\\left(x-2\\right)}^{5}=\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){x}^{5}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){x}^{5-1}{\\left(-2\\right)}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){x}^{5-2}{\\left(-2\\right)}^{2}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right){x}^{5-3}{\\left(-2\\right)}^{3}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 4\\hfill \\end{array}\\right){x}^{5-4}{\\left(-2\\right)}^{4}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right){\\left(-2\\right)}^{5}\\)<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167835351262\">Simplify the exponents and evaluate the coefficients. Remember,\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)=n,\\)\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right)=1,\\)\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)=1.\\)<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167830703936\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\(\\begin{array}{}\\\\ \\\\ {\\left(x-2\\right)}^{5}=\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){x}^{5}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){x}^{4}{\\left(-2\\right)}^{}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){x}^{3}{\\left(-2\\right)}^{2}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right){x}^{2}{\\left(-2\\right)}^{3}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 4\\hfill \\end{array}\\right)x{\\left(-2\\right)}^{4}+\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right){\\left(-2\\right)}^{5}\\hfill \\\\ {\\left(x-2\\right)}^{5}=1{x}^{5}+5\\left(-2\\right){x}^{4}+\\frac{5!}{2!\u00b73!}{\\left(-2\\right)}^{2}{x}^{3}+\\frac{5!}{3!\u00b72!}{\\left(-2\\right)}^{3}{x}^{2}+\\frac{5!}{4!\u00b71!}{\\left(-2\\right)}^{4}x+1{\\left(-2\\right)}^{5}\\hfill \\\\ {\\left(x-2\\right)}^{5}={x}^{5}+5\\left(-2\\right){x}^{4}+10\u00b74\u00b7{x}^{3}+10\\left(-8\\right){x}^{2}+5\u00b716\u00b7x+1\\left(-32\\right)\\hfill \\\\ {\\left(x-2\\right)}^{5}={x}^{5}-10{x}^{4}+40{x}^{3}-80{x}^{2}+80x-32\\hfill \\end{array}\\)<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835434158\" class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div id=\"fs-id1167835479490\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835479492\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835479494\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(x-3\\right)}^{5}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835301460\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835301463\">\\({x}^{5}-15{x}^{4}+90{x}^{3}-270{x}^{2}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+405x-243\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167826803922\" class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div id=\"fs-id1167826803926\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167826803928\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167826803930\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(y-1\\right)}^{6}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835479505\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835479507\">\\({y}^{6}-6{y}^{5}+15{y}^{4}-20{y}^{3}+15{y}^{2}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(-6y+1\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834552544\">Things can get messy when both terms have a coefficient and a variable.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834552548\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\r\n<div data-type=\"exercise\">\r\n<div data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835589662\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(2x-3y\\right)}^{4}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834301208\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167826997308\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p>\r\n<span id=\"fs-id1167830703285\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 2 x minus 3 y times the power of 4.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_011_img.jpg\" alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 2 x minus 3 y times the power of 4.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span>\r\n<p id=\"fs-id1167831923400\">In our pattern, \\(a=2x\\) and \\(b=-3y.\\)<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167834431031\">We use the Binomial Theorem.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834431034\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\({\\left(a+b\\right)}^{n}=\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-1}{b}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-2}{b}^{2}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-r}{b}^{r}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right){b}^{n}\\)<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834185496\">Substitute in the values \\(a=2x,\\)\\(b=-3y\\) and \\(n=4.\\)<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167831920149\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\({\\left(2x-3y\\right)}^{4}=\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){\\left(2x\\right)}^{4}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){\\left(2x\\right)}^{4-1}{\\left(-3y\\right)}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){\\left(2x\\right)}^{4-2}{\\left(-3y\\right)}^{2}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right){\\left(2x\\right)}^{4-3}{\\left(-3y\\right)}^{3}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 4\\hfill \\end{array}\\right){\\left(-3y\\right)}^{4}\\)<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834252381\">Simplify the exponents.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834252384\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\({\\left(2x-3y\\right)}^{4}=\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){\\left(2x\\right)}^{4}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){\\left(2x\\right)}^{3}{\\left(-3y\\right)}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){\\left(2x\\right)}^{2}{\\left(-3y\\right)}^{2}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right){\\left(2x\\right)}^{1}{\\left(-3y\\right)}^{3}+\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 4\\hfill \\end{array}\\right){\\left(-3y\\right)}^{4}\\)<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167835375441\">Evaluate the coefficients. Remember, \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)=n,\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right)=1,\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)=1.\\)<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167834534435\">\\({\\left(2x-3y\\right)}^{4}=1{\\left(2x\\right)}^{4}+4{\\left(2x\\right)}^{3}{\\left(-3y\\right)}^{1}+\\frac{4!}{2!\\left(2\\right)!}{\\left(2x\\right)}^{2}{\\left(-3y\\right)}^{2}+\\frac{4!}{3!\\left(4-3\\right)!}{\\left(2x\\right)}^{1}{\\left(-3y\\right)}^{3}+1{\\left(-3y\\right)}^{4}\\)<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167835515336\">\\({\\left(2x-3y\\right)}^{4}=16{x}^{4}+4\u00b78{x}^{3}\\left(-3y\\right)+6\\left(4{x}^{2}\\right)\\left(9{y}^{2}\\right)+4\\left(2x\\right)\\left(-27{y}^{3}\\right)+81{y}^{4}\\)<\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167834362197\">\\({\\left(2x-3y\\right)}^{4}=16{x}^{4}-96{x}^{3}y+216{x}^{2}{y}^{2}-216x{y}^{3}+81{y}^{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167832036224\" class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div id=\"fs-id1167832036228\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167832036230\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167832036232\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(3x-2y\\right)}^{5}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834252341\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834252343\">\\(243{x}^{5}-810{x}^{4}y+1080{x}^{3}{y}^{2}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(-720{x}^{2}{y}^{3}+240x{y}^{4}-32{y}^{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831920175\" class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div id=\"fs-id1167831920179\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831920181\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831920184\">Use the Binomial Theorem to expand \\({\\left(4x-3y\\right)}^{4}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831920941\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831920943\">\\(256{x}^{4}-768{x}^{3}y+864{x}^{2}{y}^{2}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(-432x{y}^{3}+81{y}^{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167826803948\">The real beauty of the Binomial Theorem is that it gives a formula for any particular term of the expansion without having to compute the whole sum. Let\u2019s look for a pattern in the <span class=\"no-emphasis\" data-type=\"term\">Binomial Theorem<\/span>.<\/p>\r\n<span id=\"fs-id1167826803959\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows a plus b to the power of n equals n choose 0 times a to the power of n b to the power of 0 plus n choose 1 times a to the power of n minus 1 b to the 1 plus n choose 2 times a to the power of n minus 2 b to the power of 2 plus ellipsis plus n choose r times a to the power of n minus r plus ellipsis plus n choose n times b to the power of n.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_015_img.jpg\" alt=\"This figure shows a plus b to the power of n equals n choose 0 times a to the power of n b to the power of 0 plus n choose 1 times a to the power of n minus 1 b to the 1 plus n choose 2 times a to the power of n minus 2 b to the power of 2 plus ellipsis plus n choose r times a to the power of n minus r plus ellipsis plus n choose n times b to the power of n.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span>\r\n\r\nNotice, that in each case the exponent on the <em data-effect=\"italics\">b<\/em> is one less than the number of the term. The \\(\\left(r+1\\right)st\\) term is the term where the exponent of <em data-effect=\"italics\">b<\/em> is <em data-effect=\"italics\">r<\/em>. So we can use the format of the \\(\\left(r+1\\right)st\\) term to find the value of a specific term.\r\n<div data-type=\"note\">\r\n<div data-type=\"title\">Find a Specific Term in a Binomial Expansion<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167831921238\">The \\({\\left(r+1\\right)}^{st}\\) term in the expansion of \\({\\left(a+b\\right)}^{n}\\) is<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167835575770\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-r}{b}^{r}\\)<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831922343\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\r\n<div id=\"fs-id1167831922345\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831922347\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831922349\">Find the fourth term of \\({\\left(x+y\\right)}^{7}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831922375\" data-type=\"solution\">\r\n<table id=\"fs-id1167831922378\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"X plus y to the power of 7. N choose r times a to the power of n minus r b to the power of r. 7 choose 3 times a to the power of 7 minus 3 b to the power of 3. Use n choose r equals n factorial divided by r factorial times n minus r times factorial to get 7 factorial divided by 3 factorial 4 factorial times a to the power of 7 minus 3 b to the power of 3. Simplify 7 g 6 g 5 g 4 factorial divided by 4 factorial g 3 g 2 g 1 times a to the power of 4 b to the power of 3. Simplify to 35 a to the power of 4 b to the power of 3.\" data-label=\"\">\r\n<tbody>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"bottom\" data-align=\"left\">In our pattern, \\(n=7,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a=x\\) and \\(b=y.\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167834238718\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016b_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">We are looking for the fourth term.<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(\\phantom{\\rule{1em}{0ex}}\\begin{array}{ccc}\\hfill \\text{Since}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}r+1&amp; =\\hfill &amp; 4,\\hfill \\\\ \\hfill \\text{then}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}r&amp; =\\hfill &amp; 3.\\hfill \\end{array}\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Write the formula.<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167834238794\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016c_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Substitute in the values, \\(n=7,\\)\\(r=3,\\)\\(a=x,\\) and \\(b=y.\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167834065735\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016d_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167834065754\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016a_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167834539336\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016e_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167834539361\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016f_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167834539388\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016g_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834539405\" class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div id=\"fs-id1167834539409\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834539411\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834539413\">Find the third term of \\({\\left(x+y\\right)}^{6}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830705516\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167830705518\">\\(15{x}^{4}{y}^{2}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830705538\" class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div id=\"fs-id1167830705542\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830705544\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830705546\">Find the fifth term of \\({\\left(a+b\\right)}^{8}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830705572\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167830705574\">\\(8a{b}^{7}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830705591\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\r\n<div id=\"fs-id1167830705593\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830705595\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830705598\">Find the coefficient of the \\({x}^{6}\\) term of \\({\\left(x+3\\right)}^{9}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167826788459\" data-type=\"solution\">\r\n<table id=\"fs-id1167826788462\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern x plus 3 to the power of 9. N choose r times a to the power of n minus r b to the power r. 9 choose 3 times x to the power of 9 minus 3 g 3 to the power of 3. The figure shows two equations on the right and the left. The left reads use n choose r equals n factorial divided by r factorial times n minus r times factorial. The right reads 9 factorial divided by 3 factorial 6 factorial x to the power of 9 minus 3 g 3 to the power of 3. Simplify to 9 g 7 g 6 factorial divided by 3 g 2 g 1 g 6 factorial times x to the power of 6 g 27. Simplify to 9 g 27 g x to the power of 6. Simplify to 243 x to the power of 6.\" data-label=\"\">\r\n<tbody>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"bottom\" data-align=\"left\">In our pattern, then \\(n=9,\\)\\(a=x,\\) and \\(b=3.\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167826788542\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017b_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">We are looking for the coefficient of the \\({x}^{6}\\) term.<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\u2003\u2003\u2003\u2003Since \\(a=x,\\) and \\({x}^{9-r}={x}^{6},\\) we know \\(r=3.\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Write the formula.<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167835483761\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017c_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Substitute in the values, \\(n=9,\\)\\(r=3,\\)\\(a=x,\\) and \\(b=3.\\)<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167835364607\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017d_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167835364627\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017a_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017e_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167830703815\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017f_img_new.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167830703842\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017g_img_new.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167830703868\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017h_img_new.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr valign=\"top\">\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\r\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">The coefficient of the \\({x}^{6}\\) term is 2268.<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835595833\" class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div id=\"fs-id1167835595836\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835595838\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835595841\">Find the coefficient of the \\({x}^{5}\\) term of \\({\\left(x+4\\right)}^{8}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835595875\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835595877\">7,168<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835595883\" class=\"try\" data-type=\"note\">\r\n<div id=\"fs-id1167835595887\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835595890\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835595892\">Find the coefficient of the \\({x}^{4}\\) term of \\({\\left(x+2\\right)}^{7}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835595926\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835595928\">280<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835595934\" class=\"media-2\" data-type=\"note\">\r\n<p id=\"fs-id1167831896538\">Access these online resources for additional instruction and practice with sequences.<\/p>\r\n\r\n<ul id=\"fs-id1167831896542\" data-display=\"block\">\r\n \t<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37binexpanpastr\">Binomial Expansion Using Pascal\u2019s Triangle<\/a><\/li>\r\n \t<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37binocoeffic\">Binomial Coefficients<\/a><\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831896564\" class=\"textbox\" data-depth=\"1\">\r\n<h3 data-type=\"title\">Key Concepts<\/h3>\r\n<ul id=\"fs-id1167831896571\" data-bullet-style=\"bullet\">\r\n \t<li><strong data-effect=\"bold\">Patterns in the expansion of<\/strong>\\({\\left(a+b\\right)}^{n}\\)\r\n<ul id=\"fs-id1167831896607\" data-bullet-style=\"bullet\">\r\n \t<li>The number of terms is \\(n+1.\\)<\/li>\r\n \t<li>The first term is \\({a}^{n}\\) and the last term is \\({b}^{n}.\\)<\/li>\r\n \t<li>The exponents on <em data-effect=\"italics\">a<\/em> decrease by one on each term going left to right.<\/li>\r\n \t<li>The exponents on <em data-effect=\"italics\">b<\/em> increase by one on each term going left to right.<\/li>\r\n \t<li>The sum of the exponents on any term is <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/li>\r\n \t<li><strong data-effect=\"bold\">Pascal\u2019s Triangle<\/strong><span id=\"fs-id1167834062595\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_013_img.jpg\" alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/li>\r\n \t<li><strong data-effect=\"bold\">Binomial Coefficient<\/strong>\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)\\)<strong data-effect=\"bold\">:<\/strong> A binomial coefficient \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right),\\) where <em data-effect=\"italics\">r<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers with \\(0\\le r\\le n,\\) is defined as<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\r\n<div id=\"fs-id1167835321467\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)=\\frac{n!}{r!\\left(n-r\\right)!}\\)<\/div>\r\n<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span> We read \\(\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right)\\) as \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> choose <em data-effect=\"italics\">r<\/em>\u201d or \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> taken <em data-effect=\"italics\">r<\/em> at a time\u201d.<\/li>\r\n \t<li><strong data-effect=\"bold\">Properties of Binomial Coefficients<\/strong><span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(\\begin{array}{ccccccccc}\\hfill \\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)=n\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right)=1\\hfill &amp; &amp; &amp; &amp; \\hfill \\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)=1\\hfill \\end{array}\\)<\/li>\r\n \t<li><strong data-effect=\"bold\">Binomial Theorem:<\/strong> For any real numbers <em data-effect=\"italics\">a<\/em>, <em data-effect=\"italics\">b<\/em>, and positive integer <em data-effect=\"italics\">n<\/em>,<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\r\n<div id=\"fs-id1167835468472\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\\({\\left(a+b\\right)}^{n}=\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-1}{b}^{1}+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-2}{b}^{2}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ r\\hfill \\end{array}\\right){a}^{n-r}{b}^{r}+...+\\left(\\begin{array}{c}n\\hfill \\\\ n\\hfill \\end{array}\\right){b}^{n}\\)<\/div><\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834188605\" class=\"textbox\" data-depth=\"1\">\r\n<h3 data-type=\"title\">Section Exercises<\/h3>\r\n<div id=\"fs-id1167834188609\" class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\">\r\n<h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4>\r\n<p id=\"fs-id1167834188617\"><strong data-effect=\"bold\">Use Pascal\u2019s Triangle to Expand a Binomial<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167834188624\">In the following exercises, expand each binomial using Pascal\u2019s Triangle.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834188628\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834188630\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834188633\">\\({\\left(x+y\\right)}^{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167826799328\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167826799330\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167826799332\">\\({\\left(a+b\\right)}^{8}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167826799354\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167826799357\">\\({a}^{8}+8{a}^{7}b+28{a}^{6}{b}^{2}+56{a}^{5}{b}^{3}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+70{a}^{4}{b}^{4}+56{a}^{3}{b}^{5}+28{a}^{2}{b}^{6}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+8a{b}^{7}+{b}^{8}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835357815\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835357818\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835357820\">\\({\\left(m+n\\right)}^{10}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835281826\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835281828\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835281830\">\\({\\left(p+q\\right)}^{9}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835281852\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835281854\">\\({p}^{9}+9{p}^{8}q+36{p}^{7}{q}^{2}+84{p}^{6}{q}^{3}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+126{p}^{5}{q}^{4}+126{p}^{4}{q}^{5}+84{p}^{3}{q}^{6}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+36{p}^{2}{q}^{7}+9p{q}^{8}+{q}^{9}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834423683\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834423685\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167826993944\">\\({\\left(x-y\\right)}^{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167826994041\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167826994043\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167826994046\">\\({\\left(a-b\\right)}^{6}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167826994068\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167826994070\">\\({a}^{6}-6{a}^{5}b+15{a}^{4}{b}^{2}-20{a}^{3}{b}^{3}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+15{a}^{2}{b}^{4}-6a{b}^{5}+{b}^{6}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834066081\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834066083\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834066085\">\\({\\left(x+4\\right)}^{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167832144279\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167832144281\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167832144283\">\\({\\left(x+5\\right)}^{3}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167832144306\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167832144308\">\\({x}^{3}+15{x}^{2}+75x+125\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167832144340\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167832144342\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167832144344\">\\({\\left(y+2\\right)}^{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834195532\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834195534\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834195536\">\\({\\left(y+1\\right)}^{7}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834195558\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834195560\">\\({y}^{7}+7{y}^{6}+21{y}^{5}+35{y}^{4}+35{y}^{3}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+21{y}^{2}+7y+1\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834195631\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834195633\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834195635\">\\({\\left(z-3\\right)}^{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835379880\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835379882\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835379885\">\\({\\left(z-2\\right)}^{6}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835379907\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835379909\">\\({z}^{6}-12{z}^{5}+60{z}^{4}-160{z}^{3}+240{z}^{2}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(-192z+64\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831922804\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831922806\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831922809\">\\({\\left(4x-1\\right)}^{3}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831922869\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831922872\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831922874\">\\({\\left(3x-1\\right)}^{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831922898\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831922900\">\\(243{x}^{5}-405{x}^{4}+270{x}^{3}-90{x}^{2}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+15x-1\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167826987731\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167826987733\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167826987735\">\\({\\left(3x-4\\right)}^{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167826987806\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167826987808\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167826987810\">\\({\\left(3x-5\\right)}^{3}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167826987834\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167826987837\">\\(27{x}^{3}-135{x}^{2}+225x-125\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835244769\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835244771\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835244773\">\\({\\left(2x+3y\\right)}^{3}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835244849\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835244851\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835244853\">\\({\\left(3x+5y\\right)}^{3}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835244880\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835244882\">\\(27{x}^{3}+135{x}^{2}y+225x{y}^{2}+125{y}^{3}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167830705849\"><strong data-effect=\"bold\">Evaluate a Binomial Coefficient<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167830705854\">In the following exercises, evaluate.