{"id":156,"date":"2017-11-14T13:47:19","date_gmt":"2017-11-14T13:47:19","guid":{"rendered":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/chapter\/finding-velocity-and-displacement-from-acceleration\/"},"modified":"2017-11-18T01:29:15","modified_gmt":"2017-11-18T01:29:15","slug":"finding-velocity-and-displacement-from-acceleration","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/chapter\/finding-velocity-and-displacement-from-acceleration\/","title":{"raw":"Finding Velocity and Displacement from Acceleration","rendered":"Finding Velocity and Displacement from Acceleration"},"content":{"raw":"\n<div class=\"textbox learning-objectives\">\n<h3>Learning Objectives<\/h3>\n<p>By the end of this section, you will be able to:<\/p>\n<ul>\n<li>Derive the kinematic equations for constant acceleration using integral calculus.<\/li>\n<li>Use the integral formulation of the kinematic equations in analyzing motion.<\/li>\n<li>Find the functional form of velocity versus time given the acceleration function.<\/li>\n<li>Find the functional form of position versus time given the velocity function.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1168055394881\">This section assumes you have enough background in calculus to be familiar with integration. In <a href=\"\/contents\/123f28de-76db-4d9a-a2d1-919a1d7f25a2\" class=\"target-chapter\">Instantaneous Velocity and Speed<\/a> and <a href=\"\/contents\/f6c1853f-e5aa-43a9-95a8-ce02e68536a1\" class=\"target-chapter\">Average and Instantaneous Acceleration<\/a> we introduced the kinematic functions of velocity and acceleration using the derivative. By taking the derivative of the position function we found the velocity function, and likewise by taking the derivative of the velocity function we found the acceleration function. Using integral calculus, we can work backward and calculate the velocity function from the acceleration function, and the position function from the velocity function.<\/p>\n<div class=\"bc-section section\" id=\"fs-id1168057186040\">\n<h3>Kinematic Equations from Integral Calculus<\/h3>\n<p id=\"fs-id1168057329054\">Let\u2019s begin with a particle with an acceleration <em>a<\/em>(t) is a known function of time. Since the time derivative of the velocity function is acceleration,<\/p>\n<div id=\"fs-id1168055470877\" class=\"unnumbered\">[latex]\\frac{d}{dt}v\\left(t\\right)=a\\left(t\\right),[\/latex]<\/div>\n<p id=\"fs-id1168055388282\">we can take the indefinite integral of both sides, finding<\/p>\n<div id=\"fs-id1168055392656\" class=\"unnumbered\">[latex]\\int \\frac{d}{dt}v\\left(t\\right)dt=\\int a\\left(t\\right)dt+{C}_{1},[\/latex]<\/div>\n<p id=\"fs-id1168057480928\">where <em>C<\/em><sub>1<\/sub> is a constant of integration. Since [latex]\\int \\frac{d}{dt}v\\left(t\\right)dt=v\\left(t\\right)[\/latex], the velocity is given by<\/p>\n<div id=\"fs-id1168055147157\" class=\"equation-callout\">\n<div id=\"fs-id1168055299938\">[latex]v\\left(t\\right)=\\int a\\left(t\\right)dt+{C}_{1}.[\/latex]<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1168057482455\">Similarly, the time derivative of the position function is the velocity function,<\/p>\n<div id=\"fs-id1168057253562\" class=\"unnumbered\">[latex]\\frac{d}{dt}x\\left(t\\right)=v\\left(t\\right).[\/latex]<\/div>\n<p id=\"fs-id1168057485601\">Thus, we can use the same mathematical manipulations we just used and find<\/p>\n<div id=\"fs-id1168057485578\" class=\"equation-callout\">\n<div id=\"fs-id1168057309665\">[latex]x\\left(t\\right)=\\int v\\left(t\\right)dt+{C}_{2},[\/latex]<\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1168057485504\">where <em>C<\/em><sub>2<\/sub> is a second constant of integration.<\/p>\n<p id=\"fs-id1168057485919\">We can derive the kinematic equations for a constant acceleration using these integrals. With <em>a<\/em>(<em>t<\/em>) = <em>a<\/em> a constant, and doing the integration in <a href=\"#fs-id1168055299938\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>, we find<\/p>\n<div id=\"fs-id1168057259118\" class=\"unnumbered\">[latex]v\\left(t\\right)=\\int adt+{C}_{1}=at+{C}_{1}.[\/latex]<\/div>\n<p id=\"fs-id1168057295657\">If the initial velocity is <em>v<\/em>(0) = <em>v<\/em><sub>0<\/sub>, then<\/p>\n<div id=\"fs-id1168057270495\" class=\"unnumbered\">[latex]{v}_{0}=0+{C}_{1}.[\/latex]<\/div>\n<p id=\"fs-id1168057460849\">Then, <em>C<\/em><sub>1<\/sub> = <em>v<\/em><sub>0<\/sub> and<\/p>\n<div id=\"fs-id1168057419730\" class=\"unnumbered\">[latex]v\\left(t\\right)={v}_{0}+at,[\/latex]<\/div>\n<p id=\"fs-id1168055376614\">which is <a href=\"\/contents\/d8133443-59e9-41e8-a628-d3fb8cb1f305#fs-id1168329196739\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>. Substituting this expression into <a href=\"#fs-id1168057309665\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> gives<\/p>\n<div id=\"fs-id1168055091893\" class=\"unnumbered\">[latex]x\\left(t\\right)=\\int \\left({v}_{0}+at\\right)dt+{C}_{2}.[\/latex]<\/div>\n<p id=\"fs-id1168057342016\">Doing the integration, we find<\/p>\n<div id=\"fs-id1168057270580\" class=\"unnumbered\">[latex]x\\left(t\\right)={v}_{0}t+\\frac{1}{2}a{t}^{2}+{C}_{2}.[\/latex]<\/div>\n<p id=\"fs-id1168057447837\">If <em>x<\/em>(0) = <em>x<\/em><sub>0<\/sub>, we have<\/p>\n<div id=\"fs-id1168057479623\" class=\"unnumbered\">[latex]{x}_{0}=0+0+{C}_{2};[\/latex]<\/div>\n<p id=\"fs-id1168057232222\">so, <em>C<\/em><sub>2<\/sub> = <em>x<\/em><sub>0<\/sub>. Substituting back into the equation for <em>x<\/em>(<em>t<\/em>), we finally have<\/p>\n<div id=\"fs-id1168054944928\" class=\"unnumbered\">[latex]x\\left(t\\right)={x}_{0}+{v}_{0}t+\\frac{1}{2}a{t}^{2},[\/latex]<\/div>\n<p id=\"fs-id1168054945679\">which is <a href=\"\/contents\/d8133443-59e9-41e8-a628-d3fb8cb1f305#fs-id1168326833119\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/p>\n<div id=\"fs-id1168057541743\" class=\"textbox examples\">\n<p id=\"fs-id1168055392642\"><span>Motion of a Motorboat<\/span><br>\nA motorboat is traveling at a constant velocity of 5.0 m\/s when it starts to decelerate to arrive at the dock. Its acceleration is [latex]a\\left(t\\right)=-\\frac{1}{4}t\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/}{\\text{s}}^{2}[\/latex]. (a) What is the velocity function of the motorboat? (b) At what time does the velocity reach zero? (c) What is the position function of the motorboat? (d) What is the displacement of the motorboat from the time it begins to decelerate to when the velocity is zero? (e) Graph the velocity and position functions.<\/p>\n<p id=\"fs-id1168055309859\"><span>Strategy<\/span><br>\n(a) To get the velocity function we must integrate and use initial conditions to find the constant of integration. (b) We set the velocity function equal to zero and solve for <em>t<\/em>. (c) Similarly, we must integrate to find the position function and use initial conditions to find the constant of integration. (d) Since the initial position is taken to be zero, we only have to evaluate the position function at [latex]t=0[\/latex].<\/p>\n<p id=\"fs-id1168057384404\"><span>Solution<\/span><br>\nWe take <em>t<\/em> = 0 to be the time when the boat starts to decelerate.<\/p>\n<ol id=\"fs-id1168055376582\" type=\"a\">\n<li>From the functional form of the acceleration we can solve <a href=\"#fs-id1168055299938\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> to get <em>v<\/em>(<em>t<\/em>):\n<div><\/div>\n<div id=\"fs-id1168057455742\" class=\"unnumbered\">[latex]v\\left(t\\right)=\\int a\\left(t\\right)dt+{C}_{1}=\\int -\\frac{1}{4}tdt+{C}_{1}=-\\frac{1}{8}{t}^{2}+{C}_{1}.[\/latex]<\/div>\n<div><\/div>\n<p>At <em>t<\/em> = 0 we have <em>v<\/em>(0) = 5.0 m\/s = 0 + <em>C<\/em><sub>1<\/sub>, so <em>C<\/em><sub>1<\/sub> = 5.0 m\/s or [latex]v\\left(t\\right)=5.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/}\\text{s}-\\frac{1}{8}{t}^{2}[\/latex].<\/p><\/li>\n<li>[latex]v\\left(t\\right)=0=5.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/}\\text{s}-\\frac{1}{8}{t}^{2}\u21d2t=6.3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}[\/latex]<\/li>\n<li>Solve <a href=\"#fs-id1168057309665\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>:\n<div><\/div>\n<div id=\"fs-id1168057200669\" class=\"unnumbered\">[latex]x\\left(t\\right)=\\int v\\left(t\\right)dt+{C}_{2}=\\int \\left(5.0-\\frac{1}{8}{t}^{2}\\right)dt+{C}_{2}=5.0t-\\frac{1}{24}{t}^{3}+{C}_{2}.[\/latex]<\/div>\n<div><\/div>\n<p>At <em>t<\/em> = 0, we set <em>x<\/em>(0) = 0 = <em>x<\/em><sub>0<\/sub>, since we are only interested in the displacement from when the boat starts to decelerate. We have<\/p>\n<div><\/div>\n<div id=\"fs-id1168057733056\" class=\"unnumbered\">[latex]x\\left(0\\right)=0={C}_{2}.[\/latex]<\/div>\n<div><\/div>\n<p>Therefore, the equation for the position is<\/p>\n<div><\/div>\n<div id=\"fs-id1168057234823\" class=\"unnumbered\">[latex]x\\left(t\\right)=5.0t-\\frac{1}{24}{t}^{3}.[\/latex]<\/div>\n<\/li>\n<li>Since the initial position is taken to be zero, we only have to evaluate <em>x<\/em>(<em>t<\/em>) when the velocity is zero. This occurs at <em>t<\/em> = 6.3 s. Therefore, the displacement is\n<div><\/div>\n<div id=\"fs-id1168055146576\" class=\"unnumbered\">[latex]x\\left(6.3\\right)=5.0\\left(6.3\\right)-\\frac{1}{24}{\\left(6.3\\right)}^{3}=21.1\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m}\\text{.}[\/latex]<\/div>\n<\/li>\n<\/ol>\n<div class=\"bc-figure figure\" id=\"CNX_UPhysics_03_06_Ex1\">\n<div class=\"bc-figcaption figcaption\">(a) Velocity of the motorboat as a function of time. The motorboat decreases its velocity to zero in 6.3 s. At times greater than this, velocity becomes negative\u2014meaning, the boat is reversing direction. (b) Position of the motorboat as a function of time. At <em>t<\/em> = 6.3 s, the velocity is zero and the boat has stopped. At times greater than this, the velocity becomes negative\u2014meaning, if the boat continues to move with the same acceleration, it reverses direction and heads back toward where it originated.<\/div>\n<p><span id=\"fs-id1168057460469\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandbox\/wp-content\/uploads\/sites\/289\/2017\/11\/CNX_UPhysics_03_06_Ex1.jpg\" alt=\"Graph A is a plot of velocity in meters per second as a function of time in seconds. Velocity is five meters per second at the beginning and decreases to zero. Graph B is a plot of position in meters as a function of time in seconds. Position is zero at the beginning, increases reaching maximum between six and seven seconds, and then starts to decrease.\"><\/span><\/p><\/div>\n<p id=\"fs-id1168057469320\"><span>Significance<\/span><br>\nThe acceleration function is linear in time so the integration involves simple polynomials. In <a href=\"#CNX_UPhysics_03_06_Ex1\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>, we see that if we extend the solution beyond the point when the velocity is zero, the velocity becomes negative and the boat reverses direction. This tells us that solutions can give us information outside our immediate interest and we should be careful when interpreting them.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057553337\" class=\"check-understanding\">\n<div id=\"fs-id1168057460348\">\n<div id=\"fs-id1168052793113\">\n<p id=\"fs-id1168057347714\"><strong>Check Your Understanding<\/strong> A particle starts from rest and has an acceleration function [latex]5-10t{\\text{m\/s}}^{2}[\/latex]. (a) What is the velocity function? (b) What is the position function? (c) When is the velocity zero?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057352922\">\n<ol id=\"fs-id1168057264066\" type=\"a\">\n<li>The velocity function is the integral of the acceleration function plus a constant of integration. By <a href=\"#fs-id1168055299938\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>,\n<div><\/div>\n[latex]v\\left(t\\right)=\\int a\\left(t\\right)dt+{C}_{1}=\\int \\left(5-10t\\right)dt+{C}_{1}=5t-5{t}^{2}+{C}_{1}.[\/latex]\n<div><\/div>\n<p>Since <em>v<\/em>(0) = 0, we have <em>C<\/em><sub>1<\/sub> = 0; so,<\/p>\n<div><\/div>\n[latex]v\\left(t\\right)=5t-5{t}^{2}.[\/latex]<\/li>\n<li>By <a href=\"#fs-id1168057309665\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>,\n<div><\/div>\n<p>[latex]x\\left(t\\right)=\\int v\\left(t\\right)dt+{C}_{2}=\\int \\left(5t-5{t}^{2}\\right)dt+{C}_{2}=\\frac{5}{2}{t}^{2}-\\frac{5}{3}{t}^{3}+{C}_{2}[\/latex].<\/p>\n<div><\/div>\n<p>Since <em>x<\/em>(0) = 0, we have <em>C<\/em><sub>2<\/sub> = 0, and<\/p>\n<div><\/div>\n[latex]x\\left(t\\right)=\\frac{5}{2}{t}^{2}-\\frac{5}{3}{t}^{3}.[\/latex]<\/li>\n<li>The velocity can be written as <em>v<\/em>(<em>t<\/em>) = 5<em>t<\/em>(1 \u2013 <em>t<\/em>), which equals zero at <em>t<\/em> = 0, and <em>t<\/em> = 1 s.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"textbox key-takeaways\" id=\"fs-id1168057456464\">\n<h3>Summary<\/h3>\n<ul id=\"fs-id1168055180169\">\n<li>Integral calculus gives us a more complete formulation of kinematics.<\/li>\n<li>If acceleration <em>a<\/em>(<em>t<\/em>) is known, we can use integral calculus to derive expressions for velocity <em>v<\/em>(<em>t<\/em>) and position <em>x<\/em>(<em>t<\/em>).<\/li>\n<li>If acceleration is constant, the integral equations reduce to <a href=\"\/contents\/d8133443-59e9-41e8-a628-d3fb8cb1f305#fs-id1168329196739\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> and <a href=\"\/contents\/d8133443-59e9-41e8-a628-d3fb8cb1f305#fs-id1168326833119\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> for motion with constant acceleration.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div class=\"key-equations\" id=\"fs-id1168057474798\">\n<h3>Key Equations<\/h3>\n<table id=\"fs-id1170904098526\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"This table gives the following formulae: Displacement, Delta x equal to xf minus xi; Total displacement, delta x subscript total equal to summation of delta xi, Average velocity, v bar equal to delta x by delta t equal to x2 minus x1 upon t2 minus t1; Instantaneous velocity, v of t equal to dx t by dt; Average speed equal to s bar equal to total distance upon elapsed time; Instantaneous speed equal to mod v of t; Average acceleration, a bar equal to delta v by delta t equal to vf minus v0 upon tf minus t0; Instantaneous acceleration, a of t equal to dv t by dt; Position from average velocity, x equal to x0 plus v bar t; Average velocity, v bar equal to v0 plus v by 2; Velocity from acceleration, v equal to v 0 plus at where a is constant; Position from velocity and acceleration, x equal to x0 plus v0t plus half a t squared where a is constant; Velocity from distance, v squared equal to v0 squared plus 2 a open parentheses x minus x0 close parentheses where a is constant; Velocity of free fall, v equal to v0 minus gt, positive upwards;  Height of free fall, y equal to y0 plus v0 t minus half g t squared; Velocity of free fall from height, v squared equal to v0 squared \u2013 2g open parentheses y minus y0 close parentheses; Velocity from acceleration, v of t equal to integration of a of t dt plus C1; Position from velocity, x of t equal to integration of v of t dt plus C2.