{"id":442,"date":"2017-10-27T16:29:54","date_gmt":"2017-10-27T16:29:54","guid":{"rendered":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/chapter\/collisions-of-point-masses-in-two-dimensions\/"},"modified":"2017-11-08T03:24:37","modified_gmt":"2017-11-08T03:24:37","slug":"collisions-of-point-masses-in-two-dimensions","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/chapter\/collisions-of-point-masses-in-two-dimensions\/","title":{"raw":"Collisions of Point Masses in Two Dimensions","rendered":"Collisions of Point Masses in Two Dimensions"},"content":{"raw":"\n<div class=\"textbox learning-objectives\">\n<h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>\n<ul>\n<li>Discuss two dimensional collisions as an extension of one dimensional analysis.<\/li>\n<li>Define point masses.<\/li>\n<li>Derive an expression for conservation of momentum along <span data-type=\"foreign\">x<\/span>-axis and <span data-type=\"foreign\">y<\/span>-axis.<\/li>\n<li>Describe elastic collisions of two objects with equal mass.<\/li>\n<li>Determine the magnitude and direction of the final velocity given initial velocity, and scattering angle.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p id=\"import-auto-id2555747\">In the previous two sections, we considered only one-dimensional collisions; during such collisions, the incoming and outgoing velocities are all along the same line. But what about collisions, such as those between billiard balls, in which objects scatter to the side? These are two-dimensional collisions, and we shall see that their study is an extension of the one-dimensional analysis already presented. The approach taken (similar to the approach in discussing two-dimensional kinematics and dynamics) is to choose a convenient coordinate system and resolve the motion into components along perpendicular axes. Resolving the motion yields a pair of one-dimensional problems to be solved simultaneously.<\/p>\n<p id=\"import-auto-id2549893\">One complication arising in two-dimensional collisions is that the objects might rotate before or after their collision. For example, if two ice skaters hook arms as they pass by one another, they will spin in circles. We will not consider such rotation until later, and so for now we arrange things so that no rotation is possible. To avoid rotation, we consider only the scattering of <span data-type=\"term\" id=\"import-auto-id1362764\">point masses<\/span>\u2014that is, structureless particles that cannot rotate or spin.<\/p>\n<p id=\"import-auto-id2747275\">We start by assuming that <\/p>\n<p>[latex]{\\mathbf{F}}_{\\text{net}}=0[\/latex], so that momentum [latex]\\mathbf{p}[\/latex]<\/p>\n<p> is conserved. The simplest collision is one in which one of the particles is initially at rest. (See <a href=\"#import-auto-id2747387\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.) The best choice for a coordinate system is one with an axis parallel to the velocity of the incoming particle, as shown in <a href=\"#import-auto-id2747387\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>. Because momentum is conserved, the components of momentum along the <\/p>\n<p>[latex]x[\/latex]- and [latex]y[\/latex]-axes [latex]\\left({p}_{x}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{and}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{p}_{y}\\right)[\/latex] <\/p>\n<p>will also be conserved, but with the chosen coordinate system, <\/p>\n<p>[latex]{p}_{y}[\/latex] is initially zero and<\/p>\n[latex]{p}_{x}[\/latex]\n<p>is the momentum of the incoming particle. Both facts simplify the analysis. (Even with the simplifying assumptions of point masses, one particle initially at rest, and a convenient coordinate system, we still gain new insights into nature from the analysis of two-dimensional collisions.)<\/p>\n<div class=\"bc-figure figure\" id=\"import-auto-id2747387\">\n<div class=\"bc-figcaption figcaption\">A two-dimensional collision with the coordinate system chosen so that [latex]{m}_{2}[\/latex] is initially at rest and [latex]{v}_{1}[\/latex] is parallel to the [latex]x[\/latex] -axis. This coordinate system is sometimes called the laboratory coordinate system, because many scattering experiments have a target that is stationary in the laboratory, while particles are scattered from it to determine the particles that make-up the target and how they are bound together. The particles may not be observed directly, but their initial and final velocities are.<\/div>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"import-auto-id1958705\" data-alt=\"A purple ball of mass m1 moves with velocity V 1 toward the right side along the X direction. The orange ball of mass m 2 is initially at rest. The total momentum is the momentum possessed by purple ball only. After collision purple ball moves with velocity v 1prime in the positive X Y plane making an angle theta 1 with the x axis and the orange ball moves in the X Y plane below the x axis making an angle theta 2 with the x axis. The total momentum would be the sum of the momentum of purple ball p1 prime and the orange ball p 2 prime. In two-dimensional collision too the momentum before and after collision remains the same.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/clalonde\/wp-content\/uploads\/sites\/280\/2017\/10\/Figure_09_06_02a.jpg\" data-media-type=\"image\/jpg\" alt=\"A purple ball of mass m1 moves with velocity V 1 toward the right side along the X direction. The orange ball of mass m 2 is initially at rest. The total momentum is the momentum possessed by purple ball only. After collision purple ball moves with velocity v 1prime in the positive X Y plane making an angle theta 1 with the x axis and the orange ball moves in the X Y plane below the x axis making an angle theta 2 with the x axis. The total momentum would be the sum of the momentum of purple ball p1 prime and the orange ball p 2 prime. In two-dimensional collision too the momentum before and after collision remains the same.\" width=\"420\"><\/span><\/p><\/div>\n<p id=\"import-auto-id1998280\">Along the [latex]x[\/latex]-axis, the equation for conservation of momentum is <\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-854\">[latex]{p}_{1x}+{p}_{2x}={p\\prime }_{1x}^{}+{p\\prime }_{2x}^{}.[\/latex]<\/div>\n<p id=\"import-auto-id1736119\">Where the subscripts denote the particles and axes and the primes denote the situation after the collision. In terms of masses and velocities, this equation is<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-881\">[latex]{m}_{1}{v}_{1x}+{m}_{2}{v}_{2x}={m}_{1}{v\\prime }_{1x}^{}+{m}_{2}{v\\prime }_{2x}^{}.[\/latex]<\/div>\n<p id=\"import-auto-id1362746\">But because particle 2 is initially at rest, this equation becomes<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\">[latex]{m}_{1}{v}_{1x}={m}_{1}{v\\prime }_{1x}^{}+{m}_{2}{v\\prime }_{2x}^{}.[\/latex]<\/div>\n<p id=\"import-auto-id2729005\">The components of the velocities along the [latex]x[\/latex]-axis have the form [latex]v\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\theta [\/latex]. Because particle 1 initially moves along the [latex]x[\/latex]-axis, we find [latex]{v}_{1x}={v}_{1}[\/latex]. <\/p>\n<p id=\"import-auto-id1011006\">Conservation of momentum along the [latex]x[\/latex]-axis gives the following equation:<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-488\">[latex]{m}_{1}{v}_{1}={m}_{1}{v\\prime }_{1}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}+{m}_{2}{v\\prime }_{2}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2},[\/latex]<\/div>\n<p id=\"import-auto-id1655839\">where [latex]{\\theta }_{1}[\/latex] and [latex]{\\theta }_{2}[\/latex] are as shown in <a href=\"#import-auto-id2747387\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/p>\n<div data-type=\"note\" class=\"note\" data-has-label=\"true\" id=\"fs-id1516197\" data-label=\"\">\n<div data-type=\"title\" class=\"title\">Conservation of Momentum along the <em data-effect=\"italics\">[latex]x[\/latex]<\/em>-axis<\/div>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-224\">[latex]{m}_{1}{v}_{1}={m}_{1}{v\\prime }_{1}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}+{m}_{2}{v\\prime }_{2}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}[\/latex]<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"import-auto-id2690532\">Along the [latex]y[\/latex]-axis, the equation for conservation of momentum is<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-742\">[latex]{p}_{1y}+{p}_{2y}={p\\prime }_{1y}^{}+{p\\prime }_{2y}^{}[\/latex]<\/div>\n<p id=\"import-auto-id1274422\">or<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\">[latex]{m}_{1}{v}_{1y}+{m}_{2}{v}_{2y}={m}_{1}{v\\prime }_{1y}^{}+{m}_{2}{v\\prime }_{2y}^{}.[\/latex]<\/div>\n<p id=\"import-auto-id2648775\">But [latex]{v}_{1y}[\/latex] is zero, because particle 1 initially moves along the [latex]x[\/latex]-axis. Because particle 2 is initially at rest, [latex]{v}_{2y}[\/latex] is also zero. The equation for conservation of momentum along the [latex]y[\/latex]-axis becomes<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-10\">[latex]0={m}_{1}{v\\prime }_{1y}^{}+{m}_{2}{v\\prime }_{2y}^{}.[\/latex]<\/div>\n<p id=\"import-auto-id898212\">The components of the velocities along the [latex]y[\/latex]-axis have the form [latex]v\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\theta [\/latex]. <\/p>\n<p id=\"import-auto-id1476197\">Thus, conservation of momentum along the [latex]y[\/latex]-axis gives the following equation:<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\">[latex]0={m}_{1}{v\\prime }_{1}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}+{m}_{2}{v\\prime }_{2}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}.[\/latex]<\/div>\n<div data-type=\"note\" class=\"note\" data-has-label=\"true\" id=\"fs-id2949472\" data-label=\"\">\n<div data-type=\"title\" class=\"title\">Conservation of Momentum along the [latex]y[\/latex]-axis<\/div>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-860\">[latex]0={m}_{1}{v\\prime }_{1}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}+{m}_{2}{v\\prime }_{2}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}[\/latex]<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"import-auto-id2946023\">The equations of conservation of momentum along the <em data-effect=\"italics\">[latex]x[\/latex]<\/em>-axis and [latex]y[\/latex]-axis are very useful in analyzing two-dimensional collisions of particles, where one is originally stationary (a common laboratory situation). But two equations can only be used to find two unknowns, and so other data may be necessary when collision experiments are used to explore nature at the subatomic level.<\/p>\n<div data-type=\"example\" class=\"textbox examples\" id=\"fs-id1311272\">\n<div data-type=\"title\" class=\"title\">Determining the Final Velocity of an Unseen Object from the Scattering of Another Object<\/div>\n<p id=\"import-auto-id3108768\">Suppose the following experiment is performed. A 0.250-kg object [latex]\\left({m}_{1}\\right)[\/latex] is slid on a frictionless surface into a dark room, where it strikes an initially stationary object with mass of 0.400 kg [latex]\\left({m}_{2}\\right)[\/latex]. The 0.250-kg object emerges from the room at an angle of [latex]\\text{45}\\text{.}0\u00ba[\/latex] with its incoming direction.<\/p>\n<p id=\"import-auto-id3167415\">The speed of the 0.250-kg object is originally 2.00 m\/s and is 1.50 m\/s after the collision. Calculate the magnitude and direction of the velocity [latex]\\left({v\\prime }_{2}^{}[\/latex] and [latex]{\\theta }_{2}\\right)[\/latex] of the 0.400-kg object after the collision.<\/p>\n<p id=\"eip-943\"><strong>Strategy<\/strong><\/p>\n<p id=\"import-auto-id2644511\">Momentum is conserved because the surface is frictionless. The coordinate system shown in <a href=\"#import-auto-id2747922\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> is one in which [latex]{m}_{2}[\/latex] is originally at rest and the initial velocity is parallel to the [latex]x[\/latex]-axis, so that conservation of momentum along the [latex]x[\/latex]- and <em data-effect=\"italics\">[latex]y[\/latex]<\/em>-axes is applicable. <\/p>\n<p id=\"import-auto-id1364041\">Everything is known in these equations except [latex]{v\\prime }_{2}^{}[\/latex] and [latex]{\\theta }_{2}[\/latex], which are precisely the quantities we wish to find. We can find two unknowns because we have two independent equations: the equations describing the conservation of momentum in the [latex]x[\/latex]- and [latex]y[\/latex]-directions.