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167830705858\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830705860\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830705862\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}8\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}10\\hfill \\\\ 10\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}6\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}9\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167826977707\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167826977709\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167826977711\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}7\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 4\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}3\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}10\\hfill \\\\ 8\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831881632\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831881634\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 7 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 45<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831881659\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831881661\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831881663\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}3\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}9\\hfill \\\\ 9\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}7\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835352517\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835352519\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835352521\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}8\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}11\\hfill \\\\ 9\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835352633\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835352635\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 4 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 55<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167831920560\"><strong data-effect=\"bold\">Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167831920567\">In the following exercises, expand each binomial.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167831920570\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831920572\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831920574\">\\({\\left(x+y\\right)}^{3}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831920641\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831920644\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831920646\">\\({\\left(m+n\\right)}^{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831920668\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831920670\">\\({m}^{5}+5{m}^{4}n+10{m}^{3}{n}^{2}+10{m}^{2}{n}^{3}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+5m{n}^{4}+{n}^{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834535174\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834535177\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834535179\">\\({\\left(a+b\\right)}^{6}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834535291\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835622197\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835622199\">\\({\\left(s+t\\right)}^{7}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835622221\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835622223\">\\({s}^{7}+7{s}^{6}t+21{s}^{5}{t}^{2}+35{s}^{4}{t}^{3}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+35{s}^{3}{t}^{4}+21{s}^{2}{t}^{5}+7s{t}^{6}+{t}^{7}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835622326\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835622328\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835622330\">\\({\\left(x-2\\right)}^{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830704384\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830704387\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830704389\">\\({\\left(y-3\\right)}^{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830704411\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167830704413\">\\({y}^{4}-12{y}^{3}+54{y}^{2}-108y+81\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830704455\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830704457\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830704459\">\\({\\left(p-1\\right)}^{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831884551\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831884553\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831884555\">\\({\\left(q-4\\right)}^{3}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831884577\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831884580\">\\({q}^{3}-12{q}^{2}+48q-64\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831884612\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831884614\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831884616\">\\({\\left(3x-y\\right)}^{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834537970\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834537973\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834537975\">\\({\\left(5x-2y\\right)}^{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834538001\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834538004\">\\(625{x}^{4}-1000{x}^{3}y+600{x}^{2}{y}^{2}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(-160x{y}^{3}+16{y}^{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834538065\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834538068\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834538070\">\\({\\left(2x+5y\\right)}^{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831823905\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831823907\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831823909\">\\({\\left(3x+4y\\right)}^{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831823936\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831823938\">\\(243{x}^{5}+1620{x}^{4}y+4320{x}^{3}{y}^{2}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+5760{x}^{2}{y}^{3}+3840x{y}^{4}+1024{y}^{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834430382\">In the following exercises, find the indicated term in the expansion of the binomial.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834430386\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834430388\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834430390\">Sixth term of \\({\\left(x+y\\right)}^{10}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834430438\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834430440\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834430442\">Fifth term of \\({\\left(a+b\\right)}^{9}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834430468\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834430470\">\\(126{a}^{5}{b}^{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834430489\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834430491\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834430493\">Fourth term of \\({\\left(x-y\\right)}^{8}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831887443\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831887445\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831887448\">Seventh term of \\({\\left(x-y\\right)}^{11}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831887474\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831887476\">\\(462{x}^{5}{y}^{6}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167831887496\">In the following exercises, find the coefficient of the indicated term in the expansion of the binomial.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167831887500\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831887502\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831887504\">\\({y}^{3}\\) term of \\({\\left(y+5\\right)}^{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831887545\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831887547\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831887549\">\\({x}^{6}\\) term of \\({\\left(x+2\\right)}^{8}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831887582\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831887584\">112<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831887589\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831887592\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831887594\">\\({x}^{5}\\) term of \\({\\left(x-4\\right)}^{6}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831833765\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831833767\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831833769\">\\({x}^{7}\\) term of \\({\\left(x-3\\right)}^{9}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831833802\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831833805\">324<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831833810\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831833812\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831833814\">\\({a}^{4}{b}^{2}\\) term of \\({\\left(2a+b\\right)}^{6}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831833862\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831833864\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831833866\">\\({p}^{5}{q}^{4}\\) term of \\({\\left(3p+q\\right)}^{9}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834555252\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834555254\">30,618<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167829791146\" class=\"writing\" data-depth=\"2\">\r\n<h4 data-type=\"title\">Writing Exercises<\/h4>\r\n<div id=\"fs-id1167834555269\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834555271\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834555273\">In your own words explain how to find the rows of the Pascal\u2019s Triangle. Write the first five rows of Pascal\u2019s Triangle.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834555286\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834555288\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834555290\">In your own words, explain the pattern of exponents for each variable in the expansion of.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834555295\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834555297\">Answers will vary.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834555303\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834555305\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834555307\">In your own words, explain the difference between \\({\\left(a+b\\right)}^{n}\\) and \\({\\left(a-b\\right)}^{n}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834555360\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834555362\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834555365\">In your own words, explain how to find a specific term in the expansion of a binomial without expanding the whole thing. Use an example to help explain.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834555370\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834555372\">Answers will vary.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834555379\" class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\">\r\n<h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4>\r\n<p id=\"fs-id1167834555384\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p>\r\n<span id=\"fs-id1167834555396\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows a table with four rows and four columns. The first row is the header row and reads. \u201cI can\u201d, \u201cConfidently\u201d, \u201cWith some help\u201d and \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. The first column, beginning at the second row reads, \u201cUse Pascal\u2019s Triangle to Expand a Binomial\u201d, \u201cEvaluate a Binomial Coefficient\u201d and \u201cUse the Binomial Theorem to Expand a Binomial\u201d. The remaining columns are blank.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_201_img.jpg\" alt=\"This figure shows a table with four rows and four columns. The first row is the header row and reads. \u201cI can\u201d, \u201cConfidently\u201d, \u201cWith some help\u201d and \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. The first column, beginning at the second row reads, \u201cUse Pascal\u2019s Triangle to Expand a Binomial\u201d, \u201cEvaluate a Binomial Coefficient\u201d and \u201cUse the Binomial Theorem to Expand a Binomial\u201d. The remaining columns are blank.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span>\r\n<p id=\"fs-id1167834555408\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> On a scale of 1-10, how would you rate your mastery of this section in light of your responses on the checklist? How can you improve this?<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834533095\" class=\"review-exercises\" data-depth=\"1\">\r\n<h3 data-type=\"title\">Chapter Review Exercises<\/h3>\r\n<div id=\"fs-id1167834533099\" class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\">\r\n<h4 data-type=\"title\"><a class=\"target-chapter\" href=\"\/contents\/81cfc493-c857-49bd-a23f-82ac67cbb9c4\">Sequences<\/a><\/h4>\r\n<p id=\"fs-id1167834533110\"><strong data-effect=\"bold\">Write the First Few Terms of a Sequence<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167834533116\">In the following exercises, write the first five terms of the sequence whose general term is given.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834533120\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834533122\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834533124\">\\({a}_{n}=7n-5\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834533173\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834533175\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834533178\">\\({a}_{n}={3}^{n}+4\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834533200\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834533202\">\\(7,13,31,85,247\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834533228\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834533230\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834533232\">\\({a}_{n}={2}^{n}+n\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830699125\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830699127\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830699129\">\\({a}_{n}=\\frac{2n+1}{{4}^{n}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830699159\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167830699161\">\\(\\frac{3}{4},\\frac{5}{16},\\frac{7}{64},\\frac{9}{256},\\frac{11}{1024}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830699208\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830699210\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830699212\">\\({a}_{n}=\\frac{{\\left(-1\\right)}^{n}}{{n}^{2}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834098136\"><strong data-effect=\"bold\">Find a Formula for the General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th Term) of a Sequence<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167834098147\">In the following exercises, find a general term for the sequence whose first five terms are shown.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834098152\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834098154\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834098156\">\\(9,18,27,36,45,\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834098187\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834098189\">\\({a}_{n}=9n\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834098207\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834098209\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834098211\">\\(-5,-4,-3,-2,-1,\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834098265\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834098267\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834098269\">\\(\\frac{1}{{e}^{3}},\\frac{1}{{e}^{2}},\\frac{1}{e},1,e,\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834536203\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834536206\">\\({a}_{n}={e}^{n-4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834536230\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834536232\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834536234\">\\(1,-8,27,-64,125,\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834536307\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834536309\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834536311\">\\(-\\frac{1}{3},-\\frac{1}{2},-\\frac{3}{5},-\\frac{2}{3},-\\frac{5}{7},\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831846984\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831846986\">\\({a}_{n}=-\\frac{n}{n+2}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167831847012\"><strong data-effect=\"bold\">Use Factorial Notation<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167831847018\">In the following exercises, using factorial notation, write the first five terms of the sequence whose general term is given.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167831847022\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831847024\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831847026\">\\({a}_{n}=4n!\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831847073\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831847076\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831847078\">\\({a}_{n}=\\frac{n!}{\\left(n+2\\right)\\text{!}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831847115\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831847117\">\\(\\frac{1}{6},\\frac{1}{12},\\frac{1}{20},\\frac{1}{30},\\frac{1}{42}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834095018\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834095020\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834095023\">\\({a}_{n}=\\frac{\\left(n-1\\right)!}{{\\left(n+1\\right)}^{\\text{2}}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834095119\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Partial Sum<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167834095125\">In the following exercises, expand the partial sum and find its value.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834095129\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834095131\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834095133\">\\(\\sum _{i=1}^{7}\\left(2i-5\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830699348\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167830699351\">\\(-3+\\left(-1\\right)+1+3+5\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+7+9=21\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830699397\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830699399\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830699402\">\\(\\sum _{i=1}^{3}{5}^{i}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830699453\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830699455\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830699457\">\\(\\sum _{k=0}^{4}\\frac{4}{k!}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830699488\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167830699490\">\\(4+4+2+\\frac{2}{3}+\\frac{1}{6}=\\frac{65}{6}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835514050\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835514052\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835514054\">\\(\\sum _{k=1}^{4}\\left(k+1\\right)\\left(2k+1\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167835514133\"><strong data-effect=\"bold\">Use Summation Notation to write a Sum<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167835514140\">In the following exercises, write each sum using summation notation.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167835514143\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835514145\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835514147\">\\(-\\frac{1}{3}+\\frac{1}{9}-\\frac{1}{27}+\\frac{1}{81}-\\frac{1}{243}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835514193\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835514195\">\\(\\sum _{n=1}^{5}{\\left(-1\\right)}^{n}\\frac{1}{{3}^{n}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834228203\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834228205\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834228208\">\\(4-8+12-16+20-24\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834228286\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834228288\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834228290\">\\(4+2+\\frac{4}{3}+1+\\frac{4}{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834228321\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834228323\">\\(\\sum _{n=1}^{5}\\frac{4}{n}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834300985\" class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\">\r\n<h4 data-type=\"title\"><a class=\"target-chapter\" href=\"\/contents\/beab9aa5-3e76-4e7b-92f5-1eae134e874b\">Arithmetic Sequences<\/a><\/h4>\r\n<p id=\"fs-id1167834300996\"><strong data-effect=\"bold\">Determine if a Sequence is Arithmetic<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167834301002\">In the following exercises, determine if each sequence is arithmetic, and if so, indicate the common difference.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834301006\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834301008\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834301010\">\\(1,2,4,8,16,32,\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834301053\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834301055\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834301057\">\\(-7,-1,5,11,17,23,\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834301092\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834301095\">The sequence is arithmetic with common difference \\(d=6.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834301111\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834301113\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834301115\">\\(13,9,5,1,-3,-7,\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834279552\">In the following exercises, write the first five terms of each arithmetic sequence with the given first term and common difference.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834279556\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834279558\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834279560\">\\({a}_{1}=5\\) and \\(d=3\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834279585\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834279587\">\\(5,8,11,14,17\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834279612\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834279615\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834279617\">\\({a}_{1}=8\\) and \\(d=-2\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834279669\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834279671\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834279673\">\\({a}_{1}=-13\\) and \\(d=6\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834279698\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834279700\">\\(-13,-7,-1,5,11\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167830704135\"><strong data-effect=\"bold\">Find the General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th Term) of an Arithmetic Sequence<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167830704146\">In the following exercises, find the term described using the information provided.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167830704149\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830704151\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830704153\">Find the twenty-fifth term of a sequence where the first term is five and the common difference is three.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830704169\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830704171\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830704174\">Find the thirtieth term of a sequence where the first term is 16 and the common difference is \\(-5.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830704185\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167830704187\">\\(-129\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830704196\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830704198\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830704200\">Find the seventeenth term of a sequence where the first term is \\(-21\\) and the common difference is two.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167830704220\">In the following exercises, find the indicated term and give the formula for the general term.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167830704224\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830704227\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830704229\">Find the eighteenth term of a sequence where the fifth term is \\(12\\) and the common difference is seven.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830704238\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167830704240\">\\({a}_{18}=103.\\) The general term is \\({a}_{n}=7n-23.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830704281\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830704283\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830704285\">Find the twenty-first term of a sequence where the seventh term is \\(14\\) and the common difference is \\(-3.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167830694002\">In the following exercises, find the first term and common difference of the sequence with the given terms. Give the formula for the general term.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167830694006\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830694008\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830694011\">The fifth term is 17 and the fourteenth term is 53.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830694015\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167830694017\">\\({a}_{1}=1,\\)\\(d=4.\\) The general term is \\({a}_{n}=4n-3.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830694067\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830694069\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830694071\">The third term is \\(-26\\) and the sixteenth term is \\(-91.\\).<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167830694141\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Sum of the First <em data-effect=\"italics\">n<\/em> Terms of an Arithmetic Sequence<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167834533414\">In the following exercises, find the sum of the first 30 terms of each arithmetic sequence.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834533418\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834533420\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834533422\">\\(7,4,1,-2,-5,\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834533453\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834533455\">\\(-430\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834533464\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834533466\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834533468\">\\(1,6,11,16,21,\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834533510\">In the following exercises, find the sum of the first fifteen terms of the arithmetic sequence whose general term is given.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834533514\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834533516\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834533518\">\\({a}_{n}=4n+7\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834533540\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834533542\">\\(585\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834533550\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834533552\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834533554\">\\({a}_{n}=-2n+19\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167831921886\">In the following exercises, find each sum.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167831921889\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831921891\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831921894\">\\(\\sum _{i=1}^{50}\\left(4i-5\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831921934\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831921936\">\\(4850\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831921944\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831921946\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831921949\">\\(\\sum _{i=1}^{30}\\left(-3i-7\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831922004\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831922006\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831922008\">\\(\\sum _{i=1}^{35}\\left(i+10\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831922046\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831922048\">\\(980\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831922058\" class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\">\r\n<h4 data-type=\"title\"><a class=\"target-chapter\" href=\"\/contents\/7e49f09d-5033-4393-a74f-556d343328c7\">Geometric Sequences and Series<\/a><\/h4>\r\n<p id=\"fs-id1167834432279\"><strong data-effect=\"bold\">Determine if a Sequence is Geometric<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167834432285\">In the following exercises, determine if the sequence is geometric, and if so, indicate the common ratio.