\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>Displacement<\/td>\n<td>[latex]\\text{\u0394}x={x}_{\\text{f}}-{x}_{\\text{i}}[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Total displacement<\/td>\n<td>[latex]\\text{\u0394}{x}_{\\text{Total}}=\\sum \\text{\u0394}{x}_{\\text{i}}[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Average velocity<\/td>\n<td>[latex]\\stackrel{\\text{\u2013}}{v}=\\frac{\\text{\u0394}x}{\\text{\u0394}t}=\\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{t}_{2}-{t}_{1}}[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Instantaneous velocity<\/td>\n<td>[latex]v\\left(t\\right)=\\frac{dx\\left(t\\right)}{dt}[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Average speed<\/td>\n<td>[latex]\\text{Average speed}=\\stackrel{\\text{\u2013}}{s}=\\frac{\\text{Total distance}}{\\text{Elapsed time}}[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Instantaneous speed<\/td>\n<td>[latex]\\text{Instantaneous speed}=|v\\left(t\\right)|[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Average acceleration<\/td>\n<td>[latex]\\stackrel{\\text{\u2013}}{a}=\\frac{\\text{\u0394}v}{\\text{\u0394}t}=\\frac{{v}_{f}-{v}_{0}}{{t}_{f}-{t}_{0}}[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Instantaneous acceleration<\/td>\n<td>[latex]a\\left(t\\right)=\\frac{dv\\left(t\\right)}{dt}[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Position from average velocity<\/td>\n<td>[latex]x={x}_{0}+\\stackrel{\\text{\u2013}}{v}t[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Average velocity<\/td>\n<td>[latex]\\stackrel{\\text{\u2013}}{v}=\\frac{{v}_{0}+v}{2}[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Velocity from acceleration<\/td>\n<td>[latex]v={v}_{0}+at\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}\\left(\\text{constant}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a\\text{)}[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Position from velocity and acceleration<\/td>\n<td>[latex]x={x}_{0}+{v}_{0}t+\\frac{1}{2}a{t}^{2}\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}\\left(\\text{constant}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a\\text{)}[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Velocity from distance<\/td>\n<td>[latex]{v}^{2}={v}_{0}^{2}+2a\\left(x-{x}_{0}\\right)\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}\\left(\\text{constant}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a\\text{)}[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Velocity of free fall<\/td>\n<td>[latex]v={v}_{0}-gt\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{(positive upward)}[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Height of free fall<\/td>\n<td>[latex]y={y}_{0}+{v}_{0}t-\\frac{1}{2}g{t}^{2}[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Velocity of free fall from height<\/td>\n<td>[latex]{v}^{2}={v}_{0}^{2}-2g\\left(y-{y}_{0}\\right)[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Velocity from acceleration<\/td>\n<td>[latex]v\\left(t\\right)=\\int a\\left(t\\right)dt+{C}_{1}[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Position from velocity<\/td>\n<td>[latex]x\\left(t\\right)=\\int v\\left(t\\right)dt+{C}_{2}[\/latex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<div class=\"review-conceptual-questions\" id=\"fs-id1168055383615\">\n<h3>Conceptual Questions<\/h3>\n<div id=\"fs-id1168057332320\">\n<div id=\"fs-id1168057426599\">\n<p id=\"fs-id1168057426601\">When given the acceleration function, what additional information is needed to find the velocity function and position function?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"review-problems\" id=\"fs-id1168055470292\">\n<h3>Problems<\/h3>\n<div id=\"fs-id1168052793712\">\n<div id=\"fs-id1168055372576\">\n<p id=\"fs-id1168055372578\">The acceleration of a particle varies with time according to the equation [latex]a\\left(t\\right)=p{t}^{2}-q{t}^{3}[\/latex]. Initially, the velocity and position are zero. (a) What is the velocity as a function of time? (b) What is the position as a function of time?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057715927\">\n<div id=\"fs-id1168057453804\">\n<p id=\"fs-id1168057453806\">Between <em>t<\/em> = 0 and <em>t<\/em> = <em>t<\/em><sub>0<\/sub>, a rocket moves straight upward with an acceleration given by [latex]a\\left(t\\right)=A-B{t}^{1\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\/}2}[\/latex], where <em>A<\/em> and <em>B<\/em> are constants. (a) If <em>x<\/em> is in meters and <em>t<\/em> is in seconds, what are the units of <em>A<\/em> and <em>B<\/em>? (b) If the rocket starts from rest, how does the velocity vary between <em>t<\/em> = 0 and <em>t<\/em> = <em>t<\/em><sub>0<\/sub>? (c) If its initial position is zero, what is the rocket\u2019s position as a function of time during this same time interval?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055134758\">\n<p id=\"fs-id1168057267831\">a. [latex]A={\\text{m\/s}}^{2}\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}B={\\text{m\/s}}^{5\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\/}2}[\/latex];<\/p>\n<div><\/div>\n<p>b. [latex]\\begin{array}{}\\\\ \\\\ v\\left(t\\right)=\\int a\\left(t\\right)dt+{C}_{1}=\\int \\left(A-B{t}^{1\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\/}2}\\right)dt+{C}_{1}=At-\\frac{2}{3}B{t}^{3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\/}2}+{C}_{1}\\hfill \\\\ v\\left(0\\right)=0={C}_{1}\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}\\text{so}\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}v\\left({t}_{0}\\right)=A{t}_{0}-\\frac{2}{3}B{t}_{0}^{\\text{3\/2}}\\hfill \\end{array}[\/latex];<\/p>\n<div><\/div>\n<p>c. [latex]\\begin{array}{}\\\\ \\\\ x\\left(t\\right)=\\int v\\left(t\\right)dt+{C}_{2}=\\int \\left(At-\\frac{2}{3}B{t}^{3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\/}2}\\right)dt+{C}_{2}=\\frac{1}{2}A{t}^{2}-\\frac{4}{15}B{t}^{5\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{\/}2}+{C}_{2}\\hfill \\\\ x\\left(0\\right)=0={C}_{2}\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}\\text{so}\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}x\\left({t}_{0}\\right)=\\frac{1}{2}A{t}_{0}^{2}-\\frac{4}{15}B{t}_{0}^{\\text{5\/2}}\\hfill \\end{array}[\/latex]<\/p><\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168054976898\">\n<div id=\"fs-id1168055340227\">\n<p id=\"fs-id1168055340229\">The velocity of a particle moving along the <em>x-<\/em>axis varies with time according to [latex]v\\left(t\\right)=A+B{t}^{-1}[\/latex], where <em>A<\/em> = 2 m\/s, <em>B<\/em> = 0.25 m, and [latex]1.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\le t\\le 8.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}[\/latex]. Determine the acceleration and position of the particle at <em>t<\/em> = 2.0 s and <em>t<\/em> = 5.0 s. Assume that [latex]x\\left(t=1\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\right)=0[\/latex].<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168054988599\">\n<div id=\"fs-id1168054988602\">\n<p id=\"fs-id1168057418955\">A particle at rest leaves the origin with its velocity increasing with time according to <em>v<\/em>(<em>t<\/em>) = 3.2<em>t<\/em> m\/s. At 5.0 s, the particle\u2019s velocity starts decreasing according to [16.0 \u2013 1.5(<em>t<\/em> \u2013 5.0)] m\/s. This decrease continues until <em>t<\/em> = 11.0 s, after which the particle\u2019s velocity remains constant at 7.0 m\/s. (a) What is the acceleration of the particle as a function of time? (b) What is the position of the particle at <em>t<\/em> = 2.0 s, <em>t<\/em> = 7.0 s, and <em>t<\/em> = 12.0 s?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055121296\">\n<p id=\"fs-id1168055121299\">a. [latex]\\begin{array}{}\\\\ \\\\ a\\left(t\\right)=3.2{\\text{m\/s}}^{2}\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}t\\le 5.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\hfill \\\\ a\\left(t\\right)=1.5{\\text{m\/s}}^{2}\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}5.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\le t\\le 11.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\hfill \\\\ a\\left(t\\right)=0{\\text{m\/s}}^{2}\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}t&gt;11.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\hfill \\end{array}[\/latex];<\/p>\n<div><\/div>\n<p>b. [latex]\\begin{array}{}\\\\ \\\\ x\\left(t\\right)=\\int v\\left(t\\right)dt+{C}_{2}=\\int 3.2tdt+{C}_{2}=1.6{t}^{2}+{C}_{2}\\hfill \\\\ \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}t\\le 5.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\hfill \\\\ x\\left(0\\right)=0\u21d2{C}_{2}=0\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}\\text{therefore,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}x\\left(2.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\right)=6.4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m}\\hfill \\\\ x\\left(t\\right)=\\int v\\left(t\\right)dt+{C}_{2}=\\int \\left[16.0-1.5\\left(t-5.0\\right)\\right]dt+{C}_{2}=16t-1.5\\left(\\frac{{t}^{2}}{2}-5.0t\\right)+{C}_{2}\\hfill \\\\ 5.0\\le t\\le 11.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\hfill \\\\ x\\left(5\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\right)=1.6{\\left(5.0\\right)}^{2}=40\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m}=16\\left(5.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\right)-1.5\\left(\\frac{{5}^{2}}{2}-5.0\\left(5.0\\right)\\right)+{C}_{2}\\hfill \\\\ \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}40=98.75+{C}_{2}\u21d2{C}_{2}=-58.75\\hfill \\\\ x\\left(7.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\right)=16\\left(7.0\\right)-1.5\\left(\\frac{{7}^{2}}{2}-5.0\\left(7\\right)\\right)-58.75=69\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m}\\hfill \\\\ \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}x\\left(t\\right)=\\int 7.0dt+{C}_{2}=7t+{C}_{2}\\hfill \\\\ \\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}t\\ge 11.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\hfill \\\\ x\\left(11.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\right)=16\\left(11\\right)-1.5\\left(\\frac{{11}^{2}}{2}-5.0\\left(11\\right)\\right)-58.75=109=7\\left(11.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\right)+{C}_{2}\u21d2{C}_{2}=32\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m}\\hfill \\\\ \\phantom{\\rule{1em}{0ex}}x\\left(t\\right)=7t+32\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m}\\hfill \\\\ \\phantom{\\rule{1.5em}{0ex}}x\\ge 11.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\u21d2x\\left(12.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\right)=7\\left(12\\right)+32=116\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m}\\hfill \\end{array}[\/latex]<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"review-additional-problems\" id=\"fs-id1168055137769\">\n<h3>Additional Problems<\/h3>\n<div id=\"fs-id1168057389393\">\n<div id=\"fs-id1168057389395\">\n<p id=\"fs-id1168057389397\">Professional baseball player Nolan Ryan could pitch a baseball at approximately 160.0 km\/h. At that average velocity, how long did it take a ball thrown by Ryan to reach home plate, which is 18.4 m from the pitcher\u2019s mound? Compare this with the average reaction time of a human to a visual stimulus, which is 0.25 s.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057491154\">\n<div id=\"fs-id1168057460178\">\n<p id=\"fs-id1168057460180\">An airplane leaves Chicago and makes the 3000-km trip to Los Angeles in 5.0 h. A second plane leaves Chicago one-half hour later and arrives in Los Angeles at the same time. Compare the average velocities of the two planes. Ignore the curvature of Earth and the difference in altitude between the two cities.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055151090\">\n<p id=\"fs-id1168057460183\">Take west to be the positive direction.<\/p>\n<div><\/div>\n<p>1st plane: [latex]\\stackrel{\\text{\u2013}}{\\nu }=600\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{km\/h}[\/latex]<\/p>\n<div><\/div>\n<p>2nd plane [latex]\\stackrel{\\text{\u2013}}{\\nu }=667.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{km\/h}[\/latex]<\/p><\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055309763\">\n<div id=\"fs-id1168055269127\">\n<p id=\"fs-id1168055269129\"><strong>Unreasonable Results<\/strong> A cyclist rides 16.0 km east, then 8.0 km west, then 8.0 km east, then 32.0 km west, and finally 11.2 km east. If his average velocity is 24 km\/h, how long did it take him to complete the trip? Is this a reasonable time?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057455309\">\n<div id=\"fs-id1168057455311\">\n<p id=\"fs-id1168057455313\">An object has an acceleration of [latex]+1.2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{cm\/s}}^{2}[\/latex]. At [latex]t=4.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}[\/latex], its velocity is [latex]-3.4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{cm\/s}[\/latex]. Determine the object\u2019s velocities at [latex]t=1.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}[\/latex] and [latex]t=6.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}[\/latex].<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055302745\">\n<p id=\"fs-id1168055302748\">[latex]a=\\frac{v-{v}_{0}}{t-{t}_{0}}[\/latex], [latex]t=0,\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a=\\frac{-3.4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{cm\/s}-{v}_{0}}{4\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}}=1.2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{cm\/s}}^{2}\u21d2{v}_{0}=-8.2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{cm\/s}[\/latex][latex]v={v}_{0}+at=-8.2+1.2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}t[\/latex]; [latex]v=-7.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{cm\/s}\\phantom{\\rule{0.5em}{0ex}}v=-1.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{cm\/s}[\/latex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055120900\">\n<div id=\"fs-id1168055120902\">\n<p id=\"fs-id1168055120904\">A particle moves along the <em>x<\/em>-axis according to the equation [latex]x\\left(t\\right)=2.0-4.0{t}^{2}[\/latex] m. What are the velocity and acceleration at [latex]t=2.0[\/latex] s and [latex]t=5.0[\/latex] s?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055308636\">\n<div id=\"fs-id1168055308638\">\n<p id=\"fs-id1168055175652\">A particle moving at constant acceleration has velocities of [latex]2.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/s}[\/latex] at [latex]t=2.0[\/latex] s and [latex]-7.6\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/s}[\/latex] at [latex]t=5.2[\/latex] s. What is the acceleration of the particle?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055307822\">\n<p id=\"fs-id1168055307824\">[latex]a=-3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{m\/s}}^{2}[\/latex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055390931\">\n<div id=\"fs-id1168055390933\">\n<p id=\"fs-id1168057323571\">A train is moving up a steep grade at constant velocity (see following figure) when its caboose breaks loose and starts rolling freely along the track. After 5.0 s, the caboose is 30 m behind the train. What is the acceleration of the caboose?<\/p>\n<p><span id=\"fs-id1168057244126\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandbox\/wp-content\/uploads\/sites\/289\/2017\/11\/CNX_UPhysics_03_04_Prob8_img.jpg\" alt=\"Figure shows a train moving up a hill.\"><\/span><\/p><\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055478200\">\n<div id=\"fs-id1168055478202\">\n<p id=\"fs-id1168055120320\">An electron is moving in a straight line with a velocity of [latex]4.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{5}[\/latex] m\/s. It enters a region 5.0 cm long where it undergoes an acceleration of [latex]6.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{12}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{m\/s}}^{2}[\/latex] along the same straight line. (a) What is the electron\u2019s velocity when it emerges from this region? b) How long does the electron take to cross the region?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055302554\">\n<p id=\"fs-id1168055302556\">a.