<\/p>\n<p id=\"eip-539\"><strong>Solution<\/strong><\/p>\n<p id=\"import-auto-id1310628\">Solving<br>\n[latex]{m}_{1}{v}_{1}={m}_{1}{v\\prime }_{1}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}+{m}_{2}{v\\prime }_{2}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}[\/latex] for<br>\n[latex]{v}_{2}^{\\prime }\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}[\/latex]<br>\n and<br>\n[latex]0={m}_{1}{v\\prime }_{1}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}+{m}_{2}{v\\prime }_{2}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}[\/latex] for<br>\n[latex]{v\\prime }_{2}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}[\/latex] and taking the ratio yields an equation (in which \u03b8<sub>2<\/sub> is the only unknown quantity. Applying the identity<br>\n[latex]\\left(\\text{tan}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\theta =\\frac{\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\theta }{\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\theta }\\right)[\/latex], we obtain:<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-329\">[latex]\\text{tan}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}=\\frac{{v\\prime }_{1}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}}{{v\\prime }_{1}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}-{v}_{1}}.[\/latex]<\/div>\n<p id=\"import-auto-id1550712\">Entering known values into the previous equation gives<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\">[latex]\\text{tan}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}=\\frac{\\left(1\\text{.}\\text{50}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{m\/s}\\right)\\left(0\\text{.}\\text{7071}\\right)}{\\left(1\\text{.}\\text{50}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{m\/s}\\right)\\left(0\\text{.}\\text{7071}\\right)-2\\text{.}\\text{00}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{m\/s}}=-1\\text{.}\\text{129}.[\/latex]<\/div>\n<p>Thus,<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\">[latex]{\\theta }_{2}={\\text{tan}}^{-1}\\left(-1\\text{.}\\text{129}\\right)=\\text{311}\\text{.}5\u00ba\\approx \\text{312\u00ba}.[\/latex]<\/div>\n<p id=\"import-auto-id2720916\">Angles are defined as positive in the counter clockwise direction, so this angle indicates that [latex]{m}_{2}[\/latex] is scattered to the right in <a href=\"#import-auto-id2747922\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>, as expected (this angle is in the fourth quadrant). Either equation for the<br>\n[latex]x[\/latex]- or<br>\n[latex]y[\/latex]-axis can now be used to solve for<br>\n[latex]{v\\prime }_{2}[\/latex], but the latter equation is easiest because it has fewer terms. <\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\">[latex]{v\\prime }_{2}^{}=-\\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}{v\\prime }_{1}^{}\\frac{\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}}{\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}}[\/latex]<\/div>\n<p id=\"import-auto-id2800662\">Entering known values into this equation gives<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-497\">[latex]{v\\prime }_{2}^{}=-\\left(\\frac{0\\text{.}\\text{250}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{kg}}{0\\text{.}\\text{400}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{kg}}\\right)\\left(1\\text{.}\\text{50}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{m\/s}\\right)\\left(\\frac{0\\text{.}\\text{7071}}{-0\\text{.}\\text{7485}}\\right)\\text{.}[\/latex]<\/div>\n<p id=\"import-auto-id1955893\">Thus,<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-721\">[latex]{v\\prime }_{2}^{}=0\\text{.}\\text{886}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{m\/s}.[\/latex]<\/div>\n<p id=\"eip-980\"><strong>Discussion<\/strong><\/p>\n<p id=\"import-auto-id2573336\">It is instructive to calculate the internal kinetic energy of this two-object system before and after the collision. (This calculation is left as an end-of-chapter problem.) If you do this calculation, you will find that the internal kinetic energy is less after the collision, and so the collision is inelastic. This type of result makes a physicist want to explore the system further.<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"bc-figure figure\" id=\"import-auto-id2747922\">\n<div class=\"bc-figcaption figcaption\">A collision taking place in a dark room is explored in  <a href=\"#fs-id1311272\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>. The incoming object [latex]{m}_{1}[\/latex] is scattered by an initially stationary object. Only the stationary object\u2019s mass [latex]{m}_{2}[\/latex] is known. By measuring the angle and speed at which [latex]{m}_{1}[\/latex] emerges from the room, it is possible to calculate the magnitude and direction of the initially stationary object\u2019s velocity after the collision.<\/div>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"import-auto-id1945224\" data-alt=\"A purple ball of mass m1 and velocity v one moves in the right direction into a dark room. It collides with an object of mass m two of value zero point four zero milligrams which was initially at rest and then leaves the dark room from the top right hand side making an angle of forty-five degrees with the horizontal and at velocity v one prime. The net external force on the system is zero. The momentum before and after collision remains the same. The velocity v two prime of the mass m two and the angle theta two it would make with the horizontal after collision not given.\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/clalonde\/wp-content\/uploads\/sites\/280\/2017\/10\/Figure_09_06_03a.jpg\" data-media-type=\"image\/jpg\" alt=\"A purple ball of mass m1 and velocity v one moves in the right direction into a dark room. It collides with an object of mass m two of value zero point four zero milligrams which was initially at rest and then leaves the dark room from the top right hand side making an angle of forty-five degrees with the horizontal and at velocity v one prime. The net external force on the system is zero. The momentum before and after collision remains the same. The velocity v two prime of the mass m two and the angle theta two it would make with the horizontal after collision not given.\" width=\"300\"><\/span><\/p><\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1566488\">\n<h1 data-type=\"title\">Elastic Collisions of Two Objects with Equal Mass<\/h1>\n<p id=\"import-auto-id1309321\">Some interesting situations arise when the two colliding objects have equal mass and the collision is elastic. This situation is nearly the case with colliding billiard balls, and precisely the case with some subatomic particle collisions. We can thus get a mental image of a collision of subatomic particles by thinking about billiards (or pool). (Refer to <a href=\"#import-auto-id2747387\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> for masses and angles.) First, an elastic collision conserves internal kinetic energy. Again, let us assume object 2 [latex]\\left({m}_{2}\\right)[\/latex] is initially at rest. Then, the internal kinetic energy before and after the collision of two objects that have equal masses is<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\">[latex]\\frac{1}{2}{{\\text{mv}}_{1}}^{2}=\\frac{1}{2}{{\\text{mv}\\prime }_{1}}^{2}+\\frac{1}{2}{{\\text{mv}\\prime }_{2}}^{2}.[\/latex]<\/div>\n<p id=\"import-auto-id1778031\">Because the masses are equal, [latex]{m}_{1}={m}_{2}=m[\/latex]. Algebraic manipulation (left to the reader) of conservation of momentum in the [latex]x[\/latex]- and <em data-effect=\"italics\">[latex]y[\/latex]<\/em>-directions can show that<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-717\">[latex]\\frac{1}{2}{{\\text{mv}}_{1}}^{2}=\\frac{1}{2}{{\\text{mv}\\prime }_{1}}^{2}+\\frac{1}{2}{{\\text{mv}\\prime }_{2}}^{2}+{\\text{mv}\\prime }_{1}{v\\prime }_{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\left({\\theta }_{1}-{\\theta }_{2}\\right).[\/latex]<\/div>\n<p id=\"import-auto-id2632094\">(Remember that [latex]{\\theta }_{2}[\/latex] is negative here.) The two preceding equations can both be true only if<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-590\">[latex]m{v\\prime }_{1}^{}{v\\prime }_{2}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\left({\\theta }_{1}-{\\theta }_{2}\\right)=0.[\/latex]<\/div>\n<p id=\"import-auto-id1303827\">There are three ways that this term can be zero. They are<\/p>\n<ul id=\"import-auto-id2600565\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li>[latex]{v\\prime }_{1}^{}=0[\/latex]: head-on collision; incoming ball stops<\/li>\n<li>[latex]{v\\prime }_{2}^{}=0[\/latex]: no collision; incoming ball continues unaffected<\/li>\n<li>[latex]\\text{cos}\\left({\\theta }_{1}-{\\theta }_{2}\\right)=0[\/latex]: angle of separation [latex]\\left({\\theta }_{1}-{\\theta }_{2}\\right)[\/latex] is [latex]\\text{90\u00ba}[\/latex] after the collision <\/li>\n<\/ul>\n<p id=\"import-auto-id2804120\">All three of these ways are familiar occurrences in billiards and pool, although most of us try to avoid the second. If you play enough pool, you will notice that the angle between the balls is very close to [latex]90\u00ba[\/latex] after the collision, although it will vary from this value if a great deal of spin is placed on the ball. (Large spin carries in extra energy and a quantity called <em data-effect=\"italics\">angular momentum<\/em>, which must also be conserved.) The assumption that the scattering of billiard balls is elastic is reasonable based on the correctness of the three results it produces. This assumption also implies that, to a good approximation, momentum is conserved for the two-ball system in billiards and pool. The problems below explore these and other characteristics of two-dimensional collisions.<\/p>\n<div data-type=\"note\" class=\"note\" data-has-label=\"true\" id=\"fs-id2927283\" data-label=\"\">\n<div data-type=\"title\" class=\"title\">Connections to Nuclear and Particle Physics<\/div>\n<p id=\"import-auto-id2785946\">Two-dimensional collision experiments have revealed much of what we know about subatomic particles, as we shall see in <a href=\"\/contents\/a469ece3-5c5f-46bd-a983-8a99ef997d9b@3\">Medical Applications of Nuclear Physics<\/a> and <a href=\"\/contents\/43a84abb-7daf-467e-ae21-b1b74baab670@4\">Particle Physics<\/a>. Ernest Rutherford, for example, discovered the nature of the atomic nucleus from such experiments.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"section-summary\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id2976431\">\n<h1 data-type=\"title\">Section Summary<\/h1>\n<ul id=\"import-auto-id2068233\">\n<li>The approach to two-dimensional collisions is to choose a convenient coordinate system and break the motion into components along perpendicular axes. Choose a coordinate system with the [latex]x[\/latex]-axis parallel to the velocity of the incoming particle.<\/li>\n<li>\nTwo-dimensional collisions of point masses where mass 2 is initially at rest conserve momentum along the initial direction of mass 1 (the [latex]x[\/latex]-axis), stated by<br>\n[latex]{m}_{1}{v}_{1}={m}_{1}{v\\prime }_{1}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}+{m}_{2}{v\\prime }_{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}[\/latex] and along the direction perpendicular to the initial direction (the<br>\n[latex]y[\/latex]-axis) stated by<br>\n[latex]0={m}_{1}{v\\prime }_{1y}+{m}_{2}{v\\prime }_{2y}[\/latex].\n<\/li>\n<li>The internal kinetic before and after the collision of two objects that have equal masses is\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-id2398000\">[latex]\\frac{1}{2}{{\\text{mv}}_{1}}^{2}=\\frac{1}{2}{{\\text{mv}\\prime }_{1}}^{2}+\\frac{1}{2}{{\\text{mv}\\prime }_{2}}^{2}+{\\text{mv}\\prime }_{1}{v\\prime }_{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\left({\\theta }_{1}-{\\theta }_{2}\\right).