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834432290\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834432292\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834432294\">\\(3,12,48,192,768,3072,\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834432347\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834432349\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834432352\">\\(5,10,15,20,25,30,\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834432387\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834432389\">The sequence is not geometric.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834432394\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834432396\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834432398\">\\(112,56,28,14,7,\\frac{7}{2},\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834279767\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834279769\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834279771\">\\(9,-18,36,-72,144,-288,\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834279806\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834279808\">The sequence is geometric with common ratio \\(r=-2.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834279824\">In the following exercises, write the first five terms of each geometric sequence with the given first term and common ratio.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834279829\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834279831\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834279833\">\\({a}_{1}=-3\\) and \\(r=5\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834279885\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834279887\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834279890\">\\({a}_{1}=128\\) and \\(r=\\frac{1}{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834279917\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834279919\">\\(128,32,8,2,\\frac{1}{2}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834279948\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834279950\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167826994654\">\\({a}_{1}=5\\) and \\(r=-3\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167826994706\"><strong data-effect=\"bold\">Find the General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th Term) of a Geometric Sequence<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167826994718\">In the following exercises, find the indicated term of a sequence where the first term and the common ratio is given.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167826994722\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167826994724\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167826994726\">Find \\({a}_{9}\\) given \\({a}_{1}=6\\) and \\(r=2.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167826994760\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167826994762\">\\(1,536\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167826994775\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167826994777\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167826994779\">Find \\({a}_{11}\\) given \\({a}_{1}=10,000,000\\) and \\(r=0.1.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167826994834\">In the following exercises, find the indicated term of the given sequence. Find the general term of the sequence.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167826994838\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167826994840\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167826994842\">Find \\({a}_{12}\\) of the sequence, \\(6,-24,96,-384,1536,-6144,\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831835540\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831835542\">\\({a}_{12}=-25,165,824.\\) The general term is \\({a}_{n}=6{\\left(-4\\right)}^{n-1}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831835605\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831835607\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831835609\">Find \\({a}_{9}\\) of the sequence, \\(4374,1458,486,162,54,18,\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834309711\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Sum of the First <em data-effect=\"italics\">n<\/em> terms of a Geometric Sequence<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167834309722\">In the following exercises, find the sum of the first fifteen terms of each geometric sequence.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834309726\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834309728\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834309731\">\\(-4,8,-16,32,-64,128\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834309764\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834309766\">5,460<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834309771\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834309773\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834309775\">\\(3,12,48,192,768,3072\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834309828\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834309830\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834309832\">\\(3125,625,125,25,5,1\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834309865\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834309867\">\\(\\approx 3906.25\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834309878\">In the following exercises, find the sum<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834309881\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834309883\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834309885\">\\(\\sum _{i=1}^{8}7{\\left(3\\right)}^{i}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830702709\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830702711\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830702713\">\\(\\sum _{i=1}^{6}24{\\left(\\frac{1}{2}\\right)}^{i}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830702754\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167830702756\">\\(\\frac{189}{8}=23.625\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167830702773\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Sum of an Infinite Geometric Series<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167830702779\">In the following exercises, find the sum of each infinite geometric series.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167830702782\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830702784\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830702787\">\\(1-\\frac{1}{3}+\\frac{1}{9}-\\frac{1}{27}+\\frac{1}{81}-\\frac{1}{243}+\\frac{1}{729}-\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167830702863\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167830702866\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167830702868\">\\(49+7+1+\\frac{1}{7}+\\frac{1}{49}+\\frac{1}{343}+\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834314304\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834314306\">\\(\\frac{343}{6}\\approx 57.167\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834314323\">In the following exercises, write each repeating decimal as a fraction.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834314326\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834314328\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834314330\">\\(0.\\stackrel{\u2013}{8}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834314360\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834314362\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834314364\">\\(0.\\stackrel{\u2014}{36}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834314382\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834314384\">\\(\\frac{4}{11}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834314397\"><strong data-effect=\"bold\">Apply Geometric Sequences and Series in the Real World<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167834314403\">In the following exercises, solve the problem.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834314406\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834314409\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834314411\">What is the total effect on the economy of a government tax rebate of \\(\\text{?}360\\) to each household in order to stimulate the economy if each household will spend \\(60%\\) of the rebate in goods and services?<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834314443\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834314445\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834314447\">Adam just got his first full-time job after graduating from high school at age 17. He decided to invest \\(\\text{?}300\\) per month in an IRA (an annuity). The interest on the annuity is \\(7%\\) which is compounded monthly. How much will be in Adam\u2019s account when he retires at his sixty-seventh birthday?<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834314468\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834314470\">\\(\\text{?}1,634,421.27\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831836421\" class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\">\r\n<h4 data-type=\"title\"><a class=\"target-chapter\" href=\"\/contents\/c9aabcfa-7dac-4cdb-bca0-f8738ce61f22\">Binomial Theorem<\/a><\/h4>\r\n<p id=\"fs-id1167831836431\"><strong data-effect=\"bold\">Use Pascal\u2019s Triangle to Expand a Binomial<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167831836438\">In the following exercises, expand each binomial using Pascal\u2019s Triangle.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167831836443\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831836445\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831836447\">\\({\\left(a+b\\right)}^{7}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831836574\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831836576\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831836578\">\\({\\left(x-y\\right)}^{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831836601\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831836603\">\\({x}^{4}-4{x}^{3}y+6{x}^{2}{y}^{2}-4x{y}^{3}+{y}^{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834395028\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834395030\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834395032\">\\({\\left(x+6\\right)}^{3}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834395089\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834395091\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834395093\">\\({\\left(2y-3\\right)}^{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834395118\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834395120\">\\(32{y}^{5}-240{y}^{4}+720{y}^{3}-1080{y}^{2}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+810y-243\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834395173\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834395175\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834395178\">\\({\\left(7x+2y\\right)}^{3}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834528362\"><strong data-effect=\"bold\">Evaluate a Binomial Coefficient<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167834528369\">In the following exercises, evaluate.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834528372\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834528374\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834528376\"><span data-type=\"newline\">\r\n<\/span><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}11\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}12\\hfill \\\\ 12\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}13\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span><span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}8\\hfill \\\\ 3\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834528488\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834528490\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 11 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 56<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834528515\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834528517\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834528519\"><span data-type=\"newline\">\r\n<\/span><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}7\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}5\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}9\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span><span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}9\\hfill \\\\ 5\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831908221\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831908224\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831908226\"><span data-type=\"newline\">\r\n<\/span><span class=\"token\">\u24d0<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}1\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span><span class=\"token\">\u24d1<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}15\\hfill \\\\ 15\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span><span class=\"token\">\u24d2<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}4\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span><span class=\"token\">\u24d3<\/span>\\(\\left(\\begin{array}{c}11\\hfill \\\\ 2\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834273814\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834273816\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 55<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834273841\"><strong data-effect=\"bold\">Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial<\/strong><\/p>\r\n<p id=\"fs-id1167834273847\">In the following exercises, expand each binomial, using the Binomial Theorem.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834273850\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834273852\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834273855\">\\({\\left(p+q\\right)}^{6}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834273967\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834273969\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834273971\">\\({\\left(t-1\\right)}^{9}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834273993\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834273995\">\\({t}^{9}-9{t}^{8}+36{t}^{7}-84{t}^{6}+126{t}^{5}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(-126{t}^{4}+84{t}^{3}-36{t}^{2}+9t-1\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167828316129\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167828316131\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167828316133\">\\({\\left(2x+1\\right)}^{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167828316203\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167828316205\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167828316208\">\\({\\left(4x+3y\\right)}^{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167828316234\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167828316236\">\\(256{x}^{4}+768{x}^{3}y+864{x}^{2}{y}^{2}\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span>\\(+432x{y}^{3}+81{y}^{4}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831919555\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831919557\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831919559\">\\({\\left(x-3y\\right)}^{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167831919660\">In the following exercises, find the indicated term in the expansion of the binomial.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167831919663\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831919666\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831919668\">Seventh term of \\({\\left(a+b\\right)}^{9}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831919693\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831919695\">\\(84{a}^{6}{b}^{3}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831919715\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831919717\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831919719\">Third term of \\({\\left(x-y\\right)}^{7}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834308232\">In the following exercises, find the coefficient of the indicated term in the expansion of the binomial.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834308236\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834308239\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834308241\">\\({y}^{4}\\) term of \\({\\left(y+3\\right)}^{6}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834308274\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834308276\">135<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834308281\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834308283\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834308286\">\\({x}^{5}\\) term of \\({\\left(x-2\\right)}^{8}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834308329\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834308331\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834308334\">\\({a}^{3}{b}^{4}\\) term of \\({\\left(2a+b\\right)}^{7}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834308374\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834308376\">280<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834308384\" class=\"practice-test\" data-depth=\"1\">\r\n<h3 data-type=\"title\">Practice Test<\/h3>\r\n<p id=\"fs-id1167834308391\">In the following exercises, write the first five terms of the sequence whose general term is given.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834308395\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834308397\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834308399\">\\({a}_{n}=\\frac{5n-3}{{3}^{n}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834430012\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834430014\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834430016\">\\({a}_{n}=\\frac{\\left(n+2\\right)!}{\\left(n+3\\right)\\text{!}}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834430066\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834430068\">\\(\\frac{1}{4},\\frac{1}{5},\\frac{1}{6},\\frac{1}{7},\\frac{1}{8}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834430110\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834430112\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834430114\">Find a general term for the sequence, \\(-\\frac{2}{3},-\\frac{4}{5},-\\frac{6}{7},-\\frac{8}{9},-\\frac{10}{11},\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834430209\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834430211\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834430213\">Expand the partial sum and find its value. \\(\\sum _{i=1}^{4}{\\left(-4\\right)}^{i}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835378774\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835378776\">\\(-4+16-64+256=204\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835378801\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835378803\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835378806\">Write the following using summation notation. \\(-1+\\frac{1}{4}-\\frac{1}{9}+\\frac{1}{16}-\\frac{1}{25}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835378896\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835378898\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835378900\">Write the first five terms of the arithmetic sequence with the given first term and common difference. \\({a}_{1}=-13\\) and \\(d=3\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835378927\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835378929\">\\(-13,-10,-7,-4,-1\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835378954\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835378956\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835378959\">Find the twentieth term of an arithmetic sequence where the first term is two and the common difference is \\(-7.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835216576\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835216578\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835216580\">Find the twenty-third term of an arithmetic sequence whose seventh term is \\(11\\) and common difference is three. Then find a formula for the general term.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835216590\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835216592\">\\({a}_{23}=59.\\) The general term is \\({a}_{n}=3n-10.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835216632\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835216635\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835216637\">Find the first term and common difference of an arithmetic sequence whose ninth term is \\(-1\\) and the sixteenth term is \\(-15.\\) Then find a formula for the general term.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835216707\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835216709\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835216711\">Find the sum of the first 25 terms of the arithmetic sequence, \\(5,9,13,17,21,\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835216743\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167835216745\">\\(1,325\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835216758\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835216760\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835216762\">Find the sum of the first 50 terms of the arithmetic sequence whose general term is \\({a}_{n}=-3n+100.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167835216802\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167835216804\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167835216806\">Find the sum. \\(\\sum _{i=1}^{40}\\left(5i-21\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834538190\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834538192\">\\(3,260\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167834538205\">In the following exercises, determine if the sequence is arithmetic, geometric, or neither. If arithmetic, then find the common difference. If geometric, then find the common ratio.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167834538209\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834538212\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834538214\">\\(14,3,-8,-19,-30,-41,\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834538267\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834538269\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834538271\">\\(324,108,36,12,4,\\frac{4}{3},\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834538310\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834538312\">The sequence is geometric with common ratio \\(r=\\frac{1}{3}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834538331\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834538333\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834538335\">Write the first five terms of the geometric sequence with the given first term and common ratio. \\({a}_{1}=6\\) and \\(r=-2\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834538390\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834538392\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834538394\">In the geometric sequence whose first term and common ratio are \\({a}_{1}=5\\) and \\(r=4,\\) find \\({a}_{11}.\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831895146\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831895148\">\\(5,242,880\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831895165\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831895167\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831895169\">Find \\({a}_{10}\\) of the geometric sequence, \\(1250,250,50,10,2,\\frac{2}{5},\\text{\u2026}\\text{.}\\) Then find a formula for the general term.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831895292\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831895294\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831895296\">Find the sum of the first thirteen terms of the geometric sequence, \\(2,-6,18,-54,162,-486\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167831895330\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167831895332\">\\(797,162\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p id=\"fs-id1167831895345\">In the following exercises, find the sum.<\/p>\r\n\r\n<div id=\"fs-id1167831895348\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167831895350\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167831895352\">\\(\\sum _{i=1}^{9}5{\\left(2\\right)}^{i}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834124597\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834124599\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834124601\">\\(1-\\frac{1}{5}+\\frac{1}{25}-\\frac{1}{125}+\\frac{1}{625}-\\frac{1}{3125}+\\text{\u2026}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834124656\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834124659\">\\(\\frac{5}{6}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834124670\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834124672\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834124675\">Write the repeating decimal as a fraction. \\(0.\\stackrel{\u2014}{81}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834124708\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834124710\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834124712\">Dave just got his first full-time job after graduating from high school at age 18. He decided to invest ?450 per month in an IRA (an annuity). The interest on the annuity is 6% which is compounded monthly. How much will be in Adam\u2019s account when he retires at his sixty-fifth birthday?<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834124720\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834124722\">\\(\\text{?}1,409,344.19\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834124741\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834124744\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834124746\">Expand the binomial using Pascal\u2019s Triangle. \\({\\left(m-2n\\right)}^{5}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834536641\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834536643\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834536645\">Evaluate each binomial coefficient. <span class=\"token\">\u24d0<\/span> \\(\\left(\\begin{array}{c}8\\hfill \\\\ 1\\hfill \\end{array}\\right)\\)<span data-type=\"newline\">\r\n<\/span><span class=\"token\">\u24d1<\/span> \\(\\left(\\begin{array}{c}16\\hfill \\\\ 16\\hfill \\end{array}\\right)\\) <span class=\"token\">\u24d2<\/span> \\(\\left(\\begin{array}{c}12\\hfill \\\\ 0\\hfill \\end{array}\\right)\\) <span class=\"token\">\u24d3<\/span> \\(\\left(\\begin{array}{c}10\\hfill \\\\ 6\\hfill \\end{array}\\right)\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834536758\" data-type=\"solution\">\r\n<p id=\"fs-id1167834536760\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> 8 <span class=\"token\">\u24d1<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d2<\/span> 1 <span class=\"token\">\u24d3<\/span> 210<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div id=\"fs-id1167834536785\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\r\n<div id=\"fs-id1167834536787\" data-type=\"problem\">\r\n<p id=\"fs-id1167834536789\">Expand the binomial using the Binomial Theorem. \\({\\left(4x+5y\\right)}^{3}\\)<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>","rendered":"<div class=\"textbox textbox--learning-objectives\">\n<h3>Learning Objectives<\/h3>\n<p>By the end of this section, you will be able to:<\/p>\n<ul>\n<li>Use Pascal\u2019s Triangle to expand a binomial<\/li>\n<li>Evaluate a binomial coefficient<\/li>\n<li>Use the Binomial Theorem to expand a binomial<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834064807\" class=\"be-prepared\" data-type=\"note\">\n<p id=\"fs-id1167835344602\">Before you get started, take this readiness quiz.<\/p>\n<ol id=\"fs-id1167835326566\" type=\"1\">\n<li>Simplify: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e22beee0937a2266b6abe2038630a2bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&middot;&#54;&middot;&#53;&middot;&#52;&#125;&#123;&#52;&middot;&#51;&middot;&#50;&middot;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span> If you missed this problem, review <a class=\"autogenerated-content\" href=\"\/contents\/425620d9-51dd-45e5-8a21-953998a4a77f#fs-id1167836390100\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>Expand: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eab04ce407f3ef32618e44614336e36e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span> If you missed this problem, review <a class=\"autogenerated-content\" href=\"\/contents\/0b9be1db-21c4-4bd0-8f8e-d809f6ff7c8c#fs-id1167836392219\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<li>Expand: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e944c3550ade8febc47a6c99952dd16e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span> If you missed this problem, review <a class=\"autogenerated-content\" href=\"\/contents\/0b9be1db-21c4-4bd0-8f8e-d809f6ff7c8c#fs-id1167836392219\">(Figure)<\/a>.