<\/p>\n<div><\/div>\n<p>[latex]v=8.7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{5}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/s}[\/latex];<\/p>\n<div><\/div>\n<p>b. [latex]t=7.8\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-8}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}[\/latex]<\/p><\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055124622\">\n<div id=\"fs-id1168055124624\">\n<p id=\"fs-id1168055022035\">An ambulance driver is rushing a patient to the hospital. While traveling at 72 km\/h, she notices the traffic light at the upcoming intersections has turned amber. To reach the intersection before the light turns red, she must travel 50 m in 2.0 s. (a) What minimum acceleration must the ambulance have to reach the intersection before the light turns red? (b) What is the speed of the ambulance when it reaches the intersection?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055146907\">\n<div id=\"fs-id1168055146909\">\n<p id=\"fs-id1168055146911\">A motorcycle that is slowing down uniformly covers 2.0 successive km in 80 s and 120 s, respectively. Calculate (a) the acceleration of the motorcycle and (b) its velocity at the beginning and end of the 2-km trip.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057524743\">\n<p id=\"fs-id1168055283058\">[latex]1\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{km}={v}_{0}\\left(80.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\right)+\\frac{1}{2}a{\\left(80.0\\right)}^{2}[\/latex]; [latex]2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{km}={v}_{0}\\left(200.0\\right)+\\frac{1}{2}a{\\left(200.0\\right)}^{2}[\/latex] solve simultaneously to get [latex]a=-\\frac{0.1}{2400.0}{\\text{km\/s}}^{2}[\/latex] and [latex]{v}_{0}=0.014167\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{km\/s}[\/latex], which is [latex]51.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{km\/h}[\/latex]. Velocity at the end of the trip is [latex]v=21.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{km\/h}[\/latex].<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055392099\">\n<div id=\"fs-id1168055392101\">\n<p id=\"fs-id1168055315002\">A cyclist travels from point A to point B in 10 min. During the first 2.0 min of her trip, she maintains a uniform acceleration of [latex]0.090\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{m\/s}}^{2}[\/latex]. She then travels at constant velocity for the next 5.0 min. Next, she decelerates at a constant rate so that she comes to a rest at point B 3.0 min later. (a) Sketch the velocity-versus-time graph for the trip. (b) What is the acceleration during the last 3 min? (c) How far does the cyclist travel?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055171580\">\n<div id=\"fs-id1168055392018\">\n<p id=\"fs-id1168055392021\">Two trains are moving at 30 m\/s in opposite directions on the same track. The engineers see simultaneously that they are on a collision course and apply the brakes when they are 1000 m apart. Assuming both trains have the same acceleration, what must this acceleration be if the trains are to stop just short of colliding?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055171872\">\n<p id=\"fs-id1168055392024\">[latex]a=-0.9\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{m\/s}}^{2}[\/latex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055151366\">\n<div id=\"fs-id1168055151368\">\n<p id=\"fs-id1168057341878\">A 10.0-m-long truck moving with a constant velocity of 97.0 km\/h passes a 3.0-m-long car moving with a constant velocity of 80.0 km\/h. How much time elapses between the moment the front of the truck is even with the back of the car and the moment the back of the truck is even with the front of the car?<\/p>\n<p><span id=\"fs-id1168055140967\"><img src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandbox\/wp-content\/uploads\/sites\/289\/2017\/11\/CNX_UPhysics_03_04_Prob10_img.jpg\" alt=\"Top drawing shows passenger car with a speed of 80 kilometers per hour in front of the truck with the speed of 97 kilometers per hour. Middle drawing shows passenger car with a speed of 80 kilometers per hour parallel to the truck with the speed of 97 kilometers per hour. Bottom drawing shows passenger car with a speed of 80 kilometers per hour behind the truck with a speed of 97 kilometers per hour.\"><\/span><\/p><\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055463266\">\n<div id=\"fs-id1168055237626\">\n<p id=\"fs-id1168055237628\">A police car waits in hiding slightly off the highway. A speeding car is spotted by the police car doing 40 m\/s. At the instant the speeding car passes the police car, the police car accelerates from rest at 4 m\/s<sup>2<\/sup> to catch the speeding car. How long does it take the police car to catch the speeding car?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055306834\">\n<p id=\"fs-id1168055306836\">Equation for the speeding car: This car has a constant velocity, which is the average velocity, and is not accelerating, so use the equation for displacement with [latex]{x}_{0}=0[\/latex]:[latex]x={x}_{0}+\\stackrel{\\text{\u2013}}{v}t=\\stackrel{\\text{\u2013}}{v}t[\/latex]; Equation for the police car: This car is accelerating, so use the equation for displacement with [latex]{x}_{0}=0[\/latex] and [latex]{v}_{0}=0[\/latex], since the police car starts from rest: [latex]x={x}_{0}+{v}_{0}t+\\frac{1}{2}a{t}^{2}=\\frac{1}{2}a{t}^{2}[\/latex]; Now we have an equation of motion for each car with a common parameter, which can be eliminated to find the solution. In this case, we solve for [latex]t[\/latex]. Step 1, eliminating [latex]x[\/latex]: [latex]x=\\stackrel{\\text{\u2013}}{v}t=\\frac{1}{2}a{t}^{2}[\/latex]; Step 2, solving for [latex]t[\/latex]: [latex]t=\\frac{2\\stackrel{\\text{\u2013}}{v}}{a}[\/latex]. The speeding car has a constant velocity of 40 m\/s, which is its average velocity. The acceleration of the police car is 4 m\/s<sup>2<\/sup>. Evaluating <em>t<\/em>, the time for the police car to reach the speeding car, we have [latex]t=\\frac{2\\stackrel{\\text{\u2013}}{v}}{a}=\\frac{2\\left(40\\right)}{4}=20\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}[\/latex].<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057464878\">\n<div id=\"fs-id1168057464880\">\n<p id=\"fs-id1168057424743\">Pablo is running in a half marathon at a velocity of 3 m\/s. Another runner, Jacob, is 50 meters behind Pablo with the same velocity. Jacob begins to accelerate at 0.05 m\/s<sup>2<\/sup>. (a) How long does it take Jacob to catch Pablo? (b) What is the distance covered by Jacob? (c) What is the final velocity of Jacob?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055283140\">\n<div id=\"fs-id1168055283142\">\n<p id=\"fs-id1168057354249\"><strong>Unreasonable results<\/strong> A runner approaches the finish line and is 75 m away; her average speed at this position is 8 m\/s. She decelerates at this point at 0.5 m\/s<sup>2<\/sup>. How long does it take her to cross the finish line from 75 m away? Is this reasonable?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055381859\">\n<p id=\"fs-id1168055310472\">At this acceleration she comes to a full stop in [latex]t=\\frac{-{v}_{0}}{a}=\\frac{8}{0.5}=16\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}[\/latex], but the distance covered is [latex]x=8\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/s(16}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s)}-\\frac{1}{2}\\left(0.5\\right){\\left(16\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\right)}^{2}=64\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m}[\/latex], which is less than the distance she is away from the finish line, so she never finishes the race.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055095438\">\n<div id=\"fs-id1168055095440\">\n<p id=\"fs-id1168055470146\">An airplane accelerates at 5.0 m\/s<sup>2<\/sup> for 30.0 s. During this time, it covers a distance of 10.0 km. What are the initial and final velocities of the airplane?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055124263\">\n<div id=\"fs-id1168055124265\">\n<p id=\"fs-id1168055124267\">Compare the distance traveled of an object that undergoes a change in velocity that is twice its initial velocity with an object that changes its velocity by four times its initial velocity over the same time period. The accelerations of both objects are constant.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055323241\">\n<p id=\"fs-id1168055394272\">[latex]{x}_{1}=\\frac{3}{2}{v}_{0}t[\/latex]<\/p>\n<div><\/div>\n[latex]{x}_{2}=\\frac{5}{3}{x}_{1}[\/latex]<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055309203\">\n<div id=\"fs-id1168057481425\">\n<p id=\"fs-id1168057481427\">An object is moving east with a constant velocity and is at position [latex]{x}_{0}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{at}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{time}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{t}_{0}=0[\/latex]. (a) With what acceleration must the object have for its total displacement to be zero at a later time <em>t<\/em> ? (b) What is the physical interpretation of the solution in the case for [latex]t\\to \\infty [\/latex]?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055237526\">\n<div id=\"fs-id1168055237528\">\n<p id=\"fs-id1168055391626\">A ball is thrown straight up. It passes a 2.00-m-high window 7.50 m off the ground on its path up and takes 1.30 s to go past the window. What was the ball\u2019s initial velocity?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055391633\">\n<p id=\"fs-id1168054945814\">[latex]{v}_{0}=7.9\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/s}[\/latex] velocity at the bottom of the window.<\/p>\n<div><\/div>\n[latex]v=7.9\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/s}[\/latex]\n<div><\/div>\n[latex]{v}_{0}=14.1\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/s}[\/latex]<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055282726\">\n<div id=\"fs-id1168057457672\">\n<p id=\"fs-id1168057457674\">A coin is dropped from a hot-air balloon that is 300 m above the ground and rising at 10.0 m\/s upward. For the coin, find (a) the maximum height reached, (b) its position and velocity 4.00 s after being released, and (c) the time before it hits the ground.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055388728\">\n<div id=\"fs-id1168057522468\">\n<p id=\"fs-id1168057522470\">A soft tennis ball is dropped onto a hard floor from a height of 1.50 m and rebounds to a height of 1.10 m. (a) Calculate its velocity just before it strikes the floor. (b) Calculate its velocity just after it leaves the floor on its way back up. (c) Calculate its acceleration during contact with the floor if that contact lasts 3.50 ms [latex]\\left(3.50\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-3}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\right)[\/latex] (d) How much did the ball compress during its collision with the floor, assuming the floor is absolutely rigid?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055325521\">\n<p id=\"fs-id1168055309415\">a. [latex]v=5.42\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/s}[\/latex];<\/p>\n<div><\/div>\n<p>b. [latex]v=4.64\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/s}[\/latex];<\/p>\n<div><\/div>\n<p>c. [latex]a=2874.28\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{m\/s}}^{2}[\/latex];<\/p>\n<div><\/div>\n<p>d. [latex]\\left(x-{x}_{0}\\right)=5.11\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-3}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m}[\/latex]<\/p><\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057461827\">\n<div id=\"fs-id1168057461829\">\n<p id=\"fs-id1168057461831\"><strong>Unreasonable results<\/strong>. A raindrop falls from a cloud 100 m above the ground. Neglect air resistance. What is the speed of the raindrop when it hits the ground? Is this a reasonable number?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055124296\">\n<div id=\"fs-id1168055124298\">\n<p id=\"fs-id1168055124300\">Compare the time in the air of a basketball player who jumps 1.0 m vertically off the floor with that of a player who jumps 0.3 m vertically.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057418927\">\n<p id=\"fs-id1168057418929\">Consider the players fall from rest at the height 1.0 m and 0.3 m.<\/p>\n<div><\/div>\n<p>0.9 s<\/p>\n<div><\/div>\n<p>0.5 s<\/p><\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057556789\">\n<div id=\"fs-id1168057556792\">\n<p id=\"fs-id1168055311511\">Suppose that a person takes 0.5 s to react and move his hand to catch an object he has dropped. (a) How far does the object fall on Earth, where [latex]g=9.8\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{m\/s}}^{2}?[\/latex] (b) How far does the object fall on the Moon, where the acceleration due to gravity is 1\/6 of that on Earth?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055274264\">\n<div id=\"fs-id1168055274266\">\n<p id=\"fs-id1168055274268\">A hot-air balloon rises from ground level at a constant velocity of 3.0 m\/s. One minute after liftoff, a sandbag is dropped accidentally from the balloon. Calculate (a) the time it takes for the sandbag to reach the ground and (b) the velocity of the sandbag when it hits the ground.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055469821\">\n<p id=\"fs-id1168055469823\">a. [latex]t=6.37\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}[\/latex] taking the positive root;<\/p>\n<div><\/div>\n<p>b. [latex]v=59.5\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/s}[\/latex]<\/p><\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055469798\">\n<div id=\"fs-id1168055308954\">\n<p id=\"fs-id1168055308957\">(a) A world record was set for the men\u2019s 100-m dash in the 2008 Olympic Games in Beijing by Usain Bolt of Jamaica. Bolt \u201ccoasted\u201d across the finish line with a time of 9.69 s. If we assume that Bolt accelerated for 3.00 s to reach his maximum speed, and maintained that speed for the rest of the race, calculate his maximum speed and his acceleration. (b) During the same Olympics, Bolt also set the world record in the 200-m dash with a time of 19.30 s. Using the same assumptions as for the 100-m dash, what was his maximum speed for this race?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055309639\">\n<div id=\"fs-id1168055309641\">\n<p id=\"fs-id1168055309644\">An object is dropped from a height of 75.0 m above ground level. (a) Determine the distance traveled during the first second. (b) Determine the final velocity at which the object hits the ground. (c) Determine the distance traveled during the last second of motion before hitting the ground.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055273683\">\n<p id=\"fs-id1168055273685\">a. [latex]y=4.9\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m}[\/latex];<\/p>\n<div><\/div>\n<p>b. [latex]v=38.3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/s}[\/latex];<\/p>\n<div><\/div>\n<p>c. [latex]-33.3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m}[\/latex]<\/p><\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168052793064\">\n<div id=\"fs-id1168052793066\">\n<p id=\"fs-id1168052793068\">A steel ball is dropped onto a hard floor from a height of 1.50 m and rebounds to a height of 1.45 m. (a) Calculate its velocity just before it strikes the floor. (b) Calculate its velocity just after it leaves the floor on its way back up. (c) Calculate its acceleration during contact with the floor if that contact lasts 0.0800 ms [latex]\\left(8.00\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\u00d7\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-5}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\right)[\/latex] (d) How much did the ball compress during its collision with the floor, assuming the floor is absolutely rigid?