[\/latex]<\/div>\n<\/li>\n<li>Point masses are structureless particles that cannot spin.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div class=\"conceptual-questions\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id3132661\" data-element-type=\"conceptual-questions\">\n<h1 data-type=\"title\">Conceptual Questions<\/h1>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id2093269\" data-element-type=\"conceptual-questions\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id2113683\">\n<p id=\"fs-id2088494\"><a href=\"#import-auto-id2692680\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> shows a cube at rest and a small object heading toward it. (a) Describe the directions (angle [latex]{\\theta }_{1}[\/latex]) at which the small object can emerge after colliding elastically with the cube. How does [latex]{\\theta }_{1}[\/latex] depend on [latex]b[\/latex], the so-called impact parameter? Ignore any effects that might be due to rotation after the collision, and assume that the cube is much more massive than the small object. (b) Answer the same questions if the small object instead collides with a massive sphere.<\/p>\n<div class=\"bc-figure figure\" id=\"import-auto-id2692680\">\n<div class=\"bc-figcaption figcaption\">A small object approaches a collision with a much more massive cube, after which its velocity has the direction [latex]{\\theta }_{1}[\/latex]. The angles at which the small object can be scattered are determined by the shape of the object it strikes and the impact parameter <em data-effect=\"italics\">[latex]b[\/latex]<\/em>.\n<\/div>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"import-auto-id1990072\" data-alt=\"A ball m one moves horizontally to the right with speed v one. It will collide with a stationary square labeled capital m two that is rotated at approximately forty-five degrees. The point of impact is on a face of the square a distance b above the center of the square. After the collision the ball is shown heading off at an angle theta one above the horizontal with a speed v one prime. The square remains essentially stationary (v 2 prime is approximately zero).\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/clalonde\/wp-content\/uploads\/sites\/280\/2017\/10\/Figure_09_06_05a.jpg\" data-media-type=\"image\/jpg\" alt=\"A ball m one moves horizontally to the right with speed v one. It will collide with a stationary square labeled capital m two that is rotated at approximately forty-five degrees. The point of impact is on a face of the square a distance b above the center of the square. After the collision the ball is shown heading off at an angle theta one above the horizontal with a speed v one prime. The square remains essentially stationary (v 2 prime is approximately zero).\" width=\"400\"><\/span><\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"problems-exercises\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id3155303\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<h1 data-type=\"title\">Problems &amp; Exercises<\/h1>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id1596936\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id1596937\">\n<p id=\"import-auto-id3205137\">Two identical pucks collide on an air hockey table. One puck was originally at rest. (a) If the incoming puck has a speed of 6.00 m\/s and scatters to an angle of [latex]\\text{30}\\text{.}0\u00ba[\/latex],what is the velocity (magnitude and direction) of the second puck? (You may use the result that [latex]{\\theta }_{1}-{\\theta }_{2}=\\text{90\u00ba}[\/latex] for elastic collisions of objects that have identical masses.) (b) Confirm that the collision is elastic.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" class=\"solution\" id=\"fs-id2966630\">\n<p id=\"import-auto-id2676096\">(a) 3.00 m\/s, [latex]\\text{60\u00ba}[\/latex] below [latex]x[\/latex]-axis<\/p>\n<p id=\"import-auto-id1363112\">(b) Find speed of first puck after collision: [latex]0=m{v\\prime }_{1}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{30\u00ba}-m{v\\prime }_{2}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{60\u00ba}\u21d2{v\\prime }_{1}^{}={v\\prime }_{2}^{}\\frac{\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{60\u00ba}}{\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{30\u00ba}}=\\text{5.196 m\/s}[\/latex]<\/p>\n<p id=\"eip-id2612078\">Verify that ratio of initial to final KE equals one:<br>\n[latex]\\begin{array}{l}\\text{KE}=\\frac{1}{2}{{\\mathrm{mv}}_{1}}^{2}=18m\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{J}\\\\ \\text{KE}=\\frac{1}{2}{{\\mathrm{mv}\\prime }_{1}}^{2}+\\frac{1}{2}{{\\mathrm{mv}\\prime }_{2}}^{2}=18m\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{J}\\end{array}}\\frac{\\text{KE}}{\\text{KE\u2032}}=1.00[\/latex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id3179260\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id3179262\">\n<p id=\"import-auto-id1935735\">Confirm that the results of the example <a href=\"#fs-id1311272\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> do conserve momentum in both the <em data-effect=\"italics\">[latex]x[\/latex]<\/em>- and <em data-effect=\"italics\">[latex]y[\/latex]<\/em>-directions. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id1284914\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id1284915\">\n<p id=\"import-auto-id1985625\">A 3000-kg cannon is mounted so that it can recoil only in the horizontal direction. (a) Calculate its recoil velocity when it fires a 15.0-kg shell at 480 m\/s at an angle of [latex]\\text{20}\\text{.}0\u00ba[\/latex] above the horizontal. (b) What is the kinetic energy of the cannon? This energy is dissipated as heat transfer in shock absorbers that stop its recoil. (c) What happens to the vertical component of momentum that is imparted to the cannon when it is fired? <\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" class=\"solution\" id=\"fs-id3133924\">\n<p id=\"import-auto-id2945689\">(a) [latex]-2\\text{.}\\text{26}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{m\/s}[\/latex]<\/p>\n<p id=\"import-auto-id2733514\">(b) [latex]7\\text{.}\\text{63}\u00d7{\\text{10}}^{3}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{J}[\/latex]<\/p>\n<p id=\"eip-id2538727\">(c) The ground will exert a normal force to oppose recoil of the cannon in the vertical direction. The momentum in the vertical direction is transferred to the earth. The energy is transferred into the ground, making a dent where the cannon is. After long barrages, cannon have erratic aim because the ground is full of divots.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id2994591\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id2994592\">\n<p id=\"eip-id1517435\"><strong>Professional Application<\/strong><\/p>\n<p id=\"import-auto-id2733092\">A 5.50-kg bowling ball moving at 9.00 m\/s collides with a 0.850-kg bowling pin, which is scattered at an angle of [latex]\\text{85}\\text{.}0\u00ba[\/latex] to the initial direction of the bowling ball and with a speed of 15.0 m\/s. (a) Calculate the final velocity (magnitude and direction) of the bowling ball. (b) Is the collision elastic? (c) Linear kinetic energy is greater after the collision. Discuss how spin on the ball might be converted to linear kinetic energy in the collision.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id2722872\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id2722873\">\n<p id=\"eip-id1609237\"><strong>Professional Application<\/strong><\/p>\n<p id=\"import-auto-id3201314\">Ernest Rutherford (the first New Zealander to be awarded the Nobel Prize in Chemistry) demonstrated that nuclei were very small and dense by scattering helium-4 nuclei [latex]\\left({}^{4}\\text{He}\\right)[\/latex] from gold-197 nuclei<br>\n[latex]\\left({}^{\\text{197}}\\text{Au}\\right)[\/latex]. The energy of the incoming helium nucleus was<br>\n[latex]8.00\u00d7{\\text{10}}^{-\\text{13}}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{J}[\/latex], and the masses of the helium and gold nuclei were<br>\n[latex]6.68\u00d7{\\text{10}}^{-\\text{27}}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{kg}[\/latex] and [latex]3.29\u00d7{\\text{10}}^{-\\text{25}}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{kg}[\/latex], respectively (note that their mass ratio is 4 to 197). (a) If a helium nucleus scatters to an angle of<br>\n[latex]\\text{120\u00ba}[\/latex] during an elastic collision with a gold nucleus, calculate the helium nucleus\u2019s final speed and the final velocity (magnitude and direction) of the gold nucleus. (b) What is the final kinetic energy of the helium nucleus?<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" class=\"solution\" id=\"fs-id3169277\">\n<p id=\"import-auto-id2129621\">(a) [latex]5\\text{.}\\text{36}\u00d7{\\text{10}}^{5}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{m\/s}[\/latex] at [latex]-\\text{29.5\u00ba}[\/latex]<\/p>\n<p id=\"import-auto-id1537415\">(b) [latex]7\\text{.}\\text{52}\u00d7{\\text{10}}^{-\\text{13}}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{J}[\/latex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id3136237\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id3136238\">\n<p id=\"eip-id2589988\"><strong>Professional Application<\/strong><\/p>\n<p id=\"import-auto-id1527414\">Two cars collide at an icy intersection and stick together afterward. The first car has a mass of 1200 kg and is approaching at [latex]8\\text{.}\\text{00}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{m\/s}[\/latex] due south. The second car has a mass of 850 kg and is approaching at [latex]\\text{17}\\text{.}0\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{m\/s}[\/latex] due west. (a) Calculate the final velocity (magnitude and direction) of the cars. (b) How much kinetic energy is lost in the collision? (This energy goes into deformation of the cars.) Note that because both cars have an initial velocity, you cannot use the equations for conservation of momentum along the <em data-effect=\"italics\">[latex]x[\/latex]<\/em>-axis and [latex]y[\/latex]-axis; instead, you must look for other simplifying aspects.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id2680898\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id2680899\">\n<p id=\"import-auto-id1950890\">Starting with equations<br>\n[latex]{m}_{1}{v}_{1}={m}_{1}{v\\prime }_{1}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}+{m}_{2}{v\\prime }_{2}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}[\/latex] and<br>\n[latex]0={m}_{1}{v\\prime }_{1}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}+{m}_{2}{v\\prime }_{2}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}[\/latex] for conservation of momentum in the [latex]x[\/latex]- and [latex]y[\/latex]-directions and assuming that one object is originally stationary, prove that for an elastic collision of two objects of equal masses,<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"import-auto-id2985541\">[latex]\\frac{1}{2}{{\\text{mv}}_{1}}^{2}=\\frac{1}{2}{{\\text{mv}\\prime }_{1}}^{2}+\\frac{1}{2}{{\\text{mv}\\prime }_{2}}^{2}+{\\text{mv}\\prime }_{1}{v\\prime }_{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\left({\\theta }_{1}-{\\theta }_{2}\\right)[\/latex]<\/div>\n<p id=\"import-auto-id1570106\">as discussed in the text.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" class=\"solution\" id=\"eip-id2538314\">\n<p id=\"eip-id2538316\">\nWe are given that [latex]{m}_{1}={m}_{2}\\equiv m[\/latex]. The given equations then become:<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-id1899177\">[latex]{v}_{1}={v}_{1}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}+{v}_{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}[\/latex]<\/div>\n<p id=\"eip-id2705075\">and<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-id1899459\">[latex]0={v\\prime }_{1}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}+{v\\prime }_{2}^{}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}.