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834346959\" class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\">\n<h3 data-type=\"title\">Use Pascal\u2019s Triangle to Expand a Binomial<\/h3>\n<p>In our previous work, we have squared binomials either by using FOIL or by using the Binomial Squares Pattern. We can also say that we expanded <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84d8d4b769127c3745da79438f548a4d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div id=\"fs-id1167831934023\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1cfbdf72854a6dc63ba0f2ae17f46708_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#97;&#98;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835329284\">To expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c906e99eec440639de0d4d01e60d893_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> we recognize that this is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9640d8306f708c6dc6041572e390a7aa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"114\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and multiply.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167835334969\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a76847879fa47e7906a9a93ccc15d39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#97;&#98;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#50;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#50;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#51;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#51;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#51;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#51;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"134\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -61px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835309507\">To find a method that is less tedious that will work for higher expansions like <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be00ac7b92bcb866d2d397da852a55c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> we again look for patterns in some expansions.<\/p>\n<table id=\"fs-id1167835344744\" class=\"unnumbered\" summary=\"No Summary\" data-label=\"\">\n<thead>\n<tr valign=\"top\">\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/th>\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Number of terms<\/th>\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">First term<\/th>\n<th data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Last term<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1efa2f59e7c1b6dcdabffe9dbe30cdc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#61;&#97;&#43;&#98;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">2<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10bade4055bb2f0383a9bf05112bf2c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2b843a28dace2d58e1322d04ace2739_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1cfbdf72854a6dc63ba0f2ae17f46708_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#97;&#98;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">3<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-91fa2bda4c48f12d3beccdcacaba4770_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e15739e82c5477e5c8440e0c8638c4af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34592150f28f48aff235b79c344f4f16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#51;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#51;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">4<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9c49c3f57f6f5eed5f4192bf868fe18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3fa48bbec0c61693cffcecb8a4a5d41_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e51cb1ab4d5deba8458c8f3dce1391ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#52;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#98;&#43;&#54;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#52;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"310\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">5<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-338254cc06a4a74a0fe2e45945acf0d0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4acb9a619db1f2b854c96d87cf322c05_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38976a8f4272781b6c4cbb347eb8fce9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#53;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#98;&#43;&#49;&#48;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#48;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#53;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"390\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">6<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2bc4c53dcfc4f9f19b0cacff20967696_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec866b1a5d0ecd76c18ef81222f84452_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-314dcbebc1901d9367d7f428d3792df4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><em data-effect=\"italics\">n<\/em><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef78644f25c125ead81d3c69ef32dee0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a7817e3440d75b2b2d01187b71ef4f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p id=\"fs-id1167834229329\">Notice the first and last terms show only one variable. Recall that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ecac77b1153dc3e35ca9a2c0afdcf6a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#48;&#125;&#61;&#49;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> so we could rewrite the first and last terms to include both variables. For example, we could expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f33a1d01d65d6afb1b4ae1f10a0ca903_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> to show each term with both variables.<\/p>\n<p><span id=\"fs-id1167835352706\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows the pattern a plus b to the power of 3 equals a to a power of 3 times b to a power of 0 plus 3 times a to a power of 2 times b to a power of 1 plus 3 a to a power of 0 times b to a power of 3.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2019\/09\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_012_img.jpg\" alt=\"This figure shows the pattern a plus b to the power of 3 equals a to a power of 3 times b to a power of 0 plus 3 times a to a power of 2 times b to a power of 1 plus 3 a to a power of 0 times b to a power of 3.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835310355\">Generally, we don\u2019t show the zero exponents, just as we usually write <em data-effect=\"italics\">x<\/em> rather than 1<em data-effect=\"italics\">x<\/em>.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167835335671\" data-type=\"note\">\n<div data-type=\"title\">Patterns in the expansion of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-314dcbebc1901d9367d7f428d3792df4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<ul id=\"fs-id1167835420707\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>The number of terms is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c36cd99fd08ed06099c3688c7858942_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#43;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/li>\n<li>The first term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef78644f25c125ead81d3c69ef32dee0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and the last term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-15669049429993354428cedfab05708e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/li>\n<li>The exponents on <em data-effect=\"italics\">a<\/em> decrease by one on each term going left to right.<\/li>\n<li>The exponents on <em data-effect=\"italics\">b<\/em> increase by one on each term going left to right.<\/li>\n<li>The sum of the exponents on any term is <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831882320\">Let\u2019s look at an example to highlight the last three patterns.<\/p>\n<p><span id=\"fs-id1167835230438\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows the pattern a plus b to the power of 5 equals a plus 5 times a times b plus 10 times a times b plus 5 times a times b plus b.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_001_img.jpg\" alt=\"This figure shows the pattern a plus b to the power of 5 equals a plus 5 times a times b plus 10 times a times b plus 5 times a times b plus b.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835349635\">From the patterns we identified, we see the variables in the expansion of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cfceffb48179679593971ec652cd636_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> would be<\/p>\n<div id=\"fs-id1167835301706\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-358bcc0bd092d4ede4a8e9be90dbb1dc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"288\" style=\"vertical-align: -29px;\" \/><\/div>\n<p>To find the coefficients of the terms, we write our expansions again focusing on the coefficients. We rewrite the coefficients to the right forming an array of coefficients.<\/p>\n<p><span id=\"fs-id1167835331679\" data-type=\"media\" data-alt=\"A plus b to the power of 0 equals 1. The top level of Pascal\u2019s Triangle is 1. A plus b to the power of 1 equals 1 a plus 1 b. The second level of Pascal\u2019s Triangle is 1, 1. A plus b to the power of 2 equals 1 a to the power of 2 plus 2 a b plus 1 b to the power of 2. The third level of Pascal\u2019s Triangle is 1, 2, 1. A plus b to the power of 3 equals 1 a to the power of 3 plus 3 a to the power of 2 b plus 3 a b to the power of 2 plus 1 b to the power of 3. The fourth level of Pascal\u2019s Triangle is 1,3,3,1. A plus b to the power of 4 equals 1 a to the power of 4 plus 4 a to the power of 3 b plus 6 a to the power of 2 b to the power of 2 plus 4 a b to the power of 3 plus 1 b to the power of 4. The fifth level of Pascal\u2019s Triangle is 1, 4, 6, 4, 1. A plus b to the power of 5 equals 1 a to the power of 5 plus 5 a to the power of 4 b plus 10 a to the power of 3 b to the power of 2 plus 10 a to the power of 2 b to the power of 3. The sixth row of the Pascal\u2019s Triangle is 1, 5, 10, 10, 5, 1.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_002_img.jpg\" alt=\"A plus b to the power of 0 equals 1. The top level of Pascal\u2019s Triangle is 1. A plus b to the power of 1 equals 1 a plus 1 b. The second level of Pascal\u2019s Triangle is 1, 1. A plus b to the power of 2 equals 1 a to the power of 2 plus 2 a b plus 1 b to the power of 2. The third level of Pascal\u2019s Triangle is 1, 2, 1. A plus b to the power of 3 equals 1 a to the power of 3 plus 3 a to the power of 2 b plus 3 a b to the power of 2 plus 1 b to the power of 3. The fourth level of Pascal\u2019s Triangle is 1,3,3,1. A plus b to the power of 4 equals 1 a to the power of 4 plus 4 a to the power of 3 b plus 6 a to the power of 2 b to the power of 2 plus 4 a b to the power of 3 plus 1 b to the power of 4. The fifth level of Pascal\u2019s Triangle is 1, 4, 6, 4, 1. A plus b to the power of 5 equals 1 a to the power of 5 plus 5 a to the power of 4 b plus 10 a to the power of 3 b to the power of 2 plus 10 a to the power of 2 b to the power of 3. The sixth row of the Pascal\u2019s Triangle is 1, 5, 10, 10, 5, 1.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/p>\n<p>The array to the right is called <span data-type=\"term\">Pascal\u2019s Triangle<\/span>. Notice each number in the array is the sum of the two closest numbers in the row above. We can find the next row by starting and ending with one and then adding two adjacent numbers.<\/p>\n<p><span id=\"fs-id1167834190649\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_003_img.jpg\" alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835233515\">This triangle gives the coefficients of the terms when we expand binomials.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167835281872\" data-type=\"note\">\n<div data-type=\"title\">Pascal\u2019s Triangle<\/div>\n<p><span id=\"fs-id1167835414816\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_018_img.jpg\" alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/p>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167835257249\">In the next example, we will use this triangle and the patterns we recognized to expand the binomial.<\/p>\n<\/div>\n<p><strong>This has been added by Will:<br \/>\n&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;<br \/>\n<\/strong><\/p>\n<p>The following using \\array:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-538ae9dcf024e4b5fc6a3dfdab96056d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#61;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"539\" style=\"vertical-align: -16px;\" \/><\/p>\n<p>The following using \\aligned, with the equations aligned at the equal sign:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b28bdcc69c4e683e88fb77c81fa5134c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#101;&#100;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#38;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#100;&#111;&#116;&#115;&#111;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#38;&#61;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#101;&#100;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"50\" width=\"539\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<p>It&#8217;s more useful in the following. This is the original using \\array from earlier in this section:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a76847879fa47e7906a9a93ccc15d39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#97;&#98;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#50;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#50;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#51;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#51;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#51;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#51;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"134\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -61px;\" \/><\/p>\n<p>And this is a more clear formatting using \\aligned:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff0866a21d76cd081fd5116cea315af1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#101;&#100;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#32;&#38;&#61;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#61;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#97;&#98;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#32;&#92;&#92;&#32;&#32;&#38;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#50;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#50;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#61;&#32;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#51;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#51;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#32;&#92;&#92;&#32;&#38;&#61;&#32;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#51;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#98;&#43;&#51;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#101;&#100;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"134\" width=\"340\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<p><strong>&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8211;<\/strong><\/p>\n<div id=\"fs-id1167834346959\" class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\">\n<div id=\"fs-id1167835346097\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\n<div id=\"fs-id1167835354716\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835240569\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835373694\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f58a503e4c43f4221e0e64e57a41e466_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835370990\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835350877\">We know the variables for this expansion will follow the pattern we identified. The nonzero exponents of <em data-effect=\"italics\">x<\/em> will start at six and decrease to one. The nonzero exponents of <em data-effect=\"italics\">y<\/em> will start at one and increase to six. The sum of the exponents in each term will be six. In our pattern, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0759fa4423e558f94bef102403b97b1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-900b7ba7492d3ad9041cdc43666f1f5a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#121;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div id=\"fs-id1167835288344\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-538ae9dcf024e4b5fc6a3dfdab96056d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#61;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#46;&#53;&#99;&#109;&#125;&#123;&#48;&#46;&#49;&#53;&#109;&#109;&#125;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"539\" style=\"vertical-align: -16px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"equation\" data-label=\"\"><\/div>\n<div data-type=\"equation\" data-label=\"\"><\/div>\n<div id=\"fs-id1167835354716\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835370990\" data-type=\"solution\">\n<p><span id=\"fs-id1167835349236\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows a plus b to the power of n equals a to the power of n plus a to the power if n minus 1 b to the power of 1 plus a to the power of n minus 2 b to the power if 2 plus ellipsis plus a to the power of 1 b to the power of n minus 1 plus b to the power of n. The next figure shows x plus y to the power of 6 equals x to the power of 6 plus x to the power of 5 y to the power of 1 plus x to the power of 4 y to the power of 2 plus x to the power of 3 y to the power of 3 plus x to the power of 2 y to the power of 4 plus x to the power of 1 y to the power of 5 plus y to the power of 6.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_004_img.jpg\" alt=\"This figure shows a plus b to the power of n equals a to the power of n plus a to the power if n minus 1 b to the power of 1 plus a to the power of n minus 2 b to the power if 2 plus ellipsis plus a to the power of 1 b to the power of n minus 1 plus b to the power of n. The next figure shows x plus y to the power of 6 equals x to the power of 6 plus x to the power of 5 y to the power of 1 plus x to the power of 4 y to the power of 2 plus x to the power of 3 y to the power of 3 plus x to the power of 2 y to the power of 4 plus x to the power of 1 y to the power of 5 plus y to the power of 6.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"try\" data-type=\"note\">\n<div id=\"fs-id1167835310471\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835274654\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835350893\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f31a1cccd04b280ca30a701ce4247b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167832227189\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835595669\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e014ddfedfd429e4fd9bb9af28e5ce0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#121;&#43;&#49;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"223\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88ad50a628bab10e132474d81422bcf9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#53;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835332238\" class=\"try\" data-type=\"note\">\n<div id=\"fs-id1167834587856\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835336201\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167832075990\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7bb7f16e440f044f743b8b6cf3f24f4c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835339575\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834062049\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7014f45a2b7167a10f2f902716e8cf19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#43;&#55;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#113;&#43;&#50;&#49;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#53;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"217\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cbb32312a8a59d9e19f45b6d57c62654_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#51;&#53;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#50;&#49;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#55;&#112;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#43;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"230\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167835367953\">In the next example we want to expand a binomial with one variable and one constant. We need to identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> to carefully apply the pattern.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167826875115\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\n<div id=\"fs-id1167834449175\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834185829\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834192221\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-35fb0d2814b2cb791e050998414fe7ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834557095\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835338030\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p>\n<p><span id=\"fs-id1167835595646\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern x plus 3 to the power of 5.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_005_img.jpg\" alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern x plus 3 to the power of 5.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835343435\">In our pattern, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0759fa4423e558f94bef102403b97b1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ccac1182e5ee935a4d6b18da77f132f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"44\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834099596\">We know the variables for this expansion will follow the pattern we identified. The sum of the exponents in each term will be five.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834495476\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\">\n<pre class=\"ql-errors\">*** QuickLaTeX cannot compile formula:\n&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#61;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&middot;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&middot;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&middot;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&middot;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\n\n*** Error message:\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#123;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#125;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#92;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#125;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#92;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#125;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#92;\r\n&#77;&#105;&#115;&#115;&#105;&#110;&#103;&#32;&#125;&#32;&#105;&#110;&#115;&#101;&#114;&#116;&#101;&#100;&#46;\r\n&#108;&#101;&#97;&#100;&#105;&#110;&#103;&#32;&#116;&#101;&#120;&#116;&#58;&#32;&#46;&#46;&#46;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#92;\r\n\n<\/pre>\n<\/div>\n<p><span id=\"fs-id1167835380485\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. This figure shows X plus 3 to the power of 5 equals 1 x to the power of 5 g 3 x to the power of 4 plus 10 g 9 x to the power of 3 plus 10 g 27 x to the power of 2 plus 5 g 81 x to the power of 1 plus 1 g 243. Then, x plus 3 to the power of 5 equals x to the power of 5 plus 15 x to the power of 4 plus 90 x to the power of 3 plus 270 x to the power of 2 plus 405 plus 243.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_006_img.jpg\" alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. This figure shows X plus 3 to the power of 5 equals 1 x to the power of 5 g 3 x to the power of 4 plus 10 g 9 x to the power of 3 plus 10 g 27 x to the power of 2 plus 5 g 81 x to the power of 1 plus 1 g 243. Then, x plus 3 to the power of 5 equals x to the power of 5 plus 15 x to the power of 4 plus 90 x to the power of 3 plus 270 x to the power of 2 plus 405 plus 243.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835362654\" class=\"try\" data-type=\"note\">\n<div id=\"fs-id1167834064235\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835355964\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835329511\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a410e0019cfc2d8f84b6cb2828fb1fe9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831934028\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835319200\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-70f6cc26810241a5bea32c692f7ad03b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#56;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#50;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#50;&#120;&#43;&#49;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"213\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835325064\" class=\"try\" data-type=\"note\">\n<div id=\"fs-id1167835353654\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834195996\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835364514\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83d00ac9f86dcb8605af26e670cd8401_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167832054098\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835417124\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3fbbee27480cea6e47e6fa8d0c50ed5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#43;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#49;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#50;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#49;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"237\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-530859b80f04fbf1f9fcf13ec693d7d0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#54;&#120;&#43;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"62\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834222081\">In the next example, the binomial is a difference and the first term has a constant times the variable. Once we identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern, we must once again carefully apply the pattern.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834064692\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\n<div id=\"fs-id1167835342730\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831921014\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835332853\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-110a0e41c6e039024ac30d9fe899dcc0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834192233\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167832031142\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p>\n<p><span id=\"fs-id1167834179970\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 3 x minus 2 to the power of 4.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_007_img.jpg\" alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 3 x minus 2 to the power of 4.