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055324264\">\n<div id=\"fs-id1168055324266\">\n<p id=\"fs-id1168055273765\">An object is dropped from a roof of a building of height <em>h<\/em>. During the last second of its descent, it drops a distance <em>h<\/em>\/3. Calculate the height of the building.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055491899\">\n<p id=\"fs-id1168055491901\">[latex]h=\\frac{1}{2}g{t}^{2}[\/latex], <em>h<\/em> = total height and time to drop to ground<\/p>\n<div><\/div>\n<p>[latex]\\frac{2}{3}h=\\frac{1}{2}g{\\left(t-1\\right)}^{2}[\/latex] in <em>t<\/em> \u2013 1 seconds it drops 2\/3<em>h<\/em><\/p>\n<div><\/div>\n<p>[latex]\\frac{2}{3}\\left(\\frac{1}{2}g{t}^{2}\\right)=\\frac{1}{2}g{\\left(t-1\\right)}^{2}[\/latex] or [latex]\\frac{{t}^{2}}{3}=\\frac{1}{2}{\\left(t-1\\right)}^{2}[\/latex]<\/p>\n<div><\/div>\n<p>[latex]0={t}^{2}-6t+3[\/latex] [latex]t=\\frac{6\u00b1\\sqrt{{6}^{2}-4\u00b73}}{2}=3\u00b1\\frac{\\sqrt{24}}{2}[\/latex]<\/p>\n<div><\/div>\n<p><em>t<\/em> = 5.45 s and <em>h<\/em> = 145.5 m. Other root is less than 1 s. Check for <em>t<\/em> = 4.45 s [latex]h=\\frac{1}{2}g{t}^{2}=97.0[\/latex] m [latex]=\\frac{2}{3}\\left(145.5\\right)[\/latex]<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"review-challenge\" id=\"fs-id1163713292662\">\n<h3>Challenge Problems<\/h3>\n<div id=\"fs-id1168055309429\">\n<div id=\"fs-id1168055309431\">\n<p id=\"fs-id1168055309433\">In a 100-m race, the winner is timed at 11.2 s. The second-place finisher\u2019s time is 11.6 s. How far is the second-place finisher behind the winner when she crosses the finish line? Assume the velocity of each runner is constant throughout the race.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055190126\">\n<div id=\"fs-id1168055190128\">\n<p id=\"fs-id1168055190131\">The position of a particle moving along the <em>x<\/em>-axis varies with time according to [latex]x\\left(t\\right)=5.0{t}^{2}-4.0{t}^{3}[\/latex] m. Find (a) the velocity and acceleration of the particle as functions of time, (b) the velocity and acceleration at <em>t<\/em> = 2.0 s, (c) the time at which the position is a maximum, (d) the time at which the velocity is zero, and (e) the maximum position.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055269782\">\n<p id=\"fs-id1168055269784\">a. [latex]v\\left(t\\right)=10t-12{t}^{2}\\text{m\/s,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a\\left(t\\right)=10-24t\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}{\\text{m\/s}}^{2}[\/latex];<\/p>\n<div><\/div>\n<p>b. [latex]v\\left(2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\right)=-28\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/s,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a\\left(2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}\\right)=-38{\\text{m\/s}}^{2}[\/latex]; c. The slope of the position function is zero or the velocity is zero. There are two possible solutions: <em>t<\/em> = 0, which gives <em>x<\/em> = 0, or <em>t<\/em> = 10.0\/12.0 = 0.83 s, which gives <em>x<\/em> = 1.16 m. The second answer is the correct choice; d. 0.83 s (e) 1.16 m<\/p><\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057481407\">\n<div id=\"fs-id1168057481409\">\n<p id=\"fs-id1168057481411\">A cyclist sprints at the end of a race to clinch a victory. She has an initial velocity of 11.5 m\/s and accelerates at a rate of 0.500 m\/s<sup>2<\/sup> for 7.00 s. (a) What is her final velocity? (b) The cyclist continues at this velocity to the finish line. If she is 300 m from the finish line when she starts to accelerate, how much time did she save? (c) The second-place winner was 5.00 m ahead when the winner started to accelerate, but he was unable to accelerate, and traveled at 11.8 m\/s until the finish line. What was the difference in finish time in seconds between the winner and runner-up? How far back was the runner-up when the winner crossed the finish line?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055309457\">\n<div id=\"fs-id1168057239209\">\n<p id=\"fs-id1168057239211\">In 1967, New Zealander Burt Munro set the world record for an Indian motorcycle, on the Bonneville Salt Flats in Utah, of 295.38 km\/h. The one-way course was 8.00 km long. Acceleration rates are often described by the time it takes to reach 96.0 km\/h from rest. If this time was 4.00 s and Burt accelerated at this rate until he reached his maximum speed, how long did it take Burt to complete the course?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057239219\">\n<p id=\"fs-id1168057720330\">[latex]96\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{km\/h}=26.67\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/s,}\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}a=\\frac{26.67\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/s}}{4.0\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}}=6.67{\\text{m\/s}}^{2}[\/latex], 295.38 km\/h = 82.05 m\/s, [latex]t=12.3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}[\/latex] time to accelerate to maximum speed<\/p>\n<div><\/div>\n<p>[latex]x=504.55\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m}[\/latex] distance covered during acceleration<\/p>\n<div><\/div>\n<p>[latex]7495.44\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m}[\/latex] at a constant speed<\/p>\n<div><\/div>\n<p>[latex]\\frac{7495.44\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m}}{82.05\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{m\/s}}=91.35\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}[\/latex] so total time is [latex]91.35\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}+12.3\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}=103.65\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}\\text{s}[\/latex].<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n","rendered":"<div class=\"textbox learning-objectives\">\n<h3>Learning Objectives<\/h3>\n<p>By the end of this section, you will be able to:<\/p>\n<ul>\n<li>Derive the kinematic equations for constant acceleration using integral calculus.<\/li>\n<li>Use the integral formulation of the kinematic equations in analyzing motion.<\/li>\n<li>Find the functional form of velocity versus time given the acceleration function.<\/li>\n<li>Find the functional form of position versus time given the velocity function.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1168055394881\">This section assumes you have enough background in calculus to be familiar with integration. In <a href=\"\/contents\/123f28de-76db-4d9a-a2d1-919a1d7f25a2\" class=\"target-chapter\">Instantaneous Velocity and Speed<\/a> and <a href=\"\/contents\/f6c1853f-e5aa-43a9-95a8-ce02e68536a1\" class=\"target-chapter\">Average and Instantaneous Acceleration<\/a> we introduced the kinematic functions of velocity and acceleration using the derivative. By taking the derivative of the position function we found the velocity function, and likewise by taking the derivative of the velocity function we found the acceleration function. Using integral calculus, we can work backward and calculate the velocity function from the acceleration function, and the position function from the velocity function.<\/p>\n<div class=\"bc-section section\" id=\"fs-id1168057186040\">\n<h3>Kinematic Equations from Integral Calculus<\/h3>\n<p id=\"fs-id1168057329054\">Let\u2019s begin with a particle with an acceleration <em>a<\/em>(t) is a known function of time. Since the time derivative of the velocity function is acceleration,<\/p>\n<div id=\"fs-id1168055470877\" class=\"unnumbered\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50c85c0416ee60adce01f9d62642af2d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#100;&#125;&#123;&#100;&#116;&#125;&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#97;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1168055388282\">we can take the indefinite integral of both sides, finding<\/p>\n<div id=\"fs-id1168055392656\" class=\"unnumbered\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21749cc8a422cfd55d54d7e287434137_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#100;&#125;&#123;&#100;&#116;&#125;&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#100;&#116;&#61;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#97;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#100;&#116;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"217\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1168057480928\">where <em>C<\/em><sub>1<\/sub> is a constant of integration. Since <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3cfdbfb66680786d78c5c138cc51b20_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#100;&#125;&#123;&#100;&#116;&#125;&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#100;&#116;&#61;&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"136\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/>, the velocity is given by<\/p>\n<div id=\"fs-id1168055147157\" class=\"equation-callout\">\n<div id=\"fs-id1168055299938\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e9f949b853fe2389df9a04ae1b076be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#97;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#100;&#116;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"168\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1168057482455\">Similarly, the time derivative of the position function is the velocity function,<\/p>\n<div id=\"fs-id1168057253562\" class=\"unnumbered\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-de3c034f34eb4e338aef0eed588627ad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#100;&#125;&#123;&#100;&#116;&#125;&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1168057485601\">Thus, we can use the same mathematical manipulations we just used and find<\/p>\n<div id=\"fs-id1168057485578\" class=\"equation-callout\">\n<div id=\"fs-id1168057309665\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5933fe0380307fc11af865eefe50165_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#100;&#116;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"169\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1168057485504\">where <em>C<\/em><sub>2<\/sub> is a second constant of integration.<\/p>\n<p id=\"fs-id1168057485919\">We can derive the kinematic equations for a constant acceleration using these integrals. With <em>a<\/em>(<em>t<\/em>) = <em>a<\/em> a constant, and doing the integration in <a href=\"#fs-id1168055299938\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>, we find<\/p>\n<div id=\"fs-id1168057259118\" class=\"unnumbered\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2a7061c4a7dca83a584af52832bf8181_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#97;&#100;&#116;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#97;&#116;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"223\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1168057295657\">If the initial velocity is <em>v<\/em>(0) = <em>v<\/em><sub>0<\/sub>, then<\/p>\n<div id=\"fs-id1168057270495\" class=\"unnumbered\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f9863fe3cb9e5e7247393959067e5816_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#61;&#48;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1168057460849\">Then, <em>C<\/em><sub>1<\/sub> = <em>v<\/em><sub>0<\/sub> and<\/p>\n<div id=\"fs-id1168057419730\" class=\"unnumbered\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae08db8e3e431cb1c5da1772f9acc3fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#43;&#97;&#116;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"113\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1168055376614\">which is <a href=\"\/contents\/d8133443-59e9-41e8-a628-d3fb8cb1f305#fs-id1168329196739\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>. Substituting this expression into <a href=\"#fs-id1168057309665\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> gives<\/p>\n<div id=\"fs-id1168055091893\" class=\"unnumbered\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1ec5241472e0542e39ce462f5295b2d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#43;&#97;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#100;&#116;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"204\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1168057342016\">Doing the integration, we find<\/p>\n<div id=\"fs-id1168057270580\" class=\"unnumbered\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36a933ea6e5b4914b32d83b58834519f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#116;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#97;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"182\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1168057447837\">If <em>x<\/em>(0) = <em>x<\/em><sub>0<\/sub>, we have<\/p>\n<div id=\"fs-id1168057479623\" class=\"unnumbered\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64500bd2c9f31f58e5ad9639d87c360c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#61;&#48;&#43;&#48;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#59;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"127\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1168057232222\">so, <em>C<\/em><sub>2<\/sub> = <em>x<\/em><sub>0<\/sub>. Substituting back into the equation for <em>x<\/em>(<em>t<\/em>), we finally have<\/p>\n<div id=\"fs-id1168054944928\" class=\"unnumbered\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d49fd145c23eb02e9aefaf3d31071f7f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#123;&#120;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#43;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#116;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#97;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#44;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"179\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<p id=\"fs-id1168054945679\">which is <a href=\"\/contents\/d8133443-59e9-41e8-a628-d3fb8cb1f305#fs-id1168326833119\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>.<\/p>\n<div id=\"fs-id1168057541743\" class=\"textbox examples\">\n<p id=\"fs-id1168055392642\"><span>Motion of a Motorboat<\/span><br \/>\nA motorboat is traveling at a constant velocity of 5.0 m\/s when it starts to decelerate to arrive at the dock. Its acceleration is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-771e768e470b4eab801c640e2fd680b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#116;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/>. (a) What is the velocity function of the motorboat? (b) At what time does the velocity reach zero? (c) What is the position function of the motorboat? (d) What is the displacement of the motorboat from the time it begins to decelerate to when the velocity is zero? (e) Graph the velocity and position functions.<\/p>\n<p id=\"fs-id1168055309859\"><span>Strategy<\/span><br \/>\n(a) To get the velocity function we must integrate and use initial conditions to find the constant of integration. (b) We set the velocity function equal to zero and solve for <em>t<\/em>. (c) Similarly, we must integrate to find the position function and use initial conditions to find the constant of integration. (d) Since the initial position is taken to be zero, we only have to evaluate the position function at <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b7b41acc5cb99fb07aaa07b445eb2483_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#61;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"39\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>.