[\/latex]<\/div>\n<p id=\"eip-id2705141\">Square each equation to get<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-id2304354\">[latex]\\begin{array}{lll}{{v}_{1}}^{2}&amp; =&amp; {{v\\prime }_{1}}^{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\text{cos}}^{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}+{{v\\prime }_{2}}^{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\text{cos}}^{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}+2{v\\prime }_{1}{v\\prime }_{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}\\\\ 0&amp; =&amp; {{v\\prime }_{1}}^{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\text{sin}}^{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}+{{v\\prime }_{2}}^{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\text{sin}}^{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}+2{v\\prime }_{1}{v\\prime }_{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}\\text{.}\\end{array}[\/latex]<\/div>\n<p id=\"eip-id2611023\">Add these two equations and simplify:<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-id1300045\">[latex]\\begin{array}{lll}{{v}_{1}}^{2}&amp; =&amp; {{v\\prime }_{1}}^{2}+{{v\\prime }_{2}}^{2}+2{{v\\prime }_{1}}^{}{{v\\prime }_{2}}^{}\\left(\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}+\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{1}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{sin}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}{\\theta }_{2}\\right)\\\\ &amp; =&amp; {{v\\prime }_{1}}^{2}+{{v\\prime }_{2}}^{2}+2{v\\prime }_{1}{v\\prime }_{2}\\left[\\frac{1}{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\left({\\theta }_{1}-{\\theta }_{2}\\right)+\\frac{1}{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\left({\\theta }_{1}+{\\theta }_{2}\\right)+\\frac{1}{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\left({\\theta }_{1}-{\\theta }_{2}\\right)-\\frac{1}{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\left({\\theta }_{1}+{\\theta }_{2}\\right)\\right]\\\\ &amp; =&amp; {{v\\prime }_{1}}^{2}+{{v\\prime }_{2}}^{2}+2{v\\prime }_{1}{v\\prime }_{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\left({\\theta }_{1}-{\\theta }_{2}\\right).\\end{array}[\/latex]<\/div>\n<p id=\"eip-id2611026\">Multiply the entire equation by [latex]\\frac{1}{2}m[\/latex] to recover the kinetic energy:<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-id2367723\">[latex]\\frac{1}{2}{{\\mathit{\\text{mv}}}_{1}}^{2}=\\frac{1}{2}m{{v\\prime }_{1}}^{2}+\\frac{1}{2}m{{v\\prime }_{2}}^{2}+m{v\\prime }_{1}{v\\prime }_{2}\\phantom{\\rule{0.25em}{0ex}}\\text{cos}\\left({\\theta }_{1}-{\\theta }_{2}\\right)[\/latex]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id2947426\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id2947427\">\n<p id=\"eip-id1675018\"><strong>Integrated Concepts<\/strong><\/p>\n<p id=\"import-auto-id2509066\">A 90.0-kg ice hockey player hits a 0.150-kg puck, giving the puck a velocity of 45.0 m\/s. If both are initially at rest and if the ice is frictionless, how far does the player recoil in the time it takes the puck to reach the goal 15.0 m away? <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"glossary\" class=\"textbox shaded\">\n<h2 data-type=\"glossary-title\">Glossary<\/h2>\n<dl class=\"definition\" id=\"import-auto-id3150716\">\n<dt>point masses<\/dt>\n<dd id=\"fs-id2821487\">structureless particles with no rotation or spin<\/dd>\n<\/dl>\n<\/div>\n\n","rendered":"<div class=\"textbox learning-objectives\">\n<h3 itemprop=\"educationalUse\">Learning Objectives<\/h3>\n<ul>\n<li>Discuss two dimensional collisions as an extension of one dimensional analysis.<\/li>\n<li>Define point masses.<\/li>\n<li>Derive an expression for conservation of momentum along <span data-type=\"foreign\">x<\/span>-axis and <span data-type=\"foreign\">y<\/span>-axis.<\/li>\n<li>Describe elastic collisions of two objects with equal mass.<\/li>\n<li>Determine the magnitude and direction of the final velocity given initial velocity, and scattering angle.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p id=\"import-auto-id2555747\">In the previous two sections, we considered only one-dimensional collisions; during such collisions, the incoming and outgoing velocities are all along the same line. But what about collisions, such as those between billiard balls, in which objects scatter to the side? These are two-dimensional collisions, and we shall see that their study is an extension of the one-dimensional analysis already presented. The approach taken (similar to the approach in discussing two-dimensional kinematics and dynamics) is to choose a convenient coordinate system and resolve the motion into components along perpendicular axes. Resolving the motion yields a pair of one-dimensional problems to be solved simultaneously.<\/p>\n<p id=\"import-auto-id2549893\">One complication arising in two-dimensional collisions is that the objects might rotate before or after their collision. For example, if two ice skaters hook arms as they pass by one another, they will spin in circles. We will not consider such rotation until later, and so for now we arrange things so that no rotation is possible. To avoid rotation, we consider only the scattering of <span data-type=\"term\" id=\"import-auto-id1362764\">point masses<\/span>\u2014that is, structureless particles that cannot rotate or spin.<\/p>\n<p id=\"import-auto-id2747275\">We start by assuming that <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-360e8e817b2035925ff9bbeb19258cb5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#102;&#123;&#70;&#125;&#125;&#95;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#110;&#101;&#116;&#125;&#125;&#61;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/>, so that momentum <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3c7a9253c3c0ae1fcdfdbd2d381f439_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#98;&#102;&#123;&#112;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/p>\n<p> is conserved. The simplest collision is one in which one of the particles is initially at rest. (See <a href=\"#import-auto-id2747387\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.) The best choice for a coordinate system is one with an axis parallel to the velocity of the incoming particle, as shown in <a href=\"#import-auto-id2747387\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>. Because momentum is conserved, the components of momentum along the <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>&#8211; and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>-axes <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-daed846f72dc6fb18d597d79c6e4e32d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#112;&#125;&#95;&#123;&#120;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#110;&#100;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#112;&#125;&#95;&#123;&#121;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> <\/p>\n<p>will also be conserved, but with the chosen coordinate system, <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c2d20045c55f3a64c8bce08fba56384_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#112;&#125;&#95;&#123;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> is initially zero and<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9541cf7d4d554beb64f618591f9bb976_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#112;&#125;&#95;&#123;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<p>is the momentum of the incoming particle. Both facts simplify the analysis. (Even with the simplifying assumptions of point masses, one particle initially at rest, and a convenient coordinate system, we still gain new insights into nature from the analysis of two-dimensional collisions.)<\/p>\n<div class=\"bc-figure figure\" id=\"import-auto-id2747387\">\n<div class=\"bc-figcaption figcaption\">A two-dimensional collision with the coordinate system chosen so that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-620bd32ed4ed95ac1b1a29ed0033829f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> is initially at rest and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2ae0996f672b3c41b449ed8af9d729b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is parallel to the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> -axis. This coordinate system is sometimes called the laboratory coordinate system, because many scattering experiments have a target that is stationary in the laboratory, while particles are scattered from it to determine the particles that make-up the target and how they are bound together. The particles may not be observed directly, but their initial and final velocities are.<\/div>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"import-auto-id1958705\" data-alt=\"A purple ball of mass m1 moves with velocity V 1 toward the right side along the X direction. The orange ball of mass m 2 is initially at rest. The total momentum is the momentum possessed by purple ball only. After collision purple ball moves with velocity v 1prime in the positive X Y plane making an angle theta 1 with the x axis and the orange ball moves in the X Y plane below the x axis making an angle theta 2 with the x axis. The total momentum would be the sum of the momentum of purple ball p1 prime and the orange ball p 2 prime. In two-dimensional collision too the momentum before and after collision remains the same.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/clalonde\/wp-content\/uploads\/sites\/280\/2017\/10\/Figure_09_06_02a.jpg\" data-media-type=\"image\/jpg\" alt=\"A purple ball of mass m1 moves with velocity V 1 toward the right side along the X direction. The orange ball of mass m 2 is initially at rest. The total momentum is the momentum possessed by purple ball only. After collision purple ball moves with velocity v 1prime in the positive X Y plane making an angle theta 1 with the x axis and the orange ball moves in the X Y plane below the x axis making an angle theta 2 with the x axis. The total momentum would be the sum of the momentum of purple ball p1 prime and the orange ball p 2 prime. In two-dimensional collision too the momentum before and after collision remains the same.\" width=\"420\" \/><\/span><\/p>\n<\/div>\n<p id=\"import-auto-id1998280\">Along the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>-axis, the equation for conservation of momentum is <\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-854\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bcc2525b4b6a6d7e606ebe25cbed3b45_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#112;&#125;&#95;&#123;&#49;&#120;&#125;&#43;&#123;&#112;&#125;&#95;&#123;&#50;&#120;&#125;&#61;&#123;&#112;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#120;&#125;&#94;&#123;&#125;&#43;&#123;&#112;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#120;&#125;&#94;&#123;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"179\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p id=\"import-auto-id1736119\">Where the subscripts denote the particles and axes and the primes denote the situation after the collision. In terms of masses and velocities, this equation is<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-881\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ed57b60bafafc9a986658087c080ebe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#49;&#120;&#125;&#43;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#50;&#120;&#125;&#61;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#120;&#125;&#94;&#123;&#125;&#43;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#120;&#125;&#94;&#123;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"271\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p id=\"import-auto-id1362746\">But because particle 2 is initially at rest, this equation becomes<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-57edd3007248ecdc1285e1a86f3e4a8f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#49;&#120;&#125;&#61;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#120;&#125;&#94;&#123;&#125;&#43;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#120;&#125;&#94;&#123;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p id=\"import-auto-id2729005\">The components of the velocities along the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>-axis have the form <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-376a3ef195ad53ae97d887bbffe03df7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"51\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>. Because