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835333507\">In our pattern, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-723d3ff64e92fa43145366202ce30f60_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#51;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"52\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-159bea5680db08ee12ac3ee2ac90283c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#45;&#50;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"58\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<p><span id=\"fs-id1167834156982\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_008_img.jpg\" alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/p>\n<div id=\"fs-id1167835333046\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88cda41dea8cb0b2077ccf315bf65e18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#95;&#95;&#95;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#43;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#49;&middot;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#52;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#54;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#52;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#49;&middot;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#56;&#49;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#52;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#55;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#43;&#54;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#57;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#43;&#52;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#56;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#43;&#49;&middot;&#49;&#54;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#56;&#49;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#50;&#49;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#50;&#49;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#57;&#54;&#120;&#43;&#49;&#54;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"118\" width=\"540\" style=\"vertical-align: -54px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835339503\" class=\"try\" data-type=\"note\">\n<div id=\"fs-id1167831922206\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835305325\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167832128907\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f22378837295ef81f4045d1f271a0bda_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835381343\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835262328\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c1c5d703f39011a57ada91d103ac851_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#57;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#50;&#49;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#50;&#49;&#54;&#120;&#43;&#56;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"255\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834195261\" class=\"try\" data-type=\"note\">\n<div id=\"fs-id1167835336537\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834190543\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831908479\">Use Pascal\u2019s Triangle to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec429d8f50a5d17f51a3ca0618bbbd6a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167832056861\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834430755\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6eb3313d28f83b36fa5f55ea0f72609f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#45;&#49;&#57;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#50;&#52;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#49;&#54;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"233\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf04b8574d6b2d277b00194e24ede197_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#54;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#49;&#50;&#120;&#43;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"129\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834446378\" class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\">\n<h3 data-type=\"title\">Evaluate a Binomial Coefficient<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167835361505\">While Pascal\u2019s Triangle is one method to expand a binomial, we will also look at another method. Before we get to that, we need to introduce some more <span class=\"no-emphasis\" data-type=\"term\">factorial notation<\/span>. This notation is not only used to expand binomials, but also in the study and use of probability.<\/p>\n<p id=\"fs-id1167834196639\">To find the coefficients of the terms of expanded binomials, we will need to be able to evaluate the notation <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e0f23cb1aa1e10df45e9c860c099917_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> which is called a <span class=\"no-emphasis\" data-type=\"term\">binomial coefficient<\/span>. We read <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e0f23cb1aa1e10df45e9c860c099917_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> as \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> choose <em data-effect=\"italics\">r<\/em>\u201d or \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> taken <em data-effect=\"italics\">r<\/em> at a time\u201d.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834192529\" data-type=\"note\">\n<div data-type=\"title\">Binomial Coefficient <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e0f23cb1aa1e10df45e9c860c099917_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835369321\">A binomial coefficient <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b319784a479ccb98dfb49ba58aa272b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> where <em data-effect=\"italics\">r<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers with <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ffb6d98e501c319360164a173ae37b34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#92;&#108;&#101;&#32;&#114;&#92;&#108;&#101;&#32;&#110;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"80\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is defined as<\/p>\n<div id=\"fs-id1167835239179\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-174a0c4900ad9d1bba7b58605f6075dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#110;&#33;&#125;&#123;&#114;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#45;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"127\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167834459152\">We read <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e0f23cb1aa1e10df45e9c860c099917_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> as \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> choose <em data-effect=\"italics\">r<\/em>\u201d or \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> taken <em data-effect=\"italics\">r<\/em> at a time\u201d.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835269593\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\n<div id=\"fs-id1167834061966\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835324747\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834535323\">Evaluate: <span class=\"token\">\u24d0<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7068d2a9900e4b93c9f2f9b3871752b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#53;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d1<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-258f7b817683acab71669dabacb3a658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#55;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#55;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d2<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f96169fe7247a4fbc29305825d5c330c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> <span class=\"token\">\u24d3<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec6a93889bdcf11e8e4815ebf6850423_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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coefficient:<\/p>\n<p id=\"fs-id1167835336627\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-008e41b49633801940caeac3754c378f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c039214d385a38495e6888b58fa8cb2_l3.png\" 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Coefficients<\/div>\n<div id=\"fs-id1171791135347\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7c76207ae663a6d0fd68b11d0824d7f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"402\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835230732\" class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\">\n<h3 data-type=\"title\">Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167835230737\">We are now ready to use the alternate method of expanding binomials. The <span data-type=\"term\">Binomial Theorem<\/span> uses the same pattern for the variables, but uses the binomial coefficient for the coefficient of each term.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167835323777\" data-type=\"note\">\n<div data-type=\"title\">Binomial Theorem<\/div>\n<p id=\"fs-id1167835323782\">For any real numbers <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em>, and positive integer <em data-effect=\"italics\">n<\/em>,<\/p>\n<div id=\"fs-id1167826996430\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76957a35cfa60e9ea7c40d4e7d5b2653_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831880091\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\n<div id=\"fs-id1167835308162\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835308164\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835308166\">Use the Binomial Theorem to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6af1158377d23d9eeacb7f59d8fc3d29_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835379520\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835306013\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p>\n<p><span id=\"fs-id1167832056779\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern p plus q to the power of 4.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_009_img.jpg\" alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern p plus q to the power of 4.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167831911004\">In our pattern, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fde029e3062fc70206ffca110949a588_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#112;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87a9c38eadb36a4ccd19f6d188e38e85_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#113;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167826996798\">We use the Binomial Theorem.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167826996801\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76957a35cfa60e9ea7c40d4e7d5b2653_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#114;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#114;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835280488\">Substitute in the values <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2cef89676e415261a7e7d9a40d544c9d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#112;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb0f601919932910ca376e786fc84f47_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#113;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"39\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#52;&#45;&#49;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#52;&#45;&#50;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#51;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#52;&#45;&#51;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#52;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167834432896\">Simplify the exponents.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167835414024\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39acce4c97c0275d1c436a4a17a23ac6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"557\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835305613\">Evaluate the coefficients. Remember, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30d29c99af8e7564f2539eb99ee2a84d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#110;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1399a9ba81e4fb9d076abe7025ea8bb3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"87\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<div id=\"fs-id1167835348520\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4cd6f561c428230633be31392b208904_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#49;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#52;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#33;&#125;&#123;&#50;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#33;&#125;&#123;&#51;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#49;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#61;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#52;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#125;&#43;&#54;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#52;&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"417\" style=\"vertical-align: -18px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835258730\" class=\"try\" data-type=\"note\">\n<div class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834196231\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834196233\">Use the Binomial Theorem to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f31a1cccd04b280ca30a701ce4247b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835235156\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835235158\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e014ddfedfd429e4fd9bb9af28e5ce0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#121;&#43;&#49;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#49;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"223\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88ad50a628bab10e132474d81422bcf9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#53;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835234583\" class=\"try\" data-type=\"note\">\n<div id=\"fs-id1167835234586\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835564728\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835564730\">Use the Binomial Theorem to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1924e59f1a39afb912a888e613fbff5f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#43;&#110;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835310773\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835310775\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-27f459f1e11d0ad559a039e7474da65d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#43;&#54;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#110;&#43;&#49;&#53;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#50;&#48;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"249\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fae0015b01a547adb524fc8128bff01c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#49;&#53;&#123;&#109;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#54;&#109;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#43;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"177\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834183795\">Notice that when we expanded <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ce69024e60e8dba7bf9321f57606069_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> in the last example, using the Binomial Theorem, we got the same coefficients we would get from using <span class=\"no-emphasis\" data-type=\"term\">Pascal\u2019s Triangle<\/span>.<\/p>\n<p><span id=\"fs-id1167835241554\" data-type=\"media\" data-alt=\"The figure above is P plus q to the power of 4 equals 4 choose 0 times p to the power of 4 plus 4 choose 1 times p to the power of 3 q plus 4 choose 2 times p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 choose 3 times p q to the power of 3 plus 4 choose 4 times q to the power of 4. P plus q to the power of 4 equals p to the power of 4 p to the power of 3 q plus 6 p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 p q to the power of 3 plus q to the power of 4. This figure on the right shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_014_img.jpg\" alt=\"The figure above is P plus q to the power of 4 equals 4 choose 0 times p to the power of 4 plus 4 choose 1 times p to the power of 3 q plus 4 choose 2 times p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 choose 3 times p q to the power of 3 plus 4 choose 4 times q to the power of 4. P plus q to the power of 4 equals p to the power of 4 p to the power of 3 q plus 6 p to the power of 2 q to the power of 2 plus 4 p q to the power of 3 plus q to the power of 4. This figure on the right shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835322176\">The next example, the binomial is a difference. When the binomial is a difference, we must be careful in identifying the values we will use in the pattern.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167832066110\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\n<div id=\"fs-id1167832066113\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167832066115\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167832067124\">Use the Binomial Theorem to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e4e1e63048dce9cf868dc9c63e51a77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835349765\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835349768\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p>\n<p><span id=\"fs-id1167835330848\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows x minus 2 to the power of 5.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_010_img.jpg\" alt=\"This figure shows x minus 2 to the power of 5.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834556499\">In our pattern, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0759fa4423e558f94bef102403b97b1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-159bea5680db08ee12ac3ee2ac90283c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#45;&#50;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"58\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167835358208\">We use the Binomial Theorem.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167835358211\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76957a35cfa60e9ea7c40d4e7d5b2653_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#114;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#114;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835301541\">Substitute in the values <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4dd4393857b97e80c853a946393c0594_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#120;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-45ad4b0433e512ae25d95955518d6999_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#45;&#50;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167835351262\">Simplify the exponents and evaluate the coefficients. Remember,<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30d29c99af8e7564f2539eb99ee2a84d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#110;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1399a9ba81e4fb9d076abe7025ea8bb3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4453d28529c2a46fffe8acf62552834_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#45;&#49;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#57;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#50;&#55;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"198\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7325381ecbe22801a8d8e558e768a5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#52;&#48;&#53;&#120;&#45;&#50;&#52;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167826803922\" class=\"try\" data-type=\"note\">\n<div id=\"fs-id1167826803926\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167826803928\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167826803930\">Use the Binomial Theorem to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb2428892ed867490812d4534de0c11b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#121;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835479505\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835479507\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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\/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834552544\">Things can get messy when both terms have a coefficient and a variable.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834552548\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\n<div data-type=\"exercise\">\n<div data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835589662\">Use the Binomial Theorem to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-040137caa7b4ec602cc4efd9551dc6b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#120;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834301208\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167826997308\">We identify the <em data-effect=\"italics\">a<\/em> and <em data-effect=\"italics\">b<\/em> of the pattern.<\/p>\n<p><span id=\"fs-id1167830703285\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 2 x minus 3 y times the power of 4.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_011_img.jpg\" alt=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 2 x minus 3 y times the power of 4.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167831923400\">In our pattern, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-592a12f8948fcb60284bee8f07e54f79_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#50;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"52\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6fe0876770d316ab3d0d4f9df8a06ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#45;&#51;&#121;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834431031\">We use the Binomial Theorem.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834431034\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76957a35cfa60e9ea7c40d4e7d5b2653_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#48;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#49;&#125;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#50;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#50;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#114;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#114;&#125;&#43;&#46;&#46;&#46;&#43;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167834185496\">Substitute in the values <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c97f496106f745e0c3d22d1cb73b64d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#50;&#120;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3de19329d096dadbf50ade5d2ff72e76_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#45;&#51;&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1167834252381\">Simplify the exponents.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834252384\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e01b5e362ab186792183edd28b60454_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167832036230\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167832036232\">Use the Binomial Theorem to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f562575d633de09c46afd32c24c7fae0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#45;&#50;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834252341\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834252343\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9fb6977897eaad017658d798c3623a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula 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\/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831920175\" class=\"try\" data-type=\"note\">\n<div id=\"fs-id1167831920179\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831920181\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831920184\">Use the Binomial Theorem to expand <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56a442de2ad18a6149515385aff5028d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#120;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831920941\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167831920943\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fddffae1de699dc371a4dd007dd480e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#53;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#55;&#54;&#56;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#121;&#43;&#56;&#54;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-548347d8e68f1d944c1485a2696df3b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#52;&#51;&#50;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#56;&#49;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167826803948\">The real beauty of the Binomial Theorem is that it gives a formula for any particular term of the expansion without having to compute the whole sum. Let\u2019s look for a pattern in the <span class=\"no-emphasis\" data-type=\"term\">Binomial Theorem<\/span>.<\/p>\n<p><span id=\"fs-id1167826803959\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows a plus b to the power of n equals n choose 0 times a to the power of n b to the power of 0 plus n choose 1 times a to the power of n minus 1 b to the 1 plus n choose 2 times a to the power of n minus 2 b to the power of 2 plus ellipsis plus n choose r times a to the power of n minus r plus ellipsis plus n choose n times b to the power of n.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_015_img.jpg\" alt=\"This figure shows a plus b to the power of n equals n choose 0 times a to the power of n b to the power of 0 plus n choose 1 times a to the power of n minus 1 b to the 1 plus n choose 2 times a to the power of n minus 2 b to the power of 2 plus ellipsis plus n choose r times a to the power of n minus r plus ellipsis plus n choose n times b to the power of n.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/p>\n<p>Notice, that in each case the exponent on the <em data-effect=\"italics\">b<\/em> is one less than the number of the term. The <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26251900824b25e91c007d11b387e97d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#114;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#115;&#116;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> term is the term where the exponent of <em data-effect=\"italics\">b<\/em> is <em data-effect=\"italics\">r<\/em>. So we can use the format of the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26251900824b25e91c007d11b387e97d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#114;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#115;&#116;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> term to find the value of a specific term.<\/p>\n<div data-type=\"note\">\n<div data-type=\"title\">Find a Specific Term in a Binomial Expansion<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831921238\">The <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21bebf39c7a9584397b7f8668cb1b0b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#114;&#43;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#115;&#116;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> term in the expansion of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-314dcbebc1901d9367d7f428d3792df4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is<\/p>\n<div id=\"fs-id1167835575770\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7787d0ce5d074f1b28588b2a2c16c2b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#114;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#114;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831922343\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\n<div id=\"fs-id1167831922345\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831922347\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831922349\">Find the fourth term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4225d2d2fec122dbbb21442ca1c875a3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831922375\" data-type=\"solution\">\n<table id=\"fs-id1167831922378\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"X plus y to the power of 7. N choose r times a to the power of n minus r b to the power of r. 7 choose 3 times a to the power of 7 minus 3 b to the power of 3. Use n choose r equals n factorial divided by r factorial times n minus r times factorial to get 7 factorial divided by 3 factorial 4 factorial times a to the power of 7 minus 3 b to the power of 3. Simplify 7 g 6 g 5 g 4 factorial divided by 4 factorial g 3 g 2 g 1 times a to the power of 4 b to the power of 3. Simplify to 35 a to the power of 4 b to the power of 3.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"bottom\" data-align=\"left\">In our pattern, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf954190372168c7972f0ea4b0ad4f03_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#55;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#97;&#61;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"98\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-900b7ba7492d3ad9041cdc43666f1f5a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#121;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167834238718\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016b_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">We are looking for the fourth term.<span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6fb0974ca6af4736fead61114664c990_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#49;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#99;&#99;&#125;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#83;&#105;&#110;&#99;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#43;&#49;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#52;&#44;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#104;&#101;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#114;&#38;&#32;&#61;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#38;&#32;&#51;&#46;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"142\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Write the formula.