<\/p>\n<p id=\"fs-id1168057384404\"><span>Solution<\/span><br \/>\nWe take <em>t<\/em> = 0 to be the time when the boat starts to decelerate.<\/p>\n<ol id=\"fs-id1168055376582\" type=\"a\">\n<li>From the functional form of the acceleration we can solve <a href=\"#fs-id1168055299938\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> to get <em>v<\/em>(<em>t<\/em>):\n<div><\/div>\n<div id=\"fs-id1168057455742\" class=\"unnumbered\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-252692c4178b7e2fc495ecebfcea7df9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#97;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#100;&#116;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#52;&#125;&#116;&#100;&#116;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#56;&#125;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"399\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<div><\/div>\n<p>At <em>t<\/em> = 0 we have <em>v<\/em>(0) = 5.0 m\/s = 0 + <em>C<\/em><sub>1<\/sub>, so <em>C<\/em><sub>1<\/sub> = 5.0 m\/s or <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2a7f51145302c8431b4d823acda3bae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#53;&#46;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#56;&#125;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"158\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/>.<\/p>\n<\/li>\n<li><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ab6d87e72f17a60f82d5ce5eb9f9cf5d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#48;&#61;&#53;&#46;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#56;&#125;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#8658;&#116;&#61;&#54;&#46;&#51;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"255\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/li>\n<li>Solve <a href=\"#fs-id1168057309665\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>:\n<div><\/div>\n<div id=\"fs-id1168057200669\" class=\"unnumbered\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c024b01ded511c5f74aba3b726eb660_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#100;&#116;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#61;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#53;&#46;&#48;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#56;&#125;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#100;&#116;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#61;&#53;&#46;&#48;&#116;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#52;&#125;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"501\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/><\/div>\n<div><\/div>\n<p>At <em>t<\/em> = 0, we set <em>x<\/em>(0) = 0 = <em>x<\/em><sub>0<\/sub>, since we are only interested in the displacement from when the boat starts to decelerate. We have<\/p>\n<div><\/div>\n<div id=\"fs-id1168057733056\" class=\"unnumbered\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33f0c93acbe87eab7502a2111a27ca2b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#48;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#48;&#61;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"116\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<div><\/div>\n<p>Therefore, the equation for the position is<\/p>\n<div><\/div>\n<div id=\"fs-id1168057234823\" class=\"unnumbered\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1317ecbe78dab11d8c4da8294cfb9a5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#53;&#46;&#48;&#116;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#52;&#125;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<\/li>\n<li>Since the initial position is taken to be zero, we only have to evaluate <em>x<\/em>(<em>t<\/em>) when the velocity is zero. This occurs at <em>t<\/em> = 6.3 s. Therefore, the displacement is\n<div><\/div>\n<div id=\"fs-id1168055146576\" class=\"unnumbered\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-13bd2cb7b6156afe9b7636de98e20105_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#54;&#46;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#53;&#46;&#48;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#54;&#46;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#52;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#54;&#46;&#51;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#61;&#50;&#49;&#46;&#49;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#46;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"296\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<\/li>\n<\/ol>\n<div class=\"bc-figure figure\" id=\"CNX_UPhysics_03_06_Ex1\">\n<div class=\"bc-figcaption figcaption\">(a) Velocity of the motorboat as a function of time. The motorboat decreases its velocity to zero in 6.3 s. At times greater than this, velocity becomes negative\u2014meaning, the boat is reversing direction. (b) Position of the motorboat as a function of time. At <em>t<\/em> = 6.3 s, the velocity is zero and the boat has stopped. At times greater than this, the velocity becomes negative\u2014meaning, if the boat continues to move with the same acceleration, it reverses direction and heads back toward where it originated.<\/div>\n<p><span id=\"fs-id1168057460469\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandbox\/wp-content\/uploads\/sites\/289\/2017\/11\/CNX_UPhysics_03_06_Ex1.jpg\" alt=\"Graph A is a plot of velocity in meters per second as a function of time in seconds. Velocity is five meters per second at the beginning and decreases to zero. Graph B is a plot of position in meters as a function of time in seconds. Position is zero at the beginning, increases reaching maximum between six and seven seconds, and then starts to decrease.\" \/><\/span><\/p>\n<\/div>\n<p id=\"fs-id1168057469320\"><span>Significance<\/span><br \/>\nThe acceleration function is linear in time so the integration involves simple polynomials. In <a href=\"#CNX_UPhysics_03_06_Ex1\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>, we see that if we extend the solution beyond the point when the velocity is zero, the velocity becomes negative and the boat reverses direction. This tells us that solutions can give us information outside our immediate interest and we should be careful when interpreting them.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057553337\" class=\"check-understanding\">\n<div id=\"fs-id1168057460348\">\n<div id=\"fs-id1168052793113\">\n<p id=\"fs-id1168057347714\"><strong>Check Your Understanding<\/strong> A particle starts from rest and has an acceleration function <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae4afbf208867ca706729ffb209f884d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#45;&#49;&#48;&#116;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"92\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>. (a) What is the velocity function? (b) What is the position function? (c) When is the velocity zero?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057352922\">\n<ol id=\"fs-id1168057264066\" type=\"a\">\n<li>The velocity function is the integral of the acceleration function plus a constant of integration. By <a href=\"#fs-id1168055299938\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>,\n<div><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-108e4ddebac3510cdaac1bc427c49b8e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#97;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#100;&#116;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#53;&#45;&#49;&#48;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#100;&#116;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#53;&#116;&#45;&#53;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"461\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<div><\/div>\n<p>Since <em>v<\/em>(0) = 0, we have <em>C<\/em><sub>1<\/sub> = 0; so,<\/p>\n<div><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-85ffd0d19f63a04063fae422b962fa12_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#53;&#116;&#45;&#53;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"120\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/li>\n<li>By <a href=\"#fs-id1168057309665\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a>,\n<div><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e12d90bf623da1af3a8a50ceec4de6d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#100;&#116;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#61;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#53;&#116;&#45;&#53;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#100;&#116;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#51;&#125;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"477\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/>.<\/p>\n<div><\/div>\n<p>Since <em>x<\/em>(0) = 0, we have <em>C<\/em><sub>2<\/sub> = 0, and<\/p>\n<div><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-932dc8efd6e9dcc85cc4b8d1c8e0cb0d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#51;&#125;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;&#46;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"132\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/li>\n<li>The velocity can be written as <em>v<\/em>(<em>t<\/em>) = 5<em>t<\/em>(1 \u2013 <em>t<\/em>), which equals zero at <em>t<\/em> = 0, and <em>t<\/em> = 1 s.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"textbox key-takeaways\" id=\"fs-id1168057456464\">\n<h3>Summary<\/h3>\n<ul id=\"fs-id1168055180169\">\n<li>Integral calculus gives us a more complete formulation of kinematics.<\/li>\n<li>If acceleration <em>a<\/em>(<em>t<\/em>) is known, we can use integral calculus to derive expressions for velocity <em>v<\/em>(<em>t<\/em>) and position <em>x<\/em>(<em>t<\/em>).<\/li>\n<li>If acceleration is constant, the integral equations reduce to <a href=\"\/contents\/d8133443-59e9-41e8-a628-d3fb8cb1f305#fs-id1168329196739\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> and <a href=\"\/contents\/d8133443-59e9-41e8-a628-d3fb8cb1f305#fs-id1168326833119\" class=\"autogenerated-content\">(Figure)<\/a> for motion with constant acceleration.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div class=\"key-equations\" id=\"fs-id1168057474798\">\n<h3>Key Equations<\/h3>\n<table id=\"fs-id1170904098526\" class=\"unnumbered unstyled\" summary=\"This table gives the following formulae: Displacement, Delta x equal to xf minus xi; Total displacement, delta x subscript total equal to summation of delta xi, Average velocity, v bar equal to delta x by delta t equal to x2 minus x1 upon t2 minus t1; Instantaneous velocity, v of t equal to dx t by dt; Average speed equal to s bar equal to total distance upon elapsed time; Instantaneous speed equal to mod v of t; Average acceleration, a bar equal to delta v by delta t equal to vf minus v0 upon tf minus t0; Instantaneous acceleration, a of t equal to dv t by dt; Position from average velocity, x equal to x0 plus v bar t; Average velocity, v bar equal to v0 plus v by 2; Velocity from acceleration, v equal to v 0 plus at where a is constant; Position from velocity and acceleration, x equal to x0 plus v0t plus half a t squared where a is constant; Velocity from distance, v squared equal to v0 squared plus 2 a open parentheses x minus x0 close parentheses where a is constant; Velocity of free fall, v equal to v0 minus gt, positive upwards;  Height of free fall, y equal to y0 plus v0 t minus half g t squared; Velocity of free fall from height, v squared equal to v0 squared \u2013 2g open parentheses y minus y0 close parentheses; Velocity from acceleration, v of t equal to integration of a of t dt plus C1; Position from velocity, x of t equal to integration of v of t dt plus C2.\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>Displacement<\/td>\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-203b770cffd2873bdaa282ebcd25d89d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&Delta;&#125;&#120;&#61;&#123;&#120;&#125;&#95;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#102;&#125;&#125;&#45;&#123;&#120;&#125;&#95;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Total displacement<\/td>\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1312f8a966a52fe056e7809af83e747_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&Delta;&#125;&#123;&#120;&#125;&#95;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#84;&#111;&#116;&#97;&#108;&#125;&#125;&#61;&#92;&#115;&#117;&#109;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&Delta;&#125;&#123;&#120;&#125;&#95;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#105;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"102\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Average velocity<\/td>\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba73f38621590c6798649f0cc526a08c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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velocity<\/td>\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2ec08ff0920a45300074b7fefe744cba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#45;&#125;&#125;&#123;&#118;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#43;&#118;&#125;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"62\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Velocity from acceleration<\/td>\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9ce72bb6fbcc3f13ef5cbdb9fc500edd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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width=\"270\" style=\"vertical-align: -5px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Velocity of free fall<\/td>\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e6050b3ba511b5f90695144c26f26d48_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#61;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#45;&#103;&#116;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#40;&#112;&#111;&#115;&#105;&#116;&#105;&#118;&#101;&#32;&#117;&#112;&#119;&#97;&#114;&#100;&#41;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"226\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Height of free fall<\/td>\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" 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style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Position from velocity<\/td>\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ea08d5e5809f1a7fcd33cf8e2877698f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#105;&#110;&#116;&#32;&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#100;&#116;&#43;&#123;&#67;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"164\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<div class=\"review-conceptual-questions\" id=\"fs-id1168055383615\">\n<h3>Conceptual Questions<\/h3>\n<div id=\"fs-id1168057332320\">\n<div id=\"fs-id1168057426599\">\n<p id=\"fs-id1168057426601\">When given the acceleration function, what additional information is needed to find the velocity function and position function?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"review-problems\" id=\"fs-id1168055470292\">\n<h3>Problems<\/h3>\n<div id=\"fs-id1168052793712\">\n<div id=\"fs-id1168055372576\">\n<p id=\"fs-id1168055372578\">The acceleration of a particle varies with time according to the equation <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af19eb1d4c1917e3a856c6caa1aedf5f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#112;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#113;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>. Initially, the velocity and position are zero. (a) What is the velocity as a function of time? (b) What is the position as a function of time?