particle 1 initially moves along the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>-axis, we find <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc58ff59c5694ed152254c2c313661e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#49;&#120;&#125;&#61;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>. <\/p>\n<p id=\"import-auto-id1011006\">Conservation of momentum along the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>-axis gives the following equation:<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-488\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-43f7eb703e1508db11d0b54540f1c9d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#43;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"276\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p id=\"import-auto-id1655839\">where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e926cba2867871cf3ac57fce328409_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e852402f4009281864616033bb269c45_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> are as shown in <a href=\"#import-auto-id2747387\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/p>\n<div data-type=\"note\" class=\"note\" data-has-label=\"true\" id=\"fs-id1516197\" data-label=\"\">\n<div data-type=\"title\" class=\"title\">Conservation of Momentum along the <em data-effect=\"italics\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/em>-axis<\/div>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-224\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-948409339d6a456c2227873b3c16f0d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#43;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"271\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"import-auto-id2690532\">Along the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>-axis, the equation for conservation of momentum is<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-742\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-647d355bc9cbbced25aeb75856e2c3c8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#112;&#125;&#95;&#123;&#49;&#121;&#125;&#43;&#123;&#112;&#125;&#95;&#123;&#50;&#121;&#125;&#61;&#123;&#112;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#121;&#125;&#94;&#123;&#125;&#43;&#123;&#112;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#121;&#125;&#94;&#123;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"172\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/div>\n<p id=\"import-auto-id1274422\">or<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-408459f2ff1a2cbce794bd85c51c8107_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#49;&#121;&#125;&#43;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#50;&#121;&#125;&#61;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#121;&#125;&#94;&#123;&#125;&#43;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#121;&#125;&#94;&#123;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"269\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/div>\n<p id=\"import-auto-id2648775\">But <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-72f23f84c303b6882c891c990db0c315_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#49;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> is zero, because particle 1 initially moves along the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>-axis. Because particle 2 is initially at rest, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd273f4ba4242d98eafbb912ff3d3c16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#50;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> is also zero. The equation for conservation of momentum along the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>-axis becomes<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-10\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be6d4ab1c8049836f64fd6a9d988e50e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#61;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#121;&#125;&#94;&#123;&#125;&#43;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#121;&#125;&#94;&#123;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"163\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/div>\n<p id=\"import-auto-id898212\">The components of the velocities along the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>-axis have the form <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5dc0a9530d008d258ef3b385807f11e8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"49\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>. <\/p>\n<p id=\"import-auto-id1476197\">Thus, conservation of momentum along the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>-axis gives the following equation:<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2307977765e5f95ee2d3c69286cc8c06_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#61;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#43;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"242\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<div data-type=\"note\" class=\"note\" data-has-label=\"true\" id=\"fs-id2949472\" data-label=\"\">\n<div data-type=\"title\" class=\"title\">Conservation of Momentum along the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>-axis<\/div>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-860\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14e204c77f27eb1bff988d9eb70d7525_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#61;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#43;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"237\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"import-auto-id2946023\">The equations of conservation of momentum along the <em data-effect=\"italics\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/em>-axis and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>-axis are very useful in analyzing two-dimensional collisions of particles, where one is originally stationary (a common laboratory situation). But two equations can only be used to find two unknowns, and so other data may be necessary when collision experiments are used to explore nature at the subatomic level.<\/p>\n<div data-type=\"example\" class=\"textbox examples\" id=\"fs-id1311272\">\n<div data-type=\"title\" class=\"title\">Determining the Final Velocity of an Unseen Object from the Scattering of Another Object<\/div>\n<p id=\"import-auto-id3108768\">Suppose the following experiment is performed. A 0.250-kg object <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-485a6d8a356cd351bcf811601755232b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is slid on a frictionless surface into a dark room, where it strikes an initially stationary object with mass of 0.400 kg <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c6855d039d2ab7f160e1da6d59832a18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>. The 0.250-kg object emerges from the room at an angle of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f34d419342e71f9399f081a37a735bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#52;&#53;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#48;&ordm;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> with its incoming direction.<\/p>\n<p id=\"import-auto-id3167415\">The speed of the 0.250-kg object is originally 2.00 m\/s and is 1.50 m\/s after the collision. Calculate the magnitude and direction of the velocity <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56c02c312507de92ada3574d8e5d2da7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"27\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f7be2005daaf2c0787ba83215958b254_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> of the 0.400-kg object after the collision.<\/p>\n<p id=\"eip-943\"><strong>Strategy<\/strong><\/p>\n<p id=\"import-auto-id2644511\">Momentum is conserved because the surface is frictionless. The coordinate system shown in <a href=\"#import-auto-id2747922\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> is one in which <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-620bd32ed4ed95ac1b1a29ed0033829f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> is originally at rest and the initial velocity is parallel to the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>-axis, so that conservation of momentum along the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>&#8211; and <em data-effect=\"italics\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/em>-axes is applicable. <\/p>\n<p id=\"import-auto-id1364041\">Everything is known in these equations except <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ed382c395d3f9e92695f9a08cb4424f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e852402f4009281864616033bb269c45_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/>, which are precisely the quantities we wish to find. We can find two unknowns because we have two independent equations: the equations describing the conservation of momentum in the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>&#8211; and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>-directions.<\/p>\n<p id=\"eip-539\"><strong>Solution<\/strong><\/p>\n<p id=\"import-auto-id1310628\">Solving<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-948409339d6a456c2227873b3c16f0d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#43;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"271\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> for<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10c357306b635f1c2f8810b1ab79917f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><br \/>\n and<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14e204c77f27eb1bff988d9eb70d7525_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#61;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#43;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"237\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> for<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d11971adbf8630cff3434aaf185bc4b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/> and taking the ratio yields an equation (in which \u03b8<sub>2<\/sub> is the only unknown quantity. Applying the identity<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b01042fe6510bb88f07d7d33b5f756dc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#97;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"108\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/>, we obtain:<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-329\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94bf4b91929f91ced39c0133cfce30a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#97;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#123;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#45;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"30\" width=\"160\" style=\"vertical-align: -11px;\" \/><\/div>\n<p id=\"import-auto-id1550712\">Entering known values into the previous equation gives<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c4bcb3153a9cd9f31df09016850c993_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#97;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#53;&#48;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#48;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#55;&#48;&#55;&#49;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#53;&#48;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#48;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#55;&#48;&#55;&#49;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#45;&#50;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#48;&#48;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#125;&#61;&#45;&#49;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#49;&#50;&#57;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"331\" style=\"vertical-align: -9px;\" \/><\/div>\n<p>Thus,<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9ea8131be1bc9e4194a5df6730349e72_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#97;&#110;&#125;&#125;&#94;&#123;&#45;&#49;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#45;&#49;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#49;&#50;&#57;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#51;&#49;&#49;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#53;&ordm;&#92;&#97;&#112;&#112;&#114;&#111;&#120;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#51;&#49;&#50;&ordm;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"273\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<p