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167834238794\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016c_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Substitute in the values, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5770a8a57b71e42c8ee8ddf519cd9882_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#55;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00e23bdfa54506c13ef550425c0b9ae6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#51;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4dd4393857b97e80c853a946393c0594_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#120;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-900b7ba7492d3ad9041cdc43666f1f5a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#121;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167834065735\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016d_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167834065754\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016a_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167834539336\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016e_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167834539361\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016f_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167834539388\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_016g_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834539405\" class=\"try\" data-type=\"note\">\n<div id=\"fs-id1167834539409\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834539411\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834539413\">Find the third term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f58a503e4c43f4221e0e64e57a41e466_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830705516\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167830705518\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5eb969829e0548004857ca122af9cced_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830705538\" class=\"try\" data-type=\"note\">\n<div id=\"fs-id1167830705542\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167830705544\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167830705546\">Find the fifth term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc86bc4039119fbd825c767769e476fc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830705572\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167830705574\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9aca8963d74e8dcabb2a4ff8149bfc5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#56;&#97;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"33\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830705591\" class=\"textbox textbox--examples\" data-type=\"example\">\n<div id=\"fs-id1167830705593\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167830705595\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167830705598\">Find the coefficient of the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ade694690dad929018ebadb1c3acd5e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-983ae8518d2f4ccdbe9988f11a4c804e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167826788459\" data-type=\"solution\">\n<table id=\"fs-id1167826788462\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern x plus 3 to the power of 9. N choose r times a to the power of n minus r b to the power r. 9 choose 3 times x to the power of 9 minus 3 g 3 to the power of 3. The figure shows two equations on the right and the left. The left reads use n choose r equals n factorial divided by r factorial times n minus r times factorial. The right reads 9 factorial divided by 3 factorial 6 factorial x to the power of 9 minus 3 g 3 to the power of 3. Simplify to 9 g 7 g 6 factorial divided by 3 g 2 g 1 g 6 factorial times x to the power of 6 g 27. Simplify to 9 g 27 g x to the power of 6. Simplify to 243 x to the power of 6.\" data-label=\"\">\n<tbody>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"bottom\" data-align=\"left\">In our pattern, then <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-340e8abed600e10d7d1c7c3352a40bf8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#57;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4dd4393857b97e80c853a946393c0594_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#120;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ccac1182e5ee935a4d6b18da77f132f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"44\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167826788542\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017b_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">We are looking for the coefficient of the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ade694690dad929018ebadb1c3acd5e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term.<span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span>\u2003\u2003\u2003\u2003Since <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4dd4393857b97e80c853a946393c0594_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#120;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3a0465c67d5b8890fcdb88bc1feccda_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#57;&#45;&#114;&#125;&#61;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> we know <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b98ca186bf84e6aa6a05213a89163cf1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"45\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Write the formula.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167835483761\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017c_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Substitute in the values, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-340e8abed600e10d7d1c7c3352a40bf8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#61;&#57;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00e23bdfa54506c13ef550425c0b9ae6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#51;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4dd4393857b97e80c853a946393c0594_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#120;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ccac1182e5ee935a4d6b18da77f132f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;&#61;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"44\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167835364607\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017d_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167835364627\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017a_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017e_img.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167830703815\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017f_img_new.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167830703842\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017g_img_new.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">Simplify.<\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><span id=\"fs-id1167830703868\" data-type=\"media\" data-alt=\".\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_017h_img_new.jpg\" alt=\".\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"top\">\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\"><\/td>\n<td data-valign=\"top\" data-align=\"left\">The coefficient of the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ade694690dad929018ebadb1c3acd5e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term is 2268.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835595833\" class=\"try\" data-type=\"note\">\n<div id=\"fs-id1167835595836\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835595838\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835595841\">Find the coefficient of the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48541f82788d9b97a870606bd6257cd7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b98db7f287fa21c56a966483d253beee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835595875\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835595877\">7,168<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835595883\" class=\"try\" data-type=\"note\">\n<div id=\"fs-id1167835595887\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835595890\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835595892\">Find the coefficient of the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-159899034a68d14dd24abc2121923568_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-321434d50ecd4daf8d881574e78d13e1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835595926\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835595928\">280<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835595934\" class=\"media-2\" data-type=\"note\">\n<p id=\"fs-id1167831896538\">Access these online resources for additional instruction and practice with sequences.<\/p>\n<ul id=\"fs-id1167831896542\" data-display=\"block\">\n<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37binexpanpastr\">Binomial Expansion Using Pascal\u2019s Triangle<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/openstax.org\/l\/37binocoeffic\">Binomial Coefficients<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831896564\" class=\"textbox\" data-depth=\"1\">\n<h3 data-type=\"title\">Key Concepts<\/h3>\n<ul id=\"fs-id1167831896571\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li><strong data-effect=\"bold\">Patterns in the expansion of<\/strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-314dcbebc1901d9367d7f428d3792df4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>\n<ul id=\"fs-id1167831896607\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>The number of terms is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c36cd99fd08ed06099c3688c7858942_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#110;&#43;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/li>\n<li>The first term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef78644f25c125ead81d3c69ef32dee0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and the last term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-15669049429993354428cedfab05708e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/li>\n<li>The exponents on <em data-effect=\"italics\">a<\/em> decrease by one on each term going left to right.<\/li>\n<li>The exponents on <em data-effect=\"italics\">b<\/em> increase by one on each term going left to right.<\/li>\n<li>The sum of the exponents on any term is <em data-effect=\"italics\">n<\/em>.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Pascal\u2019s Triangle<\/strong><span id=\"fs-id1167834062595\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_013_img.jpg\" alt=\"This figure shows Pascal\u2019s Triangle. The first level is 1. The second level is 1, 1. The third level is 1, 2, 1. The fourth level is 1, 3, 3, 1. The fifth level is 1, 4, 6, 4, 1. The sixth level is 1, 5, 10, 10, 5, 1. The seventh level is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Binomial Coefficient<\/strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e0f23cb1aa1e10df45e9c860c099917_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><strong data-effect=\"bold\">:<\/strong> A binomial coefficient <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b319784a479ccb98dfb49ba58aa272b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> where <em data-effect=\"italics\">r<\/em> and <em data-effect=\"italics\">n<\/em> are integers with <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ffb6d98e501c319360164a173ae37b34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#92;&#108;&#101;&#32;&#114;&#92;&#108;&#101;&#32;&#110;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"80\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is defined as<span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><\/p>\n<div id=\"fs-id1167835321467\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-174a0c4900ad9d1bba7b58605f6075dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#110;&#33;&#125;&#123;&#114;&#33;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#45;&#114;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"127\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<p><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span> We read <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e0f23cb1aa1e10df45e9c860c099917_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#110;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#114;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/> as \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> choose <em data-effect=\"italics\">r<\/em>\u201d or \u201c<em data-effect=\"italics\">n<\/em> taken <em data-effect=\"italics\">r<\/em> at a time\u201d.<\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Properties of Binomial Coefficients<\/strong><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-09f193e95a0dd9e0c47afb3d28bf3275_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"384\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/li>\n<li><strong data-effect=\"bold\">Binomial Theorem:<\/strong> For any real numbers <em data-effect=\"italics\">a<\/em>, <em data-effect=\"italics\">b<\/em>, and positive integer <em data-effect=\"italics\">n<\/em>,<span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><\/p>\n<div id=\"fs-id1167835468472\" class=\"unnumbered\" data-type=\"equation\" data-label=\"\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76957a35cfa60e9ea7c40d4e7d5b2653_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"581\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/div>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834188605\" class=\"textbox\" data-depth=\"1\">\n<h3 data-type=\"title\">Section Exercises<\/h3>\n<div id=\"fs-id1167834188609\" class=\"practice-perfect\" data-depth=\"2\">\n<h4 data-type=\"title\">Practice Makes Perfect<\/h4>\n<p id=\"fs-id1167834188617\"><strong data-effect=\"bold\">Use Pascal\u2019s Triangle to Expand a Binomial<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834188624\">In the following exercises, expand each binomial using Pascal\u2019s Triangle.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834188628\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834188630\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834188633\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80c1dd6cbcc03069cdc9811783a59d48_l3.png\" 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id=\"fs-id1167826799354\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167826799357\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-12c005f097d78219cbed3efa11e9fb2f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#43;&#56;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#98;&#43;&#50;&#56;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#53;&#54;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"215\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d41756de701e48411cc2652b420884d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula 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data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835357818\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835357820\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a1c9a3f6f856f3bd9c5de21e339a425_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#109;&#43;&#110;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835281826\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835281828\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835281830\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-de0a1be2712efb7e55d88efd97256818_l3.png\" 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data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831920572\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831920574\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0b9349de57d1d909e3b5623de66e58d0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831920641\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831920644\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831920646\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2bad656ee6e553bf6b9910cb77d468b8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula 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\/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c4c36e940f177668df9096f1600bcd7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#53;&#109;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#123;&#110;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834535174\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834535177\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834535179\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3984d7c6baa96053734668ff543773f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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id=\"fs-id1167835622223\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-323cdd7998f1f0677bb4c459c4551b24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;&#43;&#55;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#116;&#43;&#50;&#49;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#51;&#53;&#123;&#115;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"207\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff224a4251e7151ef10d2167f207d57d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830704384\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167830704387\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167830704389\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd72388efdac3bc15ad85052c98dbfc9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#121;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830704411\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167830704413\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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id=\"fs-id1167831884580\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62b511a18c3844bb7f87db5eab4498a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#49;&#50;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#52;&#56;&#113;&#45;&#54;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"159\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831884612\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831884614\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831884616\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bece79ae4480e6118b642b4cb661127a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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id=\"fs-id1167834538004\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b095861eafd52b56e300f21cc8347164_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#50;&#53;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#49;&#48;&#48;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#121;&#43;&#54;&#48;&#48;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"211\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76fc3ab44d3c2685003588ef4b42286c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831823907\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831823909\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74a3179e68e7766bb824e823e212bfc0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#120;&#43;&#52;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831823936\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167831823938\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df12b9d0f37f3c7d0e16fc8bec6d9101_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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\/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834430382\">In the following exercises, find the indicated term in the expansion of the binomial.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834430386\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834430388\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834430390\">Sixth term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8c17617d5616fec705d4773e6a832be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834430438\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834430440\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834430442\">Fifth term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6af464e80151f36ea9c7f3887c3e71c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834430468\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834430470\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-096b10d206bc923dcd1fc57610740636_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#50;&#54;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834430489\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834430491\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834430493\">Fourth term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8f1cfdf3e934955b3379a050f08c769_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831887443\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831887445\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831887448\">Seventh term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0640f260c905398b82efe9bbd7e026bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#49;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831887474\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167831887476\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d8733f972a2c21ec571a473efb038ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#54;&#50;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831887496\">In the following exercises, find the coefficient of the indicated term in the expansion of the binomial.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167831887500\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831887502\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831887504\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1636a6f930103611f98b9c915049d17_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6fd76e334e44d5d48fa66369c3cc2ef9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#121;&#43;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831887545\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831887547\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831887549\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ade694690dad929018ebadb1c3acd5e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-302f54b3195e5de8b12a316565577d84_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831887582\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167831887584\">112<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831887589\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831887592\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831887594\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48541f82788d9b97a870606bd6257cd7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-152bc04ecce9bba1abe8f47cebb4a91a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831833765\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831833767\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831833769\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39dc93d4d7d29689c540d3ad91eed2c8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a1a98780f11204c51f30546c69a066a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831833802\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167831833805\">324<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831833810\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831833812\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831833814\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-890674c35f80bc1b9314c49fbf40d17f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"32\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8815249e2d9fb3c0a2f7c3d35372e552_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831833862\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831833864\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831833866\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d22c74dd84a6f8849f0e4e10fbe16f0e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#112;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#123;&#113;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-600a3e0ee2b7417ba5b609f0ff2ec847_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834555252\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834555254\">30,618<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167829791146\" class=\"writing\" data-depth=\"2\">\n<h4 data-type=\"title\">Writing Exercises<\/h4>\n<div id=\"fs-id1167834555269\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834555271\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834555273\">In your own words explain how to find the rows of the Pascal\u2019s Triangle. Write the first five rows of Pascal\u2019s Triangle.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834555286\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834555288\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834555290\">In your own words, explain the pattern of exponents for each variable in the expansion of.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834555295\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834555297\">Answers will vary.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834555303\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834555305\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834555307\">In your own words, explain the difference between <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-314dcbebc1901d9367d7f428d3792df4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a719823240cd18ec1be29a7e2e96668b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#45;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834555360\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834555362\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834555365\">In your own words, explain how to find a specific term in the expansion of a binomial without expanding the whole thing. Use an example to help explain.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834555370\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834555372\">Answers will vary.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834555379\" class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\">\n<h4 data-type=\"title\">Self Check<\/h4>\n<p id=\"fs-id1167834555384\"><span class=\"token\">\u24d0<\/span> After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.<\/p>\n<p><span id=\"fs-id1167834555396\" data-type=\"media\" data-alt=\"This figure shows a table with four rows and four columns. The first row is the header row and reads. \u201cI can\u201d, \u201cConfidently\u201d, \u201cWith some help\u201d and \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. The first column, beginning at the second row reads, \u201cUse Pascal\u2019s Triangle to Expand a Binomial\u201d, \u201cEvaluate a Binomial Coefficient\u201d and \u201cUse the Binomial Theorem to Expand a Binomial\u201d. The remaining columns are blank.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcbcintermediatealgebra\/wp-content\/uploads\/sites\/1021\/2020\/05\/CNX_IntAlg_Figure_12_04_201_img.jpg\" alt=\"This figure shows a table with four rows and four columns. The first row is the header row and reads. \u201cI can\u201d, \u201cConfidently\u201d, \u201cWith some help\u201d and \u201cNo, I don\u2019t get it\u201d. The first column, beginning at the second row reads, \u201cUse Pascal\u2019s Triangle to Expand a Binomial\u201d, \u201cEvaluate a Binomial Coefficient\u201d and \u201cUse the Binomial Theorem to Expand a Binomial\u201d. The remaining columns are blank.\" data-media-type=\"image\/jpeg\" \/><\/span><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834555408\"><span class=\"token\">\u24d1<\/span> On a scale of 1-10, how would you rate your mastery of this section in light of your responses on the checklist? How can you improve this?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834533095\" class=\"review-exercises\" data-depth=\"1\">\n<h3 data-type=\"title\">Chapter Review Exercises<\/h3>\n<div id=\"fs-id1167834533099\" class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\">\n<h4 data-type=\"title\"><a class=\"target-chapter\" href=\"\/contents\/81cfc493-c857-49bd-a23f-82ac67cbb9c4\">Sequences<\/a><\/h4>\n<p id=\"fs-id1167834533110\"><strong data-effect=\"bold\">Write the First Few Terms of a Sequence<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834533116\">In the following exercises, write the first five terms of the sequence whose general term is given.