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057715927\">\n<div id=\"fs-id1168057453804\">\n<p id=\"fs-id1168057453806\">Between <em>t<\/em> = 0 and <em>t<\/em> = <em>t<\/em><sub>0<\/sub>, a rocket moves straight upward with an acceleration given by <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0c960920c791983c4fed05232fa042f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#65;&#45;&#66;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#49;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#47;&#125;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"136\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>, where <em>A<\/em> and <em>B<\/em> are constants. (a) If <em>x<\/em> is in meters and <em>t<\/em> is in seconds, what are the units of <em>A<\/em> and <em>B<\/em>? (b) If the rocket starts from rest, how does the velocity vary between <em>t<\/em> = 0 and <em>t<\/em> = <em>t<\/em><sub>0<\/sub>? (c) If its initial position is zero, what is the rocket\u2019s position as a function of time during this same time interval?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055134758\">\n<p id=\"fs-id1168057267831\">a. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-593d9984ac65e3621c13d3aed30da979_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#65;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#66;&#61;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#125;&#94;&#123;&#53;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#47;&#125;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"177\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>;<\/p>\n<div><\/div>\n<p>b. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2d2e8321217445f371379a7e99486439_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"519\" style=\"vertical-align: -41px;\" \/>;<\/p>\n<div><\/div>\n<p>c. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d0fab56b3d75420ba7ade474f565110_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"50\" width=\"563\" style=\"vertical-align: -42px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168054976898\">\n<div id=\"fs-id1168055340227\">\n<p id=\"fs-id1168055340229\">The velocity of a particle moving along the <em>x-<\/em>axis varies with time according to <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3278a472939dfa9f8c2b2bb58adef18f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#65;&#43;&#66;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#45;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>, where <em>A<\/em> = 2 m\/s, <em>B<\/em> = 0.25 m, and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e8a3d72a0fcfbea863c462ea45189170_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#46;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;&#92;&#108;&#101;&#32;&#116;&#92;&#108;&#101;&#32;&#56;&#46;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"119\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/>. Determine the acceleration and position of the particle at <em>t<\/em> = 2.0 s and <em>t<\/em> = 5.0 s. Assume that <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be20ef01961b93dcd93e9861d5ea7206_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#61;&#49;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168054988599\">\n<div id=\"fs-id1168054988602\">\n<p id=\"fs-id1168057418955\">A particle at rest leaves the origin with its velocity increasing with time according to <em>v<\/em>(<em>t<\/em>) = 3.2<em>t<\/em> m\/s. At 5.0 s, the particle\u2019s velocity starts decreasing according to [16.0 \u2013 1.5(<em>t<\/em> \u2013 5.0)] m\/s. This decrease continues until <em>t<\/em> = 11.0 s, after which the particle\u2019s velocity remains constant at 7.0 m\/s. (a) What is the acceleration of the particle as a function of time? (b) What is the position of the particle at <em>t<\/em> = 2.0 s, <em>t<\/em> = 7.0 s, and <em>t<\/em> = 12.0 s?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055121296\">\n<p id=\"fs-id1168055121299\">a. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-70da6e2672ee79df1d45c499e5430b94_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"323\" width=\"639\" style=\"vertical-align: -178px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"review-additional-problems\" id=\"fs-id1168055137769\">\n<h3>Additional Problems<\/h3>\n<div id=\"fs-id1168057389393\">\n<div id=\"fs-id1168057389395\">\n<p id=\"fs-id1168057389397\">Professional baseball player Nolan Ryan could pitch a baseball at approximately 160.0 km\/h. At that average velocity, how long did it take a ball thrown by Ryan to reach home plate, which is 18.4 m from the pitcher\u2019s mound? Compare this with the average reaction time of a human to a visual stimulus, which is 0.25 s.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057491154\">\n<div id=\"fs-id1168057460178\">\n<p id=\"fs-id1168057460180\">An airplane leaves Chicago and makes the 3000-km trip to Los Angeles in 5.0 h. A second plane leaves Chicago one-half hour later and arrives in Los Angeles at the same time. Compare the average velocities of the two planes. Ignore the curvature of Earth and the difference in altitude between the two cities.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055151090\">\n<p id=\"fs-id1168057460183\">Take west to be the positive direction.<\/p>\n<div><\/div>\n<p>1st plane: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e44697d4a668cb5c5e03f404ec99e14a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#45;&#125;&#125;&#123;&#92;&#110;&#117;&#32;&#125;&#61;&#54;&#48;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#107;&#109;&#47;&#104;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"102\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div><\/div>\n<p>2nd plane <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-61bcddcefdf71a299ab12cbe86e07caf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#45;&#125;&#125;&#123;&#92;&#110;&#117;&#32;&#125;&#61;&#54;&#54;&#55;&#46;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#107;&#109;&#47;&#104;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"116\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055309763\">\n<div id=\"fs-id1168055269127\">\n<p id=\"fs-id1168055269129\"><strong>Unreasonable Results<\/strong> A cyclist rides 16.0 km east, then 8.0 km west, then 8.0 km east, then 32.0 km west, and finally 11.2 km east. If his average velocity is 24 km\/h, how long did it take him to complete the trip? Is this a reasonable time?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057455309\">\n<div id=\"fs-id1168057455311\">\n<p id=\"fs-id1168057455313\">An object has an acceleration of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4b24f99063f95d9b2a3d739dfad72f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#43;&#49;&#46;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#109;&#47;&#115;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>. At <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e5b11190d6966a34f33a8fbcc2cf93ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#61;&#52;&#46;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/>, its velocity is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b474352741294732b9600d27328c23ea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#51;&#46;&#52;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"78\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>. Determine the object\u2019s velocities at <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8133cedc068a37c983025961f86b21db_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#61;&#49;&#46;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1f78efb092a1c765bae3d6e968d630d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#61;&#54;&#46;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"63\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055302745\">\n<p id=\"fs-id1168055302748\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0ab0ff79421249074cfaefb47490f4c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#118;&#45;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#125;&#123;&#116;&#45;&#123;&#116;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -8px;\" \/>, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-93b7684be7f9d4ffdfaca0b13aac13ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#61;&#48;&#44;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#97;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#45;&#51;&#46;&#52;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#109;&#47;&#115;&#125;&#45;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#125;&#123;&#52;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;&#125;&#61;&#49;&#46;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#109;&#47;&#115;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#8658;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#61;&#45;&#56;&#46;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"388\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/>[latex]v={v}_{0}+at=-8.2+1.2\\phantom{\\rule{0.2em}{0ex}}t[\/latex]; <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b0a2e7a2028c815fd843113417882b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#61;&#45;&#55;&#46;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#109;&#47;&#115;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#53;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#118;&#61;&#45;&#49;&#46;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#99;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"232\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055120900\">\n<div id=\"fs-id1168055120902\">\n<p id=\"fs-id1168055120904\">A particle moves along the <em>x<\/em>-axis according to the equation <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4fd57ab8c5120c900d218fe8eaa22525_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#50;&#46;&#48;&#45;&#52;&#46;&#48;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"137\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> m. What are the velocity and acceleration at <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89f69d6ebf57232e5f0760a19fbfd745_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#61;&#50;&#46;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"53\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> s and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-db11fe11e7740503227cc7355af0f5d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#61;&#53;&#46;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"53\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> s?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055308636\">\n<div id=\"fs-id1168055308638\">\n<p id=\"fs-id1168055175652\">A particle moving at constant acceleration has velocities of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-13b6a379117287452a4a6764b0919734_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#46;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> at <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89f69d6ebf57232e5f0760a19fbfd745_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#61;&#50;&#46;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"53\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> s and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-567a6dd9b96b16fdbfe4f52ab0f80014_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#55;&#46;&#54;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> at <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0cdbbdc181ccfb9dea4616034912e051_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#61;&#53;&#46;&#50;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"52\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> s. What is the acceleration of the particle?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055307822\">\n<p id=\"fs-id1168055307824\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec341b2bd734f5f05b378f6f3b6f33c1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#45;&#51;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055390931\">\n<div id=\"fs-id1168055390933\">\n<p id=\"fs-id1168057323571\">A train is moving up a steep grade at constant velocity (see following figure) when its caboose breaks loose and starts rolling freely along the track. After 5.0 s, the caboose is 30 m behind the train. What is the acceleration of the caboose?<\/p>\n<p><span id=\"fs-id1168057244126\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandbox\/wp-content\/uploads\/sites\/289\/2017\/11\/CNX_UPhysics_03_04_Prob8_img.jpg\" alt=\"Figure shows a train moving up a hill.\" \/><\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055478200\">\n<div id=\"fs-id1168055478202\">\n<p id=\"fs-id1168055120320\">An electron is moving in a straight line with a velocity of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-645a8213f012e93fc9c213d71ab93089_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#52;&#46;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> m\/s. It enters a region 5.0 cm long where it undergoes an acceleration of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f7cfb5fda684d9a0a9dfa2e650345e41_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#54;&#46;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#49;&#50;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> along the same straight line. (a) What is the electron\u2019s velocity when it emerges from this region? b) How long does the electron take to cross the region?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055302554\">\n<p id=\"fs-id1168055302556\">a.<\/p>\n<div><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9cdb204271c79c5293fdccb0c52c0389_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#61;&#56;&#46;&#55;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#53;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>;<\/p>\n<div><\/div>\n<p>b. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a79caa2a6f8486158f1797aa5681f43_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#61;&#55;&#46;&#56;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#56;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055124622\">\n<div id=\"fs-id1168055124624\">\n<p id=\"fs-id1168055022035\">An ambulance driver is rushing a patient to the hospital. While traveling at 72 km\/h, she notices the traffic light at the upcoming intersections has turned amber. To reach the intersection before the light turns red, she must travel 50 m in 2.0 s. (a) What minimum acceleration must the ambulance have to reach the intersection before the light turns red? (b) What is the speed of the ambulance when it reaches the intersection?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055146907\">\n<div id=\"fs-id1168055146909\">\n<p id=\"fs-id1168055146911\">A motorcycle that is slowing down uniformly covers 2.0 successive km in 80 s and 120 s, respectively. Calculate (a) the acceleration of the motorcycle and (b) its velocity at the beginning and end of the 2-km trip.