id=\"import-auto-id2720916\">Angles are defined as positive in the counter clockwise direction, so this angle indicates that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-620bd32ed4ed95ac1b1a29ed0033829f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> is scattered to the right in <a href=\"#import-auto-id2747922\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>, as expected (this angle is in the fourth quadrant). Either equation for the<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>&#8211; or<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>-axis can now be used to solve for<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-528c45f65b7dd8e69bde6e4524aab029_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/>, but the latter equation is easiest because it has fewer terms. <\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ae34b1f71a07ac17c964428d877512b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;&#61;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#123;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"141\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/><\/div>\n<p id=\"import-auto-id2800662\">Entering known values into this equation gives<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-497\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-06624808afb7aee2fcf908f16f318b73_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;&#61;&#45;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#48;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#50;&#53;&#48;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#107;&#103;&#125;&#125;&#123;&#48;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#52;&#48;&#48;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#107;&#103;&#125;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#53;&#48;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#48;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#55;&#48;&#55;&#49;&#125;&#125;&#123;&#45;&#48;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#55;&#52;&#56;&#53;&#125;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"304\" style=\"vertical-align: -12px;\" \/><\/div>\n<p id=\"import-auto-id1955893\">Thus,<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-721\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a59856dac4e2b2d2fa79438c7c6ab75_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;&#61;&#48;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#56;&#56;&#54;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"125\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><\/div>\n<p id=\"eip-980\"><strong>Discussion<\/strong><\/p>\n<p id=\"import-auto-id2573336\">It is instructive to calculate the internal kinetic energy of this two-object system before and after the collision. (This calculation is left as an end-of-chapter problem.) If you do this calculation, you will find that the internal kinetic energy is less after the collision, and so the collision is inelastic. This type of result makes a physicist want to explore the system further.<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"bc-figure figure\" id=\"import-auto-id2747922\">\n<div class=\"bc-figcaption figcaption\">A collision taking place in a dark room is explored in  <a href=\"#fs-id1311272\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>. The incoming object <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-334c40e20b6011ce27c41767408d469a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is scattered by an initially stationary object. Only the stationary object\u2019s mass <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-620bd32ed4ed95ac1b1a29ed0033829f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> is known. By measuring the angle and speed at which <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-334c40e20b6011ce27c41767408d469a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> emerges from the room, it is possible to calculate the magnitude and direction of the initially stationary object\u2019s velocity after the collision.<\/div>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"import-auto-id1945224\" data-alt=\"A purple ball of mass m1 and velocity v one moves in the right direction into a dark room. It collides with an object of mass m two of value zero point four zero milligrams which was initially at rest and then leaves the dark room from the top right hand side making an angle of forty-five degrees with the horizontal and at velocity v one prime. The net external force on the system is zero. The momentum before and after collision remains the same. The velocity v two prime of the mass m two and the angle theta two it would make with the horizontal after collision not given.\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/clalonde\/wp-content\/uploads\/sites\/280\/2017\/10\/Figure_09_06_03a.jpg\" data-media-type=\"image\/jpg\" alt=\"A purple ball of mass m1 and velocity v one moves in the right direction into a dark room. It collides with an object of mass m two of value zero point four zero milligrams which was initially at rest and then leaves the dark room from the top right hand side making an angle of forty-five degrees with the horizontal and at velocity v one prime. The net external force on the system is zero. The momentum before and after collision remains the same. The velocity v two prime of the mass m two and the angle theta two it would make with the horizontal after collision not given.\" width=\"300\" \/><\/span><\/p>\n<\/div>\n<div class=\"bc-section section\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id1566488\">\n<h1 data-type=\"title\">Elastic Collisions of Two Objects with Equal Mass<\/h1>\n<p id=\"import-auto-id1309321\">Some interesting situations arise when the two colliding objects have equal mass and the collision is elastic. This situation is nearly the case with colliding billiard balls, and precisely the case with some subatomic particle collisions. We can thus get a mental image of a collision of subatomic particles by thinking about billiards (or pool). (Refer to <a href=\"#import-auto-id2747387\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> for masses and angles.) First, an elastic collision conserves internal kinetic energy. Again, let us assume object 2 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c6855d039d2ab7f160e1da6d59832a18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"35\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is initially at rest. Then, the internal kinetic energy before and after the collision of two objects that have equal masses is<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f95d4c7353e0d79ad27e05328edccd4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#118;&#125;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#118;&#125;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#118;&#125;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"206\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p id=\"import-auto-id1778031\">Because the masses are equal, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7010c9efab55859f89e030f2bd583125_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#61;&#109;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>. Algebraic manipulation (left to the reader) of conservation of momentum in the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>&#8211; and <em data-effect=\"italics\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/em>-directions can show that<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-717\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c794fb8302830a0c3b8927603bc2e99_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#118;&#125;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#118;&#125;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#118;&#125;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#118;&#125;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#45;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"388\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p id=\"import-auto-id2632094\">(Remember that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e852402f4009281864616033bb269c45_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> is negative here.) The two preceding equations can both be true only if<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-590\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2fdd0fdf079b52ebe6f7536972412c98_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#109;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#94;&#123;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#45;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#48;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p id=\"import-auto-id1303827\">There are three ways that this term can be zero. They are<\/p>\n<ul id=\"import-auto-id2600565\" data-bullet-style=\"bullet\">\n<li><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-962120861d5d45c7c3a3fb27804c77f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#94;&#123;&#125;&#61;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/>: head-on collision; incoming ball stops<\/li>\n<li><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-15364e5ecef0497bb3460b899d7c3752_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;&#61;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/>: no collision; incoming ball continues unaffected<\/li>\n<li><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b611d34422bc549d04d43a49c171766_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#45;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"127\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>: angle of separation <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-152841f3915b691d3fde12e103faedd9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#45;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ef094c705f55f76b4993ff72af9e73f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#57;&#48;&ordm;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> after the collision <\/li>\n<\/ul>\n<p id=\"import-auto-id2804120\">All three of these ways are familiar occurrences in billiards and pool, although most of us try to avoid the second. If you play enough pool, you will notice that the angle between the balls is very close to <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82ed7c74803abaf51c710730d5c2ce95_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#57;&#48;&ordm;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> after the collision, although it will vary from this value if a great deal of spin is placed on the ball. (Large spin carries in extra energy and a quantity called <em data-effect=\"italics\">angular momentum<\/em>, which must also be conserved.) The assumption that the scattering of billiard balls is elastic is reasonable based on the correctness of the three results it produces. This assumption also implies that, to a good approximation, momentum is conserved for the two-ball system in billiards and pool. The problems below explore these and other characteristics of two-dimensional collisions.<\/p>\n<div data-type=\"note\" class=\"note\" data-has-label=\"true\" id=\"fs-id2927283\" data-label=\"\">\n<div data-type=\"title\" class=\"title\">Connections to Nuclear and Particle Physics<\/div>\n<p id=\"import-auto-id2785946\">Two-dimensional collision experiments have revealed much of what we know about subatomic particles, as we shall see in <a href=\"\/contents\/a469ece3-5c5f-46bd-a983-8a99ef997d9b@3\">Medical Applications of Nuclear Physics<\/a> and <a href=\"\/contents\/43a84abb-7daf-467e-ae21-b1b74baab670@4\">Particle Physics<\/a>. Ernest Rutherford, for example, discovered the nature of the atomic nucleus from such experiments.