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834533120\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834533122\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834533124\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ed1c091ef4ff11d41f037160928c0b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#55;&#110;&#45;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834533173\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834533175\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834533178\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dea6c7f6c2ea0ff04d76f7853d798a91_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834533200\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834533202\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7676be28194eb75eae3834193ea5e079_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#44;&#49;&#51;&#44;&#51;&#49;&#44;&#56;&#53;&#44;&#50;&#52;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834533228\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834533230\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834533232\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-627346ca7f18fc7fa257286c0cf97e19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#43;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830699125\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167830699127\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167830699129\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df1873467a5152db6a0dc9c4eae9e9c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#110;&#43;&#49;&#125;&#123;&#123;&#52;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830699159\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167830699161\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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id=\"fs-id1167834098154\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834098156\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b803ddd0cfae5c7f8cfd8371f9c4adf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#57;&#44;&#49;&#56;&#44;&#50;&#55;&#44;&#51;&#54;&#44;&#52;&#53;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"116\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834098187\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834098189\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-06ea0a991ad7085f8884751a207d7735_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#57;&#110;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"62\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834098207\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834098209\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834098211\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-710b11ef15bf520b4ceecacfc495f17b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#53;&#44;&#45;&#52;&#44;&#45;&#51;&#44;&#45;&#50;&#44;&#45;&#49;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"148\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834098265\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834098267\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834098269\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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id=\"fs-id1167834536309\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834536311\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-539b68c984df70474aa7a034025b8f1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#44;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#44;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#53;&#125;&#44;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;&#44;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#55;&#125;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"157\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831846984\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167831846986\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"170\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec3c846dbaf3c1905862ae3b629c8952_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#55;&#43;&#57;&#61;&#50;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"94\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830699397\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167830699399\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167830699402\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-977d5550acf9647ff691678d8c44b5b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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id=\"fs-id1167830699490\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b7156ddabeffdee8b118e4b23dda38ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#43;&#52;&#43;&#50;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#54;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#53;&#125;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"174\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835514050\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835514052\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835514054\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-978a0163175a7d95eee7c03565766157_l3.png\" 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id=\"fs-id1167834301006\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834301008\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834301010\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2c140d2d90d65b85098d00bb1a9104d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#44;&#50;&#44;&#52;&#44;&#56;&#44;&#49;&#54;&#44;&#51;&#50;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"114\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834301053\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834301055\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834301057\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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\/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834301111\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834301113\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834301115\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf3d221a9b7e51164ddd68fa815980e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#51;&#44;&#57;&#44;&#53;&#44;&#49;&#44;&#45;&#51;&#44;&#45;&#55;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"132\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834279552\">In the following exercises, write the first five terms of each arithmetic sequence with the given first term and common difference.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834279556\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834279558\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834279560\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b32738d1e587625d5a8967f4c233650b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c670fab3ff7b014c602cc0ebf5e374b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#100;&#61;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834279585\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834279587\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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Term) of an Arithmetic Sequence<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167830704146\">In the following exercises, find the term described using the information provided.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167830704149\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167830704151\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167830704153\">Find the twenty-fifth term of a sequence where the first term is five and the common difference is three.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830704169\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167830704171\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167830704174\">Find the thirtieth term of a sequence where the first term is 16 and the common difference is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a304c08841a2d59337cd8ea9a3811e93_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#53;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830704185\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167830704187\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c292cc19a4388b6109bdb427b7e46dcc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#50;&#57;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830704196\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167830704198\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167830704200\">Find the seventeenth term of a sequence where the first term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2cae475c6cc4ade824f228f09d1e1ad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#50;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"30\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> and the common difference is two.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167830704220\">In the following exercises, find the indicated term and give the formula for the general term.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167830704224\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167830704227\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167830704229\">Find the eighteenth term of a sequence where the fifth term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-40f7428479801bf4ef27a5149e9df526_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> and the common difference is seven.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830704238\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167830704240\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-53752c0832741295ca6afd6bdada533f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#56;&#125;&#61;&#49;&#48;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> The general term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c15704167f4657367ee7b7062c3747eb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#55;&#110;&#45;&#50;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"105\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830704281\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167830704283\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167830704285\">Find the twenty-first term of a sequence where the seventh term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38826cadfc5dbf2d92abbbfd6d370410_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> and the common difference is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cfa36400e576c82fd4847d2da37b1d56_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167830694002\">In the following exercises, find the first term and common difference of the sequence with the given terms. Give the formula for the general term.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167830694006\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167830694008\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167830694011\">The fifth term is 17 and the fourteenth term is 53.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830694015\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167830694017\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74c65da55468f3ad7e81f94cde2e7291_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#49;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7395254a8a7e2922b12eaac8093e0888_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#100;&#61;&#52;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> The general term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0fcf577176238e88e07bd3d40ea0d49f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#52;&#110;&#45;&#51;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830694067\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167830694069\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167830694071\">The third term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1fd6b8831cf04fbc6926afb2f9f0a71b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#50;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"31\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> and the sixteenth term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7f0611aae531b7c2b33ad12aba6ad334_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#57;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/>.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167830694141\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Sum of the First <em data-effect=\"italics\">n<\/em> Terms of an Arithmetic Sequence<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834533414\">In the following exercises, find the sum of the first 30 terms of each arithmetic sequence.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834533418\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834533420\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834533422\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4cc3344d62d9e8c23a4dc6133fda9d2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#44;&#52;&#44;&#49;&#44;&#45;&#50;&#44;&#45;&#53;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"108\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834533453\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834533455\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c0c0fe07b66d054dedade92a9e0ce4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#52;&#51;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834533464\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834533466\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834533468\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6fb56f78c85ce14f0ffbc2d47c849ec0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#44;&#54;&#44;&#49;&#49;&#44;&#49;&#54;&#44;&#50;&#49;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834533510\">In the following exercises, find the sum of the first fifteen terms of the arithmetic sequence whose general term is given.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834533514\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834533516\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834533518\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1092a4be9025c59a507bc49afe6e4095_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#52;&#110;&#43;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"92\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834533540\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834533542\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21cf38cca5020d53d56fd73fc2db3751_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#56;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834533550\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834533552\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834533554\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-881f52f25bdbfb2005a74b0d3bf06b08_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#45;&#50;&#110;&#43;&#49;&#57;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"115\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831921886\">In the following exercises, find each sum.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167831921889\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831921891\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831921894\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f9b15b959226ef48d156537c57b3ffd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#53;&#48;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#105;&#45;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831921934\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167831921936\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bfab97ff318f194148022f674abef467_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#56;&#53;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831921944\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831921946\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831921949\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07d27cd246e744105d9cbfb41395c141_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#51;&#48;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#51;&#105;&#45;&#55;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"117\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831922004\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831922006\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831922008\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df33dd2a7fc871d64f21fc73804446fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#51;&#53;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#105;&#43;&#49;&#48;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831922046\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167831922048\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b095fa0ffba2e2f300e8d1fef5e07d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#57;&#56;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"27\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831922058\" class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\">\n<h4 data-type=\"title\"><a class=\"target-chapter\" href=\"\/contents\/7e49f09d-5033-4393-a74f-556d343328c7\">Geometric Sequences and Series<\/a><\/h4>\n<p id=\"fs-id1167834432279\"><strong data-effect=\"bold\">Determine if a Sequence is Geometric<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834432285\">In the following exercises, determine if the sequence is geometric, and if so, indicate the common ratio.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834432290\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834432292\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834432294\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3aaa8866aea6ffc85fd61a9dc7a1231c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#44;&#49;&#50;&#44;&#52;&#56;&#44;&#49;&#57;&#50;&#44;&#55;&#54;&#56;&#44;&#51;&#48;&#55;&#50;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"177\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834432347\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834432349\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834432352\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-126a26c95a92b9fa655a50faf1698514_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#44;&#49;&#48;&#44;&#49;&#53;&#44;&#50;&#48;&#44;&#50;&#53;&#44;&#51;&#48;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"141\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834432387\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834432389\">The sequence is not geometric.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834432394\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834432396\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834432398\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a36bdd1c01a138c178522bbc9a4c177_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#49;&#50;&#44;&#53;&#54;&#44;&#50;&#56;&#44;&#49;&#52;&#44;&#55;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#55;&#125;&#123;&#50;&#125;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"142\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834279767\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834279769\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834279771\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e18098364d910cfd892b6a8e3f789986_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#57;&#44;&#45;&#49;&#56;&#44;&#51;&#54;&#44;&#45;&#55;&#50;&#44;&#49;&#52;&#52;&#44;&#45;&#50;&#56;&#56;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"201\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834279806\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834279808\">The sequence is geometric with common ratio <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-256a3011fa22b2ffc8abe8b2bc3337ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#45;&#50;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"59\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834279824\">In the following exercises, write the first five terms of each geometric sequence with the given first term and common ratio.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834279829\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834279831\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834279833\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0b2dcc1fd4030f424280a7424c73a69_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#45;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-646c6f3582313c1b1e5a0b3a7dd1802b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"40\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834279885\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834279887\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834279890\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b28a84756afcb053461a27a86d628c79_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#49;&#50;&#56;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a92933bb0d5b400526da3f19f363f464_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834279917\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834279919\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-898d86006cb17cfe1f166079dd6d19c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#50;&#56;&#44;&#51;&#50;&#44;&#56;&#44;&#50;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"102\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834279948\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834279950\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167826994654\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b32738d1e587625d5a8967f4c233650b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4eb43016d13c48ab7f14b644b1cee646_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#45;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"55\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167826994706\"><strong data-effect=\"bold\">Find the General Term (<em data-effect=\"italics\">n<\/em>th Term) of a Geometric Sequence<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167826994718\">In the following exercises, find the indicated term of a sequence where the first term and the common ratio is given.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167826994722\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167826994724\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167826994726\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f53b65baf2773750b33b30b7d20f7d9e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> given <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-db6e0a0bb6ea8af98bf4b1f27bbddde7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c73cc4a7f7662f7dc9844c731b2f4ddd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#50;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"45\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167826994760\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167826994762\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2e6768cb279e439585b898f835f2bfa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#44;&#53;&#51;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167826994775\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167826994777\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167826994779\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5412ac0a6b3d415021615c11e8243a13_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> given <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64c7ae51cdd939d6b2544ba86ad2c114_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#49;&#48;&#44;&#48;&#48;&#48;&#44;&#48;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1560a818941a01ffc42f7ee69a5f18a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#48;&#46;&#49;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167826994834\">In the following exercises, find the indicated term of the given sequence. Find the general term of the sequence.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167826994838\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167826994840\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167826994842\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0144f6ed66ad74c24e462c3f9a18241_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> of the sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-44cfcc8e8b49968f30728e0d1e3ba6b7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#44;&#45;&#50;&#52;&#44;&#57;&#54;&#44;&#45;&#51;&#56;&#52;&#44;&#49;&#53;&#51;&#54;&#44;&#45;&#54;&#49;&#52;&#52;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"227\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831835540\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167831835542\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe8837905ca0ac8bd7e55fdc62aa801a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#50;&#125;&#61;&#45;&#50;&#53;&#44;&#49;&#54;&#53;&#44;&#56;&#50;&#52;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"152\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> The general term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34b21c5165265622b055e16c2dda3797_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#54;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#110;&#45;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"118\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831835605\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831835607\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831835609\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f53b65baf2773750b33b30b7d20f7d9e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> of the sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-498ffe7db4e4642f6d5d8bcee22a4112_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#51;&#55;&#52;&#44;&#49;&#52;&#53;&#56;&#44;&#52;&#56;&#54;&#44;&#49;&#54;&#50;&#44;&#53;&#52;&#44;&#49;&#56;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"203\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834309711\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Sum of the First <em data-effect=\"italics\">n<\/em> terms of a Geometric Sequence<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834309722\">In the following exercises, find the sum of the first fifteen terms of each geometric sequence.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834309726\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834309728\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834309731\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b56b62bbfd742290bc32640e91f71f8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#52;&#44;&#56;&#44;&#45;&#49;&#54;&#44;&#51;&#50;&#44;&#45;&#54;&#52;&#44;&#49;&#50;&#56;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"178\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834309764\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834309766\">5,460<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834309771\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834309773\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834309775\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6aef2a50421ff159f36666173996dbad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#44;&#49;&#50;&#44;&#52;&#56;&#44;&#49;&#57;&#50;&#44;&#55;&#54;&#56;&#44;&#51;&#48;&#55;&#50;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"172\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834309828\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834309830\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834309832\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a44beaa705066dd49743de43212162ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#49;&#50;&#53;&#44;&#54;&#50;&#53;&#44;&#49;&#50;&#53;&#44;&#50;&#53;&#44;&#53;&#44;&#49;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"163\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834309865\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834309867\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a1c143bbb02b2d4d5718704e3ec44d86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#51;&#57;&#48;&#54;&#46;&#50;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"76\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834309878\">In the following exercises, find the sum<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834309881\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834309883\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834309885\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c2c4f39b9eaa442b807b3f89c0466b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;&#55;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830702709\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167830702711\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167830702713\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-71e94a7901b9b1174128e59141fa88f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#50;&#52;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"94\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830702754\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167830702756\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80f49b79ce63027ec5ea9faa9fe9cac9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#56;&#57;&#125;&#123;&#56;&#125;&#61;&#50;&#51;&#46;&#54;&#50;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167830702773\"><strong data-effect=\"bold\">Find the Sum of an Infinite Geometric Series<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167830702779\">In the following exercises, find the sum of each infinite geometric series.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167830702782\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167830702784\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167830702787\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07e0dcdbf9cacdd9c6f2141d1a4451a4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#57;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#55;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#56;&#49;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#52;&#51;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#55;&#50;&#57;&#125;&#45;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"261\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167830702863\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167830702866\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167830702868\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f0eebdee1bc616c414c514e8494a34a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#57;&#43;&#55;&#43;&#49;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#55;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#57;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#52;&#51;&#125;&#43;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"214\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834314304\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834314306\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e05035ecc62abe23dd24c94d000e752_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#52;&#51;&#125;&#123;&#54;&#125;&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#53;&#55;&#46;&#49;&#54;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834314323\">In the following exercises, write each repeating decimal as a fraction.