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057524743\">\n<p id=\"fs-id1168055283058\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-168b0c2ef017889c8497217cbc159fec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#107;&#109;&#125;&#61;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#56;&#48;&#46;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#97;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#56;&#48;&#46;&#48;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"228\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/>; <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-79807868bee0e50f7415c3d4f7a936de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#107;&#109;&#125;&#61;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#48;&#48;&#46;&#48;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#97;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#48;&#48;&#46;&#48;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"237\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> solve simultaneously to get <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-60516da8fa0e2879fcdb97bfa0f15450_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#48;&#46;&#49;&#125;&#123;&#50;&#52;&#48;&#48;&#46;&#48;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#107;&#109;&#47;&#115;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"136\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b2af25d90bf2c4c63f471eb6189554d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#61;&#48;&#46;&#48;&#49;&#52;&#49;&#54;&#55;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#107;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>, which is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3e0ad1744c5a6343bc69bf18a01f5850_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#53;&#49;&#46;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#107;&#109;&#47;&#104;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"78\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>. Velocity at the end of the trip is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9df3177c4fe0ac4255a9ea17b80034b7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#61;&#50;&#49;&#46;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#107;&#109;&#47;&#104;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"111\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055392099\">\n<div id=\"fs-id1168055392101\">\n<p id=\"fs-id1168055315002\">A cyclist travels from point A to point B in 10 min. During the first 2.0 min of her trip, she maintains a uniform acceleration of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5998f5edb23f80c970a7a746ffc93712_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#46;&#48;&#57;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>. She then travels at constant velocity for the next 5.0 min. Next, she decelerates at a constant rate so that she comes to a rest at point B 3.0 min later. (a) Sketch the velocity-versus-time graph for the trip. (b) What is the acceleration during the last 3 min? (c) How far does the cyclist travel?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055171580\">\n<div id=\"fs-id1168055392018\">\n<p id=\"fs-id1168055392021\">Two trains are moving at 30 m\/s in opposite directions on the same track. The engineers see simultaneously that they are on a collision course and apply the brakes when they are 1000 m apart. Assuming both trains have the same acceleration, what must this acceleration be if the trains are to stop just short of colliding?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055171872\">\n<p id=\"fs-id1168055392024\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2f821b686d5bf38ca451fd6cd78ad9e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#45;&#48;&#46;&#57;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"111\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055151366\">\n<div id=\"fs-id1168055151368\">\n<p id=\"fs-id1168057341878\">A 10.0-m-long truck moving with a constant velocity of 97.0 km\/h passes a 3.0-m-long car moving with a constant velocity of 80.0 km\/h. How much time elapses between the moment the front of the truck is even with the back of the car and the moment the back of the truck is even with the front of the car?<\/p>\n<p><span id=\"fs-id1168055140967\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandbox\/wp-content\/uploads\/sites\/289\/2017\/11\/CNX_UPhysics_03_04_Prob10_img.jpg\" alt=\"Top drawing shows passenger car with a speed of 80 kilometers per hour in front of the truck with the speed of 97 kilometers per hour. Middle drawing shows passenger car with a speed of 80 kilometers per hour parallel to the truck with the speed of 97 kilometers per hour. Bottom drawing shows passenger car with a speed of 80 kilometers per hour behind the truck with a speed of 97 kilometers per hour.\" \/><\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055463266\">\n<div id=\"fs-id1168055237626\">\n<p id=\"fs-id1168055237628\">A police car waits in hiding slightly off the highway. A speeding car is spotted by the police car doing 40 m\/s. At the instant the speeding car passes the police car, the police car accelerates from rest at 4 m\/s<sup>2<\/sup> to catch the speeding car. How long does it take the police car to catch the speeding car?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055306834\">\n<p id=\"fs-id1168055306836\">Equation for the speeding car: This car has a constant velocity, which is the average velocity, and is not accelerating, so use the equation for displacement with <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-42f018c4cd0cdc1ab9c64865952e35f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#61;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/>:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-223fa64a997c2978a1270d60e62e9c2e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#61;&#123;&#120;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#43;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#45;&#125;&#125;&#123;&#118;&#125;&#116;&#61;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#45;&#125;&#125;&#123;&#118;&#125;&#116;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"130\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/>; Equation for the police car: This car is accelerating, so use the equation for displacement with <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-42f018c4cd0cdc1ab9c64865952e35f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#61;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/> and <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe5a0f198037f16ce4688b674eeab213_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#61;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/>, since the police car starts from rest: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc9b405aea68997f5b67ec5f77afdf57_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#61;&#123;&#120;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#43;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#116;&#43;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#97;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#97;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"208\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/>; Now we have an equation of motion for each car with a common parameter, which can be eliminated to find the solution. In this case, we solve for <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4e3cbf5d4c5c6d9b702dd139f14c147_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"6\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>. Step 1, eliminating <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-db84a5ca948f8cec60c17bdb095d06ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#61;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#45;&#125;&#125;&#123;&#118;&#125;&#116;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#97;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/>; Step 2, solving for <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4e3cbf5d4c5c6d9b702dd139f14c147_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"6\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/>: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3edd528e5a2076d6daafb634c31ca217_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#45;&#125;&#125;&#123;&#118;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/>. The speeding car has a constant velocity of 40 m\/s, which is its average velocity. The acceleration of the police car is 4 m\/s<sup>2<\/sup>. Evaluating <em>t<\/em>, the time for the police car to reach the speeding car, we have <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f27dd76f83bf1dd09bd639cfa72f6e0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#92;&#115;&#116;&#97;&#99;&#107;&#114;&#101;&#108;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#45;&#125;&#125;&#123;&#118;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#52;&#48;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#123;&#52;&#125;&#61;&#50;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"159\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/>.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057464878\">\n<div id=\"fs-id1168057464880\">\n<p id=\"fs-id1168057424743\">Pablo is running in a half marathon at a velocity of 3 m\/s. Another runner, Jacob, is 50 meters behind Pablo with the same velocity. Jacob begins to accelerate at 0.05 m\/s<sup>2<\/sup>. (a) How long does it take Jacob to catch Pablo? (b) What is the distance covered by Jacob? (c) What is the final velocity of Jacob?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055283140\">\n<div id=\"fs-id1168055283142\">\n<p id=\"fs-id1168057354249\"><strong>Unreasonable results<\/strong> A runner approaches the finish line and is 75 m away; her average speed at this position is 8 m\/s. She decelerates at this point at 0.5 m\/s<sup>2<\/sup>. How long does it take her to cross the finish line from 75 m away? Is this reasonable?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055381859\">\n<p id=\"fs-id1168055310472\">At this acceleration she comes to a full stop in <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-15390658efc183505455fce90f2ef78f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#45;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#125;&#123;&#97;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#56;&#125;&#123;&#48;&#46;&#53;&#125;&#61;&#49;&#54;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"155\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/>, but the distance covered is <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-983ce12da140fa2c65565f007147271e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#61;&#56;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#40;&#49;&#54;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#41;&#125;&#45;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#48;&#46;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#54;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#54;&#52;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"303\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/>, which is less than the distance she is away from the finish line, so she never finishes the race.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055095438\">\n<div id=\"fs-id1168055095440\">\n<p id=\"fs-id1168055470146\">An airplane accelerates at 5.0 m\/s<sup>2<\/sup> for 30.0 s. During this time, it covers a distance of 10.0 km. What are the initial and final velocities of the airplane?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055124263\">\n<div id=\"fs-id1168055124265\">\n<p id=\"fs-id1168055124267\">Compare the distance traveled of an object that undergoes a change in velocity that is twice its initial velocity with an object that changes its velocity by four times its initial velocity over the same time period. The accelerations of both objects are constant.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055323241\">\n<p id=\"fs-id1168055394272\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56838afda93c0ce37d673523fd18c2d5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#51;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#116;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<div><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca0416329820c4b67a0fd5b7fff2cf0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#95;&#123;&#50;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#53;&#125;&#123;&#51;&#125;&#123;&#120;&#125;&#95;&#123;&#49;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055309203\">\n<div id=\"fs-id1168057481425\">\n<p id=\"fs-id1168057481427\">An object is moving east with a constant velocity and is at position <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6484e7c4e565f94583de4e01fb1a4aa7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#120;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#97;&#116;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#116;&#105;&#109;&#101;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#116;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#61;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"125\" style=\"vertical-align: -3px;\" \/>. (a) With what acceleration must the object have for its total displacement to be zero at a later time <em>t<\/em> ? (b) What is the physical interpretation of the solution in the case for <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ebed63f5f0a348a55ae2e1c890ec01c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#32;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/>?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055237526\">\n<div id=\"fs-id1168055237528\">\n<p id=\"fs-id1168055391626\">A ball is thrown straight up. It passes a 2.00-m-high window 7.50 m off the ground on its path up and takes 1.30 s to go past the window. What was the ball\u2019s initial velocity?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055391633\">\n<p id=\"fs-id1168054945814\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2189a15a46d63efe3d10489717c5ca05_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#61;&#55;&#46;&#57;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> velocity at the bottom of the window.<\/p>\n<div><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8fea233d7bfc4528be54accfc52104e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#61;&#55;&#46;&#57;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<div><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-535a53a26d7ea3e1efc7a6a0370c51f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#123;&#118;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#61;&#49;&#52;&#46;&#49;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055282726\">\n<div id=\"fs-id1168057457672\">\n<p id=\"fs-id1168057457674\">A coin is dropped from a hot-air balloon that is 300 m above the ground and rising at 10.0 m\/s upward. For the coin, find (a) the maximum height reached, (b) its position and velocity 4.00 s after being released, and (c) the time before it hits the ground.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055388728\">\n<div id=\"fs-id1168057522468\">\n<p id=\"fs-id1168057522470\">A soft tennis ball is dropped onto a hard floor from a height of 1.50 m and rebounds to a height of 1.10 m. (a) Calculate its velocity just before it strikes the floor. (b) Calculate its velocity just after it leaves the floor on its way back up. (c) Calculate its acceleration during contact with the floor if that contact lasts 3.50 ms <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83d3bb17cc3d79c5d0560d3f63604a2b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#51;&#46;&#53;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#51;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> (d) How much did the ball compress during its collision with the floor, assuming the floor is absolutely rigid?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055325521\">\n<p id=\"fs-id1168055309415\">a. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f54ea62970f1bad99c634ea3dbc21288_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#61;&#53;&#46;&#52;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>;<\/p>\n<div><\/div>\n<p>b. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-159354715dc69f09a8c68ab040166eca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#61;&#52;&#46;&#54;&#52;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>;<\/p>\n<div><\/div>\n<p>c. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-70fd319663311e3a083cf03505c93db7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#97;&#61;&#50;&#56;&#55;&#52;&#46;&#50;&#56;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"132\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>;<\/p>\n<div><\/div>\n<p>d. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c836fb12f0ee2366563ed59c4572107_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#120;&#45;&#123;&#120;&#125;&#95;&#123;&#48;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#53;&#46;&#49;&#49;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#51;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"179\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057461827\">\n<div id=\"fs-id1168057461829\">\n<p id=\"fs-id1168057461831\"><strong>Unreasonable results<\/strong>. A raindrop falls from a cloud 100 m above the ground. Neglect air resistance. What is the speed of the raindrop when it hits the ground? Is this a reasonable number?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055124296\">\n<div id=\"fs-id1168055124298\">\n<p id=\"fs-id1168055124300\">Compare the time in the air of a basketball player who jumps 1.0 m vertically off the floor with that of a player who jumps 0.3 m vertically.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057418927\">\n<p id=\"fs-id1168057418929\">Consider the players fall from rest at the height 1.0 m and 0.3 m.<\/p>\n<div><\/div>\n<p>0.9 s<\/p>\n<div><\/div>\n<p>0.5 s<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057556789\">\n<div id=\"fs-id1168057556792\">\n<p id=\"fs-id1168055311511\">Suppose that a person takes 0.5 s to react and move his hand to catch an object he has dropped. (a) How far does the object fall on Earth, where <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f30273ee0c9b99fbf953ab7de2a6969_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#103;&#61;&#57;&#46;&#56;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#63;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"105\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> (b) How far does the object fall on the Moon, where the acceleration due to gravity is 1\/6 of that on Earth?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055274264\">\n<div id=\"fs-id1168055274266\">\n<p id=\"fs-id1168055274268\">A hot-air balloon rises from ground level at a constant velocity of 3.0 m\/s. One minute after liftoff, a sandbag is dropped accidentally from the balloon. Calculate (a) the time it takes for the sandbag to reach the ground and (b) the velocity of the sandbag when it hits the ground.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055469821\">\n<p id=\"fs-id1168055469823\">a. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc099d04baae7e8f94d75cd7f54f4da3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#61;&#54;&#46;&#51;&#55;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"72\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/> taking the positive root;<\/p>\n<div><\/div>\n<p>b. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-45d6a882d004543c96c57831ea524fd1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#61;&#53;&#57;&#46;&#53;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055469798\">\n<div id=\"fs-id1168055308954\">\n<p id=\"fs-id1168055308957\">(a) A world record was set for the men\u2019s 100-m dash in the 2008 Olympic Games in Beijing by Usain Bolt of Jamaica. Bolt \u201ccoasted\u201d across the finish line with a time of 9.69 s. If we assume that Bolt accelerated for 3.00 s to reach his maximum speed, and maintained that speed for the rest of the race, calculate his maximum speed and his acceleration. (b) During the same Olympics, Bolt also set the world record in the 200-m dash with a time of 19.30 s. Using the same assumptions as for the 100-m dash, what was his maximum speed for this race?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055309639\">\n<div id=\"fs-id1168055309641\">\n<p id=\"fs-id1168055309644\">An object is dropped from a height of 75.0 m above ground level. (a) Determine the distance traveled during the first second. (b) Determine the final velocity at which the object hits the ground. (c) Determine the distance traveled during the last second of motion before hitting the ground.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055273683\">\n<p id=\"fs-id1168055273685\">a. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef84c879854200bf307b83ea20c69f43_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#121;&#61;&#52;&#46;&#57;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>;<\/p>\n<div><\/div>\n<p>b. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d55644f8ca166d9849a425a5a910491_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#61;&#51;&#56;&#46;&#51;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>;<\/p>\n<div><\/div>\n<p>c. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3e1096f14143b95f3c485042a80f72f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#51;&#51;&#46;&#51;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"63\" style=\"vertical-align: 0px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168052793064\">\n<div id=\"fs-id1168052793066\">\n<p id=\"fs-id1168052793068\">A steel ball is dropped onto a hard floor from a height of 1.50 m and rebounds to a height of 1.45 m. (a) Calculate its velocity just before it strikes the floor. (b) Calculate its velocity just after it leaves the floor on its way back up. (c) Calculate its acceleration during contact with the floor if that contact lasts 0.0800 ms <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-662f5167c4a993172cd859bfa53eee42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#56;&#46;&#48;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&times;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#49;&#48;&#125;&#94;&#123;&#45;&#53;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> (d) How much did the ball compress during its collision with the floor, assuming the floor is absolutely rigid?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055324264\">\n<div id=\"fs-id1168055324266\">\n<p id=\"fs-id1168055273765\">An object is dropped from a roof of a building of height <em>h<\/em>. During the last second of its descent, it drops a distance <em>h<\/em>\/3. Calculate the height of the building.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055491899\">\n<p id=\"fs-id1168055491901\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4033fe73f51c80f1124a6c73dba1191f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#104;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#103;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/>, <em>h<\/em> = total height and time to drop to ground<\/p>\n<div><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa370d7c15624de6696badd4c6643c97_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;&#104;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#103;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"120\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> in <em>t<\/em> \u2013 1 seconds it drops 2\/3<em>h<\/em><\/p>\n<div><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25adc1314b09f973bae851989272bfc6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#103;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#103;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"163\" style=\"vertical-align: -7px;\" \/> or <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-46a2446d1adcc0cd0b7d1d9f0c7c73cc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#125;&#123;&#51;&#125;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#123;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#45;&#49;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<div><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08654e2c54a373c23fcb516230eed4bc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#48;&#61;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#54;&#116;&#43;&#51;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"114\" style=\"vertical-align: -2px;\" \/> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e753235db64cea6955f87a1afabb3ab7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#54;&plusmn;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#123;&#54;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&middot;&#51;&#125;&#125;&#123;&#50;&#125;&#61;&#51;&plusmn;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#115;&#113;&#114;&#116;&#123;&#50;&#52;&#125;&#125;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"151\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<div><\/div>\n<p><em>t<\/em> = 5.45 s and <em>h<\/em> = 145.5 m. Other root is less than 1 s. Check for <em>t<\/em> = 4.45 s <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e23dabbeb68b24fad8f30b6f25328e79_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#104;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#49;&#125;&#123;&#50;&#125;&#103;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#61;&#57;&#55;&#46;&#48;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/> m <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a7ceb91422f04409633f583caae0f0d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#125;&#123;&#51;&#125;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#49;&#52;&#53;&#46;&#53;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"review-challenge\" id=\"fs-id1163713292662\">\n<h3>Challenge Problems<\/h3>\n<div id=\"fs-id1168055309429\">\n<div id=\"fs-id1168055309431\">\n<p id=\"fs-id1168055309433\">In a 100-m race, the winner is timed at 11.2 s. The second-place finisher\u2019s time is 11.6 s. How far is the second-place finisher behind the winner when she crosses the finish line? Assume the velocity of each runner is constant throughout the race.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055190126\">\n<div id=\"fs-id1168055190128\">\n<p id=\"fs-id1168055190131\">The position of a particle moving along the <em>x<\/em>-axis varies with time according to <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee5f4f0865abbb9105f3fba303e90350_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#120;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#53;&#46;&#48;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#45;&#52;&#46;&#48;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#51;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"151\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/> m. Find (a) the velocity and acceleration of the particle as functions of time, (b) the velocity and acceleration at <em>t<\/em> = 2.0 s, (c) the time at which the position is a maximum, (d) the time at which the velocity is zero, and (e) the maximum position.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055269782\">\n<p id=\"fs-id1168055269784\">a. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34fb72461b36f1c5f7c4848c50a017ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#49;&#48;&#116;&#45;&#49;&#50;&#123;&#116;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#97;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#116;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#49;&#48;&#45;&#50;&#52;&#116;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"334\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>;<\/p>\n<div><\/div>\n<p>b. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac08fb051a7c393e0174f31143670e3d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#118;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#45;&#50;&#56;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#97;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#40;&#50;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#41;&#61;&#45;&#51;&#56;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"281\" style=\"vertical-align: -4px;\" \/>; c. The slope of the position function is zero or the velocity is zero. There are two possible solutions: <em>t<\/em> = 0, which gives <em>x<\/em> = 0, or <em>t<\/em> = 10.0\/12.0 = 0.83 s, which gives <em>x<\/em> = 1.16 m. The second answer is the correct choice; d. 0.83 s (e) 1.16 m<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057481407\">\n<div id=\"fs-id1168057481409\">\n<p id=\"fs-id1168057481411\">A cyclist sprints at the end of a race to clinch a victory. She has an initial velocity of 11.5 m\/s and accelerates at a rate of 0.500 m\/s<sup>2<\/sup> for 7.00 s. (a) What is her final velocity? (b) The cyclist continues at this velocity to the finish line. If she is 300 m from the finish line when she starts to accelerate, how much time did she save? (c) The second-place winner was 5.00 m ahead when the winner started to accelerate, but he was unable to accelerate, and traveled at 11.8 m\/s until the finish line. What was the difference in finish time in seconds between the winner and runner-up? How far back was the runner-up when the winner crossed the finish line?<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168055309457\">\n<div id=\"fs-id1168057239209\">\n<p id=\"fs-id1168057239211\">In 1967, New Zealander Burt Munro set the world record for an Indian motorcycle, on the Bonneville Salt Flats in Utah, of 295.38 km\/h. The one-way course was 8.00 km long. Acceleration rates are often described by the time it takes to reach 96.0 km\/h from rest. If this time was 4.00 s and Burt accelerated at this rate until he reached his maximum speed, how long did it take Burt to complete the course?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"fs-id1168057239219\">\n<p id=\"fs-id1168057720330\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-602a52e3153c51e2bfb26e0ba51a2a83_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#57;&#54;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#107;&#109;&#47;&#104;&#125;&#61;&#50;&#54;&#46;&#54;&#55;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#44;&#125;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#97;&#61;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#50;&#54;&#46;&#54;&#55;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#125;&#123;&#52;&#46;&#48;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;&#125;&#61;&#54;&#46;&#54;&#55;&#123;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#109;&#47;&#115;&#125;&#125;&#94;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"359\" style=\"vertical-align: -6px;\" \/>, 295.38 km\/h = 82.05 m\/s, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89037dba56ad87383d277d75395662b7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#116;&#61;&#49;&#50;&#46;&#51;&#92;&#112;&#104;&#97;&#110;&#116;&#111;&#109;&#123;&#92;&#114;&#117;&#108;&#101;&#123;&#48;&#46;&#50;&#101;&#109;&#125;&#123;&#48;&#101;&#120;&#125;&#125;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#123;&#115;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -1px;\" \/> time to accelerate to maximum speed<\/p>\n<div><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88cd9a7b2571246c20f9273b24c3a0ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula 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style=\"vertical-align: -1px;\" \/> at a constant speed<\/p>\n<div><\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/pressbooks.bccampus.ca\/universityphysicssandboxbook1\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cd0b7469663f7869c6626c3c18b926a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" 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