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"section-summary\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id2976431\">\n<h1 data-type=\"title\">Section Summary<\/h1>\n<ul id=\"import-auto-id2068233\">\n<li>The approach to two-dimensional collisions is to choose a convenient coordinate system and break the motion into components along perpendicular axes. Choose a coordinate system with the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>-axis parallel to the velocity of the incoming particle.<\/li>\n<li>\nTwo-dimensional collisions of point masses where mass 2 is initially at rest conserve momentum along the initial direction of mass 1 (the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>-axis), stated by<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ed3dcccdd2524e7e8dbb0348dad522d1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#43;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"271\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> and along the direction perpendicular to the initial direction (the<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>-axis) stated by<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-279095ea8236ddb266f8e8c4817c1a32_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#61;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#121;&#125;&#43;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#121;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"158\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/>.\n<\/li>\n<li>The internal kinetic before and after the collision of two objects that have equal masses is\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-id2398000\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c794fb8302830a0c3b8927603bc2e99_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#118;&#125;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#118;&#125;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#118;&#125;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#118;&#125;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#45;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"388\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<\/li>\n<li>Point masses are structureless particles that cannot spin.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div class=\"conceptual-questions\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id3132661\" data-element-type=\"conceptual-questions\">\n<h1 data-type=\"title\">Conceptual Questions<\/h1>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id2093269\" data-element-type=\"conceptual-questions\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id2113683\">\n<p id=\"fs-id2088494\"><a href=\"#import-auto-id2692680\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> shows a cube at rest and a small object heading toward it. (a) Describe the directions (angle <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e926cba2867871cf3ac57fce328409_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>) at which the small object can emerge after colliding elastically with the cube. How does <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e926cba2867871cf3ac57fce328409_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> depend on <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>, the so-called impact parameter? Ignore any effects that might be due to rotation after the collision, and assume that the cube is much more massive than the small object. (b) Answer the same questions if the small object instead collides with a massive sphere.<\/p>\n<div class=\"bc-figure figure\" id=\"import-auto-id2692680\">\n<div class=\"bc-figcaption figcaption\">A small object approaches a collision with a much more massive cube, after which its velocity has the direction <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e926cba2867871cf3ac57fce328409_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>. The angles at which the small object can be scattered are determined by the shape of the object it strikes and the impact parameter <em data-effect=\"italics\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#98;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/em>.\n<\/div>\n<p><span data-type=\"media\" id=\"import-auto-id1990072\" data-alt=\"A ball m one moves horizontally to the right with speed v one. It will collide with a stationary square labeled capital m two that is rotated at approximately forty-five degrees. The point of impact is on a face of the square a distance b above the center of the square. After the collision the ball is shown heading off at an angle theta one above the horizontal with a speed v one prime. The square remains essentially stationary (v 2 prime is approximately zero).\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/clalonde\/wp-content\/uploads\/sites\/280\/2017\/10\/Figure_09_06_05a.jpg\" data-media-type=\"image\/jpg\" alt=\"A ball m one moves horizontally to the right with speed v one. It will collide with a stationary square labeled capital m two that is rotated at approximately forty-five degrees. The point of impact is on a face of the square a distance b above the center of the square. After the collision the ball is shown heading off at an angle theta one above the horizontal with a speed v one prime. The square remains essentially stationary (v 2 prime is approximately zero).\" width=\"400\" \/><\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"problems-exercises\" data-depth=\"1\" id=\"fs-id3155303\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<h1 data-type=\"title\">Problems &amp; Exercises<\/h1>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id1596936\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id1596937\">\n<p id=\"import-auto-id3205137\">Two identical pucks collide on an air hockey table. One puck was originally at rest. (a) If the incoming puck has a speed of 6.00 m\/s and scatters to an angle of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e007bf77182bc6df61a2a99d23487ba0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#51;&#48;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#48;&ordm;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"32\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>,what is the velocity (magnitude and direction) of the second puck? (You may use the result that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50307502e604dcdcdb4fb709ef5bdc55_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#45;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#61;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#57;&#48;&ordm;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> for elastic collisions of objects that have identical masses.) (b) Confirm that the collision is elastic.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" class=\"solution\" id=\"fs-id2966630\">\n<p id=\"import-auto-id2676096\">(a) 3.00 m\/s, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9f58822796ed6c341868803a248de619_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#54;&#48;&ordm;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> below <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>-axis<\/p>\n<p id=\"import-auto-id1363112\">(b) Find speed of first puck after collision: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b11d048a203d317235d4e2c7bc998f94_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#61;&#109;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#51;&#48;&ordm;&#125;&#45;&#109;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#54;&#48;&ordm;&#125;&#8658;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#94;&#123;&#125;&#61;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#54;&#48;&ordm;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#51;&#48;&ordm;&#125;&#125;&#61;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#53;&#46;&#49;&#57;&#54;&#32;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"433\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/p>\n<p id=\"eip-id2612078\">Verify that ratio of initial to final KE equals one:<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c49c3274387539db1c6dc16b1540606a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#123;&#108;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#75;&#69;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#114;&#109;&#123;&#109;&#118;&#125;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#49;&#56;&#109;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#74;&#125;&#92;&#92;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#75;&#69;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#114;&#109;&#123;&#109;&#118;&#125;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#123;&#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#114;&#109;&#123;&#109;&#118;&#125;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#49;&#56;&#109;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#74;&#125;&#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#114;&#114;&#97;&#121;&#125;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#75;&#69;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#75;&#69;&#8242;&#125;&#125;&#61;&#49;&#46;&#48;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"339\" style=\"vertical-align: -17px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id3179260\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id3179262\">\n<p id=\"import-auto-id1935735\">Confirm that the results of the example <a href=\"#fs-id1311272\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> do conserve momentum in both the <em data-effect=\"italics\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/em>&#8211; and <em data-effect=\"italics\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/em>-directions. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id1284914\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id1284915\">\n<p id=\"import-auto-id1985625\">A 3000-kg cannon is mounted so that it can recoil only in the horizontal direction. (a) Calculate its recoil velocity when it fires a 15.0-kg shell at 480 m\/s at an angle of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a966c0085719b08e1d1ef175a4b51ca3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#50;&#48;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#48;&ordm;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"32\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> above the horizontal. (b) What is the kinetic energy of the cannon? This energy is dissipated as heat transfer in shock absorbers that stop its recoil. (c) What happens to the vertical component of momentum that is imparted to the cannon when it is fired? <\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" class=\"solution\" id=\"fs-id3133924\">\n<p id=\"import-auto-id2945689\">(a) <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1d142a51021ab317cd53e0806041a39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#50;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#50;&#54;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"80\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<p id=\"import-auto-id2733514\">(b) <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-103a220f0d7d9d73c7dfbaa76bec8307_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#54;&#51;&#125;&times;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#49;&#48;&#125;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#74;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<p id=\"eip-id2538727\">(c) The ground will exert a normal force to oppose recoil of the cannon in the vertical direction. The momentum in the vertical direction is transferred to the earth. The energy is transferred into the ground, making a dent where the cannon is. After long barrages, cannon have erratic aim because the ground is full of divots.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id2994591\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id2994592\">\n<p id=\"eip-id1517435\"><strong>Professional Application<\/strong><\/p>\n<p id=\"import-auto-id2733092\">A 5.50-kg bowling ball moving at 9.00 m\/s collides with a 0.850-kg bowling pin, which is scattered at an angle of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7a748f73bc55a25281b6c18b4c294a57_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#56;&#53;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#48;&ordm;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"32\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> to the initial direction of the bowling ball and with a speed of 15.0 m\/s. (a) Calculate the final velocity (magnitude and direction) of the bowling ball. (b) Is the collision elastic? (c) Linear kinetic energy is greater after the collision. Discuss how spin on the ball might be converted to linear kinetic energy in the collision.