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834314326\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834314328\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834314330\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-54ebf3ebb0cc19d8601567b13014d316_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#45;&#125;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834314360\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834314362\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834314364\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cdd130d4d27d1b255bad05a1e907df41_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#8212;&#125;&#123;&#51;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"37\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834314382\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834314384\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b937a04c873462b9d7d3fc2e70ffe32_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#49;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834314397\"><strong data-effect=\"bold\">Apply Geometric Sequences and Series in the Real World<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834314403\">In the following exercises, solve the problem.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834314406\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834314409\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834314411\">What is the total effect on the economy of a government tax rebate of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5ff6793ed200f46138406143f8e014b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#51;&#54;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"35\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> to each household in order to stimulate the economy if each household will spend <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf6b5eae50675eef3e211adcc1d0e751_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#48;&#37;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> of the rebate in goods and services?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834314443\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834314445\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834314447\">Adam just got his first full-time job after graduating from high school at age 17. He decided to invest <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ac68873663f67e885b1b73375126af5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#51;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"35\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> per month in an IRA (an annuity). The interest on the annuity is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8af32676606376700529a0b367328f4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#37;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> which is compounded monthly. How much will be in Adam\u2019s account when he retires at his sixty-seventh birthday?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834314468\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834314470\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0fabbb5e539bb17d5262b12958b980ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#49;&#44;&#54;&#51;&#52;&#44;&#52;&#50;&#49;&#46;&#50;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831836421\" class=\"bc-section section\" data-depth=\"2\">\n<h4 data-type=\"title\"><a class=\"target-chapter\" href=\"\/contents\/c9aabcfa-7dac-4cdb-bca0-f8738ce61f22\">Binomial Theorem<\/a><\/h4>\n<p id=\"fs-id1167831836431\"><strong data-effect=\"bold\">Use Pascal\u2019s Triangle to Expand a Binomial<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167831836438\">In the following exercises, expand each binomial using Pascal\u2019s Triangle.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167831836443\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831836445\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831836447\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2374a2628c9b929492de64293ae12f84_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831836574\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831836576\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831836578\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6287bb779aefa4d837e308c7a88e0373_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831836601\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167831836603\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1a5161754969d50b00327f5daaea7184_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#45;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#121;&#43;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"237\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834395028\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834395030\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834395032\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-103d3097e8849584e632d0cf765e9638_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#43;&#54;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834395089\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834395091\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834395093\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-531c04cc1086bb5a4ca4a0f274a3df5b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#121;&#45;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834395118\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834395120\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b231ced3c379809114992684b85e2a25_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#50;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#45;&#50;&#52;&#48;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#55;&#50;&#48;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#49;&#48;&#56;&#48;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"239\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9696f753d2e779de1eb17cc99fd7c40e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#56;&#49;&#48;&#121;&#45;&#50;&#52;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"98\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834395173\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834395175\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834395178\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0bc2a1f183c856df1d7a25be94cb1b5e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#55;&#120;&#43;&#50;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834528362\"><strong data-effect=\"bold\">Evaluate a Binomial Coefficient<\/strong><\/p>\n<p id=\"fs-id1167834528369\">In the following exercises, evaluate.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834528372\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834528374\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834528376\"><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><span class=\"token\">\u24d0<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb3f9b84e2f5cae9e2a72dba0f20265b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#99;&#125;&#49;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#92;&#32;&#49;&#92;&#104;&#102;&#105;&#108;&#108;&#32;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><span class=\"token\">\u24d1<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834273852\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834273855\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6445e54eb9c239cf088420fbfa721695_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#112;&#43;&#113;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834273967\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834273969\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834273971\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89ff69a4a674501ccfe5b9090b5c97bf_l3.png\" 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\/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d1aa6555d6ff3da2528a28d0b85da80_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#50;&#54;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#56;&#52;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#45;&#51;&#54;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#57;&#116;&#45;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"227\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167828316129\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167828316131\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167828316133\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bef7bd6b95966fadd6b09cc169ac39c7_l3.png\" 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id=\"fs-id1167828316234\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167828316236\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c544da98caf7be580f41f896ecfb237_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#53;&#54;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#43;&#55;&#54;&#56;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#121;&#43;&#56;&#54;&#52;&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><span data-type=\"newline\"><br \/>\n<\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4fbd99844d82220b55f4bc9f128735bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#52;&#51;&#50;&#120;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#56;&#49;&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831919555\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831919557\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831919559\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2996e715383bdead9137408ed4e53589_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#51;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831919660\">In the following exercises, find the indicated term in the expansion of the binomial.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167831919663\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831919666\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831919668\">Seventh term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6af464e80151f36ea9c7f3887c3e71c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831919693\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167831919695\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef7d0c3a4f006fa0c5cd87eedeaa1804_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#56;&#52;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831919715\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831919717\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831919719\">Third term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f57f6997e7084d0cf6ccc092e7f0e01d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#121;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834308232\">In the following exercises, find the coefficient of the indicated term in the expansion of the binomial.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834308236\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834308239\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834308241\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9fa1c788703ad2a568e6e3981a4f55e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#121;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5524316652ca14902c2a368e0272d332_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#121;&#43;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#54;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834308274\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834308276\">135<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834308281\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834308283\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834308286\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48541f82788d9b97a870606bd6257cd7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0ac3db76b278ee77672bf5fc46eab9b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834308329\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834308331\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834308334\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55c5290e5c08ab679a92660ea63119af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#123;&#98;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"32\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> term of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f9a6074c038ae9750d1a73d70b885b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#97;&#43;&#98;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#55;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834308374\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834308376\">280<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834308384\" class=\"practice-test\" data-depth=\"1\">\n<h3 data-type=\"title\">Practice Test<\/h3>\n<p id=\"fs-id1167834308391\">In the following exercises, write the first five terms of the sequence whose general term is given.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834308395\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834308397\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834308399\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdbd2212f59e284e4f76e89bcd4b51a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#110;&#45;&#51;&#125;&#123;&#123;&#51;&#125;&#94;&#123;&#110;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834430012\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834430014\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834430016\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd9355e486d11113a3ab3a9cd38f3003_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#43;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#33;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#110;&#43;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#33;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834430066\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834430068\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a807bfb3e75904b1d37dca351d78008e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#53;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#54;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#55;&#125;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#56;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834430110\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834430112\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834430114\">Find a general term for the sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b136b917274359b3b71f6b81045180d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;&#44;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#53;&#125;&#44;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&#125;&#123;&#55;&#125;&#44;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#125;&#123;&#57;&#125;&#44;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#48;&#125;&#123;&#49;&#49;&#125;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"164\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834430209\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834430211\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834430213\">Expand the partial sum and find its value. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-786090c74801ee11271fc128e068bbbd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#52;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835378774\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835378776\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-367c392c9b3ed48cbeb4ca1cb2c3f3b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#52;&#43;&#49;&#54;&#45;&#54;&#52;&#43;&#50;&#53;&#54;&#61;&#50;&#48;&#52;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835378801\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835378803\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835378806\">Write the following using summation notation. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26b01b2121cdd75c2fc545379b101bed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#57;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#49;&#54;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"163\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835378896\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835378898\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835378900\">Write the first five terms of the arithmetic sequence with the given first term and common difference. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2522cbd4b1bcfda5fed958b9944a939_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#45;&#49;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c670fab3ff7b014c602cc0ebf5e374b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#100;&#61;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835378927\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835378929\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f22718f1ed7b492499872fc83ec3ee7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#51;&#44;&#45;&#49;&#48;&#44;&#45;&#55;&#44;&#45;&#52;&#44;&#45;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"161\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835378954\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835378956\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835378959\">Find the twentieth term of an arithmetic sequence where the first term is two and the common difference is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-095e1dfdc93a80eb2c8554aaa37b4f18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#55;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835216576\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835216578\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835216580\">Find the twenty-third term of an arithmetic sequence whose seventh term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cba90047eec6a05e400b16dfb86d7f29_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> and common difference is three. Then find a formula for the general term.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835216590\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835216592\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc4199b9a23092eded232dfad3e7bb0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#50;&#51;&#125;&#61;&#53;&#57;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> The general term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4460b21c0b7a68b579d0e6b2f91d3e09_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#51;&#110;&#45;&#49;&#48;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"105\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835216632\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835216635\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835216637\">Find the first term and common difference of an arithmetic sequence whose ninth term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b34c01098c83fa602de54e9d74d63a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> and the sixteenth term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-13ae2ce64ac335846388649c957a3e3f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;&#53;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> Then find a formula for the general term.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835216707\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835216709\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835216711\">Find the sum of the first 25 terms of the arithmetic sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0f8550c7d8fa16cf5a034513cff489a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#44;&#57;&#44;&#49;&#51;&#44;&#49;&#55;&#44;&#50;&#49;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835216743\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167835216745\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-502c769520b5a1a8fc8f02eb1d322eb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#44;&#51;&#50;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835216758\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835216760\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835216762\">Find the sum of the first 50 terms of the arithmetic sequence whose general term is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a1159f39bec0361305995263700595a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#110;&#125;&#61;&#45;&#51;&#110;&#43;&#49;&#48;&#48;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167835216802\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167835216804\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167835216806\">Find the sum. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec218a6eb1fb323fd502bcde4ac51399_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#52;&#48;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#53;&#105;&#45;&#50;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"112\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834538190\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834538192\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b7209d3b533f3c3eecae45707a128455_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#44;&#50;&#54;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167834538205\">In the following exercises, determine if the sequence is arithmetic, geometric, or neither. If arithmetic, then find the common difference. If geometric, then find the common ratio.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167834538209\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834538212\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834538214\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d7327f1d809a8edcb769ceff847d9cd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#52;&#44;&#51;&#44;&#45;&#56;&#44;&#45;&#49;&#57;&#44;&#45;&#51;&#48;&#44;&#45;&#52;&#49;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"187\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834538267\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834538269\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834538271\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7fb072bece7b72da574627c30220161_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#50;&#52;&#44;&#49;&#48;&#56;&#44;&#51;&#54;&#44;&#49;&#50;&#44;&#52;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#52;&#125;&#123;&#51;&#125;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"152\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834538310\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834538312\">The sequence is geometric with common ratio <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cfa185ebf83b6591c42bbd43e89f71ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834538331\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834538333\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834538335\">Write the first five terms of the geometric sequence with the given first term and common ratio. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-db6e0a0bb6ea8af98bf4b1f27bbddde7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#54;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d75e3ba8e2d2ab0451520a284f02520e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#45;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"54\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834538390\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834538392\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834538394\">In the geometric sequence whose first term and common ratio are <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b32738d1e587625d5a8967f4c233650b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#53;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aee2a01d1f62228b9a7a821e20949320_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#114;&#61;&#52;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b97e839468d947e272c0cfad87a24fb5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"28\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831895146\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167831895148\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1ffa6e8cd0c7af8cf64b66207b1f730b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#44;&#50;&#52;&#50;&#44;&#56;&#56;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"78\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831895165\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831895167\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831895169\">Find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4ff64ab224c7e6de45e201c77ce98e26_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#97;&#125;&#95;&#123;&#49;&#48;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> of the geometric sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30be90a68f53babfa4626e47912dd6d0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#50;&#53;&#48;&#44;&#50;&#53;&#48;&#44;&#53;&#48;&#44;&#49;&#48;&#44;&#50;&#44;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#53;&#125;&#44;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"167\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> Then find a formula for the general term.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831895292\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831895294\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831895296\">Find the sum of the first thirteen terms of the geometric sequence, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3786b965d4a1723a96f8e53cd585aed3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#44;&#45;&#54;&#44;&#49;&#56;&#44;&#45;&#53;&#52;&#44;&#49;&#54;&#50;&#44;&#45;&#52;&#56;&#54;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"188\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167831895330\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167831895332\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7f92f0d32b1ee79db69b0825c1f2d546_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#57;&#55;&#44;&#49;&#54;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1167831895345\">In the following exercises, find the sum.<\/p>\n<div id=\"fs-id1167831895348\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167831895350\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167831895352\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8660c606027ee0252c649a90343bc0ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#95;&#123;&#105;&#61;&#49;&#125;&#94;&#123;&#57;&#125;&#53;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#105;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834124597\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834124599\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834124601\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa13a6596499bc9f00bf4f48252ad848_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#53;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#53;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#49;&#50;&#53;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#54;&#50;&#53;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#51;&#49;&#50;&#53;&#125;&#43;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#8230;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"242\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834124656\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834124659\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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height=\"13\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834124708\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834124710\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834124712\">Dave just got his first full-time job after graduating from high school at age 18. He decided to invest ?450 per month in an IRA (an annuity). The interest on the annuity is 6% which is compounded monthly. How much will be in Adam\u2019s account when he retires at his sixty-fifth birthday?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834124720\" data-type=\"solution\">\n<p id=\"fs-id1167834124722\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/jkdcintermediatealgebracloned\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b742289b96c00b0855dbcfa01e1f72a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#63;&#125;&#49;&#44;&#52;&#48;&#57;&#44;&#51;&#52;&#52;&#46;&#49;&#57;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1167834124741\" class=\"material-set-2\" data-type=\"exercise\">\n<div id=\"fs-id1167834124744\" data-type=\"problem\">\n<p id=\"fs-id1167834124746\">Expand the binomial using Pascal\u2019s Triangle. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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