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id2722872\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id2722873\">\n<p id=\"eip-id1609237\"><strong>Professional Application<\/strong><\/p>\n<p id=\"import-auto-id3201314\">Ernest Rutherford (the first New Zealander to be awarded the Nobel Prize in Chemistry) demonstrated that nuclei were very small and dense by scattering helium-4 nuclei <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-734570b7aa4aeecc2b3fa24cf418ce09_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#125;&#94;&#123;&#52;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#72;&#101;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> from gold-197 nuclei<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b63b33a127a4533d7e8cad0f897ef5ea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#125;&#94;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#49;&#57;&#55;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#65;&#117;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/>. The energy of the incoming helium nucleus was<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7f2877467271e62ebe059a4afe3b74ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#56;&#46;&#48;&#48;&times;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#49;&#48;&#125;&#125;&#94;&#123;&#45;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#49;&#51;&#125;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#74;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/>, and the masses of the helium and gold nuclei were<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49fcb33a624e7d4ca8c6d44c84025415_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#46;&#54;&#56;&times;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#49;&#48;&#125;&#125;&#94;&#123;&#45;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#50;&#55;&#125;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#107;&#103;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b52ecc7aaa3fb8ce4f9c2b1d137882d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#51;&#46;&#50;&#57;&times;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#49;&#48;&#125;&#125;&#94;&#123;&#45;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#50;&#53;&#125;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#107;&#103;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/>, respectively (note that their mass ratio is 4 to 197). (a) If a helium nucleus scatters to an angle of<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0bcf39e8728bf5c43d326b4e6534c715_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#49;&#50;&#48;&ordm;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> during an elastic collision with a gold nucleus, calculate the helium nucleus\u2019s final speed and the final velocity (magnitude and direction) of the gold nucleus. (b) What is the final kinetic energy of the helium nucleus?<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" class=\"solution\" id=\"fs-id3169277\">\n<p id=\"import-auto-id2129621\">(a) <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5dae578426471ebd3d34304c597e3237_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#51;&#54;&#125;&times;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#49;&#48;&#125;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"92\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> at <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cbe1f63a4bdb2c5258e757c1314508c2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#50;&#57;&#46;&#53;&ordm;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"44\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<p id=\"import-auto-id1537415\">(b) <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36e5f74dfdc0ecb4f9576e539d56e991_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#55;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#53;&#50;&#125;&times;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#49;&#48;&#125;&#125;&#94;&#123;&#45;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#49;&#51;&#125;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#74;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id3136237\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id3136238\">\n<p id=\"eip-id2589988\"><strong>Professional Application<\/strong><\/p>\n<p id=\"import-auto-id1527414\">Two cars collide at an icy intersection and stick together afterward. The first car has a mass of 1200 kg and is approaching at <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af9a193fc224c6d240951fec93ad813e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#56;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#48;&#48;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> due south. The second car has a mass of 850 kg and is approaching at <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-43c80b56ae6d20bec21b26991e89331f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#49;&#55;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> due west. (a) Calculate the final velocity (magnitude and direction) of the cars. (b) How much kinetic energy is lost in the collision? (This energy goes into deformation of the cars.) Note that because both cars have an initial velocity, you cannot use the equations for conservation of momentum along the <em data-effect=\"italics\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/em>-axis and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>-axis; instead, you must look for other simplifying aspects.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id2680898\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id2680899\">\n<p id=\"import-auto-id1950890\">Starting with equations<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-948409339d6a456c2227873b3c16f0d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#43;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"271\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> and<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14e204c77f27eb1bff988d9eb70d7525_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#61;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#43;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#94;&#123;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#105;&#110;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"237\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> for conservation of momentum in the <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>&#8211; and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>-directions and assuming that one object is originally stationary, prove that for an elastic collision of two objects of equal masses,<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"import-auto-id2985541\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-822278bdbdffc419feed194f1bf6a6b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#118;&#125;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#118;&#125;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#118;&#125;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#118;&#125;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#123;&#118;&#92;&#112;&#114;&#105;&#109;&#101;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#45;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"384\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p id=\"import-auto-id1570106\">as discussed in the text.<\/p>\n<\/div>\n<div data-type=\"solution\" class=\"solution\" id=\"eip-id2538314\">\n<p id=\"eip-id2538316\">\nWe are given that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fcbfcce73747904f4515301aaeb9f95c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#123;&#109;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#101;&#113;&#117;&#105;&#118;&#32;&#109;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>. The given equations then become:<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-id1899177\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e0caec7866b84349602e5ecdec73af0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#43;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#111;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#104;&#101;&#116;&#97;&#32;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"190\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<p id=\"eip-id2705075\">and<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-id1899459\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-295a0c6df37587d73faf18d7accf271c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"195\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p id=\"eip-id2705141\">Square each equation to get<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-id2304354\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-648a02354053d5894a71a0cf5a7cd5c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"429\" style=\"vertical-align: -15px;\" \/><\/div>\n<p id=\"eip-id2611023\">Add these two equations and simplify:<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-id1300045\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18507d2b529f09b936106905602d3ca9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"63\" width=\"760\" style=\"vertical-align: -26px;\" \/><\/div>\n<p id=\"eip-id2611026\">Multiply the entire equation by <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65bc3d71e5bcc9c9d1fc3857f9b9d359_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#109;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> to recover the kinetic energy:<\/p>\n<div data-type=\"equation\" class=\"equation\" id=\"eip-id2367723\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-756ae57e99dfe794180c512855265eae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"383\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"exercise\" class=\"exercise\" id=\"fs-id2947426\" data-element-type=\"problems-exercises\">\n<div data-type=\"problem\" class=\"problem\" id=\"fs-id2947427\">\n<p id=\"eip-id1675018\"><strong>Integrated Concepts<\/strong><\/p>\n<p id=\"import-auto-id2509066\">A 90.0-kg ice hockey player hits a 0.150-kg puck, giving the puck a velocity of 45.0 m\/s. If both are initially at rest and if the ice is frictionless, how far does the player recoil in the time it takes the puck to reach the goal 15.0 m away? <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div data-type=\"glossary\" class=\"textbox shaded\">\n<h2 data-type=\"glossary-title\">Glossary<\/h2>\n<dl class=\"definition\" id=\"import-auto-id3150716\">\n<dt>point masses<\/dt>\n<dd id=\"fs-id2821487\">structureless particles with no rotation or spin<\/dd>\n<\/dl>\n<\/div>\n","protected":false},"author":211,"menu_order":1,"template":"","meta":{"pb_show_title":"on","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":"all-rights-reserved"},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[56],"class_list":["post-442","chapter","type-chapter","status-publish","hentry","license-all-rights-reserved"],"part":417,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/442","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-json\/wp\/v2\/users\/211"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/442\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":443,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/442\/revisions\/443"}],"part":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/417"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/442\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=442"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=442"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=